1. Tính diện tích hình phẳng

a ) Nếu hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) liên tục trên đoạn \ ( [ a ; b ] \ ) ; trục hoành và hai đường thẳng \ ( x = a ; x = b \ ), thì diện tích quy hoạnh \ ( S \ ) được cho bởi công thức :\ ( S = \ int_a ^ b { \ left | { f ( x ) } \ right | } dx \ ) ( 1 )

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của $f(x)$ trên đoạn $[a,b]$. Nếu $f(x)$ không đổi dấu trên khoảng $(c;d) ⊂ [a;b]$ thì :

Bạn đang đọc: “>Lý thuyết ứng dụng tích phân trong hình học>

\ ( \ int_c ^ d { \ left | { f ( x ) } \ right | } dx = \ left | { \ int_c ^ d f ( x ) dx } \ right | \ )Chẳng hạn ta có :\ ( \ int_a ^ b { \ left | { f ( x ) } \ right | } dx = \ left | { \ int_a ^ { { c_1 } } f ( x ) dx } \ right | + \ left | { \ int_ { { c_1 } } ^ { { c_2 } } f ( x ) dx } \ right | \ ) \ ( + \ left | { \ int_ { { c_2 } } ^ { { c_3 } } f ( x ) dx } \ right | + \ left | { \ int_ { { c_3 } } ^ b f ( x ) dx } \ right | \ )b ) Nếu hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số \ ( y = { \ rm { } } { f_1 } \ left ( x \ right ) \ ) và \ ( y = { \ rm { } } { f_2 } \ left ( x \ right ) \ ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng \ ( x = a, x = b \ ) thì diện tích quy hoạnh \ ( S \ ) được cho bởi công thức :\ ( \ int_a ^ b { \ left | { { f_1 } ( x ) – { f_2 } ( x ) } \ right | } dx \ ) ( 2 )

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu $f\left( x \right) = \;{f_1}\left( x \right){\rm{ }}\; – {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ trên đoạn $[a;b]$ hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng $(a;b)$, sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 : Giải phương trình : \ ( { f_1 } \ left ( x \ right ) { \ rm { } } \ ; – { \ rm { } } { f_2 } \ left ( x \ right ) { \ rm { } } = { \ rm { } } 0 \ ), tìm những nghiệm \ ( { x_i } \ ; \ in { \ rm { } } \ left ( { a ; b } \ right ) \ )Bước 2 : Sắp xếp những nghiệm theo thứ tự tăng dần, ví dụ điển hình có n nghiệm :\ [ { x_ { 1 \ ; } } < { \ rm { } } { x_2 } \ ; < { \ rm { } } \ ldots { \ rm { } } < { \ rm { } } { x_ { n. } } \ ]

Xem thêm Phép biến đổi laplace và ứng dụng - Tài liệu, ebook

Bước 3 : Tính diện tích quy hoạnh theo công thức ( * ) :

$S = \int_a {^b} \left| {f(x)} \right|dx = \left| {\int_a^{{x_1}} f (x)dx} \right| + \left| {\int_{{x_1}}^{{x_2}} f (x)dx} \right| + … + \left| {\int_{{x_n}}^b f (x)dx} \right|$

Xem thêm: Ứng dụng đo huyết áp được hàng trăm người sử dụng cho kết quả sai, không thể dùng để chẩn đoán bệnh | Tinh tế

Nếu hình phẳng nói trên không cho số lượng giới hạn bởi hai đường thẳng \ ( x = a, x = b \ ) thì ta tìm những nghiệm trên tập xác lập và trong công thức ( * ), a được sửa chữa thay thế bởi \ ( { x_1 } \ ), b được sửa chữa thay thế bởi \ ( { x_n } \ ) .Công thức ( 1 ) là trường hợp đặc biệt quan trọng của công thức ( 2 ) khi \ ( y { \ rm { } } = { \ rm { } } { f_1 } \ left ( x \ right ) = { \ rm { } } 0 \ ) hoặc \ ( y { \ rm { } } = { \ rm { } } { f_2 } \ left ( x \ right ) { \ rm { = } } 0 \ )Tương tự, hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( \ ; x { \ rm { } } = { \ rm { } } { g_1 } \ left ( y \ right ), \ ; x { \ rm { } } = { \ rm { } } { g_2 } \ left ( y \ right ) \ ) liên tục trên đoạn \ ( [ c ; d ] \ ) và hai đường thẳng \ ( y = c, y = d \ ) có diện tích quy hoạnh được cho bởi công thức : USD USD S = \ int_c ^ d { \ left | { { g_1 } ( y ) – { g_2 } ( y ) } \ right | } dy USD USD

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ \(x = a, x = b (a

3. Thể tích khối tròn xoay

a ) Hình phẳng quay quanh trục \ ( Ox \ ) : Cho hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( y = f ( x ) \ ) không âm và liên tục trên đoạn \ ( [ a ; b ] \ ), trục \ ( Ox \ ) và hai đường thẳng \ ( x = a, x = b \ ) quay quanh trục \ ( Ox \ ), ta được khối tròn xoay ( h. 4 ). Thể tích \ ( { V_x } \ ) của khối tròn xoay này được cho bởi công thức : USD USD { V_x } = \ pi { \ int_a ^ b { \ left [ { f ( x ) } \ right ] } ^ 2 } dx. USD USDb ) Hình phẳng quay quanh trục \ ( Oy \ ) ( kiến thức và kỹ năng bổ trợ ) : Cho hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số \ ( x = g ( y ) \ ) không âm và liên tục trên đoạn \ ( [ c ; d ] \ ), trục \ ( Oy \ ) và hai đường thẳng \ ( y = c, y = d \ ) quay quanh trục \ ( Oy \ ), ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức : USD USD { V_y } = \ pi { \ int_c ^ d { \ left [ { g ( y ) } \ right ] } ^ 2 } dy. USD USD

Xem thêm Foxit Reader là gì? Trình đọc tài liệu PDF có lợi ích gì hấp dẫn?

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng $x = a$, $x = b$ và đồ thị hàm số $y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_1}\left( x \right),{\rm{ }}y{\rm{ }} = {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ liên tục và $0\; \le \;\;{f_1}\left( x \right)\; \le {\rm{ }}{f_2}\left( x \right)$ trên đoạn $[a;b]$ quay quanh trục $Ox$ được cho bởi công thức: $${V_x} = \pi \int_a^b {\left[ {{{({f_2}(x))}^2} – {{({f_1}(x))}^2}} \right]} dx$$

Xem thêm: Top 7 ứng dụng chặn tin nhắn và cuộc gọi spam trên điện thoại Android – https://bem2.vn

Tương tự, đổi vai trò \ ( x \ ) và \ ( y \ ) cho nhau, ta có công thức tính \ ( { V_y } \ ) ( khi hình phẳng quay quanh trục \ ( Oy \ ) ) .