Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng cực hay

Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng cực hay

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:

2. Bài toán liên quan

    Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

    Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

    Chú ý:

– Nếu trên đoạn [ a ; b ], hàm số f ( x ) không đổi dấu thì :

– Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

    Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:

    Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1): f1(x), (C2):f2(x) là:

Trong đó : x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f ( x ) = g ( x )

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x2, đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x2=-2x+3 ⇔ x2-2x=0

Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây :

Quảng cáo

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2×2 và y=-2x-4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của y = – 2×2 và y = – 2 x – 4 là :

-2×2=-2x-4 ⇔ -2×2+2x+4=0

Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x

Hướng dẫn:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3-4x=0

Diện tích

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x2 và đường thẳng x+y=2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = x2 + x-1 và y = x4 + x-1 là

x2+x-1=x4+x-1 ⇔ x2 (x2-1)=0

Ta có: x2 (x2-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3-x và y=x-x2.

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm
x3-x = – x2 + x ⇔ x = 0 ; x = – 2 ; x = 1

Quảng cáo

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = cosx và trục Ox ( y = 0 ) là :
cosx = 0 ⇔ x = π / 2 + kπ ( k ∈ Z )
Xét trên [ 0 ; π ] nên x = π / 2 .
Do đó

Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex; y=1 và x=1

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ex và trục y = 1 là :
ex = 1 ⇔ x = 0 .

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+ex )x

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = ( e + 1 ) x và y = ( 1 + ex ) x là :

(e+1)x = (1+ex )x

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sin2x và y = cosx là :
sin2x = cosx ⇔ cosx. ( 2 sinx – 1 ) = 0

Xét trên [ 0 ; π / 2 ] nên nhận x = π / 6

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x2

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy = √ xvà y = x2 là :

x2=√x ⇔ x=x4 ⇔ x4-x=0

Ta có : x2 – √ x ≤ 0, ∀ x ∈ [ 0 ; 1 ]. Do đó :

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y = sinx ; y = cosx ; x = 0 ; x = π là :
sinx = cosx ⇔ tanx = 1 ⇔ x = π / 4 + kπ, k ∈ Z
Vì x ∈ [ 0 ; π ] nên x = π / 4 .
Ta có : sinx-cosx ≤ 0, ∀ x ∈ [ 0 ; π / 4 ] ; sinx-cosx ≥ 0, ∀ x ∈ [ π / 4 ; π ]

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Hiển thị đáp án

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Hiển thị đáp án
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y = 2 x và đồ thị hàm số y = 8 / x là

Diện tích hình phẳng cần tìm là :

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay