Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Ta thường sử dụng các kỹ năng và kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau .

– Các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung

– Tính số đo góc đơn cử
+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách :
– Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90 o
– Từ song song đến vuông góc
– Đường trung trực, đường cao, …

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh: AP ⊥ QR

Hướng dẫn giải

Ta có: ( vì AP là tia phân giác của góc )

Mà lần lượt là các góc nội tiếp chắn cung và .

Tương tự

Gọi S là giao điểm của AP và QR. Khi đó :

là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung và .

Vì

⇒ AP ⊥ QR
Vậy ⊥ QR

Ví dụ 2 : Các điểm A1,A2,A3,….A19,A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau.Chứng minh rằng dây A1A8 vuông góc với dây A3A16

Hướng dẫn giải

Gọi giao điểm của A1A8 và A3A16 là M .
Vì đường tròn được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo của mỗi cung là :
360 o : 20 = 18 o

Ta có: và

Vì là góc có đỉnh bên trong đường tròn (O) nên:

Suy ra A1A8 ⊥ A3A16
Vậy dây A1A8 vuông góc với dây A3A16 .

Ví dụ 3 : Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn.

Chứng minh .

Hướng dẫn giải

Góc là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM

Góc là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM

(1)

Ta có là góc nội tiếp chắn cung

(2)

Từ (1) và (2) suy ra .

Ví dụ 4 : A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc (BAC) cắt đường tròn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I. Chứng minh DI ⊥ AM.

Hướng dẫn giải

Ta có (AM là tia phân giác của )

Gọi N là giao điểm của BD và AM

Ta có: (góc có đỉnh năm bên trong đường tròn chắn hai cung )

Ta lại có: (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AM)

Suy ra tam giác AND cân tại D
Tam giác AND cân tại D có DI là tia phân giác nên DI cũng là đường cao
Suy ra : DI ⊥ AM hay DI ⊥ AM

Ví dụ 5 : Cho đường tròn tâm O và dây cung AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung BC nhỏ, lấy điểm N. Các đường thẳng CN, DN cắt AB lần lượt tại E,F. Tiếp tuyến tại N của (O) cắt AB tại I. Chứng minh

a ) Tam giác IEN, IFN cân

b)

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung chắn cung ND)

(góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn)

⇒ ΔIFN cân tại I

+ Gọi H là giao của CD và AB

Xét tam giác vuông EHC, có:

Ta lại có: (hai góc phụ nhau)

Mà (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung )

Suy ra ⇒ ΔIEN cân tại I.

b ) Từ a ta có : IN = IF = IE
AE + AF = AF + IE + IF + AF = AF + IF + IF + AF = 2AI

⇒ .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kỳ trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF của đường tròn (O). Tính tổng

A. 360 o
B. 180 o
C. 270 o
D. 90 o

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ AB

(1)

(góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn chắn hai cung và )

(góc nội tiếp chắn cung MD)

Câu 2 : Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp các dây cung: AB = BC = CD < R. AB cắt CD tại E. Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt nhau tại F. Biểu thức nào dưới đây đúng:

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Ta có: (góc có đỉnh năm bên ngoài đường tròn chắn hai cung AD và BC) (1)

(góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD )

Mà AB = CB = CD ⇒

Từ (1) và (2)⇒

Ta có: là góc nội tiếp chắn cung CD

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung lần lượt chắn các cung

Mà

Mà (hai góc đối đỉnh)

Xét ΔEBC và ΔFBD, ta có :

⇒ ΔEBC ∼ ΔFBD ( g – g )

Câu 3 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn.Tiếp tuyến của (O) tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại M và cung BC tại N. ΔDAM là tam giác gì?

A.Tam giác vuông
B.Tam giác vuông cân
C.Tam giác cân
D.Tam giác đều

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Vì AM là phân giác của

Ta có: ( góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC, BN)

Ta lại có: ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN)

cân tại D.

Câu 4 : Trên đường tròn (O) lấy ba cung liên tiếp AB = BC = CD sao cho số đo của chúng đều bằng 45o .Gọi I là giao điểm của hai tia AB và DC, H là giao điểm của hai dây AC và BD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. ΔIBC là tam giác vuông
B. ΔIBC là tam giác cân
C. ΔIBC là tam giác vuông cân
D. A, B, C đều đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Ta có AB = BC = CD

là góc nội tiếp chắn

là góc nội tiếp chắn

(hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

⇒ ΔIAD cân tại I ⇒ IA = ID
Mà AB = CD
⇒ IB = IC ⇒ ΔIBC cân tại I

Ta lại có ( góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD, BC)

Mặt khác (vì )

⇒ ΔIBC vuông cân .

Câu 5 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trog đường tròn tâm O; M là một điểm trên cung nhỏ AC (M khác A và C) sao cho .Góc giữa hai đường thẳng AC và BM là:

A. 45
B. 60
C. 65
D. 90

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Gọi giao điểm của BM và AC là H

Ta có: ( góc nội tiếp chắn cung MC)

Ta lại có : ΔABC đều

( góc nội tiếp chắn cung AB)

.

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 tinh lọc, có giải thuật chi tiết cụ thể hay khác :

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

Đã có app VietJack trên điện thoại cảm ứng, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi trực tuyến, Bài giảng …. không tính tiền. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS .

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết – Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Source: https://bem2.vn
Category: TỔNG HỢP