Một số Ứng dụng của cực trị HÀm hai biến số VÀo trong các bài toán kinh tế Th. S bùi Đình Thắng

2. NỘI DUNG

2.1. Cực trị địa phương của hàm hai biến

2.1.1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền , M0(x0, y0)  D.

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

sao cho:

f(x, y)  f(x0, y0), .

+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu địa phương tại M0 nếu tồn tại tập

sao cho:

f(x0, y0)  f(x, y), .

+ Cực đại địa phương hay cực tiểu địa phương gọi chung là cực trị địa phương.

2.1.2. Điều kiện cần của cực trị địa phương

Định lý. Nếu hàm số f(x, y) đạt cực trị tại M0 mà tại đó các đạo hàm riêng tồn tại thì

Những điểm M(x0, y0) thỏa mãn được gọi là điểm dừng.

2.1.3. Điều kiện đủ của cực trị địa phương

Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0).

Xét ma trận gọi là ma trận Heissen.

Đặt ;

+ Nếu H1 ( M0 ) > 0 và H2 ( M0 ) > 0 thì điểm M0 là điểm cực tiểu .
+ Nếu H1 ( M0 ) < 0 và H2 ( M0 ) > 0 thì điểm M0 là điểm cực lớn .
+ Nếu H2 ( M0 ) < 0 thì điểm M0 là không phải là điểm cực trị .

+ Nếu H2(M0) = 0 thì ta chưa kết luận được gì về điểm M0.

2.2. Cực trị toàn cục của hàm hai biến

2.2.1. Định nghĩa. Cho hàm số f(x, y) xác định trong miền , M0(x0, y0)  D.

+ Hàm f(x, y) đạt cực đại toàn cục tại M0 nếu f(x, y)  f(x0, y0), .

+ Hàm f(x, y) đạt cực tiểu toàn cục tại M0 nếu f(x0, y0)  f(x, y), .

2.2.1. Định lý. Cho hàm số f(x, y) có các đạo hàm riêng đến cấp 2 liên tục trong lân cận của điểm dừng M0(x0, y0).

+ Nếu H1 > 0 và H2 > 0,  ( x, y )  D thì điểm M0 là điểm cực tiểu toàn cục trên D .

+ Nếu H1 < 0 và H2 > 0, (x, y)  D thì điểm M0 là điểm cực đại toàn cục trên D.

2.3. Một số ứng dụng trong các bài toán kinh tế

Ví dụ 1. Một công ty sản xuất 2 loại sản phẩm. Gọi Qi là số lượng sản phẩm của mặt hàng thứ i (); Pi là đơn giá của mặt hàng thứ i ().

Hàm doanh thu của công ty là :

Biết P1 = 400 ; P2 = 600 và hàm tổng ngân sách là :

Yêu cầu: Tìm Q1 và Q2 để đạt giá trị max?

Bài giải. Ta có hàm lợi nhuận



Điều kiện cần để hàm  đạt cực trị tại (Q1, Q2) là:

Ta có ma trận Hesse :

Vì do đó hàm  đạt cực đại toàn cục tại (Q1, Q2) = (199, 298).

Ví dụ 2. Giả sử hàm lợi nhuận của một công ty đối với một sản phẩm là:

trong đó :  là doanh thu, R là lệch giá, C là ngân sách, L là lượng lao động, w là tiền lương của một lao động, K là tiền vốn, r là lãi suất vay của tiền vốn, P. là đơn giá bán .

Giả sử Q là hàm sản xuất Cobb-Douglas dạng:

, w = 1, r = 0,02, P = 3.

Khi đó, ta có :

Yêu cầu : Tìm L, K sao cho  đạt giá trị lớn nhất .

Bài giải: Điều kiện cần để hàm đạt cực trị tại (L, K) là:

Ta có ma trận Hesse :

Vì ;

do đó  đạt cực đại toàn cục tại (K, L) = (2500, 50).

Ví dụ 3. Giả sử một xí nghiệp sản xuất một loại sản phẩm và bán tại hai thị trường tách biệt. Đơn giá bán tại thị trường 1 là P1, giá bán tại thị trường 2 là P2 (P1 > P2); tổng chi phí là C = C(Q) + tq2.
trong đó : Q. = q1 + q2 là lượng hàng bán ; q1, q2 lần lượt là lượng hàng bán được ở thị trường 2, t là ngân sách tăng thêm trên một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm ở thị trường 2 .

Yêu cầu: Tìm q1, q2 sao cho tổng lợi nhuận lớn nhất?

Cho: P1 = 7, P2 = 6, t = 1, C(Q) = C(q1, q2) =

Bài giải: Ta có hàm lợi nhuận:
Bây giờ ta đi tìm ( q1, q2 ) để hàm  đạt cực đại toàn cục .

Đáp số: (q1, q2) = (3, 1) là cực đại toàn cục của hàm  và khi đó  = 10.

Ví dụ 4. Giả sử một công ty sản xuất độc quyền một loại sản phẩm và tiêu thụ tại hai thị trường tách biệt. Giả sử các hàm cầu trên hai thị trường lần lượt là:

Hàm tổng ngân sách :
C ( Q. ) = Q2 + 30Q + 10
Q. = Q1 + Q2 là tổng sản lượng .

Yêu cầu: Tìm lượng sản phẩm Q1, Q2 mà công ty cung cấp cho các thị trường sao cho lợi nhuận đạt cao nhất?

Bài giải. Giả sử công ty cung cấp cho thị trường 1 là Q1 sản phẩm, thị trường 2 là Q2 sản phẩm.

và Q = Q1 + Q2
 P1 = 240 – 3Q1, P2 = 320 – 4Q2 .
Do đó lệch giá trên những thị trường lần lượt là :
R1 = ( 240 – 3Q1 ) Q1
R2 = ( 320 – 4Q2 ) Q2
Khi đó tổng doanh thu là :
 = R1 + R2 – C
= ( 240 – 3Q1 ) Q1 + ( 320 – 4Q2 ) Q2 – Q2 + 30Q + 10 ( Q = Q1 + Q2 )
Cực đại toàn cục của hàm  là ( Q1, Q2 ) = ( 20, 25 ) .
Vậy công ty phân phối cho thị trường thứ nhất là Q1 = 20 đơn vị chức năng hàng với đơn giá P1 = 240 – 3Q1 = 180 .
Cung cấp cho thị trường thứ hai là Q2 = 25 đơn vị chức năng sản phẩm & hàng hóa với đơn giá là P2 = 320 – 4Q2 = 220 .

3. KẾT LUẬN
Với những kỹ năng và kiến thức toán học về cực trị hàm hai biến số ta hoàn toàn có thể giải được 1 số ít bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trong những bài toán kinh tế tài chính. Sau đây là 1 số ít ví dụ mà những bạn hoàn toàn có thể tự giải, khi học mô Kinh tế quản trị :

Bài 1. Cho hàm lợi nhuận của một doanh nghiệp như sau:
 = 80X – X2 – XY – 2Y2 + 60Y – 10

Hãy xác định sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa lợi nhuận. Tìm lợi nhuận tối đa đó ?

Bài 2. Cho hàm tổng doanh thu và tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:

TR = 26X – X2 + 60Y
TC = 20X – 2X2 + XY – Y2 + 20Y + 5
Hãy xác lập sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối đa hóa doanh thu. Tìm doanh thu tối đa đó ?

Bài 3. Cho hàm tổng chi phí của một doanh nghiệp như sau:
TC = 40X – X2 – XY – Y2 + 45Y + 6
Hãy xác lập sản lượng X và Y để doanh nghiệp tối thiểu hóa ngân sách. Tìm ngân sách tối thiểu đó ?
Trong đó :

X, Y là số lượng hàng hóa X, Y ;

 là lợi nhuận

TR là hàm tổng doanh thu 

TC là hàm tổng chi phí )

4. TÀI LIỆU THAM KHẢO

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay