ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.29 MB, 42 trang )

PHẦN 1
Đặt vấn đề
1. Tính cấp thiết của đề tài
Qua quá trình giảng dạy môn Toán Cao cấp cho sinh viên K38-39-40
Nganh Công nghiệp Nông thôn, tôi nhận thấy năng lực giải các bài toán tích
phân và đặc biệt là khả năng ứng dụng tích phân vào lĩnh hội kiến thức
chuyên môn có toán tích phân của sinh viên còn nhiều hạn chế. Vì lẽ đó đề tài
“ Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích ” là cần thiết.
2. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Ý nghĩa khoa học:
Hệ thống hoá các kiến thức về tích phân, cũng nh các ứng dụng của nó
trong các ngành Khoa học – Kĩ thuật, đặc biệt là các bài toán tính diện tích và
thể tích.
Ý nghĩa thực tiễn:
Nâng cao năng lực và khả năng ứng dụng toán tích phân vào học tập
môn giải tích và các bài toán kĩ thuật.
Góp phần nâng cao chất lượng đào tạo trong nhà trường.
3. Mục đích nghiên cứu
Nâng cao kiến thức và khả năng vận dụng tích phân trong các môn học
khác cho sinh viên.
Cung cấp một tài liệu tham khảo có tính ứng dụng cho sinh viên ngành
Công nghiệp Nông thôn.
1
PHẦN II
Tổng quan tài liệu
2.1. Cơ sở lí luận về tích phân
2.1.1. Các định nghĩa về tích phân
a. Tích phân xác định
Cho hàm số f(x) xác định và bị chặn trong khoảng đóng [a, b], chia [a, b]
thành những đoạn nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia
0 1

n
a x x x b
= < < < =
. Trong
mỗi khoảng nhỏ
1
[, ]i i
x x
−
lấy một.
điểm
i
ξ
tuỳ ý:

1
, ( 1, )
i i i
x x i n
ξ
−
≤ ≤ =
và lập tổng
1
( )
n
n i i
i

I f x
ξ
=
= ∆
∑
với
1
, ( 1, )
i i i
x x x i n
−
∆ = − =
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n
x
λ
≤ ≤
∆ = →

mà
n
I
có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào
cách chọn điểm

i
ξ
và cách chia đoạn [a,b] thì I được gọi là tích phân xác định
của hàm số f(x) lấy trên đoạn [a, b]. Tức là:
0
1
lim ( )
n
i i
i
n
I f x
λ
ξ
→
=
→∞
= ∆
∑
.
Kí hiệu:
( )
b
a
I f x dx=
∫

2
b. Tích phân suy rộng
Giả sử hàm số

( )f x
xác định trong khoảng
[, )a +∞
, nghĩa là
( )f x
xác
định với mọi
x a
≥
và khả tích trong bất kì khoảng hữu hạn
[, ]a A
; khi đó, nh
đã biết tích phân
( )
A
a
f x dx
∫
có nghĩa với bất kì
A a
>
.
Nếu tồn tại
lim ( )
A
A
a
f x dx
→+∞
∫

(1) thì giới hạn đó được gọi là tích phân suy
rộng của hàm số
( )f x
trong khoảng
[, )a +∞
và kí hiệu là:
( )
a
f x dx
+∞
∫
(2)
Khi đó ta cũng nói rằng tích phân (2) hội tụ và viết:
( ) lim ( )
A
A
a a
f x dx f x dx
+∞
→+∞
=
∫ ∫
.
Nếu không tồn tại giới hạn (1) thì ta nói rằng tích phân (2) phân kì.
Tương tù, ta cũng định nghĩa:

( )
a
f x dx
−∞

=
∫
lim ( )
a
A
A
f x dx
→−∞
∫
. (A( )f x dx
+∞
−∞
=
∫
lim ( )
A
A
A
A
f x dx
′
→−∞
′
→+∞
∫
.
c. Tích phân kép
Cho hàm số f(x,y) xác định trong miền đóng, bị chặn D. Chia miền D
thành n mảnh nhỏ tuỳ ý. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh đó lần lượt là

3
1 2
,, ,
n
S S S
∆ ∆ ∆
(hình 2. 2). Trong mỗi mảnh nhỏ
i
S
∆
lấy một điểm tuỳ ý
(, ), 1,
i i i
M x y i n
=
.
Lập tổng
1
(, )
n
n i i i
i
I f x y S
=
= ∆
∑
.
Gọi
i
d

là đường kính tương ứng của mảnh
thứ i.
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n
d
≤ ≤
→
mà
n
I
có giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá
trị I không phụ thuộc vào cách chia miền D
và cách chọn điểm
i
M
thì I được gọi là tích
phân kép ( tích phân hai lớp) của hàm số
f(x,y) lấy trong miền D. Tức là:
1
lim (, )
n
i i i
n
i

I f x y S
→∞
=
= ∆
∑
Kí hiệu:
(, )
D
I f x y dS
=
∫∫
.
d. Tích phân bội ba
Cho hàm số f(x,y,z) xác định trong miền đóng, giới nội V của không gian
ba chiều Oxyz. Chia miền V một cách tuỳ ý thành n miền nhỏ. Gọi tên và cả
thể tích của các miền nhỏ đó lần lượt là
1 2
,, ,
n
V V V
∆ ∆ ∆
(hình 2. 3). Trong mỗi miền
i
V
∆
lấy một điểm tuỳ ý
(, , ), 1,
i i i i
M x y z i n
=

.
4
Lập tổng
1
(, , )
n
n i i i i
i
I f x y z V
=
= ∆
∑
.
Gọi
i
d
là đường kính tương ứng của miền nhỏ
i
V
∆
.
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n
d

≤ ≤
→
mà
n
I
có giới hạn ( hữu hạn) là I
thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia miền V và cách chọn điểm
i
M
thì I được gọi là tích phân bội ba của hàm số f(x,y,z) lấy trong miền V.
Tức là:
1
lim (, , )
n
i i i i
n
i
I f x y z V
→∞
=
= ∆
∑
.
Kí hiệu:
(, , )
V
I f x y z dV
=
∫∫∫
.

e. Tích phân đường loại một
Cho hàm số
( ) (, )f M f x y=
xác định trên một cung phẳng
»
AB
. Chia
cung
»
AB
thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia
0 1
,, ,
n
A A A A B
= =
(hình 1.4).
Gọi độ dài của cung
¼
1i i
A A
−
là
i
s
∆
.Trên cung
¼
1i i
A A

−

lấy một điểm tuỳ ý
(, ), 1,
i i i
M x y i n
=
.
Lập tổng
1
(, )
n
n i i i
i
I f x y s
=
= ∆
∑
.
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n
s
≤ ≤
∆ →

mà
n
I
có giới hạn ( hữu hạn) là I
thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia cung
»
AB
và cách chọn
điểm
i
M
thì I được gọi là tích phân đường loại một của hàm số f(x,y) dọc
theo cung
»
AB
. Tức là:
1
lim (, )
n
i i i
n
i
I f x y s
→∞
=
= ∆
∑
.
Kí hiệu:
»

(, )
AB
I f x y ds=
∫
.
5
f. Tích phân đường loại hai
Cho hai hàm số
(, ), (, )P x y Q x y
xác định trên cung
»
AB
. Chia cung
»
AB

thành n cung nhỏ tuỳ ý bởi các điểm chia
0 1
,, ,
n
A A A A B
= =
. Gọi hình chiếu
của vectơ
1i i
A A
−
uuuuur
lên hai trục Ox và Oy lần lượt là
i

x
∆
,
i
y
∆
. Trên cung
¼
1i i
A A
−

lấy một điểm tuỳ ý
(, ), 1,
i i i
M x y i n
=
.
Lập tổng
1
(, ) (, )
n
n i i i i i i
i
I P x y x Q x y y
=
= ∆ + ∆
∑
.
Nếu khi

n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n
x
≤ ≤
∆ →
,
1
max 0
i
i n
y
≤ ≤
∆ →
mà
n
I
có giới hạn
(hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia cung
»
AB
và
cách chọn điểm
i
M
thì I được gọi là tích phân đường loại hai của hàm số

f(x,y) dọc theo cung
»
AB
. Tức là:
1
lim (, ) (, )
n
i i i i i i
n
i
I P x y x Q x y y
→∞
=
= ∆ + ∆
∑
.
Kí hiệu:
»
(, ) (, )
AB
I P x y dx Q x y dy= +
∫
.
g. Tích phân mặt loại một
Cho hàm số
( ) (, , )f M f x y z=
xác định trên mặt cong S. Chia S thành
n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó lần lượt là
1 2
,, ,

n
S S S
∆ ∆ ∆
. Trong mỗi mảnh nhỏ
i
S
∆
lấy một điểm tuỳ ý
(, , ), 1,
i i i i
M x y z i n
=
.
Lập tổng
1
(, , )
n
n i i i i
i
I f x y z s
=
= ∆
∑
.
Gọi d
i
là đường kính của mảnh thứ i.
Nếu khi
n
→ ∞

sao cho
1
max 0
i
i n
d
≤ ≤
→
mà
n
I
có giới hạn ( hữu hạn) là I
thoả mãn: giá trị I không phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm
6
i
M
thì I được gọi là tích phân mặt loại một của hàm số f(x,y,z) trên mặt S.
Tức là:
1
lim (, , )
n
i i i i
n
i
I f x y z s
→∞
=
= ∆
∑
Kí hiệu:

(, , )
S
I f x y z dS
=
∫∫
.
h. Tích phân mặt loại hai
Cho các hàm số:
(, , ), (, , ), (, , )P x y z Q x y z R x y z
xác định trên mặt định hướng S. Chia S
thành n mảnh nhỏ. Gọi tên và cả diện tích của các mảnh nhỏ đó
lần lượt là
1 2
,, ,
n
S S S
∆ ∆ ∆
. Trong mỗi mảnh nhỏ
i
S
∆
lấy một điểm tuỳ ý
(, , ), 1,
i i i i
M x y z i n
=
.
Gọi
, ,
i i i

α β γ
lần lượt là góc giữa vectơ pháp tuyến của S tại điểm M
i
với
các trục Ox, Oy, Oz.
Gọi d
i
là đường kính của mảnh thứ i.
Lập tổng:

[ ]1
( )cos ( )cos ( )cos
n
n i i i i i i i
i
I P M Q M R M s
α β γ
=
= + + ∆
∑
.
Nếu khi
n
→ ∞
sao cho
1
max 0
i
i n

d
≤ ≤
→
mà
n
I
có
giới hạn ( hữu hạn) là I thoả mãn: giá trị I không
phụ thuộc vào cách chia mặt S và cách chọn điểm
i
M
thì I được gọi là tích phân mặt loại hai của hàm số
(, , ), (, , ), (, , )P x y z Q x y z R x y z
trên mặt S (hình 2. 5).
Tức là:
[ ]1
lim ( )cos ( )cos ( )cos
n
i i i i i i i
n
i
I P M Q M R M s
α β γ
→∞
=
= + + ∆
∑
Kí hiệu:
[ ]

(, , )cos (, , )cos (, , )cos
S
I P x y z Q x y z R x y z dS
α β γ
= + +
∫∫
.
7
Hoặc
S
I Pdydz Qdzdx Rdxdy
= + +
∫∫
.
2.1.2 Một số tích chất đơn giản của tích phân
a. Tính chất 1:
.)()()]()([
.)()(.
∫ ∫∫
∫∫
±=±
=
b
a
b
a
b
a
b
a

b
a
dxxgdxxfdxxgxf
dxxfcdxxfc
b. Tính chất 2:
Nếu f (x) khả tích trên đoạn [a, b] thì
),( bac∈∀
ta có:
.)()()(
∫∫∫
+=
b
c
c
a
b
a
dxxfdxxfdxxf
c. Tính chất 3:
– Nếu
],[,0)( baxxf
∈∀≥
thì
.0)( ≥
∫
b
a
dxxf
– Nếu
],[),()( baxxgxf ∈∀≤

thì
.)()(
∫∫
≤
b
a
b
a
dxxgdxxf
– Nếu f(x) khả tích trên đoạn [a, b] thì
)(xf
cũng khả tích trên
đoạn [a, b] và
.)()(
∫∫
≥
b
a
b
a
dxxfdxxf
– Nếu f(x) bị chăn trên đoạn [a, b], tức là
],[,)( baxMxfm ∈∀≤≤
thì
).()()( abMdxxfabm
b
a
−≤≤−
∫
* Chó ý: Các tích phân còn lại có các tính chất giống nh tích phân xác định.

8
2. 2. Một số vấn đề thường gặp khi học toán tích phân
2.2.1. Các dạng bài toán tích phân thường gặp
Trong chương trình toán cao cấp sinh viên thường gặp các dạng tích
phân xác định của hàm hữu tỉ, hàm vô tỉ và hàm lượng giác; tính tích phân
suy rộng trong trường hợp cận lấy tích phân là vô hạn hoặc hàm số lấy tích
phân không bị chặn; tính tích phân bội trên miền bị chặn bất kì; tính tích phân
trên một đường cong bất kì hoặc định hướng, mặt cong bất kì hoặc định
hướng…
Muốn làm được các bài toán này các em phải chọn đúng phương pháp
để đưa tích phân đã cho về tổng các tích phân cơ bản đã biết. Đối với các tích
phân bội cần phải xác định đúng các cận lấy tích phân khi đưa về tích phân
xác định…
2.2.2. Một số phương pháp cơ bản tính tích phân
a. Tích phân xác định
• Phương pháp phân tích
Dùng các phép biến đổi đại số, biến đổi lượng giác để đưa hàm số
dưới dấu tích phân về dạng tổng các hàm số đơn giản để áp dụng công
thức cơ bản.
Ta thường gặp công thức:
.)(
1
)()(
1
)(
β
α
β
α
β

α
baxF
a
baxdbaxf
a
dxbaxf
+=++=+
∫∫
• Phương pháp đổi biến
9
– Nếu đặt
)(tx
ϕ
=
, trong đó
)(t
ϕ
khả vi trong
],[
βα
và
ba
==
)(;)(
βϕαϕ
thì
.)()]([)(
∫∫
′
=

β
α
ϕϕ
dtttfdxxf
b
a
– Nếu đặt
)(xt
ϕ
=
, trong đó
)(x
ϕ
khả vi trong
],[ ba
. Khi đó
dttgdxxf )()(
=
và
ba == )(;)(
βϕαϕ
thì
.)()(
)(
)(
∫∫
=
b
a
b

a
dttgdxxf
ϕ
ϕ
+ Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng
∫
−
dxxa
22
ta đặt
xax sin
=
hoặc
xax cos=
.
∫
−
dxax
22
ta đặt
t
a
cos
·
=
.
∫
+
dxax
22

ta đặt
atgtx
=
.
• Phương pháp tính tích phân từng phần
.
∫∫
−=
b
a
b
a
vduuvudv
+ Chó ý: Nếu tích phân chứa dạng
–
∫∫ ∫
axdxxPaxdxxPdxaxP
x
cos)(;sin)(;)(
α
ta đặt
)(xPu
=
,
dv là phần còn lại.
–
dxxxP
a
∫
log)(

ta đặt
xu
a
log
=
, dv là phần còn lại.
–
∫∫
xdxaxdxa
xx
ββ
αα
cos;sin
đặt tuỳ ý nhưng phải lấy tích
phân hai lần và thống nhất cách đặt trong cả hai lần.
b. Tích phân kép
• Miền lấy tích phân là hình chữ nhật có cạnh song song với các trục tọa độ

10
Nếu f(x, y) liên tục trên miền chữ nhật D xác định bởi



≤≤
≤≤
dyc
bxa
D :

thì :

.),(),(),(
∫ ∫∫∫∫∫






==
b
a
d
c
d
c
b
aD
dxdyyxfdyyxfdxdxdyyxf
hoặc
.),(),(),(
∫ ∫∫∫∫∫






==
d
c

b
a
b
a
d
cD
dydxyxfdxyxfdydxdyyxf
• Miền lấy tích phân là miền bị chăn bất kì
– Nếu f(x, y) liên tục trên miền D xác định bởi



≤≤
≤≤
)()(
:
21
xyyxy
bxa
D
thì
.),(),(),(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1

∫ ∫∫∫∫∫








==
b
a
xy
xy
xy
xy
b
aD
dxdyyxfdyyxfdxdxdyyxf
– Nếu f(x, y) liên tục trên miền D xác định bởi



≤≤
≤≤
)()(
:
21
yxxyx
dyc

D
thì
.),(),(),(
)(
)(
)(
)(
2
1
2
1
∫ ∫∫∫∫∫








==
d
c
yx
yx
yx
yx
d
cD
dydxyxfdxyxfdydxdyyxf

• Miền lấy tích phân là các miền tròn
Ta chuyển từ hệ toạ độ Đecac sang hệ tọa độ cực. Đặt



=
=
ϕ
ϕ
sin
cos
ry
rx
. Khi đó
ϕ
rdrddxdy =
và



+∞≤≤
≤≤
′
⇒
r
DD
0
20
:
πϕ

11
Và
.)sin,cos(),(
∫∫ ∫∫
′
=
D D
rdrdrrfdxdyyxf
ϕϕϕ
c. Tích phân bội ba
• Nếu miền lấy tích phân là miền bị chặn bất kì
Nếu hàm số
),,( zyxf
liên tục trên miền V giới hạn bởi các mặt
),(,),(
21
yxzzyxzz
==
trong đó
21
, zz
liên tục trên miền D là hình chiếu
của V trên mặt phẳng Oxy. Nếu D được giới hạn bởi các đường
)(,)(
21
xyyxyy
==
trong đó
21
, yy

liên tục trên đoạn [a, b] thì ta được:
∫∫∫∫∫∫
=
),(
),(
)(
)(
2
1
2
1
),,(),,(
yxz
yxz
xy
xy
b
aV
dzzyxfdydxdxdydzzyxf
.
• Nếu miền lấy tích phân là các miền hình trụ
Ta chuyển từ hệ tọa độ Đecac sang hệ toạ độ trụ. Đặt





=
=
=

zz
ry
rx
ϕ
ϕ
sin
cos
Khi đó
dzrdrddxdydz
ϕ
=
và





+∞≤≤∞−
+∞≤≤
≤≤
′
⇒
z
rVV 0
20
:
πϕ
Và
∫∫∫∫∫∫
′

=
VV
dzrdrdzrrfdxdydzzyxf
ϕϕϕ
],sin,cos[),,(
.
• Nếu miền lấy tích phân là các miền hình cầu
Ta chuyển từ hệ tọa độ Đecac sang hệ toạ độ cầu. Đặt





=
=
=
θ
ϕθ
ϕθ
cos
sinsin
cossin
rz
ry
rx
Khi đó
dzdrdrdxdydz
ϕθ
sin
2

=
và





+∞≤≤
≤≤
≤≤
′
⇒
r
VV
0
0
20
:
πθ
πϕ
12
Và
∫∫∫∫∫∫
′
=
VV
ddrdrrrrfdxdydzzyxf
θϕθθϕθϕθ
sin]cos,sinsin,cossin[),,(
2

.
d. Tích phân đường loại một
• Nếu cung trơn
»
AB
được cho bởi phương trình
bxaxyy ≤≤= ,)(
và
),( yxf
liên tục trên
»
AB
thì:
[ ]»
2
(, ), ( ) 1 ( ) .
b
a
AB
f x y ds f x y x y x dx
′
= +
∫ ∫
• Nếu cung
»
AB
cho bởi
21
,)(,)( ttttyytxx

≤≤==
thì:
[ ]»
2
1
2 2
(, ) ( ), ( ) ( ) ( ) .
t
t
AB
f x y ds f x t y t x t y t dt
′ ′
= +
∫ ∫
Trường hợp cung
»
AB
cho trong không gian cũng được áp dụng theo
phương pháp trên.
e. Tích phân đường loại hai
• Nếu cung
»
AB
được giới hạn bởi phương trình
)(xyy
=
và a là hoành
độ của điểm A, b là hoành độ của điểm B thì:
[ ]

»
(, ( )) (, ( )) ( ) .
b
a
AB
Pdx Qdy P x y x Q x y x y x dx
′
+ = +
∫ ∫
• Nếu cung AB cho bởi
)(,)( tyytxx ==
và các đầu mút A ứng với
A
t
,
đầu mút B ứng với
B
t
thì:
[ ].)())(),(()())(),((
∫ ∫
′
+
′
=+
AB
t
t
B

A
dttytytxQtxtytxPQdyPdx
• Công thức Green: Giả sử D là miền liên thông, bị chặn, có biên L gồm
một hay nhiều đường cong kín trơn từng khúc, rời nhau từng đôi một.
13
Nếu các hàm số
),(,),( yxQyxP
và các đạo hàm riêng cấp một của
chúng liên tục trên D thì ta có:
.
L D
Q P
Pdx Qdy dxdy
x y
 
∂ ∂
+ = −
 ÷
∂ ∂
 
∫ ∫∫
Ñ
f. Tích phân mặt loại một
Giả sử S được cho bởi phương trình
),( yxzz =
trong đó
),( yxz

liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trên miền đóng giới nội D với
D là hình chiếu của S trên mặt phẳng Oxy. Nếu

),,( zyxf
liên tục trên
S thì:
.1)](,,[),,(
22
dxdyzzxzyxfdSzyxf
D
yx
S
∫∫∫∫
′
+
′
+=
g. Tích phân mặt loại hai
Ta có:
∫∫
++= .RdxdyQdzdxPdydzI
Xét tích phân
∫∫
S
dxdyzyxR ),,(
.
Giả sử mặt S được xác định bởi
),( yxzz =
. Khi đó ta có:
∫∫∫∫
=
DS
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(

với D là hình chiếu của S trên
mặt phẳng Oxy và
0
(, ) 90n Oz
<
r
, trong đó
n
r
là vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng tiếp diện với S.
và
∫∫∫∫
−=
DS
dxdyyxzyxRdxdyzyxR )],(,,[),,(
nếu
.90),(
0
>Ozn
Áp dụng tương tự cho các thành phần còn lại của tích phân mặt loại
hai.
14
15
PHẦN III
nội dung và phương pháp nghiên cứu
3.1. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân vào giải các bài toán
tính diện tích và thể tích.
Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của tích phân với sinh viên K38, 39,

40 ngành Công nghiệp Nông thôn.
3.2. Nội dung nghiên cứu
– Những sai sót của sinh viên khi làm bài toán tích phân.
– Ứng dụng tích phân vào tính thể tích và diện tích.
3.3. Phương pháp nghiên cứu
Thống kê quả học tập phần tích phân, đặc biệt là các lỗi, sai sót của
sinh viên. Trên cơ sở đó hệ thống hoá kiến thức tính phân cũng nh những ứng
dụng của nó và kiểm nghiệm trong giảng dạy.
16
PHẦN IV
Kết quả nghiên cứu
4.1 Thực trạng về giải các bài toán tích phân của sinh viên khi thực hiện
chương trình toán cao cấp
Trong chương trình đào tạo cho ngành CNNT, môn toán cao cấp được
phân phối thành 6 tín chỉ, trong đó các phép toán tích phân chiếm 1/2 khối
lượng của học phần Toán Cao cấp 2. Sinh viên được trang bị các kiến
thức cơ bản và cách tính tích phân xác định, tích phân kép, tích phân bội
ba, tích phân đường, tích phân mặt cùng với các ứng dụng của nó.
Song do thời lượng dành cho mỗi phép toán là hạn chế nên chủ yếu phần
ứng dụng sinh viên phải tự đọc giáo trình. Trong khi đó ứng dụng của tích
phân lại rất rộng, không chỉ trực tiếp trong toán học mà còn ở rất nhiều môn
khoa học kĩ thuật khác nh:
Tính giới hạn của dãy số, xét sự hội tụ của chuỗi số dương … trong
đại số.
Tính độ dài đường cong, diện tích hình phẳng, mặt cong, thể tích vật thể
… trong hình học.
Tính kì vọng, phương sai … của các biến ngẫu nhiên liên tục trong xác
suất thống kê.
Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật thể, mômen tĩnh, mômen quán
tính của vật thể, công của lực véctơ … trong môn cơ học vật rắn.

Tính áp lực thuỷ tĩnh, lập phương trình cơ bản thuỷ tĩnh học, tích phân
Becrnulli … trong môn thủy lực.
Tính lưu số của trường vectơ, thông lượng của trường vectơ … trong
môn lí thuyết trường…
17
Do đó nếu có sự tổng hợp về kiến thức và các ứng dụng của tích phân sẽ
giúp sinh viên có cái nhìn khái quát hơn về môn học. Tạo ra sức hấp dẫn và
động lực đối với sinh viên khi học toán tích phân. Góp phần nâng cao chất
lượng dạy và học môn toán cũng như các môn học khác.Trong khuôn khổ của
đề tài tôi trình bày vê ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích.
4.2. Một số khó khăn của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân
4.2.1. Một sè sai sót của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân
Khi tính tích phân xác định, sinh viên thường nhầm lẫn trong việc lựa
chọn các phương pháp tính tích phân.
Ví dô: Tính tích phân sau
∫
=
2
0
cos
sin
π
xdxeI
x
Một sè sinh viên làm nh sau:
Đặt



−=

−=
⇒



=
=
xv
dxxedu
xdxdv
eu
xx
cos
sin
sin
coscos
∫∫
−−=−−=⇒
2
0
cos
2
0
cos
2
0
cos
2
0
cos

2sin
2
1
coscossincos
π
π
π
π
dxxexedxxexxeI
xxxx
Đến đây việc lấy tích phăn càng trở nên khó khăn hơn.
Sai lầm của sinh viên là cho rằng tích phân này có thể làm bằng phương
pháp tích phân từng phần mà không chú ý đến quy tắc của phương pháp này
là
∫
vdu
phải đơn giản hơn
∫
udv
. Bài toán này ta phải làm bằng phương pháp
đổi biến nh sau:
Đặt
dxxedtet
xx coscos
sin
−=⇒=
.
Nếu
.1
2

;0
=⇒==⇒=
txetx
π
18
.1
1
1
−==−=⇒
∫∫
edtdtI
e
e
Chó ý:
Khi tính tích phân cần kiểm tra điều kiện khả tích.
Cần chó ý đến tính chẵn lẻ của hàm số f(x) trên đoạn [a, b].
Điều kiện để áp dụng công thức Newton – Lepbnitz là:
+ f(x) liên tục trên đoạn [a, b].
+ F(x) là nguyên hàm của f(x) trên đoạn [a, b].
Khi tích tích phân từng phần ta chọn u(x), v(x) phải thoả mãn hai tích
chất sau:
+ u, v có đạo hàm liên tục trên đoạn [a, b].
+
∫
vdu
phải đơn giản hơn
∫
udv
.
Khi đứng trước một bài toán có ứng dụng tích phân sinh viên thường

nhầm lẫn trong việc lựa chọn các dạng tích phân.
Ví dô: Khi yêu cầu tính diện tích của mặt cong S, sinh viên thường lúng
túng trong việc chọn tích phân xác định, tích phân kép, tích phân mặt loại một
hay tích phân mặt loại hai …
Với những bài toán phải đổi hệ trục tọa độ sinh viên thường nhầm lẫn
khi lựa chọn hệ tọa độ mới.
Ví dô: Tính
∫∫∫
≤+
+
++=
V
a
z
a
yx
VdxdydzzyxI .1
3
:,)(
2
2
2
22
222
Khi giải bài toán này sinh viên thường thấy nó gần với dạng của phương
trình mặt cầu nên đã chuyển sang hệ toạ độ cầu. Nhưng khi lấy cận thì bán
kính r có cận không hằng số. Sinh viên có thể tiếp tục giải phương trình:
1
3
2

2
2
22
=+
+
a
z
a
yx
để tìm r là:
2222
3)(3 azyx
=++
19
.
sin21
3
0.
sin21
3
3)sin21(
2
2
2
2
222
θθ
θ
+
≤≤⇒

+
=⇔
=+⇔
a
r
a
r
ar
Với kết quả này thì việc tính tích phân là rất khó khăn.
Trong trường hợp này sinh viên đã sai lầm khi lựa chọn hệ toạ độ
mới.Với những miền V là elip ta cần chuyển sang hệ tọa độ cầu mở rộng
bằng cách đặt:
ϕθθ
πθ
πϕ
θ
ϕθ
ϕθ
ddrdradxdydz
r
V
raz
ary
arx
sin3
10
0
20
:
cos3

sinsin
cossin
23
=





≤≤
≤≤
≤≤
⇒





=
=
=
Hoặc có thể đổi biến hai lần:
Lần 1: Chuyển miền lấy tích phân từ elip về cầu bằng cách đặt
2 2 2 2
:
3
3
x x
y y V x y t a
z t

dxdydz dxdydt

=

= ⇒ + + ≤


=

=
Lần 2: Chuyển sang hệ toạ độ cầu.
Khi đổi hệ toạ độ sinh viên thường xác định sai cận lấy tích phân.
Ví dô: Tính tích phân sau I =
V
zdxdydz
∫∫∫
,
V
là miền giới hạn bởi mặt
22
yxz
+=
,
0 z a
≤ ≤
.
Sinh viên thường làm nh sau:
Chuyển sang tọa độ trụ ta được:
Đặt:






≤≤
≤≤
≤≤
⇒





=
=
=
az
arV
zz
ry
rx
0
0
20
:sin
cos
πϕ
ϕ
ϕ
20

Do đó:
.
2
2
3
2
00
2
0
a
a
azdzdrdI
aa
ππϕ
π
===
∫∫∫

Ở đây sinh viên đã chọn cận sai cho biến r. Theo phương trình của miền
V thì
2
rz
=
tức là
.0 zr
≤≤
Vì vậy, bài toán cần được giải là:
Chuyển sang tọa độ trụ ta được:
Đặt:






≤≤
≤≤
≤≤
⇒





=
=
=
az
zrV
zz
ry
rx
0
0
20
:sin
cos
πϕ
ϕ
ϕ
Do đó:

.
48
2
2
2
2
2
4
0
4
0
3
0
0
2
00
2
0
ar
dz
r
dz
r
zzdzdrdI
a
aa
z
az
π
πππϕ

π
===








==
∫∫∫∫∫

4.2.2. Nguyên nhân gây ra sai sót của sinh viên khi học toán tích phân
Chưa nắm vững kiến thức cơ bản.
Khi áp dụng các định lí và các phương pháp tính tích phân còn thụ động.
Khả năng phân tích, tổng hợp các dạng bài toán còn hạn chế.
Chưa xác định rõ động cơ học tập.
4.3. Ứng dụng tích phân vào tính diện tích và thể tích
4.3.1. Tính độ dài cung đường cong
• Tính độ dài cung đường cong bằng tích phân xác định.
Cho đường cong có phương trình
( )y f x
=
với
( )f x
là hàm số liên tục và có
đạo hàm liên tục trên đoạn [a,b]. Gọi cung
»
AB

là đồ thị của hàm số
( )f x
trên đoạn [a,
b] (hình 3. 2), khi đó độ dài của cung
»
AB

được tính bởi công thức
2
1 ( )
b
a
l f x dx
′
= +
∫
(1)
21
– Trường hợp đường cong cho dưới dạng tham sè
[ ]( )
,
( )
x x t
t
y y t
α β
=

∈


=

thì độ dài của cung
»
AB
được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )l x t y t dt
β
α
′ ′
= +
∫
(2)
Thật vậy, ta có
( )
, ( )
( )
t
dy y t
dx x dt f x
dx x t
′
′ ′
= = =
′
thay vào (1) ta được (2).
– Trường hợp đường cong cho trong hệ toạ độ cực
[ ]

( ), ,r f
ϕ ϕ α β
= ∈
thì độ dài của cung AB được tính bởi công thức
2 2
( ) ( )l r r d
β
α
ϕ ϕ ϕ
′
= +
∫
. (3)
Thật vậy, theo công thức liên hệ giữa hệ toạ độ Đêcac và hệ toạ độ cực ta
có
( )cos, ( )sinx r y r
ϕ ϕ ϕ ϕ
= =
. Ta coi x, y được biểu diễn theo tham sè
ϕ
,
tính đạo hàm và
dx
rồi thay vào (1) ta được (3).
Ví dô 1: Tính độ dài cung đường cong
0
, (0 )
x
y e x x
= ≤ ≤

(hình 3. 3)
Áp dụng công thức (1) ta có
0 0
2 2
0 0
1 ( ) 1
x x
x x
l e dx e dx
= + = +
∫ ∫
Đặt
x x
e t e dx dt
= ⇒ =
.
Khi đó
0
0
0 1; .
x
x t x x t e
= ⇒ = = ⇒ =
0
2
1
1
x
e
t

l dt
t
+
⇒ =
∫
.
22
Đặt
2
2 2
1
1
1
t
du dt
u
t t
t
t v
dv dt


+
= −
 
=
⇒
+
 
 

=
=


Do đó
0 0
0
0
2
2
2 2 2 2
1 1
1
1 1
1 2
1 1 1
x x
x
e e
e
x
t dt
l t t dt e
t
t t t t
+
= + = + − +
+ +
∫ ∫

0
0
0 0
0 0
0
0
0 0
2 2
2
2
1
1
1
2 2
2
2
(1 ) 1 1
1 2 1 2 ln 1
1 1
1
1 2 ln 1 ln 1 2
1 2
1 2 ln .
1
x
x
e
e
x x
x x

x
x
x x
d t
e e
t t
t
e e
e
e
e e
− −
−
= + − + = + − − + +
+
= + − − + + + +
 
+
= + − +
 ÷
 ÷
+ +
 
∫
Ví dô 2: Tính độ dài cung đường cong cho bởi phương trình
,
1 cos 2
p
r
π

ϕ
ϕ
 
= ≤
 
+
 
(*)
Áp dụng công thức (2) ta có
2 2
( ) ( )l r r d
β
α
ϕ ϕ ϕ
′
= +
∫
mà
2 2 2
2 2
2 2 4
sin sin
(1 cos ) (1 cos ) (1 cos )
p p p
r r r
ϕ ϕ
ϕ ϕ ϕ
′ ′
= ⇒ + = +
+ + +

2 2 2 2 2 2
4
2 2 2
4 3
6
cos sin 2 cos
(1 cos )
2 (1 cos ) 2
(1 cos ) (1 cos )
4cos
2
p p p p
p p p
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
+ + +
=
+
+
= = =
+ +
Do đó:
23

2 2 2
2
6 3 3

2 2 2
4 4
3
3
0 0
( 2)
2
4cos cos cos
2 2 2
( 2)
2 2
cos
cos
2
p p d d
l d p
d dt
p p
t
π π π
π π π
π π
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ϕ
− − −
= = =
= =

∫ ∫ ∫
∫ ∫
Tính
4
3
0
cos
dt
I
t
π
=
∫

đặt
2
2
1
sin
cos
cos
cos
t
u
du dt
x
t
dt
v tgt
dv

t

=


=
 
⇒
 
 
=
=



4 4
4 4 4
2 2
4
3 3
0 0
0
3
0 0 0
1 sin 1 cos
. 2
cos cos cos
1 1 1
2 2
cos cos cos

3
4
2 2 ln 2 ln
2 4 8
0
1 3
2 ln .
2 8
t t
I tgt dt dt
t t t
dt dt I dt
t t t
t
I tg tg
I tg
π π
π π π
π
π
π π
π
−
⇒ = − = −
= − + = − +
 
   
⇒ = + + = +
   
 

   
 
 
 
⇒ = +
 
 
 
 
∫ ∫
∫ ∫ ∫
Vậy
3
2 2 ln .
8
l pI p tg
π
 
 
= = +
 
 
 
 
. TÝnh độ dài cung đường cong bằng tích phân đường loại một
Theo định nghĩa tích phân đường loại một ta thấy, khi
(, ) 1f x y =
thì tích
phân đường
»

AB
I ds
=
∫
là chiều dài của cung
»
AB
. Nếu cung
»
AB
được cho bởi
24
phương trình
( ),y y x a x b= ≤ ≤
thì chiều dài của cung
»
AB
trở về với tích
phân xác định
»
2
1 ( )
b
a
AB
l ds y x dx
′
= = +
∫ ∫
.

Tương tù cho trường hợp cung
»
AB
được cho bởi phương trình tham sè
hay trong toạ độ cực.
25
a x x x b = < < < =. Trongmỗi khoảng chừng nhỏ [, ] i ix xlấy một. điểmtuỳ ý :, ( 1, ) i i ix x i n ≤ ≤ = và lập tổng ( ) n i iI f x = ∆ với, ( 1, ) i i ix x x i n ∆ = − = Nếu khi → ∞ sao chomax 0 i n ≤ ≤ ∆ = → màcó số lượng giới hạn ( hữu hạn ) là I thoả mãn : giá trị I không phụ thuộc vào vàocách chọn điểmvà cách chia đoạn [ a, b ] thì I được gọi là tích phân xác địnhcủa hàm số f ( x ) lấy trên đoạn [ a, b ]. Tức là : lim ( ) i iI f x → ∞ = ∆ Kí hiệu : ( ) I f x dx = b. Tích phân suy rộngGiả sử hàm số ( ) f xxác định trong khoảng chừng [, ) a + ∞, nghĩa là ( ) f xxácđịnh với mọix avà khả tích trong bất kỳ khoảng chừng hữu hạn [, ] a A ; khi đó, nhđã biết tích phân ( ) f x dxcó nghĩa với bất kìA aNếu tồn tạilim ( ) f x dx → + ∞ ( 1 ) thì số lượng giới hạn đó được gọi là tích phân suyrộng của hàm số ( ) f xtrong khoảng chừng [, ) a + ∞ và kí hiệu là : ( ) f x dx + ∞ ( 2 ) Khi đó ta cũng nói rằng tích phân ( 2 ) quy tụ và viết : ( ) lim ( ) a af x dx f x dx + ∞ → + ∞ ∫ ∫ Nếu không sống sót số lượng giới hạn ( 1 ) thì ta nói rằng tích phân ( 2 ) phân kì. Tương tù, ta cũng định nghĩa : ( ) f x dx − ∞ lim ( ) f x dx → − ∞. ( A OznÁp dụng tương tự như cho những thành phần còn lại của tích phân mặt loạihai. 1415PH ẦN IIInội dung và chiêu thức nghiên cứu3. 1. Đối tượng và khoanh vùng phạm vi nghiên cứuĐối tượng nghiên cứu và điều tra : Ứng dụng của tích phân vào giải những bài toántính diện tích quy hoạnh và thể tích. Phạm vi điều tra và nghiên cứu : Ứng dụng của tích phân với sinh viên K38, 39,40 ngành Công nghiệp Nông thôn. 3.2. Nội dung điều tra và nghiên cứu - Những sai sót của sinh viên khi làm bài toán tích phân. - Ứng dụng tích phân vào tính thể tích và diện tích quy hoạnh. 3.3. Phương pháp nghiên cứuThống kê quả học tập phần tích phân, đặc biệt quan trọng là những lỗi, sai sót củasinh viên. Trên cơ sở đó hệ thống hoá kiến thức và kỹ năng tính phân cũng nh những ứngdụng của nó và kiểm nghiệm trong giảng dạy. 16PH ẦN IVKết quả nghiên cứu4. 1 Thực trạng về giải những bài toán tích phân của sinh viên khi thực hiệnchương trình toán cao cấpTrong chương trình giảng dạy cho ngành CNNT, môn toán hạng sang đượcphân phối thành 6 tín chỉ, trong đó những phép toán tích phân chiếm 50% khốilượng của học phần Toán Cao cấp 2. Sinh viên được trang bị những kiếnthức cơ bản và cách tính tích phân xác lập, tích phân kép, tích phân bộiba, tích phân đường, tích phân mặt cùng với những ứng dụng của nó. Song do thời lượng dành cho mỗi phép toán là hạn chế nên hầu hết phầnứng dụng sinh viên phải tự đọc giáo trình. Trong khi đó ứng dụng của tíchphân lại rất rộng, không riêng gì trực tiếp trong toán học mà còn ở rất nhiều mônkhoa học kĩ thuật khác nh : Tính số lượng giới hạn của dãy số, xét sự quy tụ của chuỗi số dương … trongđại số. Tính độ dài đường cong, diện tích quy hoạnh hình phẳng, mặt cong, thể tích vật thể … trong hình học. Tính kì vọng, phương sai … của những biến ngẫu nhiên liên tục trong xácsuất thống kê. Tính khối lượng vật thể, trọng tâm vật thể, mômen tĩnh, mômen quántính của vật thể, công của lực véctơ … trong môn cơ học vật rắn. Tính áp lực đè nén thuỷ tĩnh, lập phương trình cơ bản thuỷ tĩnh học, tích phânBecrnulli … trong môn thủy lực. Tính lưu số của trường vectơ, thông lượng của trường vectơ … trongmôn lí thuyết trường … 17D o đó nếu có sự tổng hợp về kiến thức và kỹ năng và những ứng dụng của tích phân sẽgiúp sinh viên có cái nhìn khái quát hơn về môn học. Tạo ra sức mê hoặc vàđộng lực so với sinh viên khi học toán tích phân. Góp phần nâng cao chấtlượng dạy và học môn toán cũng như những môn học khác. Trong khuôn khổ củađề tài tôi trình diễn vê ứng dụng của tích phân để tính diện tích quy hoạnh và thể tích. 4.2. Một số khó khăn vất vả của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phân4. 2.1. Một sè sai sót của sinh viên trong học tập và ứng dụng tích phânKhi tính tích phân xác lập, sinh viên thường nhầm lẫn trong việc lựachọn những giải pháp tính tích phân. Ví dô : Tính tích phân saucossinxdxeIMột sè sinh viên làm nh sau : Đặt − = − = xvdxxeduxdxdveuxxcossinsincoscos ∫ ∫ − − = − − = ⇒ coscoscoscos2sincoscossincosdxxexedxxexxeIxxxxĐến đây việc lấy tích phăn càng trở nên khó khăn vất vả hơn. Sai lầm của sinh viên là cho rằng tích phân này hoàn toàn có thể làm bằng phươngpháp tích phân từng phần mà không quan tâm đến quy tắc của giải pháp nàylàvduphải đơn thuần hơnudv. Bài toán này ta phải làm bằng phương phápđổi biến nh sau : Đặtdxxedtetxx coscossin − = ⇒ = Nếu. 1 ; 0 = ⇒ = = ⇒ = txetx18. 1 − = = − = ⇒ ∫ ∫ edtdtIChó ý : Khi tính tích phân cần kiểm tra điều kiện kèm theo khả tích. Cần chó ý đến tính chẵn lẻ của hàm số f ( x ) trên đoạn [ a, b ]. Điều kiện để vận dụng công thức Newton – Lepbnitz là : + f ( x ) liên tục trên đoạn [ a, b ]. + F ( x ) là nguyên hàm của f ( x ) trên đoạn [ a, b ]. Khi tích tích phân từng phần ta chọn u ( x ), v ( x ) phải thoả mãn hai tíchchất sau : + u, v có đạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b ]. vduphải đơn thuần hơnudvKhi đứng trước một bài toán có ứng dụng tích phân sinh viên thườngnhầm lẫn trong việc lựa chọn những dạng tích phân. Ví dô : Khi nhu yếu tính diện tích quy hoạnh của mặt cong S, sinh viên thường lúngtúng trong việc chọn tích phân xác lập, tích phân kép, tích phân mặt loại mộthay tích phân mặt loại hai … Với những bài toán phải đổi hệ trục tọa độ sinh viên thường nhầm lẫnkhi lựa chọn hệ tọa độ mới. Ví dô : Tính ∫ ∫ ∫ ≤ + + + = yxVdxdydzzyxI. 1 :, ) ( 22222K hi giải bài toán này sinh viên thường thấy nó gần với dạng của phươngtrình mặt cầu nên đã chuyển sang hệ toạ độ cầu. Nhưng khi lấy cận thì bánkính r có cận không hằng số. Sinh viên hoàn toàn có thể liên tục giải phương trình : 22 = + yxđể tìm r là : 22223 ) ( 3 azyx = + + 19 sin210. sin213 ) sin21 ( 222 θθ ≤ ≤ ⇒ = ⇔ = + ⇔ arVới hiệu quả này thì việc tính tích phân là rất khó khăn vất vả. Trong trường hợp này sinh viên đã sai lầm đáng tiếc khi lựa chọn hệ toạ độmới. Với những miền V là elip ta cần chuyển sang hệ tọa độ cầu mở rộngbằng cách đặt : ϕθθπθπϕϕθϕθddrdradxdydzrazaryarxsin31020cos3sinsincossin23 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ Hoặc hoàn toàn có thể đổi biến hai lần : Lần 1 : Chuyển miền lấy tích phân từ elip về cầu bằng cách đặt2 2 2 2 x xy y V x y t az tdxdydz dxdydt = ⇒ + + ≤ Lần 2 : Chuyển sang hệ toạ độ cầu. Khi đổi hệ toạ độ sinh viên thường xác lập sai cận lấy tích phân. Ví dô : Tính tích phân sau I = zdxdydz ∫ ∫ ∫ là miền số lượng giới hạn bởi mặt22yxz + = 0 z a ≤ ≤ Sinh viên thường làm nh sau : Chuyển sang tọa độ trụ ta được : Đặt : ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ azarVzzryrx20 : sincosπϕ20Do đó : 00 azdzdrdIaaππϕ = = = ∫ ∫ ∫ Ở đây sinh viên đã chọn cận sai cho biến r. Theo phương trình của miềnV thìrztức là. 0 zr ≤ ≤ Vì vậy, bài toán cần được giải là : Chuyển sang tọa độ trụ ta được : Đặt : ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ azzrVzzryrx20 : sincosπϕDo đó : 4800 ardzdzzzdzdrdIaaazπππϕ = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 4.2.2. Nguyên nhân gây ra sai sót của sinh viên khi học toán tích phânChưa nắm vững kỹ năng và kiến thức cơ bản. Khi vận dụng những định lí và những chiêu thức tính tích phân còn thụ động. Khả năng nghiên cứu và phân tích, tổng hợp những dạng bài toán còn hạn chế. Chưa xác lập rõ động cơ học tập. 4.3. Ứng dụng tích phân vào tính diện tích quy hoạnh và thể tích4. 3.1. Tính độ dài cung đường cong • Tính độ dài cung đường cong bằng tích phân xác lập. Cho đường cong có phương trình ( ) y f xvới ( ) f xlà hàm số liên tục và cóđạo hàm liên tục trên đoạn [ a, b ]. Gọi cungABlà đồ thị của hàm số ( ) f xtrên đoạn [ a, b ] ( hình 3. 2 ), khi đó độ dài của cungABđược tính bởi công thức1 ( ) l f x dx = + ( 1 ) 21 - Trường hợp đường cong cho dưới dạng tham sè [ ] ( ) ( ) x x ty y tα βthì độ dài của cungABđược tính bởi công thức2 2 ( ) ( ) l x t y t dt ′ ′ = + ( 2 ) Thật vậy, ta có ( ), ( ) ( ) dy y tdx x dt f xdx x t ′ ′ = = = thay vào ( 1 ) ta được ( 2 ). - Trường hợp đường cong cho trong hệ toạ độ cực [ ] ( ), , r fϕ ϕ α β = ∈ thì độ dài của cung AB được tính bởi công thức2 2 ( ) ( ) l r r dϕ ϕ ϕ = +. ( 3 ) Thật vậy, theo công thức liên hệ giữa hệ toạ độ Đêcac và hệ toạ độ cực tacó ( ) cos, ( ) sinx r y rϕ ϕ ϕ ϕ = =. Ta coi x, y được trình diễn theo tham sètính đạo hàm vàdxrồi thay vào ( 1 ) ta được ( 3 ). Ví dô 1 : Tính độ dài cung đường cong, ( 0 ) y e x x = ≤ ≤ ( hình 3. 3 ) Áp dụng công thức ( 1 ) ta có0 02 20 01 ( ) 1 x xx xl e dx e dx = + = + ∫ ∫ Đặtx xe t e dx dt = ⇒ = Khi đó0 1 ;. x t x x t e = ⇒ = = ⇒ = l dt ⇒ = 22 Đặt2 2 du dtt tt vdv dt = −       Do đó0 02 2 2 21 11 11 21 1 1 x xe et dtl t t dt et t t t = + = + − + + + ∫ ∫ 0 00 00 02 22 2 ( 1 ) 1 11 2 1 2 ln 11 11 2 ln 1 ln 1 21 21 2 ln. x xx xx xd te et te ee e − − = + − + = + − − + + = + − − + + + +   = + − +  ÷  ÷ + +   Ví dô 2 : Tính độ dài cung đường cong cho bởi phương trình1 cos 2   = ≤     ( * ) Áp dụng công thức ( 2 ) ta có2 2 ( ) ( ) l r r dϕ ϕ ϕ = + mà2 2 22 22 2 4 sin sin ( 1 cos ) ( 1 cos ) ( 1 cos ) p p pr r rϕ ϕϕ ϕ ϕ ′ ′ = ⇒ + = + + + + 2 2 2 2 2 22 2 24 3 cos sin 2 cos ( 1 cos ) 2 ( 1 cos ) 2 ( 1 cos ) ( 1 cos ) 4 cosp p p pp p pϕ ϕ ϕϕ ϕ + + + = = = + + Do đó : 232 2 26 3 32 2 24 40 0 ( 2 ) 4 cos cos cos2 2 2 ( 2 ) 2 2 coscosp p d dl d pd dtp pπ π ππ π ππ πϕ ϕϕ ϕ ϕ − − − = = = = = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Tínhcosdtđặtsincoscoscosdu dtdtv tgtdv       4 44 4 42 23 30 00 0 01 sin 1 cos. 2 cos cos cos1 1 12 2 cos cos cos2 2 ln 2 ln2 4 81 32 ln. 2 8 t tI tgt dt dtt t tdt dt I dtt t tI tg tgI tgπ ππ π ππ π ⇒ = − = − = − + = − +       ⇒ = + + = +                 ⇒ = +         ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ Vậy2 2 ln. l pI p tg     = = +        . TÝnh độ dài cung đường cong bằng tích phân đường loại mộtTheo định nghĩa tích phân đường loại một ta thấy, khi (, ) 1 f x y = thì tíchphân đườngABI dslà chiều dài của cungAB. Nếu cungABđược cho bởi24phương trình ( ), y y x a x b = ≤ ≤ thì chiều dài của cungABtrở về với tíchphân xác định1 ( ) ABl ds y x dx = = + ∫ ∫ Tương tù cho trường hợp cungABđược cho bởi phương trình tham sèhay trong toạ độ cực. 25