ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (92.07 KB, 3 trang )
Tiết 62 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN ĐỂ TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG
I/ Mục tiêu : Giúp học sinh
Về kiến thức : Hiểu các công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số và hai
đường thẳng vuông góc với trục hoành.
Về kỹ năng : Ghi nhớ vận dụng được các công thức trong bài vào việc giải các bài toán cụ thể.
Về tư duy: + Biết vận dụng các phương pháp tính tích phân để tính diện tích.
+ Biết nhiều cách giải về bài toán diện tích.
Về thái độ : Cẩn thận chính xác trong mọi hoạt động.
II/ Chuẩn bị của giáo viên và học sinh :
Giáo viên : Giáo án, bảng phụ và các phương tiện dạy học khác.
Học sinh : Nắm kiến thức về các phương pháp tính tích phân. Đọc trước bài mới.
III/ Phương pháp: Gợi mở, vấn đáp thông qua các hoạt động để điều khiển tư duy của học sinh.
IV/ Tiến trình bài học :
1/ Ổn định lớp:
2/ Kiểm tra bài cũ :
Câu hỏi 1: Nêu lại cách tính diện tích hình thang cong giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b]; y = 0, x = a, x = b ( ý nghĩa hhọc của tích phân)
Câu hỏi 2: Cho hàm số y = f(x) = x
2
+ 2 có đồ thị (C).Tính dịên tích hình thang cong giới hạn
bởi (C), trục Ox và 2 đường thẳng x = -1; x = 2
Kquả: Thấy được
,0)(
>
xf
trên [-1 ; 2] Nên
……)2(
2
1
2
=+=
∫
−
dxxS
9
3/ Bài mới
Hoạt động 1 : Giới thiệu cộng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b]; y= 0, x = a, x = b
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Giới thiệu về hình phẳng và cách tính diện tích
hình phẳng.
Hs:Hiểu được việc tính diện tích hình phẳng thực
chất là quy về việc tính diện tích của hình thang
cong bằng cách chia hình phẳng thành một số hình
thang cong.
Gv: Nếu giả thiết ở trên ( ktra bài cũ) được thay
bằng f(x) chỉ liên tục trên [a ; b] thì việc tính S sẽ
thế nào ?
Hs: Phải được f(x) < 0 hoặc
0)(
≥
xf
trên [a ; b]
Nếu
];[,0)( baxxf
∈≥
thì
dxxfdxxfS
b
a
b
a
∫∫
==
)()(
(1)
Nếu
];[,0)( baxxf
∈≤
thì
dxxfdxxfS
b
a
b
a
∫∫
=−=
)()(
(2)
Gv: Từ (1) (2) ta kết luận được điều gì ?
Kết luận : Thấy được trong mọi trường hợp
1/ Hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = f(x) liên tục trên [a; b], y = 0, x = a, x = b
Có diện tích là:
dxxfS
b
a
∫
=
)(
Đồ thị
dxxfS
b
a
∫
=
)(
(3)
Hoạt động 2 : Các ví dụ áp dụng.
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Cho hs cả lớp nghiên cứu đề bài:
Gọi 1 hs đứng tại chỗ nêu cách tính S.
Hs: Cả lớp làm theo chỉ dẫn của gviên
dxCosxS
∫
=
π
0
(4)
Gv: Tính (4) bằng cách nào ?
Hs: Bỏ dấu trị tuyệt đối trên
[ ]π
;0
như sau:
Trên
0)(,
2
;0
≥
xf
π
và trên
0)(,;
2
≤
xf
π
π
Gv: Cho hs kiểm tra dưới dạng đồ thị.
Gv: Cho hs nghiên cứu. Gọi 1hs lên bảng trình bày
bài giải.
Hs: Cả lớp tự trình bày vào vở. Và 1hsinh lên bảng
trình bày (có đồ thị).
Gv: Sau khi hs trình xong, cho hs cả lớp nhận xét.
Hs: Cả lớp nhận xét theo chỉ dẫn của giáo viên
Gv: Chỉnh sửa hợp lý và hoàn thiện bài giải
Ví dụ 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi
==
==
π
xx
Ox
Cosxxfy
,0
)(
Lời giải:
Nhận xét: f(x) = Cosx liên tục trên
[ ]π
;0
dxCosxS
∫
=
π
0
=
∫∫
−
π
π
π
2
2
0
CosxdxdxCosx
= ..
Ví dụ 2:
Tìm S hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –
x
2
, đường thẳng x = 3, x = 0 và trục hoành.
Lời giải:
Nhận thấy:
]2;0[,0)(
∈≥
xxf
và
]3;2[,0)(
∈≤
xxf
…)4()4(
4
3
2
2
2
0
2
3
0
2
=−+−=
−=
∫∫
∫
dxxdxx
dxxS
Hoạt động 3: Giới thiệu công thức tính S hình phẳng giới hạn bởi các đường: y = f(x), y = g(x) liên tục
trên [a ; b] và 2 đường thẳng x = a, x = b.
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: Cho hs nhận xét phần (1) (2) ?
Hs: Thấy được trục Ox của phần (1) được thay
bởi hàm số : y = g(x).
Gv: Cho hs ghi nhận kiến thức.
Hs: Cả lớp ghi nhận kiến thức.
Gv: Hướng dẫn cách tính (5)
Hs: Tiếp thu và ghi nhớ vận dụng
2/ Hình phẳng giới hạn bởi các đường :
y = f(x), y = g(x), liên tục trên [a ; b] và hai
đường thẳng x = a, x = b. Có diện tích là:
dxxgxfS
b
a
∫
−=
)()(
(5)
Để tính (5) ta thực hiện các bước sau:
Giải pt: f(x) = g(x)
Tìm ra nghiệm chẳng hạn:
].;[, ba
∈
βα
dxxgxfdxxgxfdxxgxfS
b
a
∫∫∫
−+−+−=
β
β
α
α
)()()()()()(
∫∫∫
−+−+−=
b
a
dxxgxfdxxgxfdxxgxf
β
β
α
α
))()(())()(())()((
(f(x) – g(x) không đổi dấu trên
]);[],;[],;[ ba
ββαα
.
Hoạt động 4: Ví dụ áp dụng
Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạy
Gv: + Từ công thức (3), (5) cho hs thấy được
xem
Ox là g(x).
+ Gọi hs đứng tại chỗ trình bày các bước tính S
áp dụng công thức (5).
Hs: Tiếp thu kiến thức và thực hành theo chỉ dẫn
của gv. 1hs trả lời các câu hỏi của gv
Ví dụ 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi các đường:
y = x – 1; trục Ox, trục Oy, đthẳng x = 3.
Lời giải:
Giải pt: x
2
– 1 = 0
]3;0[1;1
∈−==⇔
xx
….
111
3
1
2
1
0
2
3
0
2
=
−+−=−=
∫∫∫
dxxdxxdxxS
4. Củng cố -dặn dò: + Cho hsinh cả lớp tham khảo ví dụ1 trang 163 ở sgk
+ Muốn áp dụng công thức (3) thì hình phẳng cần tính S phải đầy đủ các yếu tố :
y = f(x), f(x) liên tục trên [a ; b] ; y = 0 ; hai đthẳng x = a và x = b.
+ Biết dựa vào đồ thị để tính S.
Bài tập về nhà: + Bài 26, 27a, Bài 27, 28 sgk – 167.
+ Bài 1: Tính S hình phẳng giới hạn bởi:
==
=
exy
xy
,0
ln
+ Bài 2: Tính S hình phẳng giới hạn bởi:
==
=
8,1
3
xy
yx
5/ Rút kinh nghiệm:
dxxS3 / Bài mớiHoạt động 1 : Giới thiệu cộng thức tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] ; y = 0, x = a, x = bHoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạyGv : Giới thiệu về hình phẳng và cách tính diện tíchhình phẳng. Hs : Hiểu được việc tính diện tích hình phẳng thựcchất là quy về việc tính diện tích của hình thangcong bằng cách chia hình phẳng thành một số ít hìnhthang cong. Gv : Nếu giả thiết ở trên ( ktra bài cũ ) được thaybằng f ( x ) chỉ liên tục trên [ a ; b ] thì việc tính S sẽthế nào ? Hs : Phải được f ( x ) < 0 hoặc0 ) ( xftrên [ a ; b ] Nếu ] ; [, 0 ) ( baxxf ∈ ≥ thìdxxfdxxfS ∫ ∫ = = ) ( ) ( ( 1 ) Nếu ] ; [, 0 ) ( baxxf ∈ ≤ thìdxxfdxxfS ∫ ∫ = − = ) ( ) ( ( 2 ) Gv : Từ ( 1 ) ( 2 ) ta Tóm lại được điều gì ? Kết luận : Thấy được trong mọi trường hợp1 / Hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = f ( x ) liên tục trên [ a ; b ], y = 0, x = a, x = bCó diện tích là : dxxfS ) ( Đồ thịdxxfS ) ( ( 3 ) Hoạt động 2 : Các ví dụ vận dụng. Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạyGv : Cho hs cả lớp điều tra và nghiên cứu đề bài : Gọi 1 hs đứng tại chỗ nêu cách tính S.Hs : Cả lớp làm theo hướng dẫn của gviêndxCosxS ( 4 ) Gv : Tính ( 4 ) bằng cách nào ? Hs : Bỏ dấu trị tuyệt đối trên [ ] ; 0 như sau : Trên0 ) (, ; 0 xfvà trên0 ) (, ; xfGv : Cho hs kiểm tra dưới dạng đồ thị. Gv : Cho hs nghiên cứu và điều tra. Gọi 1 hs lên bảng trình bàybài giải. Hs : Cả lớp tự trình diễn vào vở. Và 1 hsinh lên bảngtrình bày ( có đồ thị ). Gv : Sau khi hs trình xong, cho hs cả lớp nhận xét. Hs : Cả lớp nhận xét theo hướng dẫn của giáo viênGv : Chỉnh sửa hài hòa và hợp lý và hoàn thành xong bài giảiVí dụ 1 : Tính S hình phẳng số lượng giới hạn bởi = = = = xxOxCosxxfy, 0 ) ( Lời giải : Nhận xét : f ( x ) = Cosx liên tục trên [ ] ; 0 dxCosxS ∫ ∫ CosxdxdxCosx = .. Ví dụ 2 : Tìm S hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 4 –, đường thẳng x = 3, x = 0 và trục hoành. Lời giải : Nhận thấy : ] 2 ; 0 [, 0 ) ( ∈ ≥ xxfvà ] 3 ; 2 [, 0 ) ( ∈ ≤ xxf ... ) 4 ( ) 4 ( = − + − = − = ∫ ∫ dxxdxxdxxSHoạt động 3 : Giới thiệu công thức tính S hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = f ( x ), y = g ( x ) liên tụctrên [ a ; b ] và 2 đường thẳng x = a, x = b. Hoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạyGv : Cho hs nhận xét phần ( 1 ) ( 2 ) ? Hs : Thấy được trục Ox của phần ( 1 ) được thaybởi hàm số : y = g ( x ). Gv : Cho hs ghi nhận kỹ năng và kiến thức. Hs : Cả lớp ghi nhận kỹ năng và kiến thức. Gv : Hướng dẫn cách tính ( 5 ) Hs : Tiếp thu và ghi nhớ vận dụng2 / Hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = f ( x ), y = g ( x ), liên tục trên [ a ; b ] và haiđường thẳng x = a, x = b. Có diện tích là : dxxgxfS − = ) ( ) ( ( 5 ) Để tính ( 5 ) ta thực thi những bước sau : Giải pt : f ( x ) = g ( x ) Tìm ra nghiệm ví dụ điển hình : ]. ; [, baβαdxxgxfdxxgxfdxxgxfS ∫ ∫ ∫ − + − + − = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ∫ ∫ ∫ − + − + − = dxxgxfdxxgxfdxxgxf ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ( ( f ( x ) – g ( x ) không đổi dấu trên ] ) ; [ ], ; [ ], ; [ baββααHoạt động 4 : Ví dụ áp dụngHoạt động của thầy và trò Nội dung bài dạyGv : + Từ công thức ( 3 ), ( 5 ) cho hs thấy đượcxemOx là g ( x ). + Gọi hs đứng tại chỗ trình diễn những bước tính Sáp dụng công thức ( 5 ). Hs : Tiếp thu kỹ năng và kiến thức và thực hành thực tế theo chỉ dẫncủa gv. 1 hs vấn đáp những câu hỏi của gvVí dụ 1 : Tính S hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường : y = x – 1 ; trục Ox, trục Oy, đthẳng x = 3. Lời giải : Giải pt : x – 1 = 0 ] 3 ; 0 [ 1 ; 1 ∈ − = = ⇔ xx .... 111 − + − = − = ∫ ∫ ∫ dxxdxxdxxS4. Củng cố - dặn dò : + Cho hsinh cả lớp tìm hiểu thêm ví dụ1 trang 163 ở sgk + Muốn vận dụng công thức ( 3 ) thì hình phẳng cần tính S phải rất đầy đủ những yếu tố : y = f ( x ), f ( x ) liên tục trên [ a ; b ] ; y = 0 ; hai đthẳng x = a và x = b. + Biết dựa vào đồ thị để tính S.Bài tập về nhà : + Bài 26, 27 a, Bài 27, 28 sgk – 167. + Bài 1 : Tính S hình phẳng số lượng giới hạn bởi : = = exyxy, 0 ln + Bài 2 : Tính S hình phẳng số lượng giới hạn bởi : = = 8,1 xyyx5 / Rút kinh nghiệm tay nghề :
