ứng dụng hàm số lũy thừa, hàm số mũ và hàm số logarit đế giải các bài toán thực tế liên quan

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.55 MB, 63 trang )

CHƯƠNG II: ỨNG DỤNG HÀM SỐ LŨY THỪA
HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LOGARIT
Các bài toán về hàm số lũy thừa hàm số mũ và hàm số logarit là các bài toán rất hay và có
nhiều ứng dụng trong thực tế.
1. Các ứng dụng trong kinh tế: Bài toán lãi suất trong gửi tiền vào ngân hàng, bài toán vay mua trả góp …
2.Các ứng dụng trong lĩnh vực đời sống và xã hội. Bài toán tăng trưởng về dân số ….
3.Các ứng dụng trong lĩnh vực khoa học kỹ thuật: Bài toán liên quan đến sự phóng xạ, tính toán
các cơn dư chấn do động đất, cường độ và mức cường độ âm thanh …
Trước khi đọc các phần tiếp theo của tài liệu, các em thử một lần nhớ lại có khi nào ta từng đi
theo bố (mẹ) vào ngân hàng: để gửi tiền tiết kiệm, hoặc vay tiền ngân hàng, hoặc làm một thẻ
ATM mới… ở đó các em sẽ thay được những bảng thông báo về lãi suất tiền gửi, lãi suất cho
vay, các em nghe được các nhân viên ngân hàng tư vấn về hình thức gửi tiền (vay tiền) và cách
tính lãi suất. Liệu có em nào thắc mắc tư hỏi rằng lãi suất là gì? có các hình thức tính lãi suất
nào thường gặp? Câu trả lời sẽ có trong các phần tiếp theo của tài liệu. Trong tài liệu nhỏ này
các em cũng tìm được những câu trả lời cho các câu hỏi như:
Dân số các quốc gia được dự báo tăng hay giảm bằng cách nào?
Độ to (nhỏ) của âm thanh được tính toán như thế nào?
……………..
Qua nội dung này, chúng ta sẽ biết vận dụng các kiến thức đã học về hàm số lũy thừa, hàm số
mũ và hàm số logarit vào đế giải quyết một số bài toán thực tế liên quan các chủ đề nêu ở trên.
Các chủ đề trong bài toán, được thể hiện qua các phần sau:
• Phần A: Tóm tắt lí thuyết và các kiến thức liên quan.
• Phần B: Các bài toán ứng dụng thực tế
• Phần C: Các bài toán trắc nghiệm khách quan.
• Phần D: Đáp án và hướng dẫn giải câu hỏi trắc nghiệm.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Trước hết chúng ta tìm hiểu một số khái niệm đơn giản sau.
1. Tiền lãi là một khái niệm xem xét dưới hai góc độ khác nhau là người cho vay và người đi
vay. Ở góc độ người cho vay hay nhà đầu tư vốn, tiền lãi là số tiền tăng thêm trên số vốn đầu tư
ban đầu trong một giai đoạn thời gian nhất định. Khi nhà đầu tư đem đâu tư một khoản vốn, họ
1

mong muốn sẽ thu được một giá trị trong tương lai, hơn giá trị đã bỏ ra ban đầu và khoản tiền
chênh lệnh này được gọi là tiền lãi. Ở góc độ người đi vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi là số
tiến mà người đi vay phải trả cho người vay (là người chù sở hữu vốn) để được sử dụng vốn
trong một thời gian nhất định.
2. Lãi suất: Là tỷ số tiền lãi (nhận được) phải trả so với vốn (cho) vay trong 1 đơn vị thời gian.
Đơn vị thời gian có thế là năm, quý, tháng, ngày.
Lãi suất được tính bằng tỷ lệ phần trăm hoặc số lẻ thập phân.
Ví dụ: Một ngân hàng A có lãi suất cho tiền gửi tiết kiệm cho kỳ hạn 1 tháng là 0,65% một
tháng.
Nghĩa là ta hiểu nếu ban đầu ta gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền ỉà 100 triệu đồng
thì sau một tháng số tiền lãi ta nhận được là 100.10 6 x 0,65% = 650.000 đồng.
P

P

Bây giờ ta tìm hiểu một số loại lãi suất hay sử dụng trong các ngân hàng và các dịch vụ tài
chính: lãi đơn, lãi kép, lãi kép liên tục.
Trong chủ đề này ta tìm hiểu về lãi đơn.
3. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi do số vốn gốc
sinh ra trong một khoáng thời gian cố định. (Chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi).
Bây giờ, hãy tưởng tượng ta cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng, sau mỗi
tháng ta sẽ nhận được 0,5% của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó. Quá trình tích vốn và sinh lãi có
thế quan sát trong bảng sau:
Tháng

Tổng vốn

Tổng Lãi (nếu không rút)

(Đồng)

(Đồng)

1

10.000.000

0,5%. 10.000.000 = 50.000

2

10.000.000

50.000 + 0,5%.10.000.000 = 100.000

3

10.000.000

100.000 + 0,5%.10.000.000 = 150.000

Như vậy, ta thấy rõ trong suốt quá trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số,
ngoài ra tiền vốn từ đầu chí cuối không đổi.
Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P 0 với mong muốn
R

R

đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền
lãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
 Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.
Ta theo dõi bảng sau:
2

Ở cuối kì

Vốn gốc

Tổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kì

Tiền lãi

1

P0

P 0 .r

P 0 + P 0 .r = P 0 (1+r)

2

P0

P 0 .r

P 0 + P 0 .r+ P 0 .r = P 0 (1+2r)

3

P0

P 0 .r

P 0 + P 0 .r+ 2P 0 .r = P 0 (1+3r)

4

P0

P 0 .r

P 0 + P 0 .r+ 3P 0 .r = P 0 (1+4r)

…

…

…

…

n

P0

P 0 .r

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P 0 + P 0 .r+ (n-1)P 0 .r = P 0 (1+nr)

R

R

R

R

R

R

R

R

R

Do đó, ta có thể tóm gọn lại công thức tính tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì như sau:
P n =P 0 .(1 + nr), (1)
R

R

R

R

P n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì. ,

R

R

P 0 là vốn gốc.
R

R

r là lãi suất mỗi kì.
Bây giờ để hiểu rõ hơn về công thức (1) trong bài toán lãi đơn, các em qua phần tiếp theo:
Các bài toán trong thực tế hay gặp.
B. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT,
TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ
Phương pháp


Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P 0, lãi suất r, số kỳ n.



Áp đụng công thức P n =P 0 .(1 + nr), (1)



Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.

R

R

R

R

R

R

Bài toán 1: Anh Lâm đi gửi ngân hàng với số tiền 120.000.000 đồng theo hình thức lãi đơn
với lãi suất 5% một năm. Hỏi nếu anh giữ nguyên số tiền vốn như vậy thì sau 2 năm tổng số
tiền anh Lâm rút được về từ ngân hàng là bao nhiêu?(Giả sử lãi suất hàng năm không đổi)

Ảnh minh họa: Nguồn internet
3

 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 120.000.000 đồng, hình thức gửi lãi
R

R

đơn với lãi suất r = 5% một năm và gửi trong thời gian n = 2 năm.
 Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng sau 2 năm, lúc này ta sử dụng
trực tiếp công thức P n =P 0 .(1 + nr), (1)
R

R

R

R

Hướng dẫn giải
• Áp đụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng sau 2 năm là:
P 2 =120.000.000x(l + 2 x 5%) = 132.000.000 đồng.
R

R

• Cũng sau hai năm số tiền lãi mà anh Lâm thu được là:
132.000.000 – 120.000.000 = 12.000.000 đồng.
■ Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng này các em cần lưu ý là
dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác… từ đó xác định đúng
công thức tính toán cho từng trường hợp.
Hai là, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng
nhất về thời gian rồi mới áp đụng công thức (1). Để hiểu rõ vấn đề này các em qua bài toán 2.
Bài toán 2: Ông B bỏ vốn 450.000.000 đồng, đầu tư vào một công ty bất động sản với lãi
suất đầu tư 12% một năm (theo hình thức lãi đơn) trong vòng 2 năm 3 tháng. Xác định giá
trị đạt được vào cuối đợt đầu tư.
 Phân tích bài toán
■ Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 450.000.000 đồng, hình thức đầu tư
R

R

lãi đơn với lãi suất r = 12% = 0,12 một năm và đầu tư trong thời gian n = 2 năm 3 tháng. Như

vậy trong bài này ta thời gian đầu tư chưa cùng đơn vị với lãi suất nên ta phải đổi chúng về cùng
đơn vị thời gian. Trong bài này ta có thế đưa về đơn vị thời gian cùng là năm hoặc cùng là tháng.
■ Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng, lúc này ta sử dụng trực tiếp
công thức P n =P 0 .(1 + nr), (1)
R

R

R

R

Hướng dẫn giải
Do n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng =

27
năm. Ta có thể tính giá trị đạt được theo 2 cách.
12

Cách 1: Đưa đơn vị thời gian cùng là năm

4

Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là
 27

=
Px 450.000.000 × 1 + =
×12%  571.500.000 đồng.

 12

Cách 2: Đưa đơn vị thời gian cùng là tháng.
• Qui đổi lãi suất tháng: =
r′

r
= 1% tháng
12

• Áp dụng công thức (1) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là: P n =
R

R

450.000.000 x (1 + 27 x 1%) = 571.500.000 đồng.
■ Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, khi tính toán các yếu tố trong bài toán đấu tư này các em cần lưu ý là dữ kiện ban đầu
tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay loại lãi khác… từ đó xác định đúng công thức tính
toán cho từng trường hợp.
Hai là, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng
nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (1). Bây giờ các em cùng qua tìm hiểu dạng toán
thứ 2.
DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT,
TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM N
Phương pháp


Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P 0, lãi suất r, tổng số tiền có được sau n kì



Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n =



Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên

R

R

Pn − P0
P0 r

Bài toán 3: Với lãi suất 10% năm (theo hình thức lãi đơn) cho số vốn 25 triệu đồng, nhà
đầu tư A mong muốn thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt đầu tư. Vậy phải đầu tư trong
bao lâu để đạt được giá trị như trên? (Giả sử lãi suất hàng năm không đổi)
 Phân tích bài toán
■ Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 25.000.000 đồng, hình thức gửi lãi
R

R

đơn với lãi suất r = 10% một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư là 32.125.000 đồng.
■ Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, xuất phát từ công thức (1)
Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n =

Pn − P0
P0 r

5

Hướng dẫn giải
• Áp dụng công thức (1):
Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n =

Pn − P0 32.125.000 − 25.000.000
=
= 2,85 năm = 2 năm
25.000.000 ×10%
P0 r

10 tháng 6 ngày
• Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 2 năm 10 tháng 6 ngày đế đạt được giá trị mong muốn.
DẠNG 3: CHO BIẾT VỐN,
TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤT
Phương pháp
 Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P 0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n
R

R

 Để tính lãi suất r. Từ công thức (1) Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ r =

Pn − P0
P0 n

 Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên

Bài toán 4: Bà Cúc gửi ngân hàng 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng với lãi suất r%/năm
thì đạt kết quả cuối cùng 75.210.000 đồng. Xác định r? (Biết rằng hình thức lãi suất là lãi
đơn và lãi suất hàng năm không thay đổi)
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 =60.000.000 đồng, tổng số tiền có được
R

R

sau 3 năm 4 tháng là 75.210.000 đồng.
 Đề bài yêu câu tìm tìm lãi suất ta áp dụng công thức=
Pn P0 (1 + nr ), (1)
Hướng dẫn giải
1 10
• 3 năm 4 tháng =3 + = năm
3 3
• Áp dụng công thức (1)
Pn= P0 (1 + nr ) ⇒ n=

Pn − P0 75.210.000 − 60.000.000
=
= 7,605% một năm
10
P0 n
60.000.000 ×
3

• Vậy lãi suất tiền gửi là 7,605% một năm để đạt được giá trị mong muốn
DẠNG 4: CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC
SAU N KỲ, TÌM VỐN BAN ĐẦU

Phương pháp
6

 Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất r, số kỳ n.
 Tính số vốn ban đầu: Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + nr ) ⇔ P0 =

Pn
1 + nr

 Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên
Bài toán 5: Với lãi suất đầu tư 14% năm (theo hình thức lãi đơn) thì nhà đầu tư anh Tuấn
phải bỏ ra số vốn ban đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời gian 3 năm 9
tháng. (Giả sử lãi suất hằng năm không đổi)
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền thu được P n = 244.000.000 đồng, hình thức đầu tư
R

R

theo lãi đơn với lãi suất r = 14% một năm và đầu tư trong thời gian n = 3 năm 9 tháng.
 Đề bài yêu cầu tìm vốn đầu tư ban đầu của anh Tuấn, ta sử dụng công thức=
Pn P0 (1 + nr )
Hướng dẫn giải
• 3 năm 9 tháng = 3 +

9 15
=năm
12 4

• Từ dụng công thức (1):

Pn = P0 (1 + nr ) ⇒ P0 =

Pn
244.000.000
=
= 160.000.000 đồng
1 + nr 1 + 15 ×14%
4

• Vậy phải đầu tư 160.000.000 đồng để đạt được giá trị mong muốn.
■ Bình luận: Qua các bài toán các em biết được.
Một là, hình thức lãi đơn là gì, từ đó có những kiến thức và hiểu biết nhất định để sau này áp
dụng trong cuộc sống hàng ngày.
Hai là, biết tính toán qua lại các yếu tố trong công thức liên quan bài toán lãi đơn.
Để hiểu rõ hơn các vấn đề nêu ở trên, các em làm các bài tập trắc nghiệm ở dưới nhé.
A. TÓM TẮT I.Ý THUYẾT
Trong chủ đề này ta tìm hiểu về lãi kép.
2.1. Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kì sau.
Trong khái niệm này, số tiền lãi không chi tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số
vốn gốc sinh ra.
• Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi
nhập vốn.
2.2. Công thức tính lãi kép.
7

• Trong khái niệm lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp
vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư.

• Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P 0 với mong muốn
R

R

đạt được lãi suất r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền
lãi và chỉ để lại vốn. Tính P n tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
R

R

Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.
o Ở cuối kì thứ nhất ta có:


Tiền lãi nhận được: P 0 .r



Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất: P 1 = P 0 + P 0 .r = P0 (1 + r).

R

R

R

R

R

R

R

R

o Đo lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có:


Tiền lãi nhận được: P 1 .r



Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ 2 là:

R

R

P 2 =P 1 +P 1 .r=P 1 (l+r)=P 0 (1+r)(1+r)=P 0 (1+r) 2
R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

R

P

………….
o Một cách tống quát, sau n kì, tổng giá trị đạt được là P n =P 0 (1+r) n, (2)
R

R

R

R

P

P

Trong đó P n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
R

R

P 0 là vốn gốc.
R

R

r là lãi suất mỗi kì.
o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là:P n – P 0
R

R

R

Bây giờ để hiểu rõ hơn về công thức (2) trong bài toán lãi kép, các em qua phần tiếp theo: Các
bài toán trong thực tế hay gặp.
B. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ
DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT,
TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ
Phương pháp


Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P 0, lãi suất r, số kỳ n .



Áp dụng công thức P n =P 0 (1+r) n, (2)



Qua các bài toán cụ thế, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.

R

R

R

R

R

P

R

P

Bài toán 1: Ông A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép.
a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được số
tiền là bao nhiêu?
8

b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó thu được số

tiền là bao nhiêu?
 Phân tích bài toán
 Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau 2 năm, lúc này ta sử dụng
trực tiếp công thức P n =P 0 (1+r) n, (2)
R

R

R

R

P

P

 Ta phải xác định rõ: P 0 = ..,r = ,.,n =….?, từ đó thay vào công thức (2) tìm được P n .
R

R

R

R

Hướng dẫn giải
a) Ta có P 0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm, lãi suất trong 1 năm là r = 7,56% một năm.
R

R

Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là :
P2 =10.000.000 x (1 + 7,65%) 2 ≈ 11.569.000 đồng.
P

P

b) Ta có P 0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là r = 1,65% một quý.
R

R

Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là:
P 2 = 10.000.000 x (1 + 1,65%) 8 ≈ 11.399.000 đồng.
R

R

P

P

■ Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, khi tính toán các yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng này các em cần lưu ý là
dữ kiện ban đầu tính theo hình thức lãi suất nào: Lãi đơn hay lãi kép… từ đó xác định đúng công
thức tính toán cho từng trường hợp.
Hai là, nếu lãi suất và thời hạn gửi không cùng đơn vị thời gian, ta phải biến đổi để chúng đồng
nhất về thời gian rồi mới áp dụng công thức (2).
Bài toán 2: Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi kép với
lãi suất 13% một năm. Hỏi sau 5 năm mói rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi?

(Giả sử rằng lãi suất hằng năm không đổi)
 Phân tích bài toán
 Đề bài yêu cầu tìm số tiền lãi thu được sau 5 năm. Trước hết ta tính tổng số tiền người đó có
được sau 5 năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức P n =P 0 (1+r) n, (2). Từ đó ta tính đươc
R

R

R

R

P

P

số tiền lãi thu đươc sau 5 năm là: P n -P 0
R

R

R

 Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: P 0 =..; r = .., n = ….?, từ đó thay vào công thức (2)
R

R

tìm được P n .
R

R

Hướng dẫn giải
• Ta có P 0 =100 triệu, n = 5 năm, lãi suất trong 1 năm là r = 13% một năm.
R

R

• Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 5 năm là:
9

P 5 = 100 x (1 + 13%) 5 = 184 triệu đồng.
R

R

P

P

• Vậy số tiền lãi thu được sau 5 nấm là: P 5 – P 0 = 184 – 100 = 84 triệu đồng.
R

R

R

R

Bài toán 3: Chị An gửi tiết kiệm 500.000.000 đông vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và
lãi suất 0,62% một tháng theo thể thức lãi kép.
a) Hỏi sau 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cà vốn và lãi) ở ngân hàng, biết
rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.
b) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một
tháng thì 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết
rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.

Ảnh minh họa: Nguồn internet
 Phân tích bài toán
 Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền chị An rút được từ ngân hàng 1 thời gian gửi nhất định, lúc
này ta sử dụng trục tiếp công thức P n =P 0 (1+r) n, (2)
R

R

R

R

P

P

 Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: P 0 = ..; r = .., M = ….?, từ đó thay vào công thức (2)
R

R

tìm được P n .
R

R

Hướng dẫn giải
a) Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n = 20 kì hạn.
• Lãi suất mỗi kì hạn là r = 3 x 0,62% = 1,86% .
• Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị An nhận được số tiền là:
P n =500000000 x (1 + 1,86%) 20 = 722.842.104 đồng.
R

R

P

P

b) Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có n = 10 kì hạn.
• Lãi suất mỗi kì hạn là r = 6 x 0,65% = 3,9%.
• Số tiền nhận được là: P n = 500000000 x (1 + 3,9%) 10 = 733036297,4 đồng.
R

R

P

P

DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT,

10

TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM N
Phương pháp
• Xác định rõ các giá trị ban đâu: vốn P0, lãi suẵì r trong mỗi kì, tổng số tiền có được sau n kì.
Pn
P0

• Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có Pn = P0 (1 + r ) ⇔ (1 + r ) =
n

n

( *)

Để tìm n từ đằng thức (*) ta có nhiêu cách thực hiện:
Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n.

(1 + r )

n

=

Pn
P
⇔ n = log1+r n
P0
P0

Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được

Pn
P
P
P0
n
r ) log n ⇔=
n
log (1 + r=
) log n ⇔ n.log (1 +=
P0
P0
log (1 + r )
log

• Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.
Bài toán 4: Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đâu tư ở hiện tại 170
triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian
đầu tư?
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 170.000.000 đồng, theo hình thức lãi
R

R

kép với lãi suất sinh lợi r = 13% một năm và giá trị đạt được vào cuối đạt đầu tư là
280.000.000 đồng.
 Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần

phương pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 2.
Hướng dẫn giải
• Ta có P n = 280.000.000 đồng, P 0 = 170.000.000 đồng, r = 13% một năm
R

R

R

R

• Sau n năm đầu tư, Doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là: P n =P 0 (1 + r) ,(*). Để tìm n từ
R

R

R

R

công thức (*) các em sử dụng 2 cách (coi lại phân phương pháp giải). Trong lời giải này ta sử
dụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được

11

(*) ⇔ (1 + r )

Pn
P

P
P0
= n ⇔ n.log (1 + r ) = log n ⇔ n =
P0
P0
log (1 + r )
log

n

280.000.000
log
170.000.000 4,08 năm = 4 năm 1 tháng
=
⇔n
=
log (1 + 13% )
• Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn.
Bài toán 5: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm
với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu
đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 = 60.000.000 đồng, theo hình thức lãi
R

R

kép với lãi suất r = 7,56% một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng.
 Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương
pháp giải). Ở bài toán này ta dùng cách 1.

Hướng dẫn giải
• Ta có P n =120.000.000 đồng, P 0 = 60.000.000 đồng, r = 7,56% một năm
R

R

R

R

• Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là

Pn = P0 (1 + r ) ⇔ (1 + r ) =
n

n

Pn
P
120.000.000
⇔ n = log1+r n ⇔ n = log1+7,56%
≈ 9,51 năm
P0
P0
60.000.000

• Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban
đầu.
Bài toán 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất
0,65% một tháng theo thế thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngân

hàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người đó
không rút lãi trong tất cả các quý định kì. (Số quý gửi là số nguyên)
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 =100.000.000 đồng, gửi theo hình thức
R

R

lãi kép với lãi suất 0,65% một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra được lãi suất trong
1 kì hạn là: r = 3 x 0,65% = 1,95%

12

 Để tìm thời gian n gửi tối thiểu trong bao lâu, để số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu ta làm
như sau: Ta tìm tổng số tiền lãi P n – P 0 có được sau n quý. Từ đó ta giải bất phương trình P n –
R

R

R

R

R

R

P 0 > P n suy ra n cần tìm. Các em coi lời giải chi tiết ở dưới.
R

R

R

R

Hướng dẫn giải
• Áp dụng công thức (2) ta có: P 0 =100.000.000 đồng, lãi suất trong 1 kì hạn là: r = 3 x 0,65%
R

R

= 1,95%. Sau n quý tổng số tiền (vốn và lãi) khách hàng có được là: P n = P 0 (1 + r) n suy ra
R

R

R

R

P

P

tổng sổ tiền lãi có được sau n quý là: P n -P 0
R

R

R

• Cần tìm n đế Pn − P0 > P0 ⇔ P0 (1 + r ) − P0 > P0 ⇔ (1 + r ) > 2
n

n

⇔ n > log1+r 2 ⇔ n > log1+1,95% 2 ≈ 35,89 ≥ 36
• Vậy sau 36 quý (tức là 9 năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân
hàng.
DẠNG 3: CHO BIẾT VỐN,
TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤT
Phương pháp
 Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P 0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n.
R

R

 Để tính lãi suất r mỗi kì. Từ công thức (2) ta có:
Pn = P0 (1 + r ) ⇔ (1 + r ) =
n

n

Pn
P
P
⇔ 1+ r = n n ⇔ r = n n −1
P0

P0
P0

 Qua các bài toán cụ thể dưới đây, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên
Bài toán 7: Doanh nghiệp C gửi tiền vào ngân hàng với số tiền là 720 triệu đồng, theo thể
thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất r% một năm. Sau 5 năm doanh nghiệp C có một số
tiền 1200 triệu đồng. Xác định r? (Biết lãi suất hàng năm không thay đổi)
 Phân tích bài toán
 Ta xác định già thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu P 0 =720.000.000 đồng, tổng số tiền có
R

R

được sau 5 năm (n = 5 kì hạn) là 1200.000.000 đồng.
 Đề bài yêu cầu tìm lãi suất mỗi kì, ta áp dụng công thức=
r
giải)
Hướng dẫn giải

13

n

Pn
− 1 (Coi phần phương pháp
P0

• Lãi suất mỗi kì là: =
r

5

Pn
−=
1
P0

5

1200.000.000
−=
1 10,76% một năm
720.000.000

• Vậy lãi suất tiền gửi là 10,76% một năm để đạt được giá trị mong muốn.
DẠNG 4: CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC
SAU N KỲ. TÌM VỐN BAN ĐẦU
Phương pháp
 Xác định rõ các giá trị ban đầu: tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất r, số kỳ n.
 Tính số vốn ban đấu: Áp dụng công thức Pn = P0 (1 + r ) ⇔ P0 =
n

Pn

(1 + r )

n

 Qua các bài toán cụ thể dưới đây, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.

Bài toán 8: Chủ cửa hàng C vay ngân hàng một số vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6
tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm. Tổng số tiền chủ cửa hàng phải trả sau 4 năm 3
tháng là 536.258.000 đồng. Xác định số vốn chủ cửa hàng c đã vay. (Biết lãi suất hàng năm
không thay đổi)
 Phân tích bài toán
 Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền phải trả sau 4 năm 3 tháng là P n = 536.258.000
R

R

đồng, hình thức đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất 9,6% một năm, từ đó
1
suy ra lãi suất trong 1 kì là: r =
4,8% và đầu tư trong thời gian 4 năm 3 tháng, từ
× 9, 6% =
2
đó suy ra số kì vay là: n = 8,5
 Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là: P0 =

Pn

(1 + r )

n

Hướng dẫn giải
• Ta
có n 8,5
=
=

, r 4,8%=
, Pn 536.258.000
• Số vốn chủ cửa hàng vay ban đầu là:=
P0

Pn

(1 + r )

n

⇔=
P0

536.258.000

(1 + 4,8% )

8,5

≈ 360.000.000

■ Bình luận: Qua các bài toán các em biết được.
Một là, hình thức lãi kép là gì, từ đó có những kiến thức và hiểu biết nhất định để sau này áp
dụng trong cuộc sống hàng ngày.
Hai là, biết tính toán qua lại các yếu tố trong công thức liên quan bài toán lãi kép.
Để hiểu rõ hơn các vấn đề nêu ở trẽn, các em làm các bài tập trắc nghiệm ở dưới nhé.
14

CHỦ ĐỀ 3: BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐN
A. TÓM TẮT MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP
Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng (vào đầu
mỗi kì hạn), kì hạn 1 tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền
vốn và lãi là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
• Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là: P1 =a + a.r =a (1 + r )
• Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là:

P1 + a = a (1 + r ) + a = a + a (1 + r ) = a 1 + (1 + r ) 
• Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là:
2
P2 =
P1 + P1.r =
a + a (1 + r ) +  a + a (1 + r )  =
a (1 + r ) + (1 + r ) 



• Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:
2
2
P2 + a = a (1 + r ) + (1 + r )  + a = a 1 + (1 + r ) + (1 + r ) 





• Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là:
2

2
P3 = P2 + P2 .r = a 1 + (1 + r ) + (1 + r )  + a 1 + (1 + r ) + (1 + r )  .r




3
2
= a (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r ) 



………
• Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là:



n
n −1
n−2
2
Pn= a (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r ) + … + + (1 + r ) + (1 + r ) 
Sn


⇔ Pn = a (1 + r )

(1 + r )
.

n

−1

( 3)

r

(Lưu ý các số hạng của tổng S n là tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với
R

R

qn −1
công bội là q = 1 + r và số hạng đầu là u 1 = 1 + r nên ta có S n= u1.
=
q −1
R

R

Để hiểu ý tưởng bài toán 1, các em theo dõi các ví dụ phía dưới nhé.

15

(1 + r )

(1 + r )
r

n

−1

)

Ví dụ 1: Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng 3.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn
1 tháng. Biết rằng lãi suất hàng tháng là 0,67%. Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là bao
nhiêu?
Hướng dẫn giải
• Áp dụng công thức (3) cho a = 3.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 2 x l2 = 24 tháng
• Ta có: Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là:
P24 =+
3.000.000 (1 0, 67% )

(1 + 0, 67% )

24

0, 67%

−1

=
78.351.483, 45

Ví dụ 2: Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm một tháng là bao
nhiêu. Biết rằng tiền gửi tiết kiệm ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất
0,67% một tháng. Lãi suất không thay đổi trong thời gian gửi.

Hướng dẫn giải
• Áp dụng công thức (3) cho P n = 200.000.000 đồng, r = 0,67%, n = 36 tháng
R

• Ta có: Pn = a (1 + r )

(1 + r )
r

n

R

−1

⇔ a=

r.Pn

(1 + r ) (1 + r )

n

− 1


0, 67%.200.000.000
⇔ a ≈ 4.898.146
36
(1 + 0, 67% ) (1 + 0, 67% ) − 1

⇔a

Vậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm số tiền gần 4.900.000 đồng.
Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng, kì hạn 1
tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn
lại là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
•

Gọi P n là số tiền còn lại sau tháng thứ n.

•

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a(l + r) = ad với d = 1 + r

R

R

Rút x đồng thì số tiền còn lại là: P1 = ad − x = ad − x
•

d −1
d −1

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad − x + ( ad − x ) r=

( ad − x )(1 + r )= ( ad − x ) d

Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
P2=

( ad − x ) d − x= ad 2 − xd − x= ad 2 − x ( d + 1)= ad 2 − x
16

d 2 −1
d −1

• Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
ad 2 − x ( d + 1) +  ad 2 − x ( d + 1)  r =  ad 2 − x ( d + 1)  (1 + r ) =  ad 2 − x ( d + 1)  d
Rút x đồng thì số tiền còn lại là:
d 3 −1
2
3
2
3
2
3


P3=  ad − x ( d + 1)  d − x= ad − xd − xd − x= ad − x ( d + d + 1)= ad − x
d −1
…………………
•

Sau tháng thứ n số tiền còn lại là:

(1 + r ) − 1, 4 với d = 1 + r

d n −1
n
Pn = ad − x
⇔ Pn = a (1 + r ) − x.
( )
d −1
r
n

x

Để hiểu rõ bài toán trên các em theo dõi các ví dụ phía dưới
Ví dụ 1: Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với
lãi suất 0,65% một tháng. Mỗi thcáng cụ rút ra 1.000.000 đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi
sau hai năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
•

Áp dụng công thức (4) với: n = 24; r = 0,65%, x = 1.000.000, a = 100.000.000

•

Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là:
=
P24 100.000.000 (1 + 0, 65% )

24

(1 + 0, 65% )
− 1.000.000

24

0, 65%

−1
= 90.941.121, 63 đồng

Ví dụ 2: Bạn An được gia đình cho gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền là 200.000.000 đồng,
theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất 0,75% một tháng. Nếu mỗi tháng An rút một số
tiền như nhau vào ngày ngân hàng tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5
năm, số tiền An đã gửi vừa hết?
Hướng dẫn giải
•

Áp dụng công thức (4) với: n = 60, r = 0,75%, a = 200.000.000, P n = P 60 = 0. Tìm x ?

•

d 60 − 1
d 60 − 1
Ta có P60= ad − x
⇔x
= ad 60 − P60 ⇔ x=
d −1
d −1

R

60

⇔x

( ad

60

R

(Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2)
17

R

− P60 ) ( d − 1)
d 60 − 1

 200.000.000 × (1 + 0, 75% )60 − 0  × 0, 75%


≈ 4.151.671 đồng
60
(1 + 0, 75% ) − 1

Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.

R

Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số

tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi
trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, sau đúng một
tháng kể từ ngày vay, người này bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một
tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số iền đều đặn trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm
công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi trong thời gian vay.

Hướng dẫn giải
•

Gọi p là số tiền còn lại sau tháng thứ n .

•

Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là: a + ar = a (1 + r ) = ad với d = 1 + r
Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là: P1 = ad − x = ad − x

•

Sau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là: ad − x + ( ad − x ) r=

d −1
d −1

( ad − x )(1 + r )= ( ad − x ) d

Trả x đồng thì số tiền còn lại saíi thảng thứ 2 là:
d 2 −1
P2= ( ad − x ) d − x= ad − xd − x= ad − x ( d + 1)= ad − x
d −1
2

•

2

2

Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là:
ad 2 − x ( d + 1) +  ad 2 − x ( d + 1)  =  ad 2 − x ( d + 1)  (1 + r ) =  ad 2 − x ( d + 1)  d

Trả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là:
d 3 −1
P3=  ad 2 − x ( d + 1)  d − x= ad 3 − xd 2 − xd − x= ad 3 − x ( d 2 + d + 1)= ad 3 − x
d −1

(1 + r ) − 1 5a với
d n −1
n
Số tiền còn lại sau tháng thứ n là: Pn = ad − x
⇔ Pn = a (1 + r ) − x
( )
d −1
r
n

•

n

d= r + 1

Do sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta có
ad n ( d − 1)
a (1 + r ) r
d n −1
Pn = 0 ⇔ ad − x
=0 ⇔ x =
⇔x=
( 5b )
n
n
d −1
d −1
(1 + r ) − 1
n

n

Để hiểu bài toán vay trả góp, các em theo dõi các ví dụ phía dưới
18

Ví dụ 1: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, lãi suất cho số tiền chưa trả làl 2%/năm.
Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng theo cách: Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đâu
hoàn nợ, hai lan hoàn nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mồi lần là như
nhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông A
phải trả cho ngân hàng trong mồi lần hoàn nợ là bao nhiêu? Biêt rằng lãi suất ngân hàng không
thay đổi trong thời gian ông A hoàn nợ.
(Trích đề minh họa môn Toán năm 2017)
Hướng dẫn giải

•

Lãi suất 12% một năm suy ra lãi suất trong 1 tháng là 1% một tháng.

•

Áp dụng công thức (5b) cho: a = 100.000 000, r = 1%, n = 3, P 3 = 0. Tìm x?

•

Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng trong mỗi lần hoàn nợ, để 3 tháng hết nợ là:

R

R

a.r. (1 + r ) 100.0, 01. (1 + 0, 01)
=
x =
≈ 34 triệu đồng một tháng.
n
3
(1 + 0, 01) − 1
(1 + r ) − 1
n

3

Ví dụ 2: Một người vay ngân hàng với sổ tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền
4.000.000 đồng và phải trả lãi suất cho số tiền chưa trả là 1,1% một tháng theo hình thức lãi kép.

Hỏi sau bao lâu ngưòi đó trả hết nợ?
Hướng dẫn giài
•
•

Áp dụng công thức (5b) cho: a = 50.000.000, x = 4.000.000, r = 1,1%, P n = 0. Tìm n?
R

Từ công thức (5b) ta có: =
x

a.r. (1 + r )

(1 + r )

n

n

⇔ x (1 + r ) − =
x ar (1 + r )
n

−1

R

n

x

n
n
⇔ ( x − ar )(1 + r ) =x ⇔ (1 + r ) =
x − ar
=
⇔ n log1+ r

x
4.000.000
=
⇔ n log1+1,1%
⇔ n ≈ 13,52
x − ar
4.000.000 − 50.000.000 × 1,1%

Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọn
•

Nếu chọn n = 13 (chọn số nguyên cao hơn gần nhất)
Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 12 là:
P12 =
50. (1 + 1,1% )

12

(1 + 1,1% )
− 4.

12

1,1%

−1

=
6, 001147461 triệu đồng

(Lưu A máy tính Casio)
19

Số tiền người này phải trả tháng cuối là: A (1 + 0,5% ) ≈ 6, 067 triệu đồng.
Nếu chọn n = 14 ( chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất)

•

Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 13 là:
50. (1 + 1,1% )
P13 =

13

(1 + 1,1% )
− 4.

13

−1

1,1%

2, 067160083 triệu đồng.
=

(Lưu B máy tính Casio)
Số tiền người này phải trả tháng cuối là: B (1 + 0,5% ) ≈ 2, 09 triệu đồng.
Bình luận:
Nếu chọn theo n = 13 thì tháng cuối trả nhiều hơn 4 triệu đồng
Nếu chọn n = 14 thì tháng cuối trả ít hơn 4 triệu đồng.
TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 1
Bài toán 1: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P 0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì
R

R

theo hình thức lãi đơn trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chi để lại vốn. Tính
tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
Kết quả cần nhớ:
=
Pn P0. (1 + nr ), (1)
Pn là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
P0 là vốn gốc
r là lãi suất mỗi kì

TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 2
Bài toán 2: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu P 0 với mong muốn đạt được lãi suất r mỗi kì
R

R

theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính
P n tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
R

R

Kết quả cần nhớ:
o Sau n kì, tổng giá trị đạt được là=
Pn P0 (1 + r ), ( 2 )
n

Trong đó P n là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.
R

R

P 0 là vốn gốc.
R

R

r là lãi suất mỗi kì.
o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là: Pn − P0
20

TỔNG KẾT CHỦ ĐỂ 3
Bài toán 1: Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng Y một số tiền như nhau là a đồng, kì hạn 1
tháng với lãi suất r% một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu?
Kết quả cần nhớ: Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là

=
Pn a (1 + r )

(1 + r )

n

r

−1

(3)

Bài toán 2: Giả sử có một người gửi vào ngân hàng a đồng, lãi suất r% một tháng, kì hạn 1
tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền còn
lại là bao nhiêu?
Kết quả cần nhớ:

(1 + r ) − 1, 4
d n −1
n
Sau n tháng số tiền còn lại là: Pn = ad − x
⇔ Pn = a (1 + r ) − x
( )
d −1
r
n

n

Bài toán 3: Trả góp ngân hàng hoặc mua đồ trả góp.
(Bài toán này cách xây dựng giống bài toán số 2)
Ta xét bài toán tổng quát sau: Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất cho số
tiền chưa trả là r% một tháng (hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãi
trên số tiền mà người vay còn nợ ở thời điểm hiện tại), số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặn
trả vào ngân hàng là x đồng. Tìm công thức tính x? Biết rằng lãi suất ngân hàng không thay đổi
trong thời gian vay.

Kết quả cần nhớ:
•

Số tiền còn lại sau tháng thứ n là:

(1 + r ) − 1 (5a) với d = 1 + r
d n −1
n
Pn = ad − x
⇔ Pn = a (1 + r ) − x
d −1
r
n

n

a (1 + r ) .r
n

• Số tiền đều đặn trả vào ngân hàng là: x =

(1 + r )

n

−1

( 5b )

CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC
21

TĂNG TRƯỞNG MŨ – ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC ĐỜI
SỐNG XÃ HỘI
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán lãi kép liên tục.
Ta đã biết: nếu đem gửi ngân hàng một số vốn ban đầu là P 0 với lãi suất mỗi năm là r theo thế
R

R

thức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P 0 (l + r) n .
R

R

P

P

Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất mỗi năm là

r

thu được n năm là (hay sau nm kì) là P0 1 + 
 m

r
và số tiền
m

m.n

Hiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuy
nhiên như ta thấy sau đây, nó không thể tăng lên vô cực được.
Thế thức tính lãi khi m → +∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục.
Như vậy với số vốn ban đầu là P 0 với lãi suất mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì ta
R

R

chứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là:
Pn = P0 e nr

( 6)

Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục.
Ví dụ 1: Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất 8%
năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi =
sẽ là: S 100.e 2×8% ≈ 117,351087 triệu đồng.
Nhiều bài toán, hiện tượng tăng trưởng (hoặc suy giàm) của tự nhiên và xã hội, chẳng hạn sự

tăng trường dân số, cũng được tính theo công thức (6). Vì vậy công thức (6) còn được gọi là
công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ.
Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ. Các em qua phần tiếp theo của tài
liệu.
2. Bài toán về dân số.
•

Gọi:
o P 0 là dân số của năm lấy làm mốc tính.
R

R

o P n là dân số sau n năm.
R

R

o r là tỉ lệ tăng (giảm) dân số hàng nam.
•

Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau

22

o Công thức 1: Pn = P0 e nr dùng công thức tăng trưởng (suy giảm) mũ.
o Công thức 2:=
Pn P0 (1 + r ) dùng công thức tính lãi kép.
n

•

Ta xét một ví dụ sau: Năm 2001, dân số nước ta khoảng 78690000 người. Theo công thức
tăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7% thì ước tính dân số Việt Nam x
năm sau sẽ là 78690000e0,017 r = 7,869.e0,017 r (chục triệu người). Để phần nào thấy được mức
độ tăng nhanh của dân số; ta xét hàm số f ( x ) = 7,869.e0,017 r

•

Đồ thị của hàm số y = f ( x ) cho thấy khoảng 30
năm sau (tức là khoảng năm 2031), dân số nước
ta sẽ vào khoảng 131 triệu người, tức là tăng gấp
rưỡi. Chính vì vậy, các em hiểu bùng nổi dân số
là khái niệm dùng rất phổ biến hiện nay, để thể
hiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu dân
số trẻ, thời gian tăng gấp đôi rút ngắn. Những
vấn đề đặt ra cho các nhà hoạch định chính sách
như kế hoạch hóa dân số, việc làm, phân bố dân
cư, nhập cư, di dân, … sao cho hợp lí.

B. CÁC BẢI TOÁN THỤC TẾ
Ví dụ 1: Dân số nước ta năm 2014 đạt 90,7 triệu người (theo Thông cáo báo chí của
ASEANstats), tỉ lệ tăng dân số là 1,06%.
a) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu?
b) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người. Tìm số m bé nhất?
Hướng dẫn giải
a) Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P 0 = 90.700.000, n = 2024 – 2014 = 10, r = 1,06%
R

R

• Áp dụng công thức (1): Khi đó dư đoán dân số nước ta năm 2024 là:
P=
90.700.000 × e10×1,06% ≈ 100.842.244 (người)
10

• Áp dụng công thức (2): Khi đó dự đoán dân số nước ta năm 2024 là:
=
P10 90.700.000 × (1 + 1, 06% ) ≈ 100.786.003 người
10

b) Áp dụng công thức (2) ta có:

23

120.000.000 < 90.700.000 (1 + 1, 06% ) ⇔ 1, 0106m >
m

⇔ m > log1,0106

1.200
907

1.200
⇒ m ≥ 27
907

Vậy m bé nhất bằng 27. (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc

120 triệu người).
Áp dụng công thức (1):

120.000.000 < 90.700.000 × e m×1,06% ⇔ e0,0106 m >

1200
1.200
⇔ 0, 0106m < ln
⇒ m ≥ 27
907
907

Vậy m bé nhất bằng 27 (Tức là sau ít nhất 27 năm (từ năm 2041) dân số nước ta sẽ vượt mốc
120 triệu người).
Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, việc áp dụng công thức (1) hay công thức (2), tùy thuộc vào từng bài toán. Công thức (1)
thường dùng trong các bài toán có tính dự báo dân số trong 1 thời gian dài. Công thức (2) dùng
trong việc tính toán dân số trong các khoảng thời gian nhất định.
Hai là, trong các bài toán có thể đề bài nói rõ các em dùng công thức nào. Nếu đề bài không nói
rõ thì khi đó ta sử dụng công thức nào cũng được vì sai số trong tính toán đối với hai công thức
là không lớn
Ví dụ 2: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức Pn = P0 e nr, trong đó P 0 là dân số của năm
R

R

lấy làm mốc tính, P n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2001,
R

R

dân số Việt Nam là 78.685.800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7%. Hỏi cứ tăng dân số với
tỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người?
Hướng dẫn giải
Phân tích:
Từ giả thiết ta có các dữ=
kiện sau: P0 90.700.000,
=
Pn 100.000.000,
=
r 1, 7%. Tìm n?
•

Áp dụng công thức Pn = P0 e n.r ⇔ 100.000.000 = 78.685.800e1,7%.n ⇔ 100 = 78, 6858e1,7%.n (*)

•

Lấy logarit tự nhiên hai vế của (*) ta được

ln100
= ln ( 78, 6858e1,7%.n ) ⇔ ln100
= ln 78, 6858
+ 1, 7%.n ⇔ n
=

ln100 − ln 78, 6858
≈ 14
1, 7%

Vậy nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là r = 1,7% thì đền năm 2015 dân số nưóc ta sẽ ở

mức 100 triệu người.
24

Bình luận: Qua bài toán này ta cần Um ý:
Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức (1)
Hai là, trong giải phương trình (*) các em áp dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bản
sau cũng được: eu = b ⇔ u = ln b với b > 0
Ví dụ 3: Sự tăng dân số được ước tính theo công thức P n = P 0 (1 + r) n, trong đó P 0 là dân số của
R

R

R

R

P

P

R

R

năm lấy làm mốc tính, P n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Giả sử tỉ lệ tăng
R

R

dân số hàng năm của thế giới là không đổi trong giai đoạn 1990 – 2001. Biết rằng năm 1990 dân
số thế giới là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số thế giới là 6,12 tỉ người. Tính dân số thể giới vào
năm 2011? (Kết quà là tròn đến hai chữ số)
Hướng dẫn giải
Phân tích: Từ giả thiết ta có các dữ kiện sau: P 0 = 5,30, P 10 = 6,12, Tính r = ? P 21 =?
R

R

R

R

R

R

•

Áp dụng công thúc P n = P 0 (l + r) n, ta được

•

P10 = P0 (1 + r ) ⇔ 6,12 = 5,30 (1 + r ) ⇔ 1 + r =

•

Dân số thế giới vào năm 2011 là: P21 = P0 (1 + r ) = 5,30 (1 + 1, 45% ) = 7,17 tỉ người.

R

R

R

R

10

P

P

10

10

6,12
⇔ r = 1, 45%
5,30

21

21

Bình luận: Qua bài toán này ta cần lưu ý:
Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức (1).
Hai là, trong giải phương trình (*) các em áp dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bản
sau cũng được: eu = b ⇔ u = ln b với b > 0.
CHỦ ĐỀ 5: ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC

KHOA HỌC KỸ THUẬT
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Bài toán về sự phóng xạ của các chất.
Trong vật lí, sự phíân rã của các chất phóng xạ được biểu diễn
t

 1 T
bằng công thứ m ( t ) = m0   trong đó m0 là khối lượng chất
2
phóng xạ ban đầu (tại thòi điểm t = 0) m(t) là khối lượng chất
phóng xạ tại thời điểm t, T là chu kì bán rã (tức là khoảng thời
gian để một nửa số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thành
chất khác).
25

mong ước sẽ thu được một giá trị trong tương lai, hơn giá trị đã bỏ ra bắt đầu và khoản tiềnchênh lệnh này được gọi là tiền lãi. Ở góc nhìn người đi vay hay người sử dụng vốn, tiền lãi là sốtiến mà người đi vay phải trả cho người vay ( là người chù chiếm hữu vốn ) để được sử dụng vốntrong một thời hạn nhất định. 2. Lãi suất : Là tỷ số tiền lãi ( nhận được ) phải trả so với vốn ( cho ) vay trong 1 đơn vị chức năng thời hạn. Đơn vị thời hạn có thế là năm, quý, tháng, ngày. Lãi suất được tính bằng tỷ suất Xác Suất hoặc số lẻ thập phân. Ví dụ : Một ngân hàng nhà nước A có lãi suất vay cho tiền gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí cho kỳ hạn 1 tháng là 0,65 % mộttháng. Nghĩa là ta hiểu nếu khởi đầu ta gửi tiết kiệm chi phí vào ngân hàng nhà nước A với số tiền ỉà 100 triệu đồngthì sau một tháng số tiền lãi ta nhận được là 100.10 6 x 0,65 % = 650.000 đồng. Bây giờ ta khám phá một số ít loại lãi suất vay hay sử dụng trong những ngân hàng nhà nước và những dịch vụ tàichính : lãi đơn, lãi kép, lãi kép liên tục. Trong chủ đề này ta khám phá về lãi đơn. 3. Lãi đơn là số tiền lãi chỉ tính trên số vốn gốc mà không tính trên số tiền lãi do số vốn gốcsinh ra trong một khoáng thời hạn cố định và thắt chặt. ( Chỉ có vốn gốc mới phát sinh tiền lãi ). Bây giờ, hãy tưởng tượng ta cầm một khoản tiền 10.000.000 đồng đến gửi ngân hàng nhà nước, sau mỗitháng ta sẽ nhận được 0,5 % của số tiền vốn 10.000.000 đồng đó. Quá trình tích vốn và sinh lãi cóthế quan sát trong bảng sau : ThángTổng vốnTổng Lãi ( nếu không rút ) ( Đồng ) ( Đồng ) 10.000.0000,5 %. 10.000.000 = 50.00010.000.00050.000 + 0,5 %. 10.000.000 = 100.00010.000.000100.000 + 0,5 %. 10.000.000 = 150.000 Như vậy, ta thấy rõ trong suốt quy trình trên tiền lãi ta có thêm hàng tháng là một hằng số, ngoài những tiền vốn từ đầu chí cuối không đổi. Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau : Ta đưa vào sử dụng vốn gốc khởi đầu P. 0 với mong muốnđạt được lãi suất vay r mỗi kì theo hình thức lãi đơn trong thời hạn n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiềnlãi và chỉ để lại vốn. Tính tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì.  Chú ý : Đơn vị thời hạn của mỗi kì hoàn toàn có thể là năm, quý, tháng, ngày. Ta theo dõi bảng sau : Ở cuối kìVốn gốcTổng vốn và lãi cộng dồn ở cuối kìTiền lãiP0P 0. rP 0 + P. 0. r = P. 0 ( 1 + r ) P0P 0. rP 0 + P. 0. r + P. 0. r = P. 0 ( 1 + 2 r ) P0P 0. rP 0 + P. 0. r + 2P 0. r = P. 0 ( 1 + 3 r ) P0P 0. rP 0 + P. 0. r + 3P 0. r = P. 0 ( 1 + 4 r ) P0P 0. rP 0 + P. 0. r + ( n-1 ) P. 0. r = P. 0 ( 1 + nr ) Do đó, ta hoàn toàn có thể tóm gọn lại công thức tính tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì như sau : P. n = P. 0. ( 1 + nr ), ( 1 ) P n là tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì., P. 0 là vốn gốc. r là lãi suất vay mỗi kì. Bây giờ để hiểu rõ hơn về công thức ( 1 ) trong bài toán lãi đơn, những em qua phần tiếp theo : Các bài toán trong thực tế hay gặp. B. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾDẠNG 1 : CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲPhương phápXác định rõ những giá trị khởi đầu : vốn P. 0, lãi suất vay r, số kỳ n. Áp đụng công thức P n = P. 0. ( 1 + nr ), ( 1 ) Qua những bài toán đơn cử, sẽ minh họa rõ hơn cho giải pháp trên. Bài toán 1 : Anh Lâm đi gửi ngân hàng nhà nước với số tiền 120.000.000 đồng theo hình thức lãi đơnvới lãi suất vay 5 % một năm. Hỏi nếu anh giữ nguyên số tiền vốn như vậy thì sau 2 năm tổng sốtiền anh Lâm rút được về từ ngân hàng nhà nước là bao nhiêu ? ( Giả sử lãi suất vay hàng năm không đổi ) Ảnh minh họa : Nguồn internet  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền bắt đầu P. 0 = 120.000.000 đồng, hình thức gửi lãiđơn với lãi suất vay r = 5 % một năm và gửi trong thời hạn n = 2 năm.  Đề bài nhu yếu tìm tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng nhà nước sau 2 năm, lúc này ta sử dụngtrực tiếp công thức P n = P. 0. ( 1 + nr ), ( 1 ) Hướng dẫn giải • Áp đụng công thức ( 1 ) ta tính được tổng số tiền anh Lâm rút được từ ngân hàng nhà nước sau 2 năm là : P. 2 = 120.000.000 x ( l + 2 x 5 % ) = 132.000.000 đồng. • Cũng sau hai năm số tiền lãi mà anh Lâm thu được là : 132.000.000 – 120.000.000 = 12.000.000 đồng. ■ Bình luận : Qua bài toán này ta cần quan tâm : Một là, khi thống kê giám sát những yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng nhà nước này những em cần chú ý quan tâm làdữ kiện khởi đầu tính theo hình thức lãi suất vay nào : Lãi đơn hay loại lãi khác … từ đó xác lập đúngcông thức giám sát cho từng trường hợp. Hai là, nếu lãi suất vay và thời hạn gửi không cùng đơn vị chức năng thời hạn, ta phải đổi khác để chúng đồngnhất về thời hạn rồi mới áp đụng công thức ( 1 ). Để hiểu rõ yếu tố này những em qua bài toán 2. Bài toán 2 : Ông B bỏ vốn 450.000.000 đồng, góp vốn đầu tư vào một công ty bất động sản với lãisuất góp vốn đầu tư 12 % một năm ( theo hình thức lãi đơn ) trong vòng 2 năm 3 tháng. Xác định giátrị đạt được vào cuối đợt góp vốn đầu tư.  Phân tích bài toán ■ Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền bắt đầu P. 0 = 450.000.000 đồng, hình thức đầu tưlãi đơn với lãi suất vay r = 12 % = 0,12 một năm và góp vốn đầu tư trong thời hạn n = 2 năm 3 tháng. Nhưvậy trong bài này ta thời hạn góp vốn đầu tư chưa cùng đơn vị chức năng với lãi suất vay nên ta phải đổi chúng về cùngđơn vị thời hạn. Trong bài này ta có thế đưa về đơn vị chức năng thời hạn cùng là năm hoặc cùng là tháng. ■ Đề bài nhu yếu tìm tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng, lúc này ta sử dụng trực tiếpcông thức P n = P. 0. ( 1 + nr ), ( 1 ) Hướng dẫn giảiDo n = 2 năm 3 tháng = 27 tháng = 27 năm. Ta hoàn toàn có thể tính giá trị đạt được theo 2 cách. 12C ách 1 : Đưa đơn vị chức năng thời hạn cùng là nămÁp dụng công thức ( 1 ) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là  27P x 450.000.000 ×  1 + = × 12 %  571.500.000 đồng.  12C ách 2 : Đưa đơn vị chức năng thời hạn cùng là tháng. • Qui đổi lãi suất vay tháng : = r ′ = 1 % tháng12 • Áp dụng công thức ( 1 ) ta tính được tổng số tiền ông B đạt được sau 2 năm 3 tháng là : P. n = 450.000.000 x ( 1 + 27 x 1 % ) = 571.500.000 đồng. ■ Bình luận : Qua bài toán này ta cần chú ý quan tâm : Một là, khi thống kê giám sát những yếu tố trong bài toán đấu tư này những em cần quan tâm là dữ kiện ban đầutính theo hình thức lãi suất vay nào : Lãi đơn hay loại lãi khác … từ đó xác lập đúng công thức tínhtoán cho từng trường hợp. Hai là, nếu lãi suất vay và thời hạn gửi không cùng đơn vị chức năng thời hạn, ta phải đổi khác để chúng đồngnhất về thời hạn rồi mới vận dụng công thức ( 1 ). Bây giờ những em cùng qua tìm hiểu và khám phá dạng toánthứ 2. DẠNG 2 : CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM NPhương phápXác định rõ những giá trị bắt đầu : vốn P. 0, lãi suất vay r, tổng số tiền có được sau n kìÁp dụng công thức Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n = Qua những bài toán đơn cử, sẽ minh họa rõ hơn cho giải pháp trênPn − P0P0 rBài toán 3 : Với lãi suất vay 10 % năm ( theo hình thức lãi đơn ) cho số vốn 25 triệu đồng, nhàđầu tư A mong ước thu được 32.125.000 đồng vào cuối đợt góp vốn đầu tư. Vậy phải góp vốn đầu tư trongbao lâu để đạt được giá trị như trên ? ( Giả sử lãi suất vay hàng năm không đổi )  Phân tích bài toán ■ Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền bắt đầu P. 0 = 25.000.000 đồng, hình thức gửi lãiđơn với lãi suất vay r = 10 % một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt góp vốn đầu tư là 32.125.000 đồng. ■ Để tìm thời hạn góp vốn đầu tư trong bao lâu, xuất phát từ công thức ( 1 ) Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n = Pn − P0P0 rHướng dẫn giải • Áp dụng công thức ( 1 ) : Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ n = Pn − P0 32.125.000 − 25.000.000 = 2,85 năm = 2 năm25. 000.000 × 10 % P0 r10 tháng 6 ngày • Vậy phải góp vốn đầu tư số vốn trong thời hạn 2 năm 10 tháng 6 ngày đế đạt được giá trị mong ước. DẠNG 3 : CHO BIẾT VỐN, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤTPhương pháp  Xác định rõ những giá trị bắt đầu : vốn P. 0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n  Để tính lãi suất vay r. Từ công thức ( 1 ) Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇔ Pn = P0 + P0 nr ⇔ r = Pn − P0P0 n  Qua những bài toán đơn cử, sẽ minh họa rõ hơn cho chiêu thức trênBài toán 4 : Bà Cúc gửi ngân hàng nhà nước 60 triệu đồng trong 3 năm 4 tháng với lãi suất vay r % / nămthì đạt tác dụng sau cuối 75.210.000 đồng. Xác định r ? ( Biết rằng hình thức lãi suất vay là lãiđơn và lãi suất vay hàng năm không đổi khác )  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền bắt đầu P. 0 = 60.000.000 đồng, tổng số tiền có đượcsau 3 năm 4 tháng là 75.210.000 đồng.  Đề bài yêu câu tìm tìm lãi suất vay ta vận dụng công thức = Pn P0 ( 1 + nr ), ( 1 ) Hướng dẫn giải1 10 • 3 năm 4 tháng = 3 + = năm3 3 • Áp dụng công thức ( 1 ) Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇒ n = Pn − P0 75.210.000 − 60.000.000 = 7,605 % một năm10P0 n60. 000.000 × • Vậy lãi suất vay tiền gửi là 7,605 % một năm để đạt được giá trị mong muốnDẠNG 4 : CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢCSAU N KỲ, TÌM VỐN BAN ĐẦUPhương pháp  Xác định rõ những giá trị bắt đầu : tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất vay r, số kỳ n.  Tính số vốn khởi đầu : Áp dụng công thức Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇔ P0 = Pn1 + nr  Qua những bài toán đơn cử, sẽ minh họa rõ hơn cho chiêu thức trênBài toán 5 : Với lãi suất vay góp vốn đầu tư 14 % năm ( theo hình thức lãi đơn ) thì nhà đầu tư anh Tuấnphải bỏ ra số vốn khởi đầu là bao nhiêu để thu được 244 triệu đồng trong thời hạn 3 năm 9 tháng. ( Giả sử lãi suất vay hằng năm không đổi )  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền thu được P. n = 244.000.000 đồng, hình thức đầu tưtheo lãi đơn với lãi suất vay r = 14 % một năm và góp vốn đầu tư trong thời hạn n = 3 năm 9 tháng.  Đề bài nhu yếu tìm vốn góp vốn đầu tư bắt đầu của anh Tuấn, ta sử dụng công thức = Pn P0 ( 1 + nr ) Hướng dẫn giải • 3 năm 9 tháng = 3 + 9 15 = năm12 4 • Từ dụng công thức ( 1 ) : Pn = P0 ( 1 + nr ) ⇒ P0 = Pn244. 000.000 = 160.000.000 đồng1 + nr 1 + 15 × 14 % • Vậy phải góp vốn đầu tư 160.000.000 đồng để đạt được giá trị mong ước. ■ Bình luận : Qua những bài toán những em biết được. Một là, hình thức lãi đơn là gì, từ đó có những kiến thức và kỹ năng và hiểu biết nhất định để sau này ápdụng trong đời sống hàng ngày. Hai là, biết đo lường và thống kê qua lại những yếu tố trong công thức tương quan bài toán lãi đơn. Để hiểu rõ hơn những yếu tố nêu ở trên, những em làm những bài tập trắc nghiệm ở dưới nhé. A. TÓM TẮT I.Ý THUYẾTTrong chủ đề này ta khám phá về lãi kép. 2.1. Lãi kép là chiêu thức tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kì sau. Trong khái niệm này, số tiền lãi không chi tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do sốvốn gốc sinh ra. • Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa tương quan với những thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãinhập vốn. 2.2. Công thức tính lãi kép. • Trong khái niệm lãi kép, những khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động giải trí góp vốn đầu tư mỗi kì được tính gộpvào vốn khởi đầu và bản thân nó lại liên tục phát sinh lãi trong suốt thời hạn góp vốn đầu tư. • Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau : Ta đưa vào sử dụng vốn gốc khởi đầu P. 0 với mong muốnđạt được lãi suất vay r mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời hạn n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiềnlãi và chỉ để lại vốn. Tính P n tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. Chú ý : Đơn vị thời hạn của mỗi kì hoàn toàn có thể là năm, quý, tháng, ngày. o Ở cuối kì thứ nhất ta có : Tiền lãi nhận được : P. 0. rTổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) cuối kì thứ nhất : P. 1 = P. 0 + P. 0. r = P0 ( 1 + r ). o Đo lãi nhập vào vốn đến cuối kì thứ hai ta có : Tiền lãi nhận được : P. 1. rTổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) cuối kì thứ 2 là : P. 2 = P. 1 + P. 1. r = P. 1 ( l + r ) = P. 0 ( 1 + r ) ( 1 + r ) = P. 0 ( 1 + r ) 2 … … … …. o Một cách tống quát, sau n kì, tổng giá trị đạt được là P. n = P. 0 ( 1 + r ) n, ( 2 ) Trong đó P. n là tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. P 0 là vốn gốc. r là lãi suất vay mỗi kì. o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : P n – P. 0B ây giờ để hiểu rõ hơn về công thức ( 2 ) trong bài toán lãi kép, những em qua phần tiếp theo : Cácbài toán trong thực tế hay gặp. B. CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾDẠNG 1 : CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲPhương phápXác định rõ những giá trị khởi đầu : vốn P. 0, lãi suất vay r, số kỳ n. Áp dụng công thức P n = P. 0 ( 1 + r ) n, ( 2 ) Qua những bài toán cụ thế, sẽ minh họa rõ hơn cho chiêu thức trên. Bài toán 1 : Ông A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng nhà nước theo thể thức lãi kép. a ) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất vay 7,56 % một năm thì sau 2 năm người đó thu được sốtiền là bao nhiêu ? b ) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất vay 1,65 % một quý thì sau 2 năm người đó thu được sốtiền là bao nhiêu ?  Phân tích bài toán  Đề bài nhu yếu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng nhà nước sau 2 năm, lúc này ta sử dụngtrực tiếp công thức P n = P. 0 ( 1 + r ) n, ( 2 )  Ta phải xác lập rõ : P. 0 = .., r = ,., n = …. ?, từ đó thay vào công thức ( 2 ) tìm được P. n. Hướng dẫn giảia ) Ta có P. 0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm, lãi suất vay trong 1 năm là r = 7,56 % một năm. Áp dụng công thức ( 2 ) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là : P2 = 10.000.000 x ( 1 + 7,65 % ) 2 ≈ 11.569.000 đồng. b ) Ta có P. 0 = 10.000.000 triệu, n = 2 năm = 8 quý, lãi suất vay trong 1 quý là r = 1,65 % một quý. Áp dụng công thức ( 2 ) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là : P. 2 = 10.000.000 x ( 1 + 1,65 % ) 8 ≈ 11.399.000 đồng. ■ Bình luận : Qua bài toán này ta cần chú ý quan tâm : Một là, khi đo lường và thống kê những yếu tố trong bài toán gửi tiền vào ngân hàng nhà nước này những em cần chú ý quan tâm làdữ kiện bắt đầu tính theo hình thức lãi suất vay nào : Lãi đơn hay lãi kép … từ đó xác lập đúng côngthức giám sát cho từng trường hợp. Hai là, nếu lãi suất vay và thời hạn gửi không cùng đơn vị chức năng thời hạn, ta phải đổi khác để chúng đồngnhất về thời hạn rồi mới vận dụng công thức ( 2 ). Bài toán 2 : Một người góp vốn đầu tư 100 triệu đồng vào một ngân hàng nhà nước theo thể thức lãi kép vớilãi suất 13 % một năm. Hỏi sau 5 năm mói rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi ? ( Giả sử rằng lãi suất vay hằng năm không đổi )  Phân tích bài toán  Đề bài nhu yếu tìm số tiền lãi thu được sau 5 năm. Trước hết ta tính tổng số tiền người đó cóđược sau 5 năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức P n = P. 0 ( 1 + r ) n, ( 2 ). Từ đó ta tính đươcsố tiền lãi thu đươc sau 5 năm là : P n – P. 0  Trong công thức ( 2 ) ta phải xác lập rõ : P. 0 = .. ; r = .., n = …. ?, từ đó thay vào công thức ( 2 ) tìm được P. n. Hướng dẫn giải • Ta có P. 0 = 100 triệu, n = 5 năm, lãi suất vay trong 1 năm là r = 13 % một năm. • Áp dụng công thức ( 2 ) ta tính được số tiền người đó thu được sau 5 năm là : P. 5 = 100 x ( 1 + 13 % ) 5 = 184 triệu đồng. • Vậy số tiền lãi thu được sau 5 nấm là : P. 5 – P. 0 = 184 – 100 = 84 triệu đồng. Bài toán 3 : Chị An gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí 500.000.000 đông vào ngân hàng nhà nước A theo kì hạn 3 tháng vàlãi suất 0,62 % một tháng theo thể thức lãi kép. a ) Hỏi sau 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu ( cà vốn và lãi ) ở ngân hàng nhà nước, biếtrằng chị không rút lãi ở tổng thể những kì trước đó. b ) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất vay 0,65 % mộttháng thì 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu ( cả vốn và lãi ) ở ngân hàng nhà nước, biếtrằng chị không rút lãi ở tổng thể những kì trước đó. Ảnh minh họa : Nguồn internet  Phân tích bài toán  Đề bài nhu yếu tìm tổng số tiền chị An rút được từ ngân hàng nhà nước 1 thời hạn gửi nhất định, lúcnày ta sử dụng trục tiếp công thức P n = P. 0 ( 1 + r ) n, ( 2 )  Trong công thức ( 2 ) ta phải xác lập rõ : P. 0 = .. ; r = .., M = …. ?, từ đó thay vào công thức ( 2 ) tìm được P. n. Hướng dẫn giảia ) Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có n = 20 kì hạn. • Lãi suất mỗi kì hạn là r = 3 x 0,62 % = 1,86 %. • Áp dụng công thức ( 2 ) sau 5 năm chị An nhận được số tiền là : P. n = 500000000 x ( 1 + 1,86 % ) 20 = 722.842.104 đồng. b ) Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có n = 10 kì hạn. • Lãi suất mỗi kì hạn là r = 6 x 0,65 % = 3,9 %. • Số tiền nhận được là : P. n = 500000000 x ( 1 + 3,9 % ) 10 = 733036297,4 đồng. DẠNG 2 : CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, 10T ỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM NPhương pháp • Xác định rõ những giá trị ban đâu : vốn P0, lãi suẵì r trong mỗi kì, tổng số tiền có được sau n kì. PnP0 • Để tìm n, vận dụng công thức ( 2 ), ta có Pn = P0 ( 1 + r ) ⇔ ( 1 + r ) = ( * ) Để tìm n từ đằng thức ( * ) ta có nhiêu cách triển khai : Cách 1 : Ta coi ( * ) là một phương trình mũ, giải ra tìm n. ( 1 + r ) Pn ⇔ n = log1 + r nP0P0Cách 2 : Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức ( * ), ta đượcPnP0r ) log n ⇔ = log ( 1 + r = ) log n ⇔ n.log ( 1 + = P0P0log ( 1 + r ) log • Qua những bài toán đơn cử, sẽ minh họa rõ hơn cho chiêu thức trên. Bài toán 4 : Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đâu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất vay sinh lợi là 13 % một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gianđầu tư ?  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền khởi đầu P. 0 = 170.000.000 đồng, theo hình thức lãikép với lãi suất vay sinh lợi r = 13 % một năm và giá trị đạt được vào cuối đạt góp vốn đầu tư là280. 000.000 đồng.  Để tìm thời hạn góp vốn đầu tư trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức ( 2 ) ( Các em coi lại phầnphương pháp giải ). Ở bài toán này ta dùng cách 2. Hướng dẫn giải • Ta có P n = 280.000.000 đồng, P. 0 = 170.000.000 đồng, r = 13 % một năm • Sau n năm góp vốn đầu tư, Doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là : P. n = P. 0 ( 1 + r ), ( * ). Để tìm n từcông thức ( * ) những em sử dụng 2 cách ( coi lại phân chiêu thức giải ). Trong giải thuật này ta sửdụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được11 ( * ) ⇔ ( 1 + r ) PnP0 = n ⇔ n.log ( 1 + r ) = log n ⇔ n = P0P0log ( 1 + r ) log280. 000.000 log170. 000.000 4,08 năm = 4 năm 1 tháng ⇔ nlog ( 1 + 13 % ) • Vậy phải góp vốn đầu tư số vốn trong thời hạn 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong ước. Bài toán 5 : Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng nhà nước theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 nămvới lãi suất vay 7,56 % một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi người gửi sẽ có tối thiểu 120 triệuđồng từ số tiền gửi khởi đầu ( giả sử lãi suất vay không biến hóa ) ?  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền khởi đầu P. 0 = 60.000.000 đồng, theo hình thức lãikép với lãi suất vay r = 7,56 % một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là 280.000.000 đồng.  Để tìm thời hạn gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức ( 2 ) ( Các em coi lại phần phươngpháp giải ). Ở bài toán này ta dùng cách 1. Hướng dẫn giải • Ta có P n = 120.000.000 đồng, P. 0 = 60.000.000 đồng, r = 7,56 % một năm • Áp dụng công thức ( 2 ) : sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền làPn = P0 ( 1 + r ) ⇔ ( 1 + r ) = Pn120. 000.000 ⇔ n = log1 + r n ⇔ n = log1 + 7,56 % ≈ 9,51 nămP0P060. 000.000 • Vậy sau khoảng chừng 10 năm người gửi sẽ có tối thiểu 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng banđầu. Bài toán 6 : Một người mua có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng nhà nước kì hạn 3 tháng với lãi suất0, 65 % một tháng theo thế thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngânhàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc bắt đầu gửi ngân hàng nhà nước, giả sử người đókhông rút lãi trong toàn bộ những quý định kì. ( Số quý gửi là số nguyên )  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền khởi đầu P. 0 = 100.000.000 đồng, gửi theo hình thứclãi kép với lãi suất vay 0,65 % một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra được lãi suất vay trong1 kì hạn là : r = 3 x 0,65 % = 1,95 % 12  Để tìm thời hạn n gửi tối thiểu trong bao lâu, để số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc bắt đầu ta làmnhư sau : Ta tìm tổng số tiền lãi P n – P. 0 có được sau n quý. Từ đó ta giải bất phương trình P n – P. 0 > P. n suy ra n cần tìm. Các em coi giải thuật chi tiết cụ thể ở dưới. Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức ( 2 ) ta có : P. 0 = 100.000.000 đồng, lãi suất vay trong 1 kì hạn là : r = 3 x 0,65 % = 1,95 %. Sau n quý tổng số tiền ( vốn và lãi ) người mua có được là : P. n = P. 0 ( 1 + r ) n suy ratổng sổ tiền lãi có được sau n quý là : P n – P. 0 • Cần tìm n đế Pn − P0 > P0 ⇔ P0 ( 1 + r ) − P0 > P0 ⇔ ( 1 + r ) > 2 ⇔ n > log1 + r 2 ⇔ n > log1 + 1,95 % 2 ≈ 35,89 ≥ 36 • Vậy sau 36 quý ( tức là 9 năm ) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc bắt đầu gửi ngânhàng. DẠNG 3 : CHO BIẾT VỐN, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤTPhương pháp  Xác định rõ những giá trị bắt đầu : vốn P. 0, tổng số tiền có được sau n kì, số kỳ n.  Để tính lãi suất vay r mỗi kì. Từ công thức ( 2 ) ta có : Pn = P0 ( 1 + r ) ⇔ ( 1 + r ) = Pn ⇔ 1 + r = n n ⇔ r = n n − 1P0 P0P0  Qua những bài toán đơn cử dưới đây, sẽ minh họa rõ hơn cho giải pháp trênBài toán 7 : Doanh nghiệp C gửi tiền vào ngân hàng nhà nước với số tiền là 720 triệu đồng, theo thểthức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất vay r % một năm. Sau 5 năm doanh nghiệp C có một sốtiền 1200 triệu đồng. Xác định r ? ( Biết lãi suất vay hàng năm không đổi khác )  Phân tích bài toán  Ta xác lập già thiết đề bài cho gì : Số tiền khởi đầu P. 0 = 720.000.000 đồng, tổng số tiền cóđược sau 5 năm ( n = 5 kì hạn ) là 1200.000.000 đồng.  Đề bài nhu yếu tìm lãi suất vay mỗi kì, ta vận dụng công thức = giải ) Hướng dẫn giải13Pn − 1 ( Coi phần phương phápP0 • Lãi suất mỗi kì là : = Pn − = P01200. 000.000 − = 1 10,76 % một năm720. 000.000 • Vậy lãi suất vay tiền gửi là 10,76 % một năm để đạt được giá trị mong ước. DẠNG 4 : CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢCSAU N KỲ. TÌM VỐN BAN ĐẦUPhương pháp  Xác định rõ những giá trị bắt đầu : tổng số tiền có được sau n kì, lãi suất vay r, số kỳ n.  Tính số vốn ban đấu : Áp dụng công thức Pn = P0 ( 1 + r ) ⇔ P0 = Pn ( 1 + r )  Qua những bài toán đơn cử dưới đây, sẽ minh họa rõ hơn cho chiêu thức trên. Bài toán 8 : Chủ shop C vay ngân hàng nhà nước 1 số ít vốn, theo thể thức lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất vay 9,6 % một năm. Tổng số tiền chủ shop phải trả sau 4 năm 3 tháng là 536.258.000 đồng. Xác định số vốn chủ shop c đã vay. ( Biết lãi suất vay hàng nămkhông biến hóa )  Phân tích bài toán  Ta xác lập giả thiết đề bài cho gì : Số tiền phải trả sau 4 năm 3 tháng là P. n = 536.258.000 đồng, hình thức góp vốn đầu tư theo lãi kép, lãi gộp vốn 6 tháng 1 lần với lãi suất vay 9,6 % một năm, từ đósuy ra lãi suất vay trong 1 kì là : r = 4,8 % và góp vốn đầu tư trong thời hạn 4 năm 3 tháng, từ × 9, 6 % = đó suy ra số kì vay là : n = 8,5  Số vốn chủ shop vay bắt đầu là : P0 = Pn ( 1 + r ) Hướng dẫn giải • Tacó n 8,5, r 4,8 % =, Pn 536.258.000 • Số vốn chủ shop vay khởi đầu là : = P0Pn ( 1 + r ) ⇔ = P0536. 258.000 ( 1 + 4,8 % ) 8,5 ≈ 360.000.000 ■ Bình luận : Qua những bài toán những em biết được. Một là, hình thức lãi kép là gì, từ đó có những kiến thức và kỹ năng và hiểu biết nhất định để sau này ápdụng trong đời sống hàng ngày. Hai là, biết giám sát qua lại những yếu tố trong công thức tương quan bài toán lãi kép. Để hiểu rõ hơn những yếu tố nêu ở trẽn, những em làm những bài tập trắc nghiệm ở dưới nhé. 14CH Ủ ĐỀ 3 : BÀI TOÁN VAY TRẢ GÓP – GÓP VỐNA. TÓM TẮT MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶPBài toán 1 : Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng nhà nước Y một số tiền như nhau là a đồng ( vào đầumỗi kì hạn ), kì hạn 1 tháng với lãi suất vay r % một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiềnvốn và lãi là bao nhiêu ? Hướng dẫn giải • Cuối tháng thứ 1, ông Ninh có số tiền là : P1 = a + a. r = a ( 1 + r ) • Đầu tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là : P1 + a = a ( 1 + r ) + a = a + a ( 1 + r ) = a   1 + ( 1 + r )   • Cuối tháng thứ 2, ông Ninh có số tiền là : P2 = P1 + P1. r = a + a ( 1 + r ) +   a + a ( 1 + r )   = a  ( 1 + r ) + ( 1 + r )  • Đầu tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là : P2 + a = a  ( 1 + r ) + ( 1 + r )  + a = a  1 + ( 1 + r ) + ( 1 + r )  • Cuối tháng thứ 3, ông Ninh có số tiền là : P3 = P2 + P2. r = a  1 + ( 1 + r ) + ( 1 + r )  + a  1 + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) . r = a  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ( 1 + r )  … … … • Cuối tháng thứ n, ông Ninh có số tiền là : n − 1 n − 2P n = a  ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + ( 1 + r ) + … + + ( 1 + r ) + ( 1 + r )  Sn ⇔ Pn = a ( 1 + r ) ( 1 + r ) − 1 ( 3 ) ( Lưu ý những số hạng của tổng S n là tổng của n số hạng tiên phong của một cấp số nhân vớiqn − 1 công bội là q = 1 + r và số hạng đầu là u 1 = 1 + r nên ta có S n = u1. q − 1 Để hiểu ý tưởng sáng tạo bài toán 1, những em theo dõi những ví dụ phía dưới nhé. 15 ( 1 + r ) ( 1 + r ) − 1V í dụ 1 : Một người hàng tháng gửi vào ngân hàng nhà nước 3.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn1 tháng. Biết rằng lãi suất vay hàng tháng là 0,67 %. Hỏi sau 2 năm người đó nhận được số tiền là baonhiêu ? Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức ( 3 ) cho a = 3.000.000 đồng, r = 0,67 %, n = 2 x l2 = 24 tháng • Ta có : Sau 2 năm người đó nhận được số tiền là : P24 = + 3.000.000 ( 1 0, 67 % ) ( 1 + 0, 67 % ) 240, 67 % − 178.351.483, 45V í dụ 2 : Muốn có số tiền là 200 triệu đồng sau 36 tháng thì phải gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí một tháng là baonhiêu. Biết rằng tiền gửi tiết kiệm chi phí ngân hàng nhà nước theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất0, 67 % một tháng. Lãi suất không biến hóa trong thời hạn gửi. Hướng dẫn giải • Áp dụng công thức ( 3 ) cho P. n = 200.000.000 đồng, r = 0,67 %, n = 36 tháng • Ta có : Pn = a ( 1 + r ) ( 1 + r ) − 1 ⇔ a = r. Pn ( 1 + r )   ( 1 + r ) − 1  0, 67 %. 200.000.000 ⇔ a ≈ 4.898.14636 ( 1 + 0, 67 % )   ( 1 + 0, 67 % ) − 1   ⇔ aVậy hàng tháng phải gửi tiết kiệm chi phí số tiền gần 4.900.000 đồng. Bài toán 2 : Giả sử có một người gửi vào ngân hàng nhà nước a đồng, lãi suất vay r % một tháng, kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng nhà nước tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền cònlại là bao nhiêu ? Hướng dẫn giảiGọi P n là số tiền còn lại sau tháng thứ n. Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là : a + ar = a ( l + r ) = ad với d = 1 + rRút x đồng thì số tiền còn lại là : P1 = ad − x = ad − xd − 1 d − 1S au tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là : ad − x + ( ad − x ) r = ( ad − x ) ( 1 + r ) = ( ad − x ) dRút x đồng thì số tiền còn lại là : P2 = ( ad − x ) d − x = ad 2 − xd − x = ad 2 − x ( d + 1 ) = ad 2 − x16d 2 − 1 d − 1 • Sau tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là : ad 2 − x ( d + 1 ) +   ad 2 − x ( d + 1 )   r =   ad 2 − x ( d + 1 )   ( 1 + r ) =   ad 2 − x ( d + 1 )   dRút x đồng thì số tiền còn lại là : d 3 − 1P3 =  ad − x ( d + 1 )  d − x = ad − xd − xd − x = ad − x ( d + d + 1 ) = ad − xd − 1 … … … … … … … Sau tháng thứ n số tiền còn lại là : ( 1 + r ) − 1, 4 với d = 1 + rd n − 1P n = ad − x ⇔ Pn = a ( 1 + r ) − x. ( ) d − 1 Để hiểu rõ bài toán trên những em theo dõi những ví dụ phía dướiVí dụ 1 : Một cụ già có 100.000.000 gửi vào ngân hàng nhà nước theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng vớilãi suất 0,65 % một tháng. Mỗi thcáng cụ rút ra một triệu đồng vào ngày ngân hàng nhà nước tính lãi. Hỏisau hai năm số tiền còn lại của cụ là bao nhiêu ? Hướng dẫn giảiÁp dụng công thức ( 4 ) với : n = 24 ; r = 0,65 %, x = một triệu, a = 100.000.000 Vậy số tiền bà cụ còn lại sau 2 năm là : P24 100.000.000 ( 1 + 0, 65 % ) 24 ( 1 + 0, 65 % ) − 1.000.000240, 65 % − 1 = 90.941.121, 63 đồngVí dụ 2 : Bạn An được mái ấm gia đình cho gửi tiết kiệm ngân sách và chi phí vào ngân hàng nhà nước với số tiền là 200.000.000 đồng, theo hình thức lãi kép, kì hạn 1 tháng với lãi suất vay 0,75 % một tháng. Nếu mỗi tháng An rút một sốtiền như nhau vào ngày ngân hàng nhà nước tính lãi thì An phải rút bao nhiêu tiền một tháng để sau đúng 5 năm, số tiền An đã gửi vừa hết ? Hướng dẫn giảiÁp dụng công thức ( 4 ) với : n = 60, r = 0,75 %, a = 200.000.000, P n = P. 60 = 0. Tìm x ? d 60 − 1 d 60 − 1T a có P60 = ad − x ⇔ x = ad 60 − P60 ⇔ x = d − 1 d − 160 ⇔ x ( ad60 ( Bài toán này cách thiết kế xây dựng giống bài toán số 2 ) 17 − P60 ) ( d − 1 ) d 60 − 1  200.000.000 × ( 1 + 0, 75 % ) 60 − 0  × 0, 75 % ≈ 4.151.671 đồng60 ( 1 + 0, 75 % ) − 1B ài toán 3 : Trả góp ngân hàng nhà nước hoặc mua đồ trả góp. Ta xét bài toán tổng quát sau : Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất vay cho sốtiền chưa trả là r % một tháng ( hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãitrên số tiền mà người vay còn nợ ở thời gian hiện tại ), số tháng vay là n tháng, sau đúng mộttháng kể từ ngày vay, người này khởi đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tục cách nhau đúng mộttháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau, số iền đều đặn trả vào ngân hàng nhà nước là x đồng. Tìmcông thức tính x ? Biết rằng lãi suất vay ngân hàng nhà nước không biến hóa trong thời hạn vay. Hướng dẫn giảiGọi p là số tiền còn lại sau tháng thứ n. Sau tháng thứ nhất số tiền gốc và lãi là : a + ar = a ( 1 + r ) = ad với d = 1 + rTrả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ nhất là : P1 = ad − x = ad − xSau tháng thứ hai số tiền gốc và lãi là : ad − x + ( ad − x ) r = d − 1 d − 1 ( ad − x ) ( 1 + r ) = ( ad − x ) dTrả x đồng thì số tiền còn lại saíi thảng thứ 2 là : d 2 − 1P2 = ( ad − x ) d − x = ad − xd − x = ad − x ( d + 1 ) = ad − xd − 1S au tháng thứ ba số tiền gốc và lãi là : ad 2 − x ( d + 1 ) +   ad 2 − x ( d + 1 )   =   ad 2 − x ( d + 1 )   ( 1 + r ) =   ad 2 − x ( d + 1 )   dTrả x đồng thì số tiền còn lại sau tháng thứ 3 là : d 3 − 1P3 =   ad 2 − x ( d + 1 )   d − x = ad 3 − xd 2 − xd − x = ad 3 − x ( d 2 + d + 1 ) = ad 3 − xd − 1 ( 1 + r ) − 1 5 a vớid n − 1S ố tiền còn lại sau tháng thứ n là : Pn = ad − x ⇔ Pn = a ( 1 + r ) − x ( ) d − 1 d = r + 1D o sau tháng thứ n người vay tiền đã trả hết số tiền đã vay ta cóad n ( d − 1 ) a ( 1 + r ) rd n − 1P n = 0 ⇔ ad − x = 0 ⇔ x = ⇔ x = ( 5 b ) d − 1 d − 1 ( 1 + r ) − 1 Để hiểu bài toán vay trả góp, những em theo dõi những ví dụ phía dưới18Ví dụ 1 : Ông A vay thời gian ngắn ngân hàng nhà nước 100 triệu đồng, lãi suất vay cho số tiền chưa trả làl 2 % / năm. Ông muốn hoàn nợ cho ngân hàng nhà nước theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ông bắt đâuhoàn nợ, hai lan hoàn nợ liên tục cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mồi lần là nhưnhau và trả hết tiền nợ sau đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền x mà ông Aphải trả cho ngân hàng nhà nước trong mồi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biêt rằng lãi suất vay ngân hàng nhà nước khôngthay đổi trong thời hạn ông A hoàn nợ. ( Trích đề minh họa môn Toán năm 2017 ) Hướng dẫn giảiLãi suất 12 % một năm suy ra lãi suất vay trong 1 tháng là 1 % một tháng. Áp dụng công thức ( 5 b ) cho : a = 100.000 000, r = 1 %, n = 3, P. 3 = 0. Tìm x ? Vậy số tiền x mà ông A phải trả cho ngân hàng nhà nước trong mỗi lần hoàn nợ, để 3 tháng hết nợ là : a. r. ( 1 + r ) 100.0, 01. ( 1 + 0, 01 ) x = ≈ 34 triệu đồng một tháng. ( 1 + 0, 01 ) − 1 ( 1 + r ) − 1V í dụ 2 : Một người vay ngân hàng nhà nước với sổ tiền 50.000.000 đồng, mỗi tháng trả góp số tiền4. 000.000 đồng và phải trả lãi suất vay cho số tiền chưa trả là 1,1 % một tháng theo hình thức lãi kép. Hỏi sau bao lâu ngưòi đó trả hết nợ ? Hướng dẫn giàiÁp dụng công thức ( 5 b ) cho : a = 50.000.000, x = 4.000.000, r = 1,1 %, P. n = 0. Tìm n ? Từ công thức ( 5 b ) ta có : = a. r. ( 1 + r ) ( 1 + r ) ⇔ x ( 1 + r ) − = x ar ( 1 + r ) − 1 ⇔ ( x − ar ) ( 1 + r ) = x ⇔ ( 1 + r ) = x − ar ⇔ n log1 + r4. 000.000 ⇔ n log1 + 1,1 % ⇔ n ≈ 13,52 x − ar4. 000.000 − 50.000.000 × 1,1 % Ở đây ta thấy n không là số nguyên, lúc này ta có hai cách làm chọnNếu chọn n = 13 ( chọn số nguyên cao hơn gần nhất ) Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 12 là : P12 = 50. ( 1 + 1,1 % ) 12 ( 1 + 1,1 % ) − 4.121,1 % − 16, 001147461 triệu đồng ( Lưu A máy tính Casio ) 19S ố tiền người này phải trả tháng cuối là : A ( 1 + 0,5 % ) ≈ 6, 067 triệu đồng. Nếu chọn n = 14 ( chọn số nguyên nhỏ hơn gần nhất ) Số tiền người này còn nợ sau tháng thứ 13 là : 50. ( 1 + 1,1 % ) P13 = 13 ( 1 + 1,1 % ) − 4.13 − 11,1 % 2, 067160083 triệu đồng. ( Lưu B máy tính Casio ) Số tiền người này phải trả tháng cuối là : B ( 1 + 0,5 % ) ≈ 2, 09 triệu đồng. Bình luận : Nếu chọn theo n = 13 thì tháng cuối trả nhiều hơn 4 triệu đồngNếu chọn n = 14 thì tháng cuối trả ít hơn 4 triệu đồng. TỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 1B ài toán 1 : Ta đưa vào sử dụng vốn gốc bắt đầu P. 0 với mong ước đạt được lãi suất vay r mỗi kìtheo hình thức lãi đơn trong thời hạn n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chi để lại vốn. Tínhtổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. Kết quả cần nhớ : Pn P0. ( 1 + nr ), ( 1 ) Pn là tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. P0 là vốn gốcr là lãi suất vay mỗi kìTỔNG KẾT CHỦ ĐỀ 2B ài toán 2 : Ta đưa vào sử dụng vốn gốc khởi đầu P. 0 với mong ước đạt được lãi suất vay r mỗi kìtheo hình thức lãi kép trong thời hạn n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. TínhP n tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. Kết quả cần nhớ : o Sau n kì, tổng giá trị đạt được là = Pn P0 ( 1 + r ), ( 2 ) Trong đó P. n là tổng giá trị đạt được ( vốn và lãi ) sau n kì. P 0 là vốn gốc. r là lãi suất vay mỗi kì. o Ta cũng tính được số tiền lãi thu được sau n kì là : Pn − P020TỔNG KẾT CHỦ ĐỂ 3B ài toán 1 : Ông Ninh hàng tháng gửi vào ngân hàng nhà nước Y một số tiền như nhau là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất vay r % một tháng. Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi là bao nhiêu ? Kết quả cần nhớ : Sau n tháng ông Ninh nhận được số tiền vốn và lãi làPn a ( 1 + r ) ( 1 + r ) − 1 ( 3 ) Bài toán 2 : Giả sử có một người gửi vào ngân hàng nhà nước a đồng, lãi suất vay r % một tháng, kì hạn 1 tháng. Mỗi tháng người đó rút ra x đồng vào ngày ngân hàng nhà nước tính lãi. Hỏi sau n tháng số tiền cònlại là bao nhiêu ? Kết quả cần nhớ : ( 1 + r ) − 1, 4 d n − 1S au n tháng số tiền còn lại là : Pn = ad − x ⇔ Pn = a ( 1 + r ) − x ( ) d − 1B ài toán 3 : Trả góp ngân hàng nhà nước hoặc mua đồ trả góp. ( Bài toán này cách kiến thiết xây dựng giống bài toán số 2 ) Ta xét bài toán tổng quát sau : Một người vay số tiền là a đồng, kì hạn 1 tháng với lãi suất vay cho sốtiền chưa trả là r % một tháng ( hình thức này gọi là tính lãi trên dư nợ giảm dần nghĩa là tính lãitrên số tiền mà người vay còn nợ ở thời gian hiện tại ), số tháng vay là n tháng, số tiền đều đặntrả vào ngân hàng nhà nước là x đồng. Tìm công thức tính x ? Biết rằng lãi suất vay ngân hàng nhà nước không thay đổitrong thời hạn vay. Kết quả cần nhớ : Số tiền còn lại sau tháng thứ n là : ( 1 + r ) − 1 ( 5 a ) với d = 1 + rd n − 1P n = ad − x ⇔ Pn = a ( 1 + r ) − xd − 1 a ( 1 + r ). r • Số tiền đều đặn trả vào ngân hàng nhà nước là : x = ( 1 + r ) − 1 ( 5 b ) CHỦ ĐỀ 4 : BÀI TOÁN LÃI KÉP LIÊN TỤC – CÔNG THỨC21TĂNG TRƯỞNG MŨ – ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰC ĐỜISỐNG Xà HỘIA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Bài toán lãi kép liên tục. Ta đã biết : nếu đem gửi ngân hàng nhà nước một số ít vốn bắt đầu là P. 0 với lãi suất vay mỗi năm là r theo thếthức lãi kép thì sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là P. 0 ( l + r ) n. Giả sử ta chia mỗi năm thành m kì để tính lãi và giữ nguyên lãi suất vay mỗi năm làr  thu được n năm là ( hay sau nm kì ) là P0  1 +   m  và số tiềnm. nHiến nhiên khi tăng số kì m trong một năm thì số tiền thu được sau n năm cũng tăng theo. Tuynhiên như ta thấy sau đây, nó không hề tăng lên vô cực được. Thế thức tính lãi khi m → + ∞ gọi là thể thức lãi kép liên tục. Như vậy với số vốn khởi đầu là P. 0 với lãi suất vay mỗi năm là r theo thể thức lãi kép liên tục thì tachứng minh được rằng sau n năm gửi số tiền thu về cả vốn lẫn lãi sẽ là : Pn = P0 e nr ( 6 ) Công thức trên được gọi là công thức lãi kép liên tục. Ví dụ 1 : Với số vốn 100 triệu đồng gửi vào ngân hàng nhà nước theo thể thức lãi kép liên tục, lãi suất vay 8 % năm thì sau 2 năm số tiền thu về cả vốn lẫn lãi = sẽ là : S 100. e 2 × 8 % ≈ 117,351087 triệu đồng. Nhiều bài toán, hiện tượng kỳ lạ tăng trưởng ( hoặc suy giàm ) của tự nhiên và xã hội, ví dụ điển hình sựtăng trường dân số, cũng được tính theo công thức ( 6 ). Vì vậy công thức ( 6 ) còn được gọi làcông thức tăng trưởng ( suy giảm ) mũ. Để hiểu rõ hơn về công thức tăng trưởng ( suy giảm ) mũ. Các em qua phần tiếp theo của tàiliệu. 2. Bài toán về dân số. Gọi : o P. 0 là dân số của năm lấy làm mốc tính. o P n là dân số sau n năm. o r là tỉ lệ tăng ( giảm ) dân số hàng nam. Khi đó sự tăng dân số được ước tính bằng 1 trong 2 công thức sau22o Công thức 1 : Pn = P0 e nr dùng công thức tăng trưởng ( suy giảm ) mũ. o Công thức 2 : = Pn P0 ( 1 + r ) dùng công thức tính lãi kép. Ta xét một ví dụ sau : Năm 2001, dân số nước ta khoảng chừng 78690000 người. Theo công thứctăng trưởng mũ, nếu tỉ lệ tăng dân số hằng năm luôn là 1,7 % thì ước tính dân số Nước Ta xnăm sau sẽ là 78690000 e0, 017 r = 7,869. e0, 017 r ( chục triệu người ). Để phần nào thấy được mứcđộ tăng nhanh của dân số ; ta xét hàm số f ( x ) = 7,869. e0, 017 rĐồ thị của hàm số y = f ( x ) cho thấy khoảng chừng 30 năm sau ( tức là khoảng chừng năm 2031 ), dân số nướcta sẽ vào khoảng chừng 131 triệu người, tức là tăng gấprưỡi. Chính vì thế, những em hiểu bùng nổi dân sốlà khái niệm dùng rất phổ cập lúc bấy giờ, để thểhiện việc dân số tăng quá nhanh, có cơ cấu tổ chức dânsố trẻ, thời hạn tăng gấp đôi rút ngắn. Nhữngvấn đề đặt ra cho những nhà hoạch định chính sáchnhư kế hoạch hóa dân số, việc làm, phân bổ dâncư, nhập cư, di dân, … sao cho hợp lý. B. CÁC BẢI TOÁN THỤC TẾVí dụ 1 : Dân số nước ta năm năm trước đạt 90,7 triệu người ( theo Thông cáo báo chí truyền thông củaASEANstats ), tỉ lệ tăng dân số là 1,06 %. a ) Dự đoán dân số nước ta năm 2024 là bao nhiêu ? b ) Biết rằng dân số nước ta sau m năm sẽ vượt 120 triệu người. Tìm số m bé nhất ? Hướng dẫn giảia ) Từ giả thiết ta có những dữ kiện sau : P. 0 = 90.700.000, n = 2024 – năm trước = 10, r = 1,06 % • Áp dụng công thức ( 1 ) : Khi đó dư đoán dân số nước ta năm 2024 là : P. = 90.700.000 × e10 × 1,06 % ≈ 100.842.244 ( người ) 10 • Áp dụng công thức ( 2 ) : Khi đó Dự kiến dân số nước ta năm 2024 là : P10 90.700.000 × ( 1 + 1, 06 % ) ≈ 100.786.003 người10b ) Áp dụng công thức ( 2 ) ta có : 23120.000.000 < 90.700.000 ( 1 + 1, 06 % ) ⇔ 1, 0106 m > ⇔ m > log1, 01061.2009071.200 ⇒ m ≥ 27907V ậy m bé nhất bằng 27. ( Tức là sau tối thiểu 27 năm ( từ năm 2041 ) dân số nước ta sẽ vượt mốc120 triệu người ). Áp dụng công thức ( 1 ) : 120.000.000 < 90.700.000 × e m × 1,06 % ⇔ e0, 0106 m > 12001.200 ⇔ 0, 0106 m < ln ⇒ m ≥ 27907907V ậy m bé nhất bằng 27 ( Tức là sau tối thiểu 27 năm ( từ năm 2041 ) dân số nước ta sẽ vượt mốc120 triệu người ). Bình luận : Qua bài toán này ta cần chú ý quan tâm : Một là, việc vận dụng công thức ( 1 ) hay công thức ( 2 ), tùy thuộc vào từng bài toán. Công thức ( 1 ) thường dùng trong những bài toán có tính dự báo dân số trong 1 thời hạn dài. Công thức ( 2 ) dùngtrong việc giám sát dân số trong những khoảng chừng thời hạn nhất định. Hai là, trong những bài toán hoàn toàn có thể đề bài nói rõ những em dùng công thức nào. Nếu đề bài không nóirõ thì khi đó ta sử dụng công thức nào cũng được vì sai số trong đo lường và thống kê so với hai công thứclà không lớnVí dụ 2 : Sự tăng dân số được ước tính theo công thức Pn = P0 e nr, trong đó P. 0 là dân số của nămlấy làm mốc tính, P n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Biết rằng năm 2001, dân số Nước Ta là 78.685.800 triệu và tỉ lệ tăng dân số năm đó là 1,7 %. Hỏi cứ tăng dân số vớitỉ lệ như vậy thì đến năm nào dân số nước ta ở mức 100 triệu người ? Hướng dẫn giảiPhân tích : Từ giả thiết ta có những dữ = kiện sau : P0 90.700.000, Pn 100.000.000, r 1, 7 %. Tìm n ? Áp dụng công thức Pn = P0 e n. r ⇔ 100.000.000 = 78.685.800 e1, 7 %. n ⇔ 100 = 78, 6858 e1, 7 %. n ( * ) Lấy logarit tự nhiên hai vế của ( * ) ta đượcln100 = ln ( 78, 6858 e1, 7 %. n ) ⇔ ln100 = ln 78, 6858 + 1, 7 %. n ⇔ nln100 − ln 78, 6858 ≈ 141, 7 % Vậy nếu cứ tăng dân số với tỉ lệ hàng năm là r = 1,7 % thì đền năm năm ngoái dân số nưóc ta sẽ ởmức 100 triệu người. 24B ình luận : Qua bài toán này ta cần Um ý : Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức ( 1 ) Hai là, trong giải phương trình ( * ) những em vận dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bảnsau cũng được : eu = b ⇔ u = ln b với b > 0V í dụ 3 : Sự tăng dân số được ước tính theo công thức P n = P. 0 ( 1 + r ) n, trong đó P. 0 là dân số củanăm lấy làm mốc tính, P n là dân số sau n năm, r là tỉ lệ tăng dân số hàng năm. Giả sử tỉ lệ tăngdân số hàng năm của quốc tế là không đổi trong tiến trình 1990 – 2001. Biết rằng năm 1990 dânsố quốc tế là 5,30 tỉ người, năm 2000 dân số quốc tế là 6,12 tỉ người. Tính dân số thể giới vàonăm 2011 ? ( Kết quà là tròn đến hai chữ số ) Hướng dẫn giảiPhân tích : Từ giả thiết ta có những dữ kiện sau : P. 0 = 5,30, P. 10 = 6,12, Tính r = ? P. 21 = ? Áp dụng công thúc P. n = P. 0 ( l + r ) n, ta đượcP10 = P0 ( 1 + r ) ⇔ 6,12 = 5,30 ( 1 + r ) ⇔ 1 + r = Dân số quốc tế vào năm 2011 là : P21 = P0 ( 1 + r ) = 5,30 ( 1 + 1, 45 % ) = 7,17 tỉ người. 1010106,12 ⇔ r = 1, 45 % 5,302121 Bình luận : Qua bài toán này ta cần chú ý quan tâm : Một là, trong bài toán này đề bài cho biết là ta phải sử dụng công thức ( 1 ). Hai là, trong giải phương trình ( * ) những em vận dụng trực tiếp cách giải phương trình mũ cơ bảnsau cũng được : eu = b ⇔ u = ln b với b > 0. CHỦ ĐỀ 5 : ỨNG DỤNG TRONG LĨNH VỰCKHOA HỌC KỸ THUẬTA. TÓM TẮT LÝ THUYẾT1. Bài toán về sự phóng xạ của những chất. Trong vật lí, sự phíân rã của những chất phóng xạ được màn biểu diễn  1  Tbằng công thứ m ( t ) = m0   trong đó m0 là khối lượng chất  2  phóng xạ khởi đầu ( tại thòi điểm t = 0 ) m ( t ) là khối lượng chấtphóng xạ tại thời gian t, T là chu kì bán rã ( tức là khoảng chừng thờigian để 50% số nguyên tử của chất phóng xạ bị biến thànhchất khác ). 25

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay