Ứng dụng của tích phân Tính thể tích khối tròn xoay cực hay

Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Gọi B là phần vật thể số lượng giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại những điểm a và b ; S ( x ) là diện tích quy hoạnh thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, ( a ≤ x ≤ b ). Giả sử S ( x ) là hàm số liên tục trên đoạn [ a ; b ] .

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x2 ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được số lượng giới hạn bởi những đường
y = ( 1 – x2 ), y = 0, x = 0 và x = 2 khi quay quanh trục Ox là :

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Hướng dẫn:

Giải phương trình √ x = x ⇔ x ∈ { 0 ; 1 } .
Thể tích khối tròn xoay số lượng giới hạn bởi những đường y = √ x ; y = x khi quay quanh trục Ox là

Bài 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được số lượng giới hạn bởi những đường y = tanx ; Ox ; x = 0 ; x = π / 4 là :

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox.

Hiển thị đáp án
Thể tích khối tròn xoay được số lượng giới hạn bởi những đường y = x3, trục Ox, x = – 1, x = 1 một vòng quanh trục Ox là :

Bài 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x-x2; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của (H)

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm :

Suy ra

Quảng cáo

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=lnx,y=0,x=e quay quanh trục Ox.

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm : lnx = 0 ⇔ x = 1
Khi đó thể tích cần tìm là :

Bài 4: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong
trục Ox và trục Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox.

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm :

Suy ra

Bài 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=3x ;y=x ; x=1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay (H).

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm : 3 x = x ⇔ x = 0 .
Suy ra :

Bài 6: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=x+1; y=6/x; x=1; x > 0. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm : x + 1 = 6 / x ⇔ x2 + x-6 = 0 ⇒ x = 2 .
Suy ra :

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4

Hiển thị đáp án
Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường y = 1 / cosx, x = 0 và x = π / 4 là :

Bài 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường
xung quanh trục Ox.

Hiển thị đáp án
Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường
y = √ tanx, y = 0, x = 0, x = π / 4 xung quanh trục Ox là :

Bài 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e2x, y=0, x=0 và x=2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Hiển thị đáp án
Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

Bài 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường
Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục x.

Hiển thị đáp án
Thể tích cần tìm là

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay