Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay – Toán lớp 12

Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Công thức tính Tích có hướng của hai vecto trong không gian cực hay

Bài giảng: Các dạng bài tập hệ trục tọa độ trong không gian – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

1. Định nghĩa:

Trong không gian Oxyz cho hai vecto a→=(a1;a2;a3 ) và b→=(b1;b2;b3 ). Tích có hướng của hai vecto a→b→, kí hiệu là [a→, b→ ], được xác định bởi

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Chú ý : Tích có hướng của hai vecto là một vecto, tích vô hướng của hai vecto là một số ít .

2. Tính chất

+ [a→, b→ ]⊥ a→ ; [a→, b→ ]⊥ b→

+ [a→, b→ ]=-[b→, a→ ]

+ [i→, j→ ]=k→ ; [ j→, k→ ]= i→ ; [k→, i→ ]= j→

+ |[ a→, b→ ]|=| a→ |.| b→ |.sin⁡( a→, b→ )

+ a→, b→ cùng phương ⇔ [a→, b→ ]= 0→ (chứng minh 3 điểm thẳng hàng)

Quảng cáo

3. Ứng dụng của tích có hướng (chương trình nâng cao)

+ Điều kiện đồng phẳng của ba vecto :

    a→
, b→
c→
đồng phẳng ⇔[ a→
, b→
]. c→
=0

+ Diện tích hình bình hành ABCD :

    SABCD=|[AB→
; AD→
]|

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

+ Diện tích tam giác ABC :

    SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

+ Thể tích khối hộp ABCD.A ’ B’C ’ D ’ :

    VABCD.A’B’C’D’=|[AB→; AD→ ]. AA’→ |

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

+ Thể tích tứ diện ABCD

    VABCD=1/3 |[AB→
; AC→
]. AD→
|

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Ví dụ minh họa

Quảng cáo

Bài 1: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(1; 0; 1), B(-1; 1; 2), C(-1; 1; 0), D(2; -1; -2).

a ) Chứng minh rằng A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện .
b ) Tính thể tích tứ diện ABCD. Suy ra độ dài đường cao của tứ diện qua đỉnh A

Hướng dẫn:

AB→
=(-2;1;1); AC→
=(-2;1; -1); AD→
=(1; -1; -3)

⇒[AB→
, AC→
]=(-2;-4;0) ⇒[ AB→
, AC→
]. AD→
=2≠0

AB→
, AC→
, AD→
không đồng phẳng.

Vậy A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ diện .

b) VABCD=1/6 |[AB→
, AC→
]. AD→
|=2/6=1/3

Ta có: BC→
=(0;0; -2), BD→
=(3; -2; -4)

⇒[ BC→
, BD→
]=(-4; -6;0)⇒SBCD=1/2 |[BC→
, BD→
]|=√13

VABCD = 1/3 d ( A ; ( BCD ) ). SBCD

⇒d(A;(BCD))Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 2: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho 4 điểm A(-3; 5; 15), B(0; 0; 7), C(2; -1; 4), D(4; -3; 0). Chứng minh AB và CD cắt nhau.

Hướng dẫn:

+ Ta có: AB→
=(3; -5; -8); AC→
=(5; -6; -11);

AD→
=(7; -8; -15), CD→
=(2; -2; -4)

⇒[ AB→
, AC→
]=(7;-7;7) ⇒[ AB→
,(AC) ⃗ ].(AD) ⃗=0

AB→
, AC→
, AD→
đồng phẳng.

Xem thêm  Tổng hợp ứng dụng chơi nhạc điện tử, chỉnh nhạc tốt nhất trên Android

⇒ A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng ( 1 )

+ [AB→
, CD→
]=(4; -4;4) ≠0→
AB→
, CD→
không cùng phương (2)

Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra AB và CD cắt nhau .

Bài 3: : Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình hộp ABCD.EFGH với A(1; 1; 1), B(2; 1; 2), E(-1; 2; -2), D(3; 1; 2). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (DCGH)

Hướng dẫn:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

+ AB→=(1;0;1), AD→=(2;0;1), AE→=(-2;1; -3)

⇒[ AB→, AD→ ]=(0;1;0)⇒[ AB→, AD→ ]. AE→=1

⇒VABCD.EFGH=|[ AB→, AD→ ]. AE→ |=1

+ SAEFB=|[ AB→, AE→ ]|=√3

⇒ SDCGH = SAEFB = √ 3
VABCD.EFGH = d ( A ; ( DCGH ) ). SDCGH

⇒d(A;(DCGH))Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho ba điểm A(-2;2;1), B(1;0;2), C(-1;2;3). Diện tích tam giác ABC là:

   A. (3√5)/2   B. 3√5

   C. 4√5   D. 5/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→
=(3; -2;1); AC→
=(1;0;2)⇒[AB→
, AC→
]=(-4; -5;2)

SABC=1/2 |[AB→
, AC→
]|=(3√5)/2

Bài 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(1;0;0), B(0;1;0), C(0;0;1) và D(-2;1;-1). Thể tích của tứ diện ABCD là:

   A. 1   B. 2

   C. 1/3   D. 1/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

AB→ =(-1; 1;0); AC→=(-1;0;1); AD→=(-3;1; -1)

⇒[AB→, AC→ ]=(1;1;1)⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-3

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=1/2

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0). Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là:

   A. √5   B. √3

   C. 4√2   D. 2√5

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(-5; 0;-10); AC→=(3;0;-6); BC→=(8;0;4)

AB = 5 √ 5 ; AC = 3 √ 5 ; BC = 4 √ 5

SABC=1/2 |[ AB→, AC→ ]|=30

Gọi r là nửa đường kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC, p là nửa chu vi tam giác
Ta có :
S = pr

⇒rCác dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải=√5

Bài 4: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;1), B(5;5;4), C(3;2;-1), D(4;1;3). Thể tích tứ diện ABCD là:

   A. 3   B. 4

   C. 9   D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→=(3; 6;3); AC→=(1;3;-2); AD→=(2;-2; 2)

⇒[ AB→, AC→ ]=(-21;9;3)⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-54

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=9

Bài 5: Trong không gian Oxyz cho tứ diện ABCD. Độ dài đường cao vẽ từ D của tứ diện ABCD cho bởi công thức nào sau đây:

   A. Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   B. Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   C. Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

   D. Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Bài 6: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC biết A(1;0;0), B(0;0;1), C(2;1;1). Độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ A là:

   A. (2√30)/5   B. (√30)/5

   C. (√10)/5   D. (√6)/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

AB→=(-1; 0;1); AC→=(1;1;1)⇒[AB→, AC→ ]=(-1;2;-1)

SABC=1/2 |[ AB→, AC→ ]|=√6/2

BC=| BC→ |=√5

SABC = 50% h. BC ⇒ h = ( 2S ) / BC = √ ( 30 ) / 5

Bài 7: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OAMN với S(0;0;1), A(1;1;0), M(m;0;0), N(0;n;0). Trong đó m>0, n>0 và m+n=6. Thể tích hình chóp S.OAMN là:

   A. 1   B. 2

   C. 4   D. 6

Hiển thị đáp án

Xem thêm  Hướng dẫn giúp ứng dụng ngủ đông trên thiết bị Android không cần root

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(1;1;0), OM→=(m;0;0), ON→=(0;n;0), OS→=(0;0;1)

[ OA→, OM→ ]=(0;0; -m)⇒ OS→. [ OA→, OM→ ]=(0;0; -m)

⇒VS.OAM=1/6 |OS→. [OA→, OM→ ]|=m/6

[OA→, ON→ ]=(0;0; m)⇒ OS→. [OA→, OM→ ]=(0;0; n)

⇒VS.OAN=1/6 |OS→. [OA→, ON→ ]|=n/6

Ta có :
VS.OAMN = m / 6 + n / 6 = ( m + n ) / 6 = 1

Bài 8: Cho A(1;-2;0), B(3;3;2), C(-1;2;2), D(3;3;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng

   A. 3   B. 4

   C. 5   D. 6

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

AB→=(2;5-;2); AC→=(-2;4;2); AD→=(2;5;1)

⇒[AB→, AC→ ]=(2; -8;18) ⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=-18

VABCD=1/6 |AD→. [AB→, AC→ ]|=3

Bài 9: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Độ dài đường cao AH của tứ diện ABCD là:

   A. 5   B. 6

   C. 7   D. 9

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Giải thích :

Áp dụng công thức :

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

tính được : h = 9

Bài 10: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1; 0; 0); B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai ?

   A. Bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng.

   B. Tam giác ABD là tam giác đều.

   C. AB⊥CD

   D. Tam giác BCD là tam giác vuông.

Hiển thị đáp án

Đáp án : D

Bài 11: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm A(4;0;0), B(x0;y0;0) với x0>0, y0>0 sao cho OB=8 và góc AOBˆ=600. Gọi C(0;0;c) với c>0. Để thể tích tứ diện OABC bằng 16√3 thì giá trị thích hợp của c là:

   A. 6   B. 3

   C. √3   D. 6√3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

OA→=(4;0;0), OB→=(x0;y0;0); OC→=(0;0;c)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

OB = √ ( x02 + y02 ) = 8 ⇒ y0 = 4 √ 3

OA→=(4;0;0); OB→=(4;4√3;0) ⇒[ OA→, OB→ ]=(0;0;16√3)

OC→[ OA→, OB→ ]=16c√3

VABCD=1/6 |OC→ [ OA→, OB→]|=1/6.16c√3=16√3 ⇒c=6

Bài 12: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1). Thể tích của tứ diện ABCD bằng:

   A. 30   B. 40

   C. 50   D. 60

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

VABCD=1/6 |AD→
. [ AB→
, AC→
]|=30

Bài 13: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) điểm D thuộc Oy và thể tích tứ diện ABCD bằng 5. Tọa độ của D là:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

D thuộc Oy ⇒ D ( 0 ; y ; 0 )

AB→=(1;-1;2); AC→=(0;-2;4); AD→=(-2;y-1;1)

⇒ [AB→, AC→ ]=(0; -4;-2) ⇒ AD→. [AB→, AC→ ]=2-4y

VABCD=1/6 |AD→. [ AB→, AC→ ]|=|2-4y|/6=5

⇒ |2-4y|=30Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 14: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0;0;2), B(3;0;5), C(1;1;0), D(4;1;2). Độ dài đường cao của tứ diện ABCD hạ từ đỉnh D xuống (ABC) là:

   A. √(11)   B. √(11)/11

   C. 1   D. 11

Hiển thị đáp án

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có AB→(3;0;3), AC→(1;1;-2), và AD→(4;1;0).

Dễ thấy [AB→, AC→]Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải=(-3;9;3),

nên SABC=1/2|[AB→, AC→]|Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Vậy chiều cao hạ từ đỉnh D của tứ diện là Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 15: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(0; 2; -2); B(-3; 1; -1);

C ( 4 ; 3 ; 0 ), D ( 1 ; 2 ; m ). Tìm m để bốn điểm A, B, C, D đồng phẳng .
Một học viên giải như sau :

Xem thêm  Tính chất và ứng dụng của sắt trong y học - Tài liệu text

   Bước 1: AB→=(-3;-1;1), AC→=(4;1;2), AD→= (1;0;m+2)

   Bước 2: [AB→, AC→]Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải=(-3;10;1)

    [AB→
, AC→
]. AD→= 3+m+2 = m+5

   Bước 3: A, B, C, D đồng phẳng⇔[AB→, AC→]. AD→= 3+m+2 = m+5 = 0 ⇔ m= -5.

Bài giải trên đúng hay sai ? Nếu sai thì sai từ bước nào ?

   A. Đúng.   B. Sai từ bước 1.

   C. Sai từ bước 2.   D. Sai từ bước 3.

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

Bước 2 sai. Phép tính đúng ở đây phải là [AB→, AC→]. AD→ = -3+m +2= m -1.

Bài 16: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Giải thích :

AB→(-1;2;2), AC→(1;1;-1). Độ dài đường cao kẻ từ C của tam giác ABC là:

d(C, AB)Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Bài 17: Cho hình chóp S.ABCD biết A(-2;2;6), B(-3;1;8), C(-1;0;7), D(1;2;3). Gọi H là trung điểm của CD, SH⊥(ABCD). Để khối chóp S.ABCD có thể tích bằng 27/2(đvtt) thì có hai điểm S1, S2 thỏa mãn yêu cầu bài toán. Tìm tọa độ trung điểm I của S1S2

   A. (0; 1; 5)    B. (1; 0; 5)

   C. (0; -1; -5)    D. (-1; 0; -5)

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: AB→=(-1;-1;2); AC→=(1; -2;1) ⇒ [AB→; AC→ ]=(3;3;3)

⇒SABC=1/2 |[AB→ ; AC→ ]|=(3√3)/2

DC→=(-2; -2;4); AB→=(-1;-1;2) ⇒ DC→=2 AB→

⇒ ABCD là hình thang và SABCD = 3SABC = ( 9 √ 3 ) / 2
VABCD = 1/3 SH.SABCD = 27/2 ⇒ SH = 3 √ 3
Lại có H là trung điểm của CD ⇒ H ( 0 ; 1 ; 5 )

Gọi S (a; b; c) ⇒ SH→=(-a;1-b;5-c)

Do SH⊥(ABCD) nên SH→=k[ AB→ ; AC→]=(3k;3k;3k)

⇒3√3Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải⇒k=±1

Với k = 1 ⇒ SH→=(3;3;3)⇒S(-3; -2;2)

Với k = -1 ⇒ SH→=(-3;-3;-3)⇒S(3; 4;8)

⇒ I ( 0 ; 1 ; 5 )

Bài 18: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho bốn điểm A(-1;-2;4), B(-4;-2;0), C(3;-2;1), D(1;1;1). Độ dài đường cao của tứ diện kẻ từ D là:

   A. 3   B. 1

   C. 2   D. 1/2

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Bài 19: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(1;0;1), B(0;2;3), C(2;1;0). Độ dài đường cao của tam giác kẻ từ C là:

   A. √(26)   B. √(26)/2

   C. √(26)/3   D. 26

Hiển thị đáp án

Đáp án : C

Bài 20: Trong không gian Oxyz, cho tứ diện ABCD có A(2;1;-1), B(3;0;1), C(2;-1;3) và D thuộc trục Oy. Biết VABCD=5 và có hai điểm D1(0;y1;0), D2(0;y2;0) thỏa mãn yêu cầu bài toán. Khi đó y1+y2 bằng

   A. 1   B. 0

   C. 2   D. 3

Hiển thị đáp án

Đáp án : A

Giải thích :

D thuộc trục Oy ⇒ D ( 0 ; y ; 0 )

AB→=(1; -1;2), AC→=(0; -2;4), AD→=(-2;y-1;1)

⇒[ AB→; AC→ ]=(0; -4; -2)⇒[AB→ ; AC→ ]. AD→=-4y+2

VABCD=1/6 |[ AB→ ; AC→ ]. AD→ |=1/6 |-4y+2|=5 ⇒y=-7;y=8

⇒ D ( 0 ; – 7 ; 8 ) và D ( 0 ; 8 ; 0 )

⇒ y1+y2= 1

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay

Rate this post

Bài viết liên quan

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.