Ứng dụng tích phân trong bài tập vật lý

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (92.64 KB, 5 trang )

ONTHIONLINE.NEt
I. Lý do chọn đề tài:
Toán học có vai trò rất quan trọng trong rất nhiều ngành khoa học. Là cơ sở
của các nhiều ngành khoa học khác. Trong khi nghiên cứu, giảng dạy, giải các
bài tập vật lý tôi thấy được ứng dụng của toán học rất nhiều. Trong các đề tài
SKKN đã có rất nhiều người khai thác mảng ứng dụng toán học trong dạy học
vật lý như: Bất đẳng thức, Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, Phương trình bậc
hai. Trong phạm vi của đề tài này tôi chỉ khai thác một mảng nhỏ là dùng vi
phân ,tích phân để giải các bài tập vật lý.
Vì những lí do trên đây chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của là: “ Một số
ứng dụng phép tính vi phân tích phân trong dạy học Vật Lý ”
II. Nội dung đề tài:
Đề tài này giải quyết ba vấn đề:
– Hiểu rõ bản chất của phép tính vi phân và tích phân.
– Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong vật lý
– ứng dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài toán vật lý.
– Từ các bài toán được ứng dụng trên khái quát lên thành các kinh nghiệm
nhận biết khi nào thì sử dụng phép tính vi phân và tích phân để giải một số bài
toán
III. Chủ đề Vi phân và Tích phân
1. Bản chất của phép tính vi phân và tích phân.
2. Nhận dạng một số ứng dụng của phép tính vi phân và tích phân trong
Vật lý
– Phép vi phân liên quan đến vấn đề đặt ra về vận tốc biến thiên của một
hàm bất kì khi đối thay đổi, lúc đó vận tốc này là biến thiên và việc xác định nó
đòi hỏi chính xác với mọi giá trị bất kì của đối. Tuy nhiên nó không chỉ có ích
trong việc xác định vận tốc tức thời của chuyển động.
∗ Điện tích của bộ nguồn mắc vào một mạch điện giảm đi theo thời gian.
Dòng này có thể khác nhau ở những thời điểm khác nhau và vì thế phải được
tính như là đạo hàm của điện tích theo thời gian.
∗ Cũng không được quên rằng phép tính vi phân là phương tiện để vẽ tiếp

tuyến với một đường cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồ
thị là đường cong; đạo hàm được lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. ví dụ
công thức (sinx)’ = cosx có thể phát biểu bằng ngôn ngữ đồ thị: hệ số góc của
tiếp tuyến với đường sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đường cosin tại
điểm ấy.
– Phép tính tích phân là phép toán ngược với phép vi phân và liên quan đến
vấn đề tính quảng đường đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc giữa vận tốc
và thời gian mà vận tốc lại có sự thay đổi khá lớn trong thời gian chuyển động:
đường đi của vật từ một thời điểm cho trước đến một thời điểm khác là tích phân
xác định của vận tốc theo thời gian lấy từ thời điểm ban đầu (được gọi là cận dưới
của tích phân) đến thời điểm cuối (cận trên của tích phân). Ngoài ra:
∗ Phép tích phân cho phép xác định sự phụ thuộc của điện tích vào thời
gian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời điểm.
∗ Xác định độ tăng nhiệt lượng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệt
dung của nó tại mỗi nhiệt độ.
Khi tính toán đường đi theo vận tốc. Đường đi là nguyên hàm của vận
tốc. Nó có thể được tính từ một điểm gốc bất kì. Nhưng số gia của đường đi từ
một thời điểm này đến một thời điểm khác bao giờ cũng bằng cùng một số là
tích phân xác định của vận tốc lấy từ một trong các thời điểm đã chọn cho đến
thời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung: Tích phân xác định của một
hàm nào đó với các cận đã cho là hiệu giữa các giá trị của một nguyên hàm tại
cận trên và cận dưới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tính
tích phân xác định – công thức Newton – Leipnit
+Nói tóm lại trong Vật Lý người ta sử dụng tích phân để tìm điện lượng
chuyển qua tiết diện của vật dẫn khi dòng điện biến đổi. Hoặc tìm mô men quán
tính của vật rắn. Hoặc tìm phương trình chuyển động khi biết vận tốc, tìm nhiệt
lượng tỏa ra trên một điện trở R của dòng điện xoay chiều hoặc công của dòng
điện xoay chiều
Bài toán 6: Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều u = U
0

2
sin t
T
π
. Khi đó trong mạch có dòng điện xoay chiều i = I
0
2
sin t
T
π
 
+ ϕ
 ÷
 
với
ϕ
là độ
lệch pha giữa dòng điện và hiệu điện thế. Hãy tính công của dòng điện
xoay chiều thực hiện trên đoạn mạch đó trong thời gian một chu kì.
Giải
Ta có:
A =
π π
 
= + ϕ
 ÷
 
∫ ∫
T T
0 0

0 0
2 2
uidt U I sin t sin tdt
T T

T
0 0
0
1 4
U I cos cos t dt
2 T
 
π
 
= ϕ − + ϕ
 ÷
 ÷
 
 
∫

T
0 0
0
U I 1 4
cos cos t dt
2 2 T
 
π
 

= ϕ − + ϕ
 ÷
 ÷
 
 
∫

T
0 0 0 0
0
U I T 4 U I
tcos sin t Tcos
2 4 T 2
 
π
 
= ϕ− + ϕ = ϕ
 ÷
 ÷
π
 
 
Bài toán 7: Một dòng điện xoay chiều i = I
0
2
sin t
T
π
 

+ ϕ
 ÷
 
chạy qua một đoạn
mạch có điện trở thuần R. Hãy tính nhiệt lượng Q tỏa ra trên đoạn mạch đó
trong thời gian một chu kì T.
Giải
Ta có: Q =
T T
2 2 2
0
0 0
2
Ri dt RI sin t dt
T
π
 
= + ϕ
 ÷
 
∫ ∫

T
2
0
0
2
1 cos2
T
RI dt

2
π
 
− + ϕ
 ÷
 
=
∫

T
2 2
0 0
0
RI T 2 RI
t sin 2 t T
2 4 T 2
 
π
 
= − + ϕ =
 ÷
 ÷
π
 
 
Bài toán 8: Một đoàn tàu chuyển động trên một đường thẳng nằm ngang với
vận tốc không đổi v
0
. Vào thời điểm nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lực
cản tổng hợp của cả đoàn tàu bằng 1/10 trọng lượng P của nó. Hãy xác định

chuyển động của đoàn tàu từ khi tắt máy và hãm.
Giải
– Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm có
khối lượng m, chịu tác dụng của
c
P,N,F
ur ur uur
.
– Phương trình động lực học:
c
ma P N F= + +
r ur ur uur
(1)
– Chọn trục Ox nằm ngang chiều (+) theo chiều chuyển động gốc thời
gian lúc tắt máy. Do vậy chiếu (1) lên trục Ox ta có:
x c
ma F= −
hay viết:
“
mx F= −
hay
p
F
10
=
;
“
g
x
10

= −
(2)
Hay
dv g g
dt
dt 10 10
= − → −
(2
‘
)
Tích phân (2
‘
) ta có:
1
g
V t C
10
= − +
Hay
1 1
dx g g
t C dx t.dt C dx
dt 10 10
= − + → = +
Tích phân tiếp ta có:
2
1 2
g
x t C .t C
20

= − + +
(3)
Dựa vào điều kiện ban đầu để xác định các hằng số C
1
và C
2
như sau:
Tại t
0
= 0; v = v
0
; v
0
= 0 Ta có: C
2
= 0 và C
1
= v
0
thay C
1
và C
2
vào (3)
2
0
g.t
x v .t
20
= −

tuyến với một đường cong. Hệ số góc của tiếp tuyến là đạo hàm của hàm mà đồthị là đường cong ; đạo hàm được lấy với giá trị của đối ứng với tiếp điểm. ví dụcông thức ( sinx ) ‘ = cosx hoàn toàn có thể phát biểu bằng ngôn từ đồ thị : thông số góc củatiếp tuyến với đường sin tại mỗi điểm sẽ bằng chiều cao của đường cosin tạiđiểm ấy. – Phép tính tích phân là phép toán ngược với phép vi phân và tương quan đếnvấn đề tính quảng đường đã đi theo một đồ thị khi biết sự phụ thuộc vào giữa vận tốcvà thời hạn mà tốc độ lại có sự biến hóa khá lớn trong thời hạn hoạt động : đường đi của vật từ một thời gian cho trước đến một thời gian khác là tích phânxác định của tốc độ theo thời hạn lấy từ thời gian bắt đầu ( được gọi là cận dướicủa tích phân ) đến thời gian cuối ( cận trên của tích phân ). Ngoài ra : ∗ Phép tích phân được cho phép xác lập sự nhờ vào của điện tích vào thờigian nếu đã biết giá trị của dòng tại mỗi thời gian. ∗ Xác định độ tăng nhiệt lượng của một vật theo nhiệt độ khi biết nhiệtdung của nó tại mỗi nhiệt độ. Khi thống kê giám sát đường đi theo tốc độ. Đường đi là nguyên hàm của vậntốc. Nó hoàn toàn có thể được tính từ một điểm gốc bất kỳ. Nhưng số gia của đường đi từmột thời gian này đến một thời gian khác khi nào cũng bằng cùng một số ít làtích phân xác lập của tốc độ lấy từ một trong những thời gian đã chọn cho đếnthời điểm kia. Và đây là một nguyên tắc chung : Tích phân xác lập của mộthàm nào đó với những cận đã cho là hiệu giữa những giá trị của một nguyên hàm tạicận trên và cận dưới. Vấn đề này bao hàm một công thức quan trọng để tínhtích phân xác lập – công thức Newton – Leipnit + Nói tóm lại trong Vật Lý người ta sử dụng tích phân để tìm điện lượngchuyển qua tiết diện của vật dẫn khi dòng điện đổi khác. Hoặc tìm mô men quántính của vật rắn. Hoặc tìm phương trình hoạt động khi biết tốc độ, tìm nhiệtlượng tỏa ra trên một điện trở R của dòng điện xoay chiều hoặc công của dòngđiện xoay chiềuBài toán 6 : Đặt vào một đoạn mạch một hiệu điện thế xoay chiều u = Usin t. Khi đó trong mạch có dòng điện xoay chiều i = Isin t   + ϕ  ÷   vớilà độlệch pha giữa dòng điện và hiệu điện thế. Hãy tính công của dòng điệnxoay chiều triển khai trên đoạn mạch đó trong thời hạn một chu kì. GiảiTa có : A = π π   = + ϕ  ÷   ∫ ∫ T T0 00 02 2 uidt U I sin t sin tdtT T0 01 4U I cos cos t dt2 T     = ϕ − + ϕ  ÷  ÷     0 0U I 1 4 cos cos t dt2 2 T     = ϕ − + ϕ  ÷  ÷     0 0 0 0U I T 4 U Itcos sin t Tcos2 4 T 2     = ϕ − + ϕ = ϕ  ÷  ÷     Bài toán 7 : Một dòng điện xoay chiều i = Isin t   + ϕ  ÷   chạy qua một đoạnmạch có điện trở thuần R. Hãy tính nhiệt lượng Q. tỏa ra trên đoạn mạch đótrong thời hạn một chu kì T.GiảiTa có : Q. = T T2 2 20 0R i dt RI sin t dt   = + ϕ  ÷   ∫ ∫ 1 cos2RI dt   − + ϕ  ÷   2 20 0RI T 2 RIt sin 2 t T2 4 T 2     = − + ϕ =  ÷  ÷     Bài toán 8 : Một đoàn tàu hoạt động trên một đường thẳng nằm ngang vớivận tốc không đổi v. Vào thời gian nào đó người ta tắt máy. Lực hãm và lựccản tổng hợp của cả đoàn tàu bằng 1/10 khối lượng P. của nó. Hãy xác địnhchuyển động của đoàn tàu từ khi tắt máy và hãm. Giải – Khảo sát đoàn tàu như một chất điểm cókhối lượng m, chịu công dụng củaP, N, Fur ur uur – Phương trình động lực học : ma P N F = + + r ur ur uur ( 1 ) – Chọn trục Ox nằm ngang chiều ( + ) theo chiều hoạt động gốc thờigian lúc tắt máy. Do vậy chiếu ( 1 ) lên trục Ox ta có : x cma F = − hay viết : mx F = − hay1010 = − ( 2 ) Haydv g gdtdt 10 10 = − → − ( 2T ích phân ( 2 ) ta có : V t C10 = − + Hay1 1 dx g gt C dx t.dt C dxdt 10 10 = − + → = + Tích phân tiếp ta có : 1 2 x t C. t C20 = − + + ( 3 ) Dựa vào điều kiện kèm theo bắt đầu để xác lập những hằng số Cvà Cnhư sau : Tại t = 0 ; v = v ; v = 0 Ta có : C = 0 và C = vthay Cvà Cvào ( 3 ) g.tx v. t20 = −

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay