Định lý Vi-et – các dạng bài ứng dụng định lý Vi-et quan trọng

Các khái niệm quan trọng liên quan đến định lý Vi-et

Là một chủ đề toán học quan trọng, có tính ứng dụng cao, định lý vi-et lớp 9 còn được ứng dụng trong các bài toán phổ thông lên cấp 3 (THPT). Vì thế, học sinh cần nắm vững kiến thức về nó, các nội dung sau đây sẽ giúp ích đắc lực:

Định lý Vi-et là gì?

Định lý Vi-et hay hệ thức Vi-et thể hiện mối quan hệ giữa các nghiệm của phương trình (PT) trong đa thức trường số phức và các hệ số. Chúng được tìm ra bởi nhà toán học Pháp François Viète, định lý Viète được lấy theo tên của ông, và Vi-et là tên phiên âm theo tiếng Việt.

Định lý Vi-et thuận

Nếu cho phương trình bậc 2 một ẩn: Ax2+bx+c=0 (trong đó a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm tìm được thỏa mãn hệ thức sau đây:

Hệ quả : Căn cứ vào định lý Vi-ét khi phương trình bậc hai một ẩn có nghiệm, ta trọn vẹn hoàn toàn có thể nhẩm nghiệm trực tiếp của PT trong một số ít trường hợp đặc biệt quan trọng :

• Trường hợp 1 : a + b + c = 0 thì ( * ) có 1 nghiệm x1= 1 và x2= a / c
• Trường hợp 2 : a – b + c = 0 thì ( * ) có nghiệm x1= – 1 và x2= – c / a

Định lý Vi-et đảo

Giả sử cho hai số thực x1 và x2 thỏa mãn hệ thức sau đây:

Vậy thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình bậc 2: x2-Sx+P=0 (1).

Lưu ý : S2 – 4P ≥ 0 ( điều kiện kèm theo bắt buộc )

Tìm hiểu về định lý Vi-et bậc 2, bậc 3, bậc n

Hệ thức Vi-ét bậc 2

Gọi nghiệm của phương trình bậc 2 lần lượt là x1 và x2, công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình như sau:

PT: (ax^2 + bx + c = 0 (trong đó a # 0) thì ta có:  x1 + x2 = S = -b/a và x1.x2 = P = c/a

Hệ thức Vi-ét bậc 3

Gọi nghiệm của phương trình bậc 3 lần lượt là x1, x2 và x3, công thức Vi-ét thể hiện theo phương trình như sau:

PT : ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 ( x1, x2 và x3 là 3 nghiệm phân biệt ), ta có :

• x1+x2+ x3= – b / a
• x1 x2+ x1 x3+ x1 x3= c / a
• x1 x2 x3= c / a

Hệ thức Vi-ét bậc 4

Nếu phương trình bậc bốn: a(x2)2+bx3+cx2+dx+e=0 (a≠0) có 4 nghiệm x1, x2, x3 và x4, thì:

• x1+x2+ x3+ x4= – b / a
• x1 x2+ x1 x3+ x1 x4+ x2 x3+ x2 x4+ x3 x4= c / a
• x1 x2 x3+ x1 x2 x4+ x1 x3 x4+ x2 x3 x4= – d / a
• x1 x2 x3x4= e / a

Trong đó :

• x1,x2,x3vàx4lần lượt là nghiệm của phương trình bậc 4
• a, b, c, d, e là những số đã biết sao cho a khác 0. a, b, c, d, e là những thông số của phương trình đã cho và ta hoàn toàn có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với thông số của x .
• a : thông số bậc 4
• b : thông số bậc 3
• c : thông số bậc 2
• d : thông số bậc 1
• e : hằng số ( số hạng tự do )

Định lý Vi-ét tổng quát

Ta có hệ thức Vi-ét tổng quát được thể hiện như sau:

Ngược lại nếu có các số x1, x2 đến xn thỏa mãn hệ (I) trên thì chúng là nghiệm của phương trình (1) đã cho.

Ứng dụng định lý Vi-ét trong giải toán

Trong chương trình toán học cơ bản, ta chủ yếu tiếp xúc các bài tập về Định lý Vi-et bậc 2. Hệ thức Vi-et bậc 3 và 4 chủ yếu gặp qua các bài toán nâng cao, thi Olympic.

Để tìm hiểu và khám phá đơn cử hơn những dạng bài toán định lý Vi – et quan trọng, bạn đọc hoàn toàn có thể tìm hiểu thêm những loại bài toán đơn cử sau đây :

Loại 1: Dựa vào định lý Vi-et để nhẩm nghiệm

Khi gặp những bài toán giải nghiệm PT bậc 2, ta thường dùng cách tính Δ để suy ra nghiệm. Tuy nhiên, vận dụng định lý Vi-et để nhẩm nghiệm sẽ cho tác dụng nhanh hơn, hạn chế sai sót trong đo lường và thống kê. Tuy không phải một dạng bài lớn nhưng nó lại rất quan trọng trong việc đẩy nhanh vận tốc giải quyết và xử lý bài toán, học viên nên vận dụng :

Loại 2: Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm

Xét phương trình ax2 + bx + c = 0 (trong đó a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2. Khi đó ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2.

Loại 3: Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng

Bài toán này địa thế căn cứ vào hệ thức Vi-ét hòn đảo, đơn cử như sau :

Loại 4: Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử

Ví dụ : Phân tích biểu thức sau : 3×2 + 5 x – 8 thành nhân tử
Giải :
Xét biểu thức : 3×2 + 5 x – 8 = 0 ( 1 )
Ta có : a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0
=> ( 1 ) có 2 nghiệm là x1 = 1 và x1 = c / a = – 8/3
Khi này tam thức 3×2 + 5 x – 8 = ( x – 1 ) ( x + 8/3 )

Loại 5 : Áp dụng định lý Viet để tính giá trị biểu thức đối xứng

Phương pháp : f ( x1, x2 ) = f ( x2, x1 )
Biểu thức đối xứng với x1, x2 khi ta đổi chỗ x1, x2cho nhau thì giá trị biểu thức này vẫn không đổi khác :
– Nếu f là một biểu thức đối xứng thì nó luôn sống sót cách trình diễn qua biểu thức đối xứng S = x1 + x2, P = x2. x2
– Một số màn biểu diễn quen thuộc thường gặp :

• x1

  2

  Xem thêm: Cách quay màn hình máy tính đơn giản mà không cần phần mềm | Tinh tế

  + x22= ( x1+ x2)2– 2 x1x2= S2– 2P

• x13+ x23= ( x1+ x2)3– 3 x1x2( x1+ x2) = S3– 3SP
• x14+ x24= ( x12+ x22)2– 2 x12x22= ( S2– 2P2) – 2P2
• 1 / x1+ 1 / x2= ( x1+ x2) / x1x2= S / P.
• 1 / x12+ 1 / x22= ( x12+ x22) / x12x22= ( S2– 2P ) / P.2

– Căn cứ hệ thức Vi-et, ta trọn vẹn tính được giá trị biểu thức cần tìm .

Loại 6: Áp dụng định lý Vi-ét giải các bài toán tham số

Liên quan đến những bài toán tham số, học viên bắt buộc phải xét những trường hợp sống sót nghiệm. Sau đó, vận dụng những hệ thức Vi-et cho phương trình bậc 2 ( hoàn toàn có thể bậc cao hơn với những bài nâng cao ). Từ đó suy ra hệ thức nghiệm x1, x2 ( xn ) theo tham số. Kết hợp với một số ít dữ kiện cho khởi đầu, sẽ tìm được đáp án .
Ví dụ : Cho phương trình mx2-2 ( 3 – m ) x + m – 4 = 0 ( I ) ( với m là tham số ) .
Tìm m sao cho :
1 / Phương trình ( I ) có đúng 1 nghiệm
2 / Phương trình ( I ) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
Cách làm :

Đặc biệt, do ở thông số a có chứa tham số m nên ta cần xét 2 trường hợp của m :
– Trường hợp 1 : a = 0 ⇔ m = 0
Khi đó ( I ) ⇔ – 6 x – 4 = 0 ⇔ x = – ⅔
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = – ⅔
– Trường hợp 2 : a ≠ 0 ⇔ m ≠ 0
Lúc này, điều kiện kèm theo là :

Loại 7: Tìm điều kiện của m để PT bậc 2 có nghiệm x = x1 cho trước

Đối với những bài tập tìm điều kiện kèm theo của tham số để phương trình ( 1 ) có được nghiệm như cho trước, ta hoàn toàn có thể làm theo hai chiêu thức sau :
Cách 1 :

• B1 : Xác định điều kiện kèm theo cho phương trình đã cho có nghiệm Δ ≥ 0 ( Δ ≥ 0 ) ( I )
• B2 : Thay x = x1vào phương trình tham số ( 1 )
• B3 : Đối chiếu với giá trị vừa tìm được với điều kiện kèm theo ( * ) để đưa ra Kết luận

Cách 2 :

• B1 : Thay x = x1vào phương trình ( 1 ) đã cho để tìm giá trị của tham số ( m = m1) .
• B2 : Thay giá trị của tham số m1( hằng số vừa tìm được ) vào phương trình và giải nghiệm .
• B3 : Nếu phương trình đã thay tham số m1có Δ < 0, suy ra không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước .

Tìm nghiệm thứ 2 :

• Cách 1 : Thay giá trị của tham số m = m1vào phương trình rồi giải phương trình như thông thường .
• Cách 2 : Thay giá trị của tham số m = m1vào công thức tổng của 2 nghiệm để tìm ra nghiệm thứ hai .
• Cách 3 : Thay giá trị của tham số m = m1vào công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai .

Ví dụ : Tìm k sao cho :

a/ PT: 2x2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2, tìm nghiệm còn lại

b/ PT: (k – 5)x2 – (k – 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = – 2, tìm nghiệm còn lại

c/ PT:  kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3, tìm nghiệm còn lại

Giải :

Loại 8: Xác định tham số để các nghiệm PT bậc 2 thỏa mãn điều kiện cho trước

Thông thường, những “ điều kiện kèm theo cho trước ” của dạng bài này là những đẳng thức hoặc để những nghiệm đạt giá trị lớn nhất ( GTLN ), giá trị nhỏ nhất ( GTNN ) …

Lưu ý : Sau khi xác lập được tham số m, không được quên so sánh với điều kiện kèm theo để phương trình khởi đầu có nghiệm .
Ví dụ :

Cho PT: x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m sao cho trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 – x2 = 4

Loại 9: Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2 (cùng dấu / trái dấu)

Áp dụng định lý Viet ta có thể xét dấu các nghiệm của PT bậc 2: ax2 + bx + c=0 (với a ≠ 0) như sau:

Loại 10: Ứng dụng định lý Vi-et trong giải phương trình, hệ phương trình

Loại 11: Các bài tập định lý Vi-ét nâng cao

– Tính các biểu thức lượng giác:

– Ứng dụng chứng tỏ bất đẳng thức :

Trên đây là tổng quan khái niệm về hệ thức Vi-ét, giới thiệu 11 dạng bài ứng dụng định lý Vi-et trong giải toán. Mong rằng các nội dung trên đây sẽ là cẩm nang kiến thức hữu ích, giúp các sĩ tử giải quyết bài tập nhanh chóng, giành điểm cao! Đừng quên ghé thăm Thợ sửa xe mỗi ngày để cập nhật nhiều chủ đề học tập, cách giải toán hay và hữu ích khác!

Xem thêm:

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay