1. Các kiến thức cần nhớ
Hệ thức Vi-ét
Cho phương trình bậc hai $a{x^2} + bx + c = 0\,(a \ne 0).$
Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ – b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)
Ứng dụng của hệ thức Vi-ét
Bạn đang đọc: Lý thuyết hệ thức vi-ét và ứng dụng toán 9
+ ) Xét phương trình bậc hai : USD a { x ^ 2 } + bx + c = 0 \, ( a \ ne 0 ). USD
Nếu phương trình có \ ( a + b + c = 0 \ ) thì phương trình có một nghiệm là \ ( { x_1 } = 1, \ ) nghiệm kia là \ ( { x_2 } = \ dfrac { c } { a }. \ )
Nếu phương trình có \ ( a – b + c = 0 \ ) thì phương trình có một nghiệm là \ ( { x_1 } = – 1, \ ) nghiệm kia là \ ( { x_2 } = – \ dfrac { c } { a }. \ )
+ ) Tìm hai số biết tổng và tích của chúng : Nếu hai số có tổng bằng USD S USD và tích bằng USD P $ thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình USD { X ^ 2 } – SX + P. = 0 USD ( ĐK : USD { S ^ 2 } \ ge 4P USD )
2. Các dạng toán thường gặp
Dạng 1: Không giải phương trình, tính giá trị biểu thức liên quan giữa các nghiệm.
Phương pháp:
Bước 1 : Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm : $\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.$. Từ đó áp dụng hệ thức Vi-ét ta có : $S = {x_1} + {x_2} = – \dfrac{b}{a}$ và $P = {x_1}{x_2} = \dfrac{c}{a}$.
Bước 2 : Biến đổi biểu thức đối xứng giữa các nghiệm của đề bài theo tổng ${x_1} + {x_2}$ và tích ${x_1}{x_2}$, sau đó áp dụng bước 1.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : USD a { x ^ 2 } + bx + c = 0 { \ rm { } } \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .
+ ) Nếu phương trình có USD a + b + c = 0 USD thì phương trình có một nghiệm USD { x_1 } = 1 USD, nghiệm kia là USD { x_2 } = \ dfrac { c } { a }. USD
+ ) Nếu phương trình có USD a – b + c = 0 USD thì phương trình có một nghiệm USD { x_1 } = – 1 USD, nghiệm kia là USD { x_2 } = – \ dfrac { c } { a }. USD
+ ) Nếu USD { x_1 }, { x_2 } USD là hai nghiệm của phương trình thì USD \ left \ { \ begin { array } { l } S = { x_1 } + { x_2 } = – \ dfrac { b } { a } \ \ P = { x_1 } { x_2 } = \ dfrac { c } { a } \ end { array } \ right. USD .
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai USD a { x ^ 2 } + bx + c { \ rm { } } \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD có hai nghiệm USD { x_1 } USD và USD { x_2 } USD thì nó được nghiên cứu và phân tích thành nhân tử : USD a { x ^ 2 } + bx + c = a \ left ( { x – { x_1 } } \ right ) \ left ( { x – { x_2 } } \ right ) USD .
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số USD x, y USD khi biết tổng USD S = x + y USD và tích USD P. = xy USD, ta làm như sau :
Bước 1 : Xét điều kiện kèm theo USD { S ^ 2 } \ ge 4P USD. Giải phương trình USD { X ^ 2 } – SX + P. = 0 USD để tìm những nghiệm USD { X_1 }, { X_2 } USD .
Bước 2 : Khi đó những số cần tìm USD x, y USD là USD x = { X_1 }, y = { X_2 } USD hoặc USD x = { X_2 }, y = { X_1 } USD .
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình \ ( a { x ^ 2 } + bx + c = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) \ ). Khi đó :
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \ ( \ Leftrightarrow ac < 0 \ ) .
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ P > 0 \ \ S > 0 \ end { array } \ right. \ ) .
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ P > 0 \ \ S < 0 \ end { array } \ right. \ ) .
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } ac < 0 \ \ S < 0 \ end { array } \ right. \ ) .
Dạng 6 : Xác định điều kiện của tham số để nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước.
Phương pháp :
Bước 1. Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm \(\left\{ \begin{array}{l}a \ne 0\\\Delta \ge 0\end{array} \right.\).
Bước 2. Từ hệ thức đã cho và hệ thức Vi-ét, tìm được điều kiện của tham số.
Bước 3. Kiểm tra điều kiện của tham số xem có thỏa mãn điều kiện ở bước 1 hay không rồi kết luận.
Dạng 2 : Giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm
Phương pháp :
Xét phương trình bậc hai : USD a { x ^ 2 } + bx + c = 0 { \ rm { } } \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD .
+ ) Nếu phương trình có USD a + b + c = 0 USD thì phương trình có một nghiệm USD { x_1 } = 1 USD, nghiệm kia là USD { x_2 } = \ dfrac { c } { a }. USD
+ ) Nếu phương trình có USD a – b + c = 0 USD thì phương trình có một nghiệm USD { x_1 } = – 1 USD, nghiệm kia là USD { x_2 } = – \ dfrac { c } { a }. USD
+ ) Nếu USD { x_1 }, { x_2 } USD là hai nghiệm của phương trình thì USD \ left \ { \ begin { array } { l } S = { x_1 } + { x_2 } = – \ dfrac { b } { a } \ \ P = { x_1 } { x_2 } = \ dfrac { c } { a } \ end { array } \ right. USD .
Dạng 3 : Phân tích tam thức bậc hai thành nhân tử
Phương pháp :
Nếu tam thức bậc hai USD a { x ^ 2 } + bx + c { \ rm { } } \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) USD có hai nghiệm USD { x_1 } USD và USD { x_2 } USD thì nó được nghiên cứu và phân tích thành nhân tử : USD a { x ^ 2 } + bx + c = a \ left ( { x – { x_1 } } \ right ) \ left ( { x – { x_2 } } \ right ) USD .
Dạng 4 : Tìm hai số khi biết tổng và tích
Phương pháp :
Để tìm hai số USD x, y USD khi biết tổng USD S = x + y USD và tích USD P. = xy USD, ta làm như sau :
Bước 1 : Xét điều kiện kèm theo USD { S ^ 2 } \ ge 4P USD. Giải phương trình USD { X ^ 2 } – SX + P. = 0 USD để tìm những nghiệm USD { X_1 }, { X_2 } USD .
Bước 2 : Khi đó những số cần tìm USD x, y USD là USD x = { X_1 }, y = { X_2 } USD hoặc USD x = { X_2 }, y = { X_1 } USD .
Dạng 5 : Bài toán liên quan đến dấu các nghiệm của phương trình bậc hai
Phương pháp :
Xét phương trình \ ( a { x ^ 2 } + bx + c = 0 \ left ( { a \ ne 0 } \ right ) \ ). Khi đó :
1. Phương trình có hai nghiệm trái dấu \ ( \ Leftrightarrow ac < 0 \ ) .
2. Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\P > 0\end{array} \right.\).
Xem thêm: Naoh Tác Dụng Được Với Những Chất Tác Dụng Được Với Naoh ? Số Chất Tác Dụng Với Dung Dịch Naoh
3. Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ P > 0 \ \ S > 0 \ end { array } \ right. \ ) .
4. Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } \ Delta > 0 \ \ P > 0 \ \ S < 0 \ end { array } \ right. \ ) .
5. Phương trình có hai nghiệm trái dấu mà nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn nghiệm dương \ ( \ Leftrightarrow \ left \ { \ begin { array } { l } ac < 0 \ \ S < 0 \ end { array } \ right. \ ).
Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay
