33 trang
| Chia sẻ : aloso
| Lượt xem: 22866
| Lượt tải: 24
Bạn đang xem nội dung tài liệu Hàm một biến và ứng dụng của toán học trong kinh tế, để tải tài liệu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên
Chương I : Phép tính vi phân hàm một biến Hàm số và giới hạn của hàm số : Hàm số : Định nghĩa : Cho X là một tập con của tập số thực. Một hàm số xác lập trên X là một quy tắc f đặt tương ứng mỗi điểm với một giá trị duy nhất f ( x ). Ký hiệu : X được gọi là tập xác lập của hàm số f. Tập hợp được gọi là tập giá trị của hàm số f. Đồ thị của hàm số : Cho hàm số f có tập xác lập X. Tập hợp toàn bộ những điểm với được gọi là đồ thị của hàm số f. Hàm số đơn điệu : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ). ■ Nếu thì f được gọi là hàm số tăng trên khoảng chừng ( a, b ). ■ Nếu thì f được gọi là hàm số giảm trên khoảng chừng ( a, b ). Hàm số chẵn, hàm số lẻ : Cho hàm số xác lập trên tập hợp X. ■ f được gọi là hàm số chẵn nếu ■ f được gọi là hàm số lẻ nếu Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục Oy, còn đồ thị hàm số lẻ đối xứng qua gốc tọa độ. Giới hạn của hàm số một biến : Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ) hoàn toàn có thể trừ ra điểm. Ta nói hàm số f ( x ) có giới hạn là A khi x tiến tới nếu với mọi dãy, ta đều có Ký hiệu : Các phép toán về giới hạn : Cho f ( x ), g ( x ) là hai hàm số có giới hạn khi. Khi đó : Một số giới hạn cơ bản : a ) Nếu f ( x ) là một hàm số sơ cấp và x0 thuộc miền xác lập của nó thì : b ), c ) d ) e ) f ) g ) Ví dụ : Tính những giới hạn sau : a ) b ) c ) Giải Ta có : a ) b ) c ) 1.2. Vô cùng bé, vô cùng lớn : 1.2.1. Vô cùng bé : Định nghĩa : Hàm được gọi là vô cùng bé ( VCB ) khi nếu. Cho, là hai VCB khi. Giả sử sống sót ♦ Trường hợp 1 : Nếu A = 1 thì, là hai VCB tương tự. Ký hiệu : khi. ♦ Trường hợp 2 : Nếu thì, là hai VCB cùng cấp. ♦ Trường hợp 3 : Nếu A = 0 thì VCB gọi là cấp cao hơn VCB khi. Ký hiệu : khi. Ví dụ : Ta có : khi Ví dụ : Ta có : nên cấp cao hơn x. 1.2.2. Vô cùng lớn : Định nghĩa : Hàm gọi là vô cùng lớn ( VCL ) khi nếu Dễ thấy rằng nếu là VCL thì là VCB, ngược lại nếu là VCB thì là VCL Như vậy, việc điều tra và nghiên cứu những VCL hoàn toàn có thể chuyển sang những VCB. 1.3. Hàm số một biến liên tục : Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ) ,. Hàm số f ( x ) được gọi là liên tục tại x0 nếu. Trường hợp thì ta nói hàm số liên tục bên trái tại điểm x0, thì ta nói hàm số liên tục bên phải tại điểm x0. Vậy f liên tục tại x0. Nếu hàm số không liên tục tại x0 thì f được gọi là gián đoạn tại điểm x0. Vậy f gián đoạn tại điểm x0 khi không sống sót hoặc Định lí : Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ a, b ]. Khi đó : f bị chặn trên đoạn [ a, b ], nghĩa là sống sót số M > 0 sao cho : f có giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [ a, b ]. Nếu f ( a ). f ( b ) < 0 thì sống sót 1.4. Đạo hàm : 1.4.1. Đạo hàm cấp một và đạo hàm cấp cao : Định nghĩa : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ) ,. Cho x0 một số gia. Đặt. Nếu sống sót giới hạn thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0. Ký hiệu : Hàm số có đạo hàm gọi là hàm khả vi. Đạo hàm của hàm số được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f ( x ). Ký hiệu : Tổng quát : đạo hàm cấp n của hàm số y = f ( x ) là 1.4.2. Ý nghĩa hình học của đạo hàm : Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại điểm x0 thì tiếp tuyến của hàm số tại điểm có phương trình : 1.4.3. Cách tính đạo hàm : Các đạo hàm cơ bản : Các quy tắc tính đạo hàm : Ví dụ : Tính đạo hàm của những hàm số sau : a ) b ) c ) d ) 1.4.4. Vi phân của hàm một biến : Định nghĩa : Hàm f khả vi tại x0 nếu và chỉ nếu f có đạo hàm tại x0. Vi phân của hàm y = f ( x ) là Vi phân cấp cao : Nếu hàm số f có đạo hàm đến cấp n thì vi phân cấp n của hàm số f là : Ví dụ : Cho hàm số. Khi đó : 1.5. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân : 1.5.1. Khử dạng vô định trong tính giới hạn : Định lí : Quy tắc L’Hospital Nếu có dạng hoặc thì Ví dụ : Tính ( dạng ) Tính ( dạng ) Tính ( dạng ) 1.5.2. Cực trị của hàm một biến : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ) và. Điểm được gọi là điểm cực lớn của hàm số y = f ( x ) nếu sống sót khoảng mở sao cho : Điểm được gọi là điểm cực tiểu của hàm số y = f ( x ) nếu sống sót khoảng mở sao cho : Điểm x0 được gọi là điểm cực trị nếu nó là điểm cực lớn hoặc cực tiểu. Định lí : Nếu x0 là điểm thỏa và đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương thì điểm x0 là điểm cực tiểu của hàm số. Nếu x0 là điểm thỏa và đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm thì điểm x0 là điểm cực lớn của hàm số Định lí : Nếu x0 là điểm mà tại đó và thì hàm số đạt cực lớn tại điểm x0. Nếu x0 là điểm mà tại đó và thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm x0. 1.5.3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số : Cho hàm số y = f ( x ) xác lập là liên tục trên đoạn [ a, b ] và f khả vi trong ( a, b ). Để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên đoạn [ a, b ] ta làm như sau : Bước 1 : Tính Bước 2 : Giải phương trình tìm những nghiệm Bước 3 : Tính f ( a ), f ( b ), f ( xi ) Khi đó : Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn Ta có : Mặt khác : Vậy và Ví dụ : Một xí nghiệp sản xuất sản xuất máy tính xác lập rằng để bán x loại sản phẩm mới, giá mỗi loại sản phẩm phải là : p = 1000 – x. Nhà sản xuất cũng xác lập được tổng giá trị của x loại sản phẩm làm ra cho bởi C ( x ) = 3000 + 20 x Tìm tổng thu nhập R ( x ) Tìm tổng doanh thu P. ( x ) Nhà máy phải sản xuất và bán bao nhiêu mẫu sản phẩm để doanh thu đạt max. Lợi nhuận lớn nhất là bao nhiêu trong trường hợp câu c ) Giá mỗi loại sản phẩm là bao nhiêu để doanh thu đạt max. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA TOÁN HỌC TRONG KINH TẾ Bài toán tìm kích cỡ lô hàng tối ưu : Giả sử n là số đơn vị chức năng một loại hàng mà một shop bán được trong một năm, h là ngân sách lưu kho cho một đơn vị chức năng hàng trong một năm, p là ngân sách cho mỗi chuyến đặt hàng, còn Q. là kích cỡ của mỗi chuyến đặt hàng ( kích cỡ của mỗi lô hàng ). Ta xem n, h, p là những hằng số, còn Q. là biến số, lúc này tổng ngân sách trong một năm của shop so với loại sản phẩm & hàng hóa trên là hàm số C gồm có 2 loại ngân sách : ngân sách lưu kho và ngân sách cho những chuyến hàng. ■ Chi tiêu lưu kho : ■ Ngân sách chi tiêu cho những chuyến hàng : Ví dụ : Một shop kinh doanh bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. giá thành gởi trong kho là USD 10 một cái trong một năm. Để đặt hàng, ngân sách cố định và thắt chặt là USD 20, cộng thêm USD 9 mỗi cái. Cửa hàng nên đặt hàng bao nhiêu lần trong mỗi năm và mỗi lần đặt bao nhiêu cái để ngân sách hàng tồn dư là nhỏ nhất ? Giải Ta có : n = 2500, h = 10. Gọi Q. là số tivi mà shop đặt hàng mỗi lần. Khi đó : Q. Khi đó, số lượng tivi trung bình gởi trong kho là. Do đó, ngân sách lưu kho mỗi năm là 10. = 5Q ( 1 ) Số lần đặt hàng mỗi năm là :. Do đó, ngân sách đặt hàng mỗi năm là : ( 20 + 9Q ) = + 22500 ( 2 ) Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra ngân sách của shop là : C ( Q. ) = 5Q + + 22500 Ta có : Vì Qnên ta loại Q = - 100 với Q > 0 nên Khi đó, số lần đặt hàng mỗi năm là. Vậy, để ngân sách hàng tồn dư nhỏ nhất thì shop nên đặt hàng 25 lần mỗi năm và mỗi lần đặt 100 cái tivi. Ví dụ : Số sản phẩm & hàng hóa của một shop bán ra trong một năm là n = 400000 loại sản phẩm, ngân sách lưu kho của mỗi đơn vị chức năng sản phẩm & hàng hóa là USD 2, ngân sách cho mỗi chuyến đặt hàng là USD 10. Xác định size lô hàng Q. để tổng ngân sách của shop là nhỏ nhất. Ý nghĩa của đạo hàm : Giả sử hai biến x và y có mối quan hệ hàm y = f ( x ) ( ví dụ điển hình x là giá của một loại sản phẩm & hàng hóa và y là số lượng hàng đó bán ra ). Trong thực tiễn người ta chăm sóc đến xu thế biến thiên của biến y tại x0 khi x đổi khác một lượng nhỏ. Lượng biến hóa của y khi x đổi khác một lượng là : Tốc độ đổi khác trung bình của y theo x trong khoảng chừng từ x0 đến x0 + là : Tốc độ đổi khác tức thời của y theo x tại điểm x0 là : Khi khá nhỏ thì hay Vậy x biến hóa một lượng thì y đổi khác một lượng xê dịch bằng ( ví dụ điển hình giá biến hóa một lượng thì số hàng bán ra đổi khác một lượng là ) Ví dụ : Hàm cầu của một loại mẫu sản phẩm là. Tìm vận tốc biến hóa giá khi lượng cầu Q. biến hóa. Giá đổi khác như thế nào khi Q = 1 ? Giải Tốc độ đổi khác của giá P. theo Q. là :. Do đó :. Điều này có nghĩa là khi lượng cầu tăng thêm 1 đơn vị chức năng loại sản phẩm thì giá giảm trên một đơn vị chức năng loại sản phẩm là 2 đơn vị chức năng tiền. Ý nghĩa của yếu tố : Khi giá loại sản phẩm cao thì nhu yếu mua loại sản phẩm đó sẽ giảm, ngược lại khi giá mẫu sản phẩm xuống thấp hơn thì nhu yếu mua mẫu sản phẩm đó sẽ tăng lên. Lãi suất ngân hàng nhà nước cuối năm 2007 là 1,25 % / tháng thì có nhiều người mua đất cất nhà hơn. Đến tháng 5 năm 2008 lãi suất vay ngân hàng nhà nước là 1,75 % / tháng thì số người mua đất cất nhà sẽ giảm đi. Giá trị cận biên : Trong kinh tế, đại lượng đo vận tốc biến hóa của biến phụ thuộc vào y khi biến độc lập x biến hóa một lượng nhỏ gọi là giá trị cận biên của y so với x, ký hiệu : My ( x ). Từ định nghĩa của đạo hàm ta có : Ta thường chọn xê dịch tức là My ( x ) gần bằng lượng đổi khác của y khi x tăng lên một đơn vị chức năng. Giá trị cận biên của ngân sách : Cho hàm ngân sách C = C ( Q. ). Khi đó ta gọi MC ( Q. ) là giá trị cận biên của ngân sách. Giá trị này hoàn toàn có thể coi là lượng đổi khác của ngân sách khi Q. tăng lên một đơn vị chức năng. Ví dụ : Cho ngân sách trung bình để sản xuất một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm là : Tìm giá trị cận biên của ngân sách so với Q. loại sản phẩm. Áp dụng Q = 50. Giải Hàm tổng chi phí sản xuất Q. đơn vị chức năng mẫu sản phẩm là : Giá trị cận biên của ngân sách là : Khi Q = 50 thì :. Như vậy nếu Q. tăng lên một đơn vị chức năng từ 50 lên 51 thì ngân sách tăng lên 3,75 đơn vị chức năng. Giá trị cận biên của lệch giá : Cho hàm lệch giá R = R ( Q. ). Khi đó ta gọi MR ( Q. ) là giá trị cận biên của lệch giá. Ví dụ : Số vé bán được Q. và giá vé P. của một hãng xe bus có quan hệ Q. = 10000125P. Tìm lệch giá cận biên khi P. = 30, P = 42. Giải Theo giả thiết : Q = 10000 125P ( 1 ) ( 2 ) Ta có lệch giá : ( 3 ) Thế ( 2 ) vào ( 3 ) Nên ( 4 ) ■ Khi P. = 30. Từ ( 1 ) Từ ( 4 ) ■ Khi P = 42. Từ ( 1 ) Từ ( 4 ) Hàm cầu và tính co và giãn của cầu : Ta gọi P. là giá bán một loại sản phẩm và Q. là số lượng mẫu sản phẩm bán được ( hay nhu yếu về loại mẫu sản phẩm đó ). Khi đó ta hoàn toàn có thể coi Q. là hàm số với biến số là P., và nhìn chung đây là hàm số nghịch biến vì giá cả càng cao thì nhu yếu càng thấp và ngược lại. Khi ta có hàm cầu : Q = f ( P. ) Hàm tổng doanh thu : Ta lấy đạo hàm của R theo biến Q. và gọi nó là hàm lệch giá biên tế, ký hiệu : MR. Hệ số co và giãn của đại lượng Q. theo đại lượng P. được A. Marshall đặt là :. ( đọc là eta ) được gọi là độ co và giãn của cầu. Ví dụ : Cho hàm cầu. Tìm thông số co và giãn của cầu tại P. = 3. Giải Hệ số co và giãn của cầu là : Tại P = 3, Lựa chọn tối ưu trong kinh tế : Nhiều bài toán về kinh tế được đưa về tìm cực trị của một hàm y = f ( x ). Ta gọi P. là đơn giá, hàm sản lượng Q = Q ( P. ), hàm lệch giá R = PQ, hàm ngân sách C = C ( Q. ), hàm doanh thu N = R – C Trong kinh tế ta thường gặp những bài toán sau : ■ Tìm P. để sản lượng Q. đạt tối đa ( cực lớn ) ■ Tìm P. hoặc Q. để lệch giá R đạt tối đa. ■ Tìm Q. để ngân sách C đạt tối thiểu ( cực tiểu ) Ví dụ : Lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp sản xuất có doanh thu tối đa Giả sử hàm cầu theo giá bán trong một đơn vị chức năng thời hạn và hàm tổng ngân sách là : C = C ( Q. ). Tìm sản lượng Q. trong một đơn vị chức năng thời hạn để doanh thu tối đa. Phương pháp giải : Để hàng bán hết xí nghiệp sản xuất chỉ hoàn toàn có thể bán với giá P. sao cho. Từ đó lệch giá của xí nghiệp sản xuất là và doanh thu của nhà máy sản xuất là : N = R – C. Sản lượng Q. muốn tìm chính là Q > 0 để N đạt giá trị lớn nhất. Ví dụ : Cho hàm cầu và hàm ngân sách. Tìm Q. để doanh thu lớn nhất. Giải Ta có : Doanh thu : Lợi nhuận : N Q N ’ N 1 11 0 0 + – 26 474 0 – 10 Vậy doanh thu lớn nhất khi Q = 11. Định mức đánh thuế lệch giá : Giả sử một xí nghiệp sản xuất sản xuất độc quyền một loại loại sản phẩm có hàm cầu trong một đơn vị chức năng thời hạn và hàm chi phí sản xuất trong một đơn vị chức năng thời hạn là C = C ( Q. ). Xác định mức thuế trên một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm của xí nghiệp sản xuất để thu được nhiều thuế nhất. Phương pháp giải : Giả sử mức thuế trên một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm là t > 0. Ta có : Q = Q ( P. ). Lợi nhuận của xí nghiệp sản xuất là : Xí nghiệp sẽ sản xuất ở mức Q = Q ( t ) để N đạt max. Do đó thuế thu được sẽ là T = Q ( t ). t. Ta cần xác lập t để Ví dụ : Cho hàm cầu Q = 300 – P., hàm ngân sách :. Hãy xác lập mức thuế t trên một đơn vị chức năng loại sản phẩm để tổng doanh thu và tổng thuế chính phủ nước nhà thu được đạt giá trị cực lớn. b ) Muốn xí nghiệp sản xuất sản xuất tối thiểu là 40 mẫu sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị chức năng loại sản phẩm là bao nhiêu ? Giải a ) Ta có : Q = 300 – P P = 300 – Q. Doanh thu của xí nghiệp sản xuất là : R = P. Q = ( 300 – Q. ) Q = 300 Q – Q2 Thuế của nhà máy sản xuất là : Q.t Lợi nhuận của xí nghiệp sản xuất là : N = 300 Q – Q2 – – Q.t = Vậy để có doanh thu lớn nhất nhà máy sản xuất phải sản xuất ở mức : Do đó thuế thu được là : Vậy để ta chọn mức thuế là t = 100. Với mức thuế t = 100 thì nhà máy sản xuất sẽ sản xuất ở mức : Q = mẫu sản phẩm trong một đơn vị chức năng thời hạn. b ) Muốn nhà máy sản xuất sản xuất tối thiểu 40 loại sản phẩm thì :. Nghĩa là cần chọn mức thuế tối đa là 40 cho một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm. Ví dụ : Một công ty sản xuất độc quyền một loại loại sản phẩm biết hàm tổng ngân sách và hàm cầu Q =. a ) Hãy xác lập mức thuế t trên một đơn vị chức năng mẫu sản phẩm để tổng doanh thu và tổng thuế chính phủ nước nhà thu được đạt giá trị cực lớn. b ) Muốn công ty sản xuất tối thiểu là 200 mẫu sản phẩm thì mức thuế thu trên mỗi đơn vị chức năng loại sản phẩm là bao nhiêu ? Bài tập : Tìm những giá trị cận biên : a ) tại Q = 3. b ) tại Q. = 5. c ) tại Q. = 5. 2. Cho hàm cầu a ) Xác định thông số co dãn khi P = 4. b ) Nếu giá giảm 2 % ( từ 4 giảm còn 3,92 ) thì lượng bán ra đổi khác bao nhiêu Xác Suất ? 4. Doanh thu của một loại loại sản phẩm cho bởi. Tìm Q. để lệch giá đạt tối đa. 5. Cho hàm cầu của một loại loại sản phẩm là : P = – 5Q + 30. Tìm mức giá để lệch giá đạt tối đa. 6. Một loại mẫu sản phẩm có hàm cầu là : P = 42 – 4Q và hàm ngân sách trung bình a ) Tìm mức sản xuất Q., để có ngân sách tối thiểu. b ) Tìm mức sản xuất Q., để có ngân sách tối thiểu. 7. Hàm cầu của một loại mẫu sản phẩm độc quyền là P = 600 – 2Q và tổng ngân sách là : a ) Tìm mức sản xuất Q. để doanh thu đạt tối đa. Tìm mức giá P. và doanh thu lúc đó. b ) Chính quyền thành phố đặt thuế là 22 đơn vị chức năng tiền cho một đơn vị chức năng loại sản phẩm. Tìm mức sản xuất để doanh thu đạt tối đa, tìm mức giá và doanh thu trong trường hợp này. 8. Xác định doanh thu tối đa, khi biết những hàm tổng doanh thu R và tổng ngân sách C. a ) b ) c ) 9. Xác định ngân sách trung bình nhỏ nhất, nếu biết những hàm tổng ngân sách là : a ) C = b ) C = Chương 2 : Phép tính vi phân hàm nhiều biến 2.1. Khái niệm hàm hai biến : Cho E là một tập hợp con của. Một hàm hai biến xác lập trên E là một quy luật f đặt tương ứng mỗi điểm với một số ít thực duy nhất z = f ( x, y ) Ký hiệu : E được gọi là tập xác lập của f. Ví dụ : Hàm số có tập xác lập là hình tròn trụ đóng 2.2. Giới hạn của hàm hai biến : 2.2.1. Định nghĩa : Cho hàm số z = f ( x, y ) xác lập trên miền D, hoàn toàn có thể trừ ra điểm ( D là tập mở ). Ta nói hàm số f ( x, y ) có giới hạn là A khi tiến đến nếu với mọi dãy điểm ta đều có Nếu f ( x, y ) có giới hạn là A khi thì ta ký hiệu 2.2.2. Tính chất : Ví dụ : Chứng minh rằng : Giải Ta có : Do nên Ví dụ : Chứng minh rằng không sống sót Lấy hai dãy sao cho thì khi. Khi đó : nên Lấy hai dãy sao cho thì khi. Khi đó : nên Vậy không sống sót 2.3. Sự liên tục của hàm hai biến : 2.3.1. Định nghĩa : Hàm được gọi là liên tục tại điểm ( x0, y0 ) nếu. Hàm f ( x, y ) được gọi là liên tục trên tập E nếu nó liên tục tại mọi điểm. 2.3.2. Định lí : Cho hàm số f ( x, y ) liên tục trên trên miền đóng, bị chặn E. Khi đó : f bị chặn trên E, nghĩa là sống sót M sao cho f đạt giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên E. 2.4. Đạo hàm riêng cấp một và đạo hàm riêng cấp cao : 2.4.1. Định nghĩa đạo hàm riêng : Cho hàm xác lập trên miền D ,. Nếu sống sót giới hạn thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm riêng theo biến x của hàm tại điểm ( x0, y0 ). Ký hiệu : hoặc Tương tự : Đạo hàm riêng theo biến y của hàm tại điểm ( x0, y0 ) là : = Vậy để tính đạo hàm riêng của hàm theo biến x ta coi y là hằng số, đạo hàm riêng của hàm theo biến y ta coi x là hằng số. Ví dụ : Cho hàm số. Tính Ta có :, Ví dụ : Cho. Tính Ta có : 2.4.2. Đạo hàm riêng cấp cao : Nếu hàm có đạo hàm riêng theo biến x thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến x. Ký hiệu : hoặc Nếu hàm có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm riêng cấp hai theo biến y. Ký hiệu : hoặc Nếu hàm có đạo hàm riêng theo biến y thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm hỗn hợp theo x và y. Ký hiệu : hoặc Nếu và sống sót và liên tục trong miền mở G thì chúng bằng nhau. Ví dụ : Cho. Tính Giải Ta có :, 2.5. Vi phân toàn phần của hàm hai biến : 2.5.1. Định lí : i ) Nếu hàm số f ( x, y ) khả vi tại điểm ( x0, y0 ) thì f ( x, y ) có những đạo hàm riêng tại ( x0, y0 ) ii ) Nếu hàm số f ( x, y ) có những đạo hàm riêng trong một miền chứa ( x0, y0 ) và những đạo hàm riêng này liên tục tại ( x0, y0 ) thì f ( x, y ) khả vi tại ( x0, y0 ) và ♦ df được gọi là vi phân toàn phần của hàm số f ( x, y ) tại ( x0, y0 ). Ví dụ : Cho hàm số. Tính df Giải Ta có : 2.5.2. Vi phân cấp cao : Vi phân cấp hai của hàm f là vi phân của df nếu coi dx, dy là hằng số. Tổng quát : Vi phân toàn phần cấp n được định nghĩa là : 2.6. Ứng dụng của đạo hàm và vi phân của hàm hai biến : 2.6.1. Cực trị của hàm hai biến : Cho là một hàm hai biến xác lập trong miền D, điểm. Điểm được gọi là điểm cực lớn ( cực tiểu ) của hàm f nếu sống sót miền con sao cho : Nếu f có cực lớn hay cực tiểu thì ta nói hàm số có cực trị tại điểm Định lí : Nếu f ( x, y ) có cực trị tại mà tại đó sống sót những đạo hàm riêng thì. Các điểm mà tại đó gọi là những điểm dừng. Đặt Định lí : Nếu tại điểm dừng có : ■ thì hàm số không có cực trị ■ thì hàm số có cực trị. Khi hàm số có cực trị và A > 0 thì hàm số đạt cực tiểu, còn A < 0 thì hàm số đạt cực lớn tại. Lưu ý : Khi thì chưa Tóm lại được cực trị, ta gọi đây là điểm hoài nghi cần xét thêm. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm số : Giải Ta có : Tại điểm O ( 0, 0 ) nên hàm số không có cực trị tại O ( 0, 0 ). Tại điểm M ( 1, 1 ) và A > 0 nên hàm số đạt cực tiểu tại M ( 1, 1 ) và Ví dụ : Tìm cực trị của hàm Giải Ta có : Vậy những điểm dừng nằm trên hai trục tọa độ. Tại những điểm dừng trên hai trục tọa độ thì AC B2 = 0 Rõ ràng :, còn điểm tới hạn thì z = 0. Nên những điểm giới hạn đều là điểm cực tiểu và. 2.6.2. Cực trị có điều kiện kèm theo của hàm hai biến : Cho hàm xác lập trên miền D, là một hàm xác lập trên D. Tìm cực trị của hàm với điều kiện kèm theo Phương pháp giải : Đặt Giải hệ phương trình : ( 1 ) tìm. Số được gọi là nhân tử Lagrange. Giả sử tại điểm sống sót vi phân cấp hai : Định lí : Cho điểm thoả hệ phương trình ( 1 ). Khi đó nếu : thì f ( x, y ) có cực tiểu. thì f ( x, y ) có cực lớn. Ví dụ : Tìm cực trị của hàm f ( x, y ) = 64×3 y với điều kiện kèm theo x2 + y2 = 1 Giải Đặt Giải hệ phương trình : Mặt khác : ■ Với Vậy hàm số đạt cực tiểu tại và fCT = 1. ■ Với Vậy hàm số đạt cực lớn tại và fCĐ = 11. 2.6.3. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm hai biến : Cho hàm liên tục trong miền đóng bị chặn và có những đạo hàm riêng cấp 1 trên D. Để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm ta tìm những điểm dừng của hàm trong D. Tìm những giá trị của hàm tại những điểm hoài nghi có cực trị trên. So sánh những giá trị trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số. Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm : trong hình tròn trụ Các ứng dụng của hàm số nhiều biến số : Cực trị của hàm nhiều biến : Ví dụ : Giả sử ngân sách C của một công ty nhờ vào vào hai biến số x và y là số lượng loại sản phẩm từng loại mà công ty sản xuất ra. Giả sử bằng cách tính gần đúng ta xác lập được công thức của hàm ngân sách : Ví dụ : Lập kế hoạch sản xuất trong điều kiện kèm theo cạnh tranh đối đầu hoàn hảo nhất Giả sử xí nghiệp sản xuất sản xuất n loại loại sản phẩm trong điều kiện kèm theo cạnh tranh đối đầu tuyệt vời ( tức là đơn vị sản xuất phải bán hết loại sản phẩm với giá do thị trường quyết định hành động ). Cho biết giá cả của những mẫu sản phẩm trên là và hàm tổng ngân sách trong một đơn vị chức năng thời hạn là. Hãy lập kế hoạch sản xuất để xí nghiệp sản xuất có lợi nhất. Phương pháp giải : Gọi là số lượng những loại loại sản phẩm được sản xuất trong một đơn vị chức năng thời hạn. Khi đó lệch giá của xí nghiệp sản xuất là : và doanh thu thu được là : Mức sản lượng muốn tìm là q để N đạt max. Ví dụ : Xí nghiệp sản xuất hai loại mẫu sản phẩm với giá bán p1 = 8, p2 = 6. Hàm tổng ngân sách là :. Tìm sản lượng q1, q2 để doanh thu đạt tối đa. Giải Hàm doanh thu là : Khi đó : AC – B2 = 8 – 4 = 4 và A < 0 nên hàm số đạt cực lớn tại Cực trị có điều kiện kèm theo của hàm nhiều biến : Cho hàm sản xuất với điều kiện kèm theo ràng buộc về ngân sách là : 2 x + y = 6. Tìm điều kiện kèm theo của x, y để sản xuất ra được nhiều mẫu sản phẩm nhất. Chương 3 : Phép tính tích phân hàm một biến 3.1. Nguyên hàm và tích phân bất định : Định nghĩa : Cho hàm y = f ( x ) xác lập trên khoảng chừng ( a, b ). Ta gọi F ( x ) là một nguyên hàm của f ( x ) trên khoảng chừng ( a, b ) nếu. Ký hiệu : với C là hằng số. Tính chất : ( là hằng số ) Tích phân một số ít hàm sơ cấp : Tích phân xác lập : 3.1.1. Định nghĩa : Giả sử hàm y = f ( x ) có một nguyên hàm là F ( x ). Khi đó : ( 1 ). Công thức ( 1 ) được gọi là công thức Newton Leibniz. 3.1.2. Tính chất : 3.2. Hai giải pháp tính tích phân xác lập : 3.2.1. Phương pháp đổi biến số : Để tính ta dùng chiêu thức đổi biến số. Có hai cách đổi biến : Cách 1 : Đặt x = u ( t ) Với x = a u ( t ) = a Với x = b u ( t ) = b Khi đó : Lưu ý : Nếu tích phân có dạng ta thường đặt x = atgt. Nếu tích phân có dạng ta thường đặt x = asint. Cách 2 : Đặt t = u ( x ) Với x = a thì Với x = b thì Khi đó : Ví dụ : Tính những tích phân sau : 3.2.2. Phương pháp tích phân từng phần : Ví dụ : Tính Ứng dụng của tích phân : 3.1. Tìm hàm tổng ngân sách khi biết ngân sách biên : Trong đó : TC là hàm tổng ngân sách MC ( Q. ) là ngân sách biên của loại sản phẩm Ví dụ : Cho ngân sách biên của một loại mẫu sản phẩm là : và TC ( 0 ) = 55. Tìm hàm tổng ngân sách TC. Giải Theo giả thiết : TC ( 0 ) = 55 nên 55 = C Vậy Ví dụ : Cho ngân sách biên của một loại mẫu sản phẩm là : và TC ( 0 ) = 43. Tìm hàm tổng ngân sách TC. Ví dụ : Cho ngân sách biên của một loại mẫu sản phẩm là : và TC ( 0 ) = 90. Tìm hàm tổng ngân sách TC. 3.2. Xác định nguồn vốn góp vốn đầu tư K ( t ) từ vận tốc đổi khác góp vốn đầu tư I ( t ) : Công thức : Ví dụ : Tốc độ biến hóa góp vốn đầu tư là : và tại thời gian K ( 1 ) = 85. Hãy tìm nguồn vốn K ( t ) = ? Ví dụ : Cho. Hãy xác lập hàm K ( t ). 3.3. Tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng : Công thức tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng : Ví dụ : Cho hàm cầu biết giá trị cân đối là P0 = 6. Hãy tính giá trị thặng dư của người tiêu dùng. Giải Khi Q0 = 4, Q0 = - 9 ( loại ) 3.4. Tính giá trị thặng dư của nhà phân phối : Công thức tính giá trị thặng dư của nhà phân phối : Ví dụ : Tính giá trị thặng dư của nhà phân phối khi và P0 = 81, Q0 = 6. Ví dụ : Cho hàm cung và hàm cầu. Tính giá trị thặng dư của đơn vị sản xuất và của người tiêu dùng. 3.5. Phương trình vi phân : Định nghĩa : Phương trình vi phân cấp một là phương trình có dạng : ( 1 ) trong đó x là biến độc lập, y là hàm của x, là đạo hàm của y theo x. Nghiệm của phương trình vi phân là hàm y = y ( x ) hoặc mà thế vào ta được đẳng thức đúng. Thông thường phương trình vi phân cấp một có vô số nghiệm nhờ vào vào một tham số. Nhiều bài toán nhu yếu tìm nghiệm của ( 1 ) thỏa. Phương trình ( 1 ) đôi lúc được viết dưới dạng : hay. Định lí sống sót và duy nhất nghiệm : Cho phương trình vi phân cấp một. Nếu f ( x, y ) liên tục trong một miền chứa ( x0, y0 ) thì sống sót một nghiệm y = y ( x ) thỏa mãn nhu cầu điều kiện kèm theo đầu. Ngoài ra nếu cũng liên tục thì nghiệm đó là duy nhất. Phương trình có biến phân li : Phương trình có biến phân li là phương trình có dạng : Phương pháp giải : Lấy tích phân hai vế : Ví dụ : Giải phương trình : xdx + ( y + 1 ) dy = 0 và tìm nghiệm riêng thỏa Ví dụ : Giải phương trình : x2 ( y + 1 ) dx + ( x3 - 1 ) ( y - 1 ) dy = 0 Bài tập Chương 1 : Phép tính vi phân hàm một biến : 1. Tính những giới hạn sau : a. b. c. d. e. 2. Tính những giới hạn sau : a. b. c. d. Chương 2 : Phép tính vi phân hàm nhiều biến. Tìm của những hàm số sau : a. b. c. 2. Tìm cực trị của những hàm sau : a. b. c. d. 3. Tìm cực trị của hàm với điều kiện kèm theo x + y – 1 = 0 4. Tìm cực trị của hàm với điều kiện kèm theo 4. 5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của những hàm số sau : a. trong miền D xác lập bởi :. b. trong miền D xác lập bởi :. c. trong miền đóng D giới hạn bởi những đường thẳng x = 0, y = 0, x + y = 6. d. trong miền D giới hạn bởi những đường thẳng x = 0, x = 1, y = 0, y = 2. Chương 3 : Phép tính tích phân Tính những tích phân sau : a. b. c. d. e. f. g. h. Giải những phương trình vi phân sau : a. b. c. 3. Giải những phương trình vi phân, sau đó tìm nghiệm riêng thoả mãn điều kiện kèm theo đầu : a. ( 1 – x ) dy – ydx = 0, b. c. Tài liệu tìm hiểu thêm Đậu Thế Cấp. Toán hạng sang ( Dùng cho ngành Đại học kinh tế ). NXB ĐHQG TP TP HCM, 2003. Vũ Tuấn - Phan Đức Thành - Ngô Xuân Sơn. Giải tích toán học tập 1, 2, 3. NXBGD, 1977. Trắc nghiệm và đề mẫu Toán hạng sang B2 và C2 ( ngành QTKD ). Đại học mở bán công TP TP HCM, 2001 . Các file đính kèm theo tài liệu này :
Hàm một biến và ứng dụng của toán học trong kinh tế.doc
Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay
