Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (510.66 KB, 71 trang )
1
Một số ứng dụng của phép
biến hình trong mặt phẳng
vào giải toán
Nguyễn Thị Giang
iii2
MỤC LỤC
TRANG PHỤ BÌAi
LỜI CẢM ƠN……………..ii
MỤC LỤC iii
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU v
Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán………….1
MỤC LỤC…………………………..2
LỜI CẢM ƠN ii…………..2
MỞ ĐẦU……………..1
1. Tính cấp thiết của đề tài……………..1
2. Mục tiêu khóa luận………………..2
3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………….2
4. Phương pháp nghiên cứu………………….2
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo trình có liên quan đến
ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi phân hóa, hệ thống các kiến thức…..2
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………….3
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn………………3
7. Bố cục khóa luận………………….3
CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG…………4
1.2. Phép đẳng cự……………..5
1.2.1.Phép tịnh tiến…………………5
1.2.2. Phép đối xứng trục…………………..7
1.2.3. Phép quay……………………8
1.2.4. Phép đối xứng tâm……………10
1.3. Phép đồng dạng……………11
1.3.1.Phép vị tự…………..11
1.3.2. Phép đồng dạng…………..13
1.4. Phép nghịch đảo…………..14
1.5. Tích hai phép biến hình…………………….15
1.5.1. Tích hai phép biến hình cùng loại………………15
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH………….18
TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN……………….18
2.1. Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài toán trong hệ tọa độ
…………..18
Nguyễn Thị Giang
3
2.1.1. Một số kiến thức liên quan…………………18
2.1.2. Ví dụ minh họa……………..19
2.2. Ứng dụng các phép biến hình trong bài toán quỹ tích………………35
2.2.1. Một số kiến thức liên quan……………………..35
a) Bài toán tìm quỹ tích……………………………..35
b) Giải bài toán quỹ tích………………………35
c) Một số bài toán quỹ tích cơ bản………………….36
d) Giải bài toán quỹ tích bằng phương pháp biến hình……………..37
2.2.2.Ví dụ minh họa………………….38
2.3. Ứng dụng các phép biến hình trong bài toán dựng hình………………..49
2.3.1. Một số kiến thức liên quan…………………..49
a) Khái niệm về dựng hình bằng thước và compa……………….49
b) Bài toán dựng hình………………..50
c) Các bài toán dựng hình cơ bản……………..50
d) Các bước giải một bài toán dựng hình………………51
e) Ứng dụng các phép biến hình vào giải bài toán dựng hình…………..51
2.3.2. Ví dụ minh họa………………….52
Cách dựng:………………….54
Gọi ………………………62
KẾT LUẬN…………………………….64
TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………..i
Nguyễn Thị Giang
4
v
DANH MỤC VIẾT TẮT
Kí hiệu
Chú thích
Tur
r
Phép tịnh tiến theo vec tơ u
Đa
Phép đối xứng qua đường thẳng a
QOϕ, Q( O ;ϕ )
Phép quay tâm O góc quay ϕ .
ĐI
Phép đối xứng qua điểm I
VOk, V( O ,k )
Phép vị tự tâm O tỉ số k
Nguyễn Thị Giang
5
f ( O, k )
Phép nghich đảo tâm O tỉ số k
BK
Bán kính
VTCP
VTPT
PT
PTCT
PTTQ
SGK
∆ABC
Nguyễn Thị Giang
Vec tơ chỉ phương
Vec tơ pháp tuyến
Phương trình
Phương trình chính tắc
Phương trình tổng quát
Sách giáo khoa
Tam giác ABC
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Môn Toán trong trường phổ thông giữ vai trò, vị trí hết sức quan trọng,
là môn học đòi hỏi học sinh phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặt
chẽ logic, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với những
phương pháp làm việc trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn
học khác. Ngoài ra môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung
cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kỹ năng toán học cần thiết môn Toán
còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: Cẩn
thận, chính xác, có tính kỉ luật, đức tính phê phán, tính sáng tạo, bồi
dưỡng óc thẩm mỹ,…
Trong nhà trường phổ thông Hình Học là môn học có tính chất chặt
chẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao, đòi hỏi học sinh phải nắm chắc
kiến thức, biết tư duy logic, biết vận dụng những kiến thức đã học vào thực
tiễn đời sống,…
Mở đầu chương trình Hình Học 11 học sinh được làm quen với các
phép biến hình trong mặt phẳng chẳng hạn: Phép đối xứng qua một đường
thẳng, phép đối xứng qua một điểm, phép tịnh tiến, phép vị tự, phép
quay,…Các phép biến hình này được ứng dụng rộng rãi trong giải bài tập toán
học như: Bài toán tìm quỹ tích, bài toán dựng hình,…Trong nhiều trường hợp
giải toán hình học sử dụng các phép biến hình cho ta thấy lời giải bài toán đơn
giản, ngắn gọn hơn và cho ta cái nhìn tổng quát hơn về bài toán.
Ngoài các ứng dụng trong giải toán, các phép biến hình trong mặt
phẳng còn có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tiễn như: các công trình
xây dựng bản vẽ thiết kế cầu, đường, nhà,… Ứng dụng trong hội họa, mỹ
thuật. Chế tạo sản phẩm mỹ nghệ như: bình gốm, thổ cẩm,… Dựa vào các tính
chất của phép biến hình để thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quần
áo. Trong giải trí: để chế tạo đu quay, trò chơi (chong chóng,…). Để phóng to,
thu nhỏ các đồ vật,…
Các phép biến hình trong mặt phẳng được ứng dụng rộng rãi trong giải
Nguyễn Thị Giang
2
toán cũng như trong đời sống thực tiễn thế nhưng việc làm quen, sử dụng và
ứng dụng được nó là việc hết sức khó khăn bởi khi học về phép biến hình đòi
hỏi học sinh phải biết tư duy logic, tư duy hình tượng và cần phải tìm được
quan hệ giữa các yếu tố hình học thông qua cái nhìn trực quan,… Vì vậy học
sinh rất ngại học phần này.
Với mong muốn khai thác các kiến thức và hệ thống các ứng dụng của
phép biến hình trong mặt phẳng để hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giải
các bài toán. Đồng thời nội dung các phép biến hình có trong chương trình
phổ thông nên chúng tôi muốn nghiên cứu về nó để phục vụ cho nghề nghệp
sau này.
Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài: “Một số ứng dụng của
phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán” cho khóa luận tốt nghiệp đại
học của mình.
2. Mục tiêu khóa luận
– Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng
vào giải toán.
– Đưa ra các ví dụ minh họa cho từng ứng dụng, kèm theo các ví dụ là
những hướng dẫn, nhận xét hỗ trợ việc giải các bài toán tương tự.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
– Tìm hiểu về định nghĩa, tính chất của các phép biến hình trong mặt phẳng.
– Hệ thống một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào
giải một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
4. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu tự luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo
trình có liên quan đến ứng dụng của các phép biến hình trong mặt phẳng rồi
phân hóa, hệ thống các kiến thức.
Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên cứu tham khảo
tài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiên cứu.
Nguyễn Thị Giang
3
Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực
tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung và hình thức
của khóa luận.
5. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Các phép biến hình trong mặt phẳng.
Phạm vi: Hệ thống các kiến thức và ứng dụng cuả phép biến hình
trong mặt phẳng vào giải toán, cụ thể là: ứng dụng các phép biến hình vào giải
một số bài toán trong hệ tọa độ Oxy, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích.
6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Khóa luận đã hệ thống những kiến thức về phép biến hình trong mặt
phẳng đồng thời phân loại các ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng
giúp người đọc hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giải toán.
Khóa luận là một tài liệu hữu ích cho học sinh trung học phổ thông và
các bạn sinh viên nghành sư phạm toán đồng thời giúp chúng tôi học toán tốt
hơn.
7. Bố cục khóa luận
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chia
thành các chương:
Chương 1: Các phép biến hình trong mặt phẳng.
Trình bày một số kiến thức về phép biến hình trong mặt phẳng như tích
hai phép biến hình, định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ (nếu có) của các
phép biến hình.
Chương 2: Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào
giải toán.
Trình bày một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vào
giải toán, mỗi ứng dụng đều đưa ra các bài tập để minh họa cho ứng dụng đó.
Nguyễn Thị Giang
4
CHƯƠNG 1: CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG
1.1. Một số khái niệm cơ bản
a)Phép biến hình: Trongmặt phẳng cho một quy tắc f, với mỗi điểm M
thuộc mặt phẳng, xác định được một điểm duy nhất M ‘ thuộc mặt phẳng ấy.
Điểm M ‘ gọi là ảnh của điểm M qua quy tắc f, điểm M được gọi là tạo
ảnh cuả điểm M ‘, f được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng.
Kí hiệu: M ‘ = f ( M ) hoặc f ( M ) = M ‘. Khi đó, ta còn nói phép biến hình f
biến điểm M thành điểm M ‘.
Với mỗi hình H ta gọi hình H’ gồm các điểm M ‘ = f ( M ), trong đó M ∈ H,
là ảnh của H qua phép biến hình f và viết H’ = f ( H ) .
b)Phép biến hình đồng nhất:Nếu f ( M ) = M với mọi M thuộc mặt phẳng thì
f được gọi là phép biến hình đồng nhất.
c)Phép biến hình đảo ngược:Nếu có phép biến hình f, f ( M ) = M ‘ và phép
biến hình g, g ( M ‘) = M thì g được gọi là phép biến hình đảo ngược của
phép biến hình f .
Kí hiệu: g = f −1.
d)Điểm bất động, đường thẳng bất động:
Điểm M 0 được gọi là điểm bất động (điểm bất biến hoặc điểm kép) của phép
biến hình f nếu f ( M 0 ) = M 0 .
Đường thẳng d được gọi là đường thẳng bất động (đường thẳng kép) của
phép biến hình f nếu f ( d ) = d .
Nếu mọi điểm của đường thẳng d là điểm kép thì d gọi là đường thẳng cố
định hoặc đường thẳng kép hoàn toàn.
e) Phép biến hình đối hợp:Phép biến hình f được gọi là phép biến hình có
tính chất đối hợp nếu f ( M ) = M ‘, f ( M ‘) = M ” thì M ” ≡ M .
Nguyễn Thị Giang
5
1.2. Phép đẳng cự
a) Định nghĩa
Một phép biến hình f : P → P được gọi là một phép đẳng cự nếu trong
mặt phẳng P với hai điểm M, N bất kỳ và hai ảnh của chúng lần lượt là
M ‘ = f ( M ), N ‘ = f ( N ), ta luôn có MN = M ‘ N ‘.
b) Tính chất
– Phép đẳng cự biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A và
C thành ba điểm thẳng hàng A ‘, B ‘, C ‘ với B ‘ nằm giữa A ‘ và C ‘, biến một
đường thẳng thành một đường thẳng,biến một tia thành một tia, biến một
đoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một đường tròn thành một
đường tròn bằng nó với tâm đường tròn này biếnthành tâm đường tròn kia,
biến một góc thành một góc bằng nó.
c) Phân loại
Phép đẳng cự được phân thành hai dạng:
-Phép dời hình là phép đẳng cự mà không làm thay đổi hướng của
tam giác.
-Phép phản dời hình là phép đẳng cự mà làm thay đổi hướng của tam giác.
Sau đây chúng ta tìm hiểu một số phép đẳng cự đặc biệt:
1.2.1.Phép tịnh tiến
a) Định nghĩa
r
Phép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thành
uuuuur r
điểm M ‘ sao cho MM ‘ = u .
* Kí hiệu và thuật ngữ
r
Phép tịnh tiến theo vectơ u
thường được kí hiệu là T hoặc Tur .
r
Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến.
Hình 1.1
Nguyễn Thị Giang
6
b) Tính chất
Tính chất 1:Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thành
hai điểm M ‘ và N ‘ thì M ‘ N ‘ = MN .
Chứng minh
Nếu M ‘ = Tur ( M ), N ‘ = Tur ( N ) thì theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có:
uuuuur r uuuur r
MM ‘ = u, NN ‘ = u
uuuuur uuuur
Do đó MM ‘ = NN ‘. Theo định ngĩa hai vec tơ bằng nhau ta có M ‘ MN ‘ N là
hình bình hành, như vậy M ‘ N ‘ = MN .
Tính chất 2:Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.
Chứng minh
Giả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A ‘, B ‘, C ‘.
Theo tính chất 1, ta có A ‘ B ‘ = AB, B ‘C ‘ = BC và A ‘ C ‘ = AC.
Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A vàC thì AB + BC = AC.
Do đó ta cũng có A ‘ B ‘+ B ‘ C ‘ = A ‘ C ‘, tức là A ‘, B ‘, C ‘ thẳng hàng, trong đó B ‘
nằm giữa A ‘, C ‘.
r
r
Tính chất 3: Phép tịnh tiến Tur (với u khác vectơ 0 ):
+Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d ‘ song song với d
r
nếu d không song song với u.
r
+ Biến một đường thẳng d thành chính nó nếu d song song với u.
r
r
Như vậy, qua phép tịnh tiến Tur theo vectơ u khác vectơ 0, một đường thẳng
r
là bất động khi và chỉ khi d song song với vectơ u.
+Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến
tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng
bán kính, biến góc thành góc bằng nó.
Tính chất 4: Mọi phép tịnh tiến (khác phép đồng nhất) đều không có
điểm bất động.
Tính chất 5:Tích các phép tịnh tiến và nhóm tịnh tiến.
Nguyễn Thị Giang
7
+ Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến:
Tur°Tvr = Tvr°Tur = Tur+vr = Tvr+ur .
+ Phép đảo ngược f −1 của một phép tịnh tiến f là một phép tịnh tiến:
Tur−1 = Tur.
Tính chất 6:Phép tịnh tiến hoàn toàn được xác định nếu cho biết ảnh
M ‘ của một điểm M nào đó.
c) Biểu thức tọa độ
r
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho phép tịnh tiến theo vectơ u .
r
‘
‘
‘
Biết tọa độ của u ( a; b ). Giả sử điểm M ( x; y ) biến thành điểm M ( x ; y ) .
‘
x = x + a
Khi đó ta có ‘
y = y + b
r
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ u ( a; b ) .
1.2.2. Phép đối xứng trục
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một đường thẳng a cố định. Phép biến hình của
mặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M ‘ sao cho đọan thẳng MM ‘ nhận a
là đường trung trực nếu M ∉ a, M ≡ M ‘ nếu M ∈ a gọi là phép đối xứng trục
a.
*Kí hiệu và thuật ngữ
Phép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa .
Phép đối xứng qua đường thằng thường được gọi đơn giản là phép đối
xứng trục.
Đường thẳng a được gọi là trục của phép đối xứng hay đơn giản là trục
đối xứng.
b) Tính chất
+ Phép đối xứng trục là một phép phản dời hình.
+ Tích của phép đối xứng trục với chính nó là một phép đồng nhất.
Nguyễn Thị Giang
8
+ Mọi điểm trên trục đối xứng đều
là điểm bất động.
+ Mỗi đường thẳng d vuông góc
với trục đối xứng đều biến thành
chính nó.
+ Phép đối xứng trục hoàn toàn
được xác định nếu biết trục đối
Hình 1.2
xứng của nó.
c) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy.
– Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox
+ Nếu phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M ( x; y ) thành điểm
‘
x = x
M ( x ; y ) thì ‘
.
y
=
−
y
‘
‘
‘
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox.
– Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy
+ Nếu phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M ( x; y ) thành điểm
x ‘ = − x
M ( x ; y ) thì ‘
.
y
=
y
‘
‘
‘
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy.
1.2.3. Phép quay
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và góc lượng giác ϕ không
đổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác O
‘
thành điểm M ‘ sao cho OM = OM ‘ và ( OM, OM ) = ϕ được gọi là phép
quay tâm O góc quay ϕ .
* Kí hiệu và thuật ngữ
Nguyễn Thị Giang
9
+ Phép quay thường được kí hiệu là Q và nếu muốn chỉ rõ tâm quay
O và góc quay ϕ thì ta kí hiệu phép quay đó là Q( O ,ϕ ) hoặc QOϕ .
+ Ta quy ước chiều quay thuận
chiều kim đồng hồ là chiều âm,
chiều quay ngược chiều kim đồng
hồ là chiều dương.
b) Tính chất
Hình 1.3
+Phép quay là một phép dời hình.
Chứng minh
Giả sử phép quay QOϕ biến điểm M thành điểm M ‘ và biến điểm N thành
điểm N ‘, trong đó O, M, N không thẳng hàng.
Theo định nghĩa của phép quay, ta có:
OM = OM ‘,
ON = ON ‘
Và ( OM, OM ‘ ) = ( ON, ON ‘ ) = ϕ.
Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượng
giác, ta có:
( OM, ON ) = ( OM, OM ‘) + ( OM ‘, ON )
= ( ON, ON ‘) + ( OM ‘, ON )
= ( OM ‘, ON ‘) .
Hình 1.4
·
· ‘ ON ‘.
Suy ra MON
=M
Như vậy hai tam giác MON và M ‘ ON ‘ bằng nhau, do đó M ‘ N ‘ = MN .
Trường hợp O, M, N thẳng hàng ta thấy ngay M ‘ N ‘ = MN .
+ Trong góc quay tâm O với góc quay ϕ ≠ 0 chỉ có tâm O là điểm kép
duy nhất, nếu đường thẳng a đi qua tâm thì đường thẳng ảnh a ‘ của nó cũng
đi qua tâm.
Nguyễn Thị Giang
10
ϕ
O
+ f = Q thì f
−1
uuur uuuur
= Q và Q : A → A ‘, B → B ‘ thì AB, A ‘ B ‘ = ϕ .
−ϕ
O
ϕ
O
(
)
+ Phép quay hoàn toàn được xác định nếu biết tâm quay O và góc
quay ϕ .
1.2.4. Phép đối xứng tâm
a) Định nghĩa
Phép đối xứng qua điểm I là một phép biến hình biến mỗi điểm M
uuur uuur r
thành điểm M ‘ đối xứng với điểm M qua I, có nghĩa là IM + IM ‘ = 0.
* Kí hiệu và thuật ngữ
Phép đối xứng qua điểm I thường được kí hiệu là ĐI .
Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn giản là phép đối xứng tâm.
Điểm I gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn giản là tâm đối xứng.
b) Tính chất
Tính chất 1:Phép đối xứng tâm I là một phép phản dời hình.
Tính chất 2: Phép đối xứng tâm có tính chất đối hợp: nếu MĐ’ = MI (
)
thì ĐI ( M ‘ ) = M, với mọi điểm M của mặt phẳng.
Tính chất 3:Phép đối xứng tâm ĐI
uuuur
uuur
uuur
+ Biến vectơ AB thành vectơ đối của nó: A ‘ B ‘ = − AB.
+ Biến một đường thẳng d qua tâm I thành chính nó.
+ Biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành một đường thẳng
d ‘ song song với d và cũng không đi qua tâm I .
Vậy qua một phép đối xứng tâm ĐI, một đường thẳng d là bất biến khi và
chỉ khi d đi qua tâm I .
+ Tính chất 4: Phép đối xứng tâm ĐI có điểm bất động duy nhất là tâm
đối xứng ĐI và tích của phép đối xứng tâm I với chính nó là một phép đồng nhất.
+ Tính chất 5: Tích của phép đối xứng tâm ĐI với phép đối xứng tâm
uur
ĐJ là một phép tịnh tiến theo vectơ 2 IJ, tích đó không giao hoán được.
Ngược lại, mỗi phép tịnh tiến có vô số cách phân tích thành tích của hai phép
Nguyễn Thị Giang
11
đối xứng tâm.
+ Tính chất 6: Tích của một
phép tịnh tiến và một phép đối
xứng tâm là một phép đối xứng tâm.
Hình 1.5
+ Tính chất 7:Phép đối xứng tâm hoàn toàn được xác định nếu biết tâm
đối xứng.
c) Biểu thức tọa độ
Trong hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( a; b ). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến
‘
x = 2a − x
điểm M ( x; y ) thành điểm M ( x ; y ) thì ‘
y = 2b − y
‘
‘
‘
Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐI .
1.3. Phép đồng dạng
1.3.1.Phép vị tự
a) Định nghĩa
Cho một điểm O cố định và một số k không đổi, k ≠ 0. Phép biến
uuuur uuuur
hình biến mỗi điểm M thành điểm M ‘ sao cho OM ‘ = kOM được gọi là
phép vị tự tâm O tỉ số k .
* Kí hiệu và thuật ngữ
Ta thường kí hiệu phép vị tự bởi chữ V, nếu cần nói rõ tâm O và tỉ số
k của nó thì ta kí hiệu là V( O ,k ) hoặc VOk .
Chú ý: k = 1, phép vị tự là phép đồng nhất.
k = −1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm O.
b) Tính chất
Nguyễn Thị Giang
12
Tính chất 1:Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và N
uuuuur uuuur
lầnlượtthành hai điểm M ‘ và N ‘ thì M ‘ N ‘ = k MN và M ‘ N ‘ = k MN .
Chứng minh
uuuur uuuur
Nếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa, ta có OM ‘ = kOM ,
uuuur uuuur
ON ‘ = kON .
uuuuuur uuuur uuuur uuur uuuur
uuur uuuur
uuuur
Vậy M ‘ N ‘ = ON ‘ − OM ‘ = kON − kOM = k ON − OM = k MN .
(
)
Từ đó suy ra M ‘ N ‘ = k MN .
Tính chất 2:Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng
hàng và không làm thay đổi thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó.
Chứng minh
Giả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm giữa A và C, tức là
uuur
uuur
BA = mBC với m < 0.
Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C lần lượt thành A ‘, B ‘, C ‘ theo tính chất 1,
uuuur uuur uuuur uuur
ta có: B ‘ A ‘ = k BA, B ‘ C ‘ = k BC.
uuuur uuur
uuur
uuur
uuuuur
B
‘
A
‘
=
k
BA
=
k
mBC
=
m
k
BC
=
mB
‘C ‘, tức là ba điểm
Từ đó suy ra
(
)
(
)
A ‘, B ‘, C ‘ thẳng hàng với B ‘ nằm giữa A ‘ và C ‘.
Tính chất 3:Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn bán kính R thành
đường tròn có bán kính k R .
Chứng minh
Giả sử V là phép vị tự tâm O tỉ số
k và ( I ; R ) là đường tròn đã cho.
Gọi I ‘ là ảnh của I và M ‘ là ảnh
của điểm M bất kì thì ta có:
I ‘ M ‘ = k IM .
Nguyễn Thị Giang
Hình 1.6
13
Bởi vậy IM = R khi và chỉ khi I ‘ M ‘ = k R hay là M ‘ thuộc đường tròn
( I ‘; R ‘)
với R ‘ = k R.
Đó chínhlà ảnh của đường tròn ( I ; R ) qua phép vị tự V .
Tính chất 4:Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳng
song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng
thành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k, biến tam giác thành tam
giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó.
+ Phép vị tự hoàn toàn được xác định nếu biết tâm vị tự và tỉ số vị tự.
1.3.2. Phép đồng dạng
a) Định nghĩa
Phép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0 ) nếu với hai
điểm bất kỳ M, N và ảnh M ‘, N ‘ của chúng, ta có M ‘ N ‘ = kMN .
b) Tính chất
Tính chất 1: k = 1, phép đồng dạng là phép đẳng cự.
Tính chất 2:Phép vị tự tâm O, tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k .
Tính chất 3: Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồng
dạng tỉ số
1
.
k
Tính chất 4: Tích của phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ số
k2 là phép đồng dạng tỉ số k 1.k2 .
Tính chất 5:Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của một
phép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D .
Tính chất 6:Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm
thẳng hàng (và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó), biến đường thẳng
thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đường thẳng mà
độ dài được nhân lên với k ( k là tỉ số của phép đồng dạng), tam giác thành
Nguyễn Thị Giang
14
tam giác đồng dạng với tỉ số k, biến đường tròn bán kính R thành đường tròn
có bán kính kR, góc thành góc bằng nó.
1.4. Phép nghịch đảo
a) Định nghĩa
Trong mặt phẳng cho một điểm O cố định và một số k ≠ 0. Với mỗi
điểm M ( M ≠ O ) ta cho tương ứng với điểm M ‘ nằm trên đường thẳng OM
uuuur uuuur
sao cho OM .OM ‘ = k. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch đảo.
* Kí hiệu và thuật ngữ
Phép nghịch đảo tâm O tỉ số k được kí hiệu là f ( O, k ) .
Điểm O được gọi là tâm (cực) của phép nghịch đảo, k được gọi là tỉ số
(phương tích) của phép nghịch đảo.
b) Tính chất
+ Phép nghịch đảo có tính chất đối hợp: M → M ‘ thì M ‘ → M .
(
+ Nếu k > 0 thì những điểm M nằm trên đường tròn O, k
(
)
sẽ biến
)
thành chính nó. Đường tròn O, k trong trường hợp đó được gọi là đường
tròn nghịch đảo.
+ Một đường thẳng không đi qua cực của phép nghịch đảo biến thành
một đường tròn đi qua cực.
+ Một đường thẳng đi qua cực biến thành chính nó.
+ Một đường tròn đi qua cực biến thành một đường thẳng không đi
qua cực.
+ Một đường tròn không đi qua cực biến thành một đường tròn không đi
qua cực.
+ Góc giữa hai đường cong tại giao điểm của chúng không đổi qua phép
nghịch đảo.
c) Biểu thức tọa độ
Nguyễn Thị Giang
15
Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy nếu chọn tâm nghịch đảo trùng
kx
x
‘
=
x2 + y2
.
với gốc tọa độ thì biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo f là
ky
y’ =
x2 + y 2
1.5. Tích hai phép biến hình
1.5.1. Tích hai phép biến hình cùng loại
a) Tích của hai phép đối xứng tâm
+ Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm trùng nhau là phép đồng nhất,
do đó ( ĐO ) −1 = ĐO .
+ Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm khác nhau là phép tịnh tiến:
r.
ĐB ĐA = T2 uuu
AB
Ngược lại mọi phép tịnh tiến đều có thể phân tích thành tích theo nhiều cách
của hai phép đối xứng tâm với khoảng cách giữa hai tâm bằng nửa độ dài
1 r uuur 1 r
vectơ tịnh tiến Tur = ĐA ĐB với AB = u, AB = u.
2
2
Tổng quát: Tích của một số chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến.
Tích của một số lẻ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm.
b) Tích của hai phép đối xứng trục
+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục trùng nhau là phép đồng nhất,
do đó ( Đ∆ ) −1 = Đ∆ .
+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục song song với nhau là phép
r
r
tịnh tiến, Đ∆1 Đ∆2 = Tur với u có hướng từ ∆1 đến ∆ 2, u ⊥ ∆1, u = 2d ( ∆1, ∆ 2 ) .
Nguyễn Thị Giang
16
Ngược lại mọi phép tịnh tiến Tur đều có thể phân tích thành tích bằng nhiều
cách của hai phép đối xứng trục song song, mỗi trục vuông góc với vectơ tịnh
tiến, khoảng cách giữa hai trục bằng nửa độ dài vectơ tịnh tiến.
+ Tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O là phép quay
tâm O góc quay bằng hai góc giữa hai trục.
Ngược lại mọi phép quay QOα đều có thể phân tích thành tích bằng
nhiều cách của hai phép đối xứng trục cắt nhau tại tâm quay O, góc giữa hai
trục bằng một nửa góc quay.
+ Tích của hai phép đối xứng trục có hai trục vuông góc tại điểm O là
phép đối xứng tâm O.
c) Tích của hai phép tịnh tiến
r
r
+ Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và vectơ v là phép tịnh tiến
r r
−1
theo vectơ u + v, TurTvr = TvrTur = Tur+vr, (Tur ) = T− ur.
d) Tích của hai phép quay
+ Tích của hai phép quay cùng tâm O là phép quay tâm O còn góc
quay bằng tổng hai góc quay thành phần, QOα 2 QOα1 = QOα1 +α 2, đặc biệt
(Q )
α −1
O
= QO−α .
α
α
+ Tích của hai phép quay khác tâm QO11 và QO22 là phép quay tâm O
α
α
α
góc quay α, QO11 QO 2 = QO, trong đó α = α1 + α 2 nếu α1 + α 2 ≠ k 2π với k ∈ ¢ ,
nếu α1 + α 2 = k 2π thì nó là phép tịnh tiến.
Tâm quay O được xác định theo hình vẽ sau:
Nguyễn Thị Giang
17
Hình 1.7
e) Tích của hai phép dời hình
+ Tích của phép dời hình là một phép dời hình.
+ Mọi phép dời hình có 3 điểm bất động không thẳng hàng đều là phép
đồng nhất.
+ Mọi phép dời hình có 2 điểm bất động đều là phép đồng nhất hoặc
phép đối xứng trục.
f) Tích của hai phép vị tự
+ Xét phép vị tự VOk1 ,VOk2 với k1, k2 ≠ 1. Đảo ngược của phép vị tự (VOk )
( )
là phép vị tự VOk
−1
1
k
O
= V nếu O1 ≡ O2 thì tích hai phép vị tự cùng tâm là một
phép vị tự cùng tâm có tỉ số vị tự bằng tích 2 tỉ số vị tự: VOk2VOk1 = VOk1k2 .
Nếu O1 không trùng O2 và k1k2 ≠ 1 thì tích VOk2VOk1 = VOk ‘ trong đó O được xác
uuuur
O
định như sau 1O =
1 r 1 − k2 uuuur
u=
O1O2 và k ‘ = k1k 2 .
1 − k1k2
1 − k1k2
k
k
Nếu O1 không trùng O2 và k1k2 = 1 thì VO22VO11 = Tur .
g) Tích của hai phép đồng dạng
+ Tích của hai phép đồng dạng là một phép đồng dạng có tỉ số đồng
dạng bằng tích của hai tỉ số đồng dạng.
+ Mọi phép đồng dạng tỉ số k ≠ 1 đều có điểm bất động duy nhất.
+ Mọi phép đồng dạng đều có thể xem là tích của một phép vị tự và
một phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và phép vị tự.
1.5.2. Tích các phép biến hình khác loại
Nguyễn Thị Giang
18
+ Tích của một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến hoặc tích của
phép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm.
+ Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnh
tiến và phép đối xứng trục có vectơ tịnh tiến vuông góc trục đối xứng là phép
đối xứng trục.
+ Tích của phép đối xứng trục và phép quay có tâm quay nằm trên trục
đối xứng hoặc tích của phép quay và phép đối xứng trục với trục đi qua tâm
quay là phép đối xứng trục.
+ Tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc ngược lại là phép quay
hoặc phép tịnh tiến.
r
+ Với k ≠ 1 thì tích của một phép tịnh tiến theo vectơ u và phép vị tự
VOk cũng là phép vị tự.
+ Tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tự
hoặc phép tịnh tiến.
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH
TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN
2.1. Ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số bài
toán trong hệ tọa độ Oxy.
2.1.1. Một số kiến thức liên quan
*Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến:
r
Oxy
,
v
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ
cho (a, b), M ( x; y ), M ‘ ( x ‘; y ‘ ) .
x ‘ = x + a
.
Khi đó nếu Tvr ( M ) = M ‘ thì
y
‘
=
y
+
b
* Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho M ( x; y ) và M ‘ ( x ‘; y ‘ ). Khi đó nếu
Nguyễn Thị Giang
19
x ‘ = x
+) ĐOx ( M ) = M ‘ thì
.
y’ = −y
x ‘ = −x
+) ĐOy ( M ) = M ‘ thì
.
y’ = y
*Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm:
Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I ( a, b), M ( x; y ), M ‘ ( x ‘; y ‘) .
x ‘ = 2a − x
Khi đó nếu ĐI ( M ) = M ‘ thì
.
y ‘ = 2b − y
2.1.2. Ví dụ minh họa
Phương phápchung:
-Sử dụng định nghĩa.
-Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình.
-Sử dụng các tính chất của phép biến hình.
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm M ( 2;3) tìm tọa độ điểm N
đối xứng với M qua đường thẳng d : y = x.
Hướng dẫn: Đây là một bài toán cơ bản đối với việc giải toán tọa độ. Chúng
ta thường giải bằng các bước:
– Lập phương trình đường thẳng d ‘ qua M và vuông góc với d .
– Xác định tọa độ giao điểm H của d và d ‘ .
– Xác định tọa độ N sao cho H là trung điểm MN .
Giải
r
r
Gọi u là VTCP của đường thẳng d ⇒ u ( 1;1). N ( x; y ) là điểm đối xứng với
M qua d và H là trung điểm của MN .
uuuur r
MN .u = 0
M, N đối xứng nhau qua d ⇔
H ∈ d
( 1)
( 2)
uuuur
r
x + 2 y +3
;
Ta có: MN = ( x − 2; y − 3), u = ( 1;1), H =
÷.
2
2
Nguyễn Thị Giang
20
( x − 2 ) .1 + ( y − 3) .1 = 0
Điều kiện (*) ⇔ x + 2 y + 3
=
2
2
x + y = 5 y = 2
⇔
⇒
⇔ N = ( 3;2 )
x
=
y
+
1
x
=
3
2
2
Bài 2: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) 🙁 x − 4 ) + ( y − 4 ) = 8 và
hai đường thẳng ( ∆ ) : x − y + 3 = 0; ( d ) : x = 2. Tìm điểm M thuộc ( ∆ ) và N
thuộc ( C ) sao cho M, N đối xứng qua d .
Hướng dẫn: Viết pt đường thẳng ( ∆ ‘) đối xứng ( ∆ ) qua d .
N ∈ ( C ) và N đối xứng với M qua d mà M ∈ ( ∆ ) nên N ∈ ( ∆ ‘)
⇒ N ∈ ( C ) ∩ ( ∆ ‘)
Tìm được tọa độ N ⇒tọa độ M .
Giải
M và N đối xứng qua ( d ) ⇒ tồn tại phép đối xứng trục §d : M → N .
Gọi ( ∆ ‘) là đường thẳng đối xứng với ( ∆ ) qua ( d ) ⇒ ( ∆ ‘) : x + y − 7 = 0.
Ta có: M ∈ ( ∆ ) ⇒ N ∈ ( ∆ ‘) .
Theo giả thiết N ∈ ( C ) ⇒ N ∈ ( ∆ ‘) ∩ ( C ) .
Tọa độ N là nghiệm của hệ:
( x − 4 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 8 2 x 2 − 14 x + 17 = 0
7 ± 15
⇔
⇔x =
2
y = 7 − x
x + y − 7 = 0
7 + 15
7 − 15 N 7 + 15 ; 7 − 15
+) Với x1 =
⇒ y1 =
⇒ 1
÷
2
2
2
2
7 − 15
Gọi M 1 ∈ ( ∆ ) và đối xứng với N1 qua ( d ) ⇒ M 1 có tung độ y =
.
2
1 − 15 7 − 15
M 1 ∈∆ ⇒ x − 7 − 15 + 3 = 0 ⇔ x = 1 − 15 ⇒ M 1
;
÷
2
Nguyễn Thị Giang
2
2
2
1.2.2. Phép đối xứng trục …………………… 71.2.3. Phép quay ……………….. 81.2.4. Phép đối xứng tâm …………… 101.3. Phép đồng dạng ……………. 111.3.1. Phép vị tự …………… 111.3.2. Phép đồng dạng …………………… 131.4. Phép nghịch đảo ………………………………… 141.5. Tích hai phép biến hình ……………………… 151.5.1. Tích hai phép biến hình cùng loại ………………… 15CH ƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH ……… 18TRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN ……………………… 182.1. Ứng dụng những phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số ít bài toán trong hệ tọa độ …………………. 18N guyễn Thị Giang2. 1.1. Một số kiến thức và kỹ năng tương quan ……………. 182.1.2. Ví dụ minh họa ………….. 192.2. Ứng dụng những phép biến hình trong bài toán quỹ tích …………… 352.2.1. Một số kiến thức và kỹ năng tương quan ………………… 35 a ) Bài toán tìm quỹ tích ………………………. 35 b ) Giải bài toán quỹ tích ………………… 35 c ) Một số bài toán quỹ tích cơ bản ………………. 36 d ) Giải bài toán quỹ tích bằng giải pháp biến hình …………… 372.2.2. Ví dụ minh họa ……………….. 382.3. Ứng dụng những phép biến hình trong bài toán dựng hình ……. 492.3.1. Một số kiến thức và kỹ năng tương quan …………….. 49 a ) Khái niệm về dựng hình bằng thước và compa …………….. 49 b ) Bài toán dựng hình …………………….. 50 c ) Các bài toán dựng hình cơ bản …………. 50 d ) Các bước giải một bài toán dựng hình ………. 51 e ) Ứng dụng những phép biến hình vào giải bài toán dựng hình ………………….. 512.3.2. Ví dụ minh họa ……………………… 52C ách dựng : …………… 54G ọi ………………………… 62K ẾT LUẬN …………………… 64T ÀI LIỆU THAM KHẢO ……………………….. iNguyễn Thị GiangDANH MỤC VIẾT TẮTKí hiệuChú thíchTurPhép tịnh tiến theo vec tơ uĐaPhép đối xứng qua đường thẳng aQOϕ, Q. ( O ; ϕ ) Phép quay tâm O góc quay ϕ. ĐIPhép đối xứng qua điểm IVOk, V ( O, k ) Phép vị tự tâm O tỉ số kNguyễn Thị Giangf ( O, k ) Phép nghich hòn đảo tâm O tỉ số kBKBán kínhVTCPVTPTPTPTCTPTTQSGK ∆ ABCNguyễn Thị GiangVec tơ chỉ phươngVec tơ pháp tuyếnPhương trìnhPhương trình chính tắcPhương trình tổng quátSách giáo khoaTam giác ABCMỞ ĐẦU1. Tính cấp thiết của đề tàiMôn Toán trong trường đại trà phổ thông giữ vai trò, vị trí rất là quan trọng, là môn học yên cầu học viên phải tư duy trừu tượng, lập luận một cách chặtchẽ logic, nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với nhữngphương pháp thao tác trong Toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những mônhọc khác. Ngoài ra môn Toán góp thêm phần tăng trưởng nhân cách, ngoài việc cungcấp cho học viên mạng lưới hệ thống kiến thức và kỹ năng, kỹ năng và kiến thức toán học thiết yếu môn Toáncòn rèn luyện cho học viên đức tính, phẩm chất của người lao động mới : Cẩnthận, đúng chuẩn, có tính kỉ luật, đức tính phê phán, tính phát minh sáng tạo, bồidưỡng óc thẩm mỹ và nghệ thuật, … Trong nhà trường đại trà phổ thông Hình Học là môn học có đặc thù chặtchẽ, tính logic và tính trừu tượng hóa cao, yên cầu học viên phải nắm chắckiến thức, biết tư duy logic, biết vận dụng những kỹ năng và kiến thức đã học vào thựctiễn đời sống, … Mở đầu chương trình Hình Học 11 học viên được làm quen với cácphép biến hình trong mặt phẳng ví dụ điển hình : Phép đối xứng qua một đườngthẳng, phép đối xứng qua một điểm, phép tịnh tiến, phép vị tự, phépquay, … Các phép biến hình này được ứng dụng thoáng rộng trong giải bài tập toánhọc như : Bài toán tìm quỹ tích, bài toán dựng hình, … Trong nhiều trường hợpgiải toán hình học sử dụng những phép biến hình cho ta thấy giải thuật bài toán đơngiản, ngắn gọn hơn và cho ta cái nhìn tổng quát hơn về bài toán. Ngoài những ứng dụng trong giải toán, những phép biến hình trong mặtphẳng còn có rất nhiều ứng dụng trong đời sống thực tiễn như : những công trìnhxây dựng bản vẽ phong cách thiết kế cầu, đường, nhà, … Ứng dụng trong hội họa, mỹthuật. Chế tạo mẫu sản phẩm mỹ nghệ như : bình gốm, thổ cẩm, … Dựa vào những tínhchất của phép biến hình để phong cách thiết kế họa tiết trên nền gạch hoa, họa tiết quầnáo. Trong vui chơi : để sản xuất đu quay, game show ( chong chóng, … ). Để phóng to, thu nhỏ những vật phẩm, … Các phép biến hình trong mặt phẳng được ứng dụng thoáng rộng trong giảiNguyễn Thị Giangtoán cũng như trong đời sống thực tiễn thế nhưng việc làm quen, sử dụng vàứng dụng được nó là việc rất là khó khăn vất vả bởi khi học về phép biến hình đòihỏi học viên phải ghi nhận tư duy logic, tư duy hình tượng và cần phải tìm đượcquan hệ giữa những yếu tố hình học trải qua cái nhìn trực quan, … Vì vậy họcsinh rất ngại học phần này. Với mong ước khai thác những kỹ năng và kiến thức và mạng lưới hệ thống những ứng dụng củaphép biến hình trong mặt phẳng để hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giảicác bài toán. Đồng thời nội dung những phép biến hình có trong chương trìnhphổ thông nên chúng tôi muốn điều tra và nghiên cứu về nó để Giao hàng cho nghề nghệpsau này. Với những lí do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài : “ Một số ứng dụng củaphép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán ” cho khóa luận tốt nghiệp đạihọc của mình. 2. Mục tiêu khóa luận – Hệ thống 1 số ít ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳngvào giải toán. – Đưa ra những ví dụ minh họa cho từng ứng dụng, kèm theo những ví dụ lànhững hướng dẫn, nhận xét tương hỗ việc giải những bài toán tựa như. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu và điều tra – Tìm hiểu về định nghĩa, đặc thù của những phép biến hình trong mặt phẳng. – Hệ thống một số ít ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vàogiải một số ít bài toán trong hệ tọa độ Oxy, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích. 4. Phương pháp điều tra và nghiên cứu Phương pháp điều tra và nghiên cứu tự luận : Đọc và điều tra và nghiên cứu tài liệu, giáotrình có tương quan đến ứng dụng của những phép biến hình trong mặt phẳng rồiphân hóa, mạng lưới hệ thống những kỹ năng và kiến thức. Phương pháp tổng kết kinh nghiệm tay nghề : Qua việc nghiên cứu và điều tra tham khảotài liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm tay nghề để vận dụng vào việc điều tra và nghiên cứu. Nguyễn Thị Giang Phương pháp lấy quan điểm chuyên viên : Lấy quan điểm của giảng viên trựctiếp hướng dẫn, những giảng viên khác để triển khai xong về mặt nội dung và hình thứccủa khóa luận. 5. Đối tượng và khoanh vùng phạm vi điều tra và nghiên cứu Đối tượng : Các phép biến hình trong mặt phẳng. Phạm vi : Hệ thống những kiến thức và kỹ năng và ứng dụng cuả phép biến hìnhtrong mặt phẳng vào giải toán, đơn cử là : ứng dụng những phép biến hình vào giảimột số bài toán trong hệ tọa độ Oxy, bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích. 6. Ý nghĩa khoa học và thực tiễnKhóa luận đã mạng lưới hệ thống những kiến thức và kỹ năng về phép biến hình trong mặtphẳng đồng thời phân loại những ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳnggiúp người đọc hiểu rõ hơn về vai trò của nó trong giải toán. Khóa luận là một tài liệu hữu dụng cho học viên trung học phổ thông vàcác bạn sinh viên nghành sư phạm toán đồng thời giúp chúng tôi học toán tốthơn. 7. Bố cục khóa luậnNgoài phần khởi đầu, Tóm lại, tài liệu tìm hiểu thêm, khóa luận được chiathành những chương : Chương 1 : Các phép biến hình trong mặt phẳng. Trình bày 1 số ít kiến thức và kỹ năng về phép biến hình trong mặt phẳng như tíchhai phép biến hình, định nghĩa, đặc thù, biểu thức tọa độ ( nếu có ) của cácphép biến hình. Chương 2 : Một số ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vàogiải toán. Trình bày 1 số ít ứng dụng của phép biến hình trong mặt phẳng vàogiải toán, mỗi ứng dụng đều đưa ra những bài tập để minh họa cho ứng dụng đó. Nguyễn Thị GiangCHƯƠNG 1 : CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG1. 1. Một số khái niệm cơ bảna ) Phép biến hình : Trongmặt phẳng cho một quy tắc f, với mỗi điểm Mthuộc mặt phẳng, xác lập được một điểm duy nhất M ‘ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M ‘ gọi là ảnh của điểm M qua quy tắc f, điểm M được gọi là tạoảnh cuả điểm M ‘, f được gọi là một phép biến hình trong mặt phẳng. Kí hiệu : M ‘ = f ( M ) hoặc f ( M ) = M ‘. Khi đó, ta còn nói phép biến hình fbiến điểm M thành điểm M ‘. Với mỗi hình H ta gọi hình H ‘ gồm những điểm M ‘ = f ( M ), trong đó M ∈ H, là ảnh của H qua phép biến hình f và viết H ‘ = f ( H ). b ) Phép biến hình giống hệt : Nếu f ( M ) = M với mọi M thuộc mặt phẳng thìf được gọi là phép biến hình giống hệt. c ) Phép biến hình đảo ngược : Nếu có phép biến hình f, f ( M ) = M ‘ và phépbiến hình g, g ( M ‘ ) = M thì g được gọi là phép biến hình đảo ngược củaphép biến hình f. Kí hiệu : g = f − 1. d ) Điểm bất động, đường thẳng bất động : Điểm M 0 được gọi là điểm bất động ( điểm không bao giờ thay đổi hoặc điểm kép ) của phépbiến hình f nếu f ( M 0 ) = M 0. Đường thẳng d được gọi là đường thẳng bất động ( đường thẳng kép ) củaphép biến hình f nếu f ( d ) = d. Nếu mọi điểm của đường thẳng d là điểm kép thì d gọi là đường thẳng cốđịnh hoặc đường thẳng kép trọn vẹn. e ) Phép biến hình đối hợp : Phép biến hình f được gọi là phép biến hình cótính chất đối hợp nếu f ( M ) = M ‘, f ( M ‘ ) = M ‘ ‘ thì M ‘ ‘ ≡ M. Nguyễn Thị Giang1. 2. Phép đẳng cựa ) Định nghĩaMột phép biến hình f : P → P được gọi là một phép đẳng cự nếu trongmặt phẳng P với hai điểm M, N bất kể và hai ảnh của chúng lần lượt làM ‘ = f ( M ), N ‘ = f ( N ), ta luôn có MN = M ‘ N ‘. b ) Tính chất – Phép đẳng cự biến ba điểm A, B, C thẳng hàng với B nằm giữa A vàC thành ba điểm thẳng hàng A ‘, B ‘, C ‘ với B ‘ nằm giữa A ‘ và C ‘, biến mộtđường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến mộtđoạn thẳng thành một đoạn thẳng bằng nó, biến một đường tròn thành mộtđường tròn bằng nó với tâm đường tròn này biếnthành tâm đường tròn kia, biến một góc thành một góc bằng nó. c ) Phân loạiPhép đẳng cự được phân thành hai dạng : – Phép dời hình là phép đẳng cự mà không làm đổi khác hướng củatam giác. – Phép phản dời hình là phép đẳng cự mà làm biến hóa hướng của tam giác. Sau đây tất cả chúng ta khám phá 1 số ít phép đẳng cự đặc biệt quan trọng : 1.2.1. Phép tịnh tiếna ) Định nghĩaPhép tịnh tiến theo vectơ u là một phép biến hình biến điểm M thànhuuuuur rđiểm M ‘ sao cho MM ‘ = u. * Kí hiệu và thuật ngữPhép tịnh tiến theo vectơ uthường được kí hiệu là T hoặc Tur. Vectơ u được gọi là vectơ tịnh tiến. Hình 1.1 Nguyễn Thị Giangb ) Tính chấtTính chất 1 : Nếu phép tịnh tiến biến hai điểm M và N lần lượt thànhhai điểm M ‘ và N ‘ thì M ‘ N ‘ = MN. Chứng minhNếu M ‘ = Tur ( M ), N ‘ = Tur ( N ) thì theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có : uuuuur r uuuur rMM ‘ = u, NN ‘ = uuuuuur uuuurDo đó MM ‘ = NN ‘. Theo định ngĩa hai vec tơ bằng nhau ta có M ‘ MN ‘ N làhình bình hành, như vậy M ‘ N ‘ = MN. Tính chất 2 : Phép tịnh tiến biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểmthẳng hàng và không làm biến hóa thứ tự ba điểm đó. Chứng minhGiả sử phép tịnh tiến biến ba điểm A, B, C thành ba điểm A ‘, B ‘, C ‘. Theo đặc thù 1, ta có A ‘ B ‘ = AB, B ‘ C ‘ = BC và A ‘ C ‘ = AC.Nếu A, B, C thẳng hàng, B nằm giữa A vàC thì AB + BC = AC.Do đó ta cũng có A ‘ B ‘ + B ‘ C ‘ = A ‘ C ‘, tức là A ‘, B ‘, C ‘ thẳng hàng, trong đó B ‘ nằm giữa A ‘, C ‘. Tính chất 3 : Phép tịnh tiến Tur ( với u khác vectơ 0 ) : + Biến một đường thẳng d thành một đường thẳng d ‘ song song với dnếu d không song song với u. + Biến một đường thẳng d thành chính nó nếu d song song với u. Như vậy, qua phép tịnh tiến Tur theo vectơ u khác vectơ 0, một đường thẳnglà bất động khi và chỉ khi d song song với vectơ u. + Biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biếntam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùngbán kính, biến góc thành góc bằng nó. Tính chất 4 : Mọi phép tịnh tiến ( khác phép như nhau ) đều không cóđiểm bất động. Tính chất 5 : Tích những phép tịnh tiến và nhóm tịnh tiến. Nguyễn Thị Giang + Tích hai phép tịnh tiến là một phép tịnh tiến : Tur ° Tvr = Tvr ° Tur = Tur + vr = Tvr + ur. + Phép đảo ngược f − 1 của một phép tịnh tiến f là một phép tịnh tiến : Tur − 1 = Tur. Tính chất 6 : Phép tịnh tiến trọn vẹn được xác lập nếu cho biết ảnhM ‘ của một điểm M nào đó. c ) Biểu thức tọa độTrong mặt phẳng tọa độ Oxy, được cho phép tịnh tiến theo vectơ u. Biết tọa độ của u ( a ; b ). Giả sử điểm M ( x ; y ) biến thành điểm M ( x ; y ). x = x + aKhi đó ta có ‘ y = y + bCông thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo vectơ u ( a ; b ). 1.2.2. Phép đối xứng trụca ) Định nghĩaTrong mặt phẳng cho một đường thẳng a cố định và thắt chặt. Phép biến hình củamặt phẳng biến mỗi điểm M thành điểm M ‘ sao cho đọan thẳng MM ‘ nhận alà đường trung trực nếu M ∉ a, M ≡ M ‘ nếu M ∈ a gọi là phép đối xứng trụca. * Kí hiệu và thuật ngữPhép đối xứng qua đường thẳng a thường được kí hiệu là Đa. Phép đối xứng qua đường thằng thường được gọi đơn thuần là phép đốixứng trục. Đường thẳng a được gọi là trục của phép đối xứng hay đơn thuần là trụcđối xứng. b ) Tính chất + Phép đối xứng trục là một phép phản dời hình. + Tích của phép đối xứng trục với chính nó là một phép như nhau. Nguyễn Thị Giang + Mọi điểm trên trục đối xứng đềulà điểm bất động. + Mỗi đường thẳng d vuông gócvới trục đối xứng đều biến thànhchính nó. + Phép đối xứng trục hoàn toànđược xác lập nếu biết trục đốiHình 1.2 xứng của nó. c ) Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox và Oy. – Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox + Nếu phép đối xứng qua trục Ox biến điểm M ( x ; y ) thành điểm x = xM ( x ; y ) thì ‘ Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Ox. – Biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy + Nếu phép đối xứng qua trục Oy biến điểm M ( x ; y ) thành điểm x ‘ = − xM ( x ; y ) thì ‘ Công thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng qua trục Oy. 1.2.3. Phép quaya ) Định nghĩaTrong mặt phẳng cho một điểm O cố định và thắt chặt và góc lượng giác ϕ khôngđổi. Phép biến hình biến điểm O thành điểm O, biến mỗi điểm M khác Othành điểm M ‘ sao cho OM = OM ‘ và ( OM, OM ) = ϕ được gọi là phépquay tâm O góc quay ϕ. * Kí hiệu và thuật ngữNguyễn Thị Giang + Phép quay thường được kí hiệu là Q. và nếu muốn chỉ rõ tâm quayO và góc quay ϕ thì ta kí hiệu phép quay đó là Q. ( O, ϕ ) hoặc QOϕ. + Ta quy ước chiều quay thuậnchiều kim đồng hồ đeo tay là chiều âm, chiều quay ngược chiều kim đồnghồ là chiều dương. b ) Tính chấtHình 1.3 + Phép quay là một phép dời hình. Chứng minhGiả sử phép quay QOϕ biến điểm M thành điểm M ‘ và biến điểm N thànhđiểm N ‘, trong đó O, M, N không thẳng hàng. Theo định nghĩa của phép quay, ta có : OM = OM ‘, ON = ON ‘ Và ( OM, OM ‘ ) = ( ON, ON ‘ ) = ϕ. Theo hệ thức Sa-lơ về góc lượnggiác, ta có : ( OM, ON ) = ( OM, OM ‘ ) + ( OM ‘, ON ) = ( ON, ON ‘ ) + ( OM ‘, ON ) = ( OM ‘, ON ‘ ). Hình 1.4 · ‘ ON ‘. Suy ra MON = MNhư vậy hai tam giác MON và M ‘ ON ‘ bằng nhau, do đó M ‘ N ‘ = MN. Trường hợp O, M, N thẳng hàng ta thấy ngay M ‘ N ‘ = MN. + Trong góc quay tâm O với góc quay ϕ ≠ 0 chỉ có tâm O là điểm képduy nhất, nếu đường thẳng a đi qua tâm thì đường thẳng ảnh a ‘ của nó cũngđi qua tâm. Nguyễn Thị Giang10 + f = Q. thì f − 1 uuur uuuur = Q. và Q. : A → A ‘, B → B ‘ thì AB, A ‘ B ‘ = ϕ. − ϕ + Phép quay trọn vẹn được xác lập nếu biết tâm quay O và gócquay ϕ. 1.2.4. Phép đối xứng tâma ) Định nghĩaPhép đối xứng qua điểm I là một phép biến hình biến mỗi điểm Muuur uuur rthành điểm M ‘ đối xứng với điểm M qua I, có nghĩa là IM + IM ‘ = 0. * Kí hiệu và thuật ngữPhép đối xứng qua điểm I thường được kí hiệu là ĐI. Phép đối xứng qua một điểm còn gọi đơn thuần là phép đối xứng tâm. Điểm I gọi là tâm của phép đối xứng, hay đơn thuần là tâm đối xứng. b ) Tính chấtTính chất 1 : Phép đối xứng tâm I là một phép phản dời hình. Tính chất 2 : Phép đối xứng tâm có đặc thù đối hợp : nếu MĐ ‘ = MI ( thì ĐI ( M ‘ ) = M, với mọi điểm M của mặt phẳng. Tính chất 3 : Phép đối xứng tâm ĐIuuuuruuuruuur + Biến vectơ AB thành vectơ đối của nó : A ‘ B ‘ = − AB. + Biến một đường thẳng d qua tâm I thành chính nó. + Biến một đường thẳng d không đi qua tâm I thành một đường thẳngd ‘ song song với d và cũng không đi qua tâm I. Vậy qua một phép đối xứng tâm ĐI, một đường thẳng d là không bao giờ thay đổi khi vàchỉ khi d đi qua tâm I. + Tính chất 4 : Phép đối xứng tâm ĐI có điểm bất động duy nhất là tâmđối xứng ĐI và tích của phép đối xứng tâm I với chính nó là một phép giống hệt. + Tính chất 5 : Tích của phép đối xứng tâm ĐI với phép đối xứng tâmuurĐJ là một phép tịnh tiến theo vectơ 2 IJ, tích đó không giao hoán được. trái lại, mỗi phép tịnh tiến có vô số cách nghiên cứu và phân tích thành tích của hai phépNguyễn Thị Giang11đối xứng tâm. + Tính chất 6 : Tích của mộtphép tịnh tiến và một phép đốixứng tâm là một phép đối xứng tâm. Hình 1.5 + Tính chất 7 : Phép đối xứng tâm trọn vẹn được xác lập nếu biết tâmđối xứng. c ) Biểu thức tọa độTrong hệ tọa độ Oxy cho điểm I ( a ; b ). Nếu phép đối xứng tâm ĐI biến x = 2 a − xđiểm M ( x ; y ) thành điểm M ( x ; y ) thì ‘ y = 2 b − yCông thức trên gọi là biểu thức tọa độ của phép đối xứng tâm ĐI. 1.3. Phép đồng dạng1. 3.1. Phép vị tựa ) Định nghĩaCho một điểm O cố định và thắt chặt và 1 số ít k không đổi, k ≠ 0. Phép biếnuuuur uuuurhình biến mỗi điểm M thành điểm M ‘ sao cho OM ‘ = kOM được gọi làphép vị tự tâm O tỉ số k. * Kí hiệu và thuật ngữTa thường kí hiệu phép vị tự bởi chữ V, nếu cần nói rõ tâm O và tỉ sốk của nó thì ta kí hiệu là V ( O, k ) hoặc VOk. Chú ý : k = 1, phép vị tự là phép giống hệt. k = − 1, phép vị tự là phép đối xứng qua tâm O.b ) Tính chấtNguyễn Thị Giang12Tính chất 1 : Nếu phép vị tự tỉ số k biến hai điểm M và Nuuuuur uuuurlầnlượtthành hai điểm M ‘ và N ‘ thì M ‘ N ‘ = k MN và M ‘ N ‘ = k MN. Chứng minhuuuur uuuurNếu O là tâm của phép vị tự thì theo định nghĩa, ta có OM ‘ = kOM, uuuur uuuurON ‘ = kON. uuuuuur uuuur uuuur uuur uuuuruuur uuuuruuuurVậy M ‘ N ‘ = ON ‘ − OM ‘ = kON − kOM = k ON − OM = k MN. Từ đó suy ra M ‘ N ‘ = k MN. Tính chất 2 : Phép vị tự biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳnghàng và không làm đổi khác thứ tự của ba điểm thẳng hàng đó. Chứng minhGiả sử ba điểm A, B, C thẳng hàng mà B nằm giữa A và C, tức làuuuruuurBA = mBC với m < 0. Nếu phép vị tự tỉ số k biến A, B, C lần lượt thành A ‘, B ‘, C ‘ theo đặc thù 1, uuuur uuur uuuur uuurta có : B ‘ A ‘ = k BA, B ‘ C ‘ = k BC.uuuur uuuruuuruuuruuuuurBAmBCBCmB’C ‘, tức là ba điểmTừ đó suy raA ‘, B ‘, C ‘ thẳng hàng với B ‘ nằm giữa A ‘ và C ‘. Tính chất 3 : Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn nửa đường kính R thànhđường tròn có nửa đường kính k R. Chứng minhGiả sử V là phép vị tự tâm O tỉ sốk và ( I ; R ) là đường tròn đã cho. Gọi I ‘ là ảnh của I và M ‘ là ảnhcủa điểm M bất kỳ thì ta có : I ‘ M ‘ = k IM. Nguyễn Thị GiangHình 1.613 Bởi vậy IM = R khi và chỉ khi I ‘ M ‘ = k R hay là M ‘ thuộc đường tròn ( I ‘ ; R ‘ ) với R ‘ = k R.Đó chínhlà ảnh của đường tròn ( I ; R ) qua phép vị tự V. Tính chất 4 : Phép vị tự tỉ số k biến đường thẳng thành đường thẳngsong tuy nhiên ( hoặc trùng ) với đường thẳng đó, biến tia thành tia, biến đoạn thẳngthành đoạn thẳng mà độ dài được nhân lên với k, biến tam giác thành tamgiác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là k, biến góc thành góc bằng nó. + Phép vị tự trọn vẹn được xác lập nếu biết tâm vị tự và tỉ số vị tự. 1.3.2. Phép đồng dạnga ) Định nghĩaPhép biến hình F gọi là phép đồng dạng tỉ số k ( k > 0 ) nếu với haiđiểm bất kể M, N và ảnh M ‘, N ‘ của chúng, ta có M ‘ N ‘ = kMN. b ) Tính chấtTính chất 1 : k = 1, phép đồng dạng là phép đẳng cự. Tính chất 2 : Phép vị tự tâm O, tỉ số k là phép đồng dạng tỉ số k. Tính chất 3 : Phép đảo ngược của phép đồng dạng tỉ số k là phép đồngdạng tỉ sốTính chất 4 : Tích của phép đồng dạng tỉ số k1 với phép đồng dạng tỉ sốk2 là phép đồng dạng tỉ số k 1. k2. Tính chất 5 : Mọi phép đồng dạng F tỉ số k đều là hợp thành của mộtphép vị tự V tỉ số k và một phép dời hình D. Tính chất 6 : Phép đồng dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểmthẳng hàng ( và không làm biến hóa thứ tự ba điểm đó ), biến đường thẳngthành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đường thẳng màđộ dài được nhân lên với k ( k là tỉ số của phép đồng dạng ), tam giác thànhNguyễn Thị Giang14tam giác đồng dạng với tỉ số k, biến đường tròn nửa đường kính R thành đường tròncó nửa đường kính kR, góc thành góc bằng nó. 1.4. Phép nghịch đảoa ) Định nghĩaTrong mặt phẳng cho một điểm O cố định và thắt chặt và 1 số ít k ≠ 0. Với mỗiđiểm M ( M ≠ O ) ta cho tương ứng với điểm M ‘ nằm trên đường thẳng OMuuuur uuuursao cho OM. OM ‘ = k. Phép tương ứng như vậy gọi là phép nghịch đảo. * Kí hiệu và thuật ngữPhép nghịch đảo tâm O tỉ số k được kí hiệu là f ( O, k ). Điểm O được gọi là tâm ( cực ) của phép nghịch đảo, k được gọi là tỉ số ( phương tích ) của phép nghịch đảo. b ) Tính chất + Phép nghịch đảo có đặc thù đối hợp : M → M ‘ thì M ‘ → M. + Nếu k > 0 thì những điểm M nằm trên đường tròn O, ksẽ biếnthành chính nó. Đường tròn O, k trong trường hợp đó được gọi là đườngtròn nghịch đảo. + Một đường thẳng không đi qua cực của phép nghịch đảo biến thànhmột đường tròn đi qua cực. + Một đường thẳng đi qua cực biến thành chính nó. + Một đường tròn đi qua cực biến thành một đường thẳng không điqua cực. + Một đường tròn không đi qua cực biến thành một đường tròn không điqua cực. + Góc giữa hai đường cong tại giao điểm của chúng không đổi qua phépnghịch hòn đảo. c ) Biểu thức tọa độNguyễn Thị Giang15Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy nếu chọn tâm nghịch đảo trùngkx x2 + y2với gốc tọa độ thì biểu thức tọa độ của phép nghịch đảo f là ky y ‘ = x2 + y 21.5. Tích hai phép biến hình1. 5.1. Tích hai phép biến hình cùng loạia ) Tích của hai phép đối xứng tâm + Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm trùng nhau là phép giống hệt, do đó ( ĐO ) − 1 = ĐO. + Tích của hai phép đối xứng tâm có tâm khác nhau là phép tịnh tiến : r. ĐB ĐA = T2 uuuABNgược lại mọi phép tịnh tiến đều hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành tích theo nhiều cáchcủa hai phép đối xứng tâm với khoảng cách giữa hai tâm bằng nửa độ dài1 r uuur 1 rvectơ tịnh tiến Tur = ĐA ĐB với AB = u, AB = u. Tổng quát : Tích của 1 số ít chẵn phép đối xứng tâm là phép tịnh tiến. Tích của một số lẻ phép đối xứng tâm là phép đối xứng tâm. b ) Tích của hai phép đối xứng trục + Tích của hai phép đối xứng trục có trục trùng nhau là phép giống hệt, do đó ( Đ ∆ ) − 1 = Đ ∆. + Tích của hai phép đối xứng trục có trục song song với nhau là phéptịnh tiến, Đ ∆ 1 Đ ∆ 2 = Tur với u có hướng từ ∆ 1 đến ∆ 2, u ⊥ ∆ 1, u = 2 d ( ∆ 1, ∆ 2 ). Nguyễn Thị Giang16Ngược lại mọi phép tịnh tiến Tur đều hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành tích bằng nhiềucách của hai phép đối xứng trục song song, mỗi trục vuông góc với vectơ tịnhtiến, khoảng cách giữa hai trục bằng nửa độ dài vectơ tịnh tiến. + Tích của hai phép đối xứng trục có trục cắt nhau tại O là phép quaytâm O góc quay bằng hai góc giữa hai trục. trái lại mọi phép quay QOα đều hoàn toàn có thể nghiên cứu và phân tích thành tích bằngnhiều cách của hai phép đối xứng trục cắt nhau tại tâm quay O, góc giữa haitrục bằng 50% góc quay. + Tích của hai phép đối xứng trục có hai trục vuông góc tại điểm O làphép đối xứng tâm O.c ) Tích của hai phép tịnh tiến + Tích của hai phép tịnh tiến theo vectơ u và vectơ v là phép tịnh tiếnr r − 1 theo vectơ u + v, TurTvr = TvrTur = Tur + vr, ( Tur ) = T − ur. d ) Tích của hai phép quay + Tích của hai phép quay cùng tâm O là phép quay tâm O còn gócquay bằng tổng hai góc quay thành phần, QOα 2 QOα1 = QOα1 + α 2, đặc biệt quan trọng ( Q. ) α − 1 = QO − α. + Tích của hai phép quay khác tâm QO11 và QO22 là phép quay tâm Ogóc quay α, QO11 QO 2 = QO, trong đó α = α1 + α 2 nếu α1 + α 2 ≠ k 2 π với k ∈ ¢, nếu α1 + α 2 = k 2 π thì nó là phép tịnh tiến. Tâm quay O được xác lập theo hình vẽ sau : Nguyễn Thị Giang17Hình 1.7 e ) Tích của hai phép dời hình + Tích của phép dời hình là một phép dời hình. + Mọi phép dời hình có 3 điểm bất động không thẳng hàng đều là phépđồng nhất. + Mọi phép dời hình có 2 điểm bất động đều là phép giống hệt hoặcphép đối xứng trục. f ) Tích của hai phép vị tự + Xét phép vị tự VOk1, VOk2 với k1, k2 ≠ 1. Đảo ngược của phép vị tự ( VOk ) ( ) là phép vị tự VOk − 1 = V nếu O1 ≡ O2 thì tích hai phép vị tự cùng tâm là mộtphép vị tự cùng tâm có tỉ số vị tự bằng tích 2 tỉ số vị tự : VOk2VOk1 = VOk1k2. Nếu O1 không trùng O2 và k1k2 ≠ 1 thì tích VOk2VOk1 = VOk ‘ trong đó O được xácuuuurđịnh như sau 1O = 1 r 1 − k2 uuuuru = O1O2 và k ‘ = k1k 2. 1 − k1k21 − k1k2Nếu O1 không trùng O2 và k1k2 = 1 thì VO22VO11 = Tur. g ) Tích của hai phép đồng dạng + Tích của hai phép đồng dạng là một phép đồng dạng có tỉ số đồngdạng bằng tích của hai tỉ số đồng dạng. + Mọi phép đồng dạng tỉ số k ≠ 1 đều có điểm bất động duy nhất. + Mọi phép đồng dạng đều hoàn toàn có thể xem là tích của một phép vị tự vàmột phép dời hình hoặc tích của một phép dời hình và phép vị tự. 1.5.2. Tích những phép biến hình khác loạiNguyễn Thị Giang18 + Tích của một phép đối xứng tâm và một phép tịnh tiến hoặc tích củaphép tịnh tiến và một phép đối xứng tâm là một phép đối xứng tâm. + Tích của phép đối xứng trục và phép tịnh tiến hoặc tích của phép tịnhtiến và phép đối xứng trục có vectơ tịnh tiến vuông góc trục đối xứng là phépđối xứng trục. + Tích của phép đối xứng trục và phép quay có tâm quay nằm trên trụcđối xứng hoặc tích của phép quay và phép đối xứng trục với trục đi qua tâmquay là phép đối xứng trục. + Tích của phép tịnh tiến và phép quay hoặc ngược lại là phép quayhoặc phép tịnh tiến. + Với k ≠ 1 thì tích của một phép tịnh tiến theo vectơ u và phép vị tựVOk cũng là phép vị tự. + Tích của một phép đồng dạng nghịch với chính nó là một phép vị tựhoặc phép tịnh tiến. CHƯƠNG 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNHTRONG MẶT PHẲNG VÀO GIẢI TOÁN2. 1. Ứng dụng những phép biến hình trong mặt phẳng vào giải một số ít bàitoán trong hệ tọa độ Oxy. 2.1.1. Một số kỹ năng và kiến thức tương quan * Biểu thức toạ độ của phép tịnh tiến : OxyTrong mặt phẳng với hệ toạ độcho ( a, b ), M ( x ; y ), M ‘ ( x ‘ ; y ‘ ). x ‘ = x + aKhi đó nếu Tvr ( M ) = M ‘ thì * Biểu thức toạ độ của phép đối xứng trục : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho M ( x ; y ) và M ‘ ( x ‘ ; y ‘ ). Khi đó nếuNguyễn Thị Giang19 x ‘ = x + ) ĐOx ( M ) = M ‘ thì y ‘ = − y x ‘ = − x + ) ĐOy ( M ) = M ‘ thì y ‘ = y * Biểu thức toạ độ của phép đối xứng tâm : Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho I ( a, b ), M ( x ; y ), M ‘ ( x ‘ ; y ‘ ). x ‘ = 2 a − xKhi đó nếu ĐI ( M ) = M ‘ thì y ‘ = 2 b − y2. 1.2. Ví dụ minh họaPhương phápchung : – Sử dụng định nghĩa. – Sử dụng biểu thức toạ độ của phép biến hình. – Sử dụng những đặc thù của phép biến hình. Bài 1 : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm M ( 2 ; 3 ) tìm tọa độ điểm Nđối xứng với M qua đường thẳng d : y = x. Hướng dẫn : Đây là một bài toán cơ bản so với việc giải toán tọa độ. Chúngta thường giải bằng những bước : – Lập phương trình đường thẳng d ‘ qua M và vuông góc với d. – Xác định tọa độ giao điểm H của d và d ‘. – Xác định tọa độ N sao cho H là trung điểm MN. GiảiGọi u là VTCP của đường thẳng d ⇒ u ( 1 ; 1 ). N ( x ; y ) là điểm đối xứng vớiM qua d và H là trung điểm của MN. uuuur r MN. u = 0M, N đối xứng nhau qua d ⇔ H ∈ d ( 1 ) ( 2 ) uuuur x + 2 y + 3 Ta có : MN = ( x − 2 ; y − 3 ), u = ( 1 ; 1 ), H = ÷. 2 2N guyễn Thị Giang20 ( x − 2 ). 1 + ( y − 3 ). 1 = 0 Điều kiện ( * ) ⇔ x + 2 y + 3 2 x + y = 5 y = 2 ⇔ ⇒ ⇔ N = ( 3 ; 2 ) Bài 2 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C ) : ( x − 4 ) + ( y − 4 ) = 8 vàhai đường thẳng ( ∆ ) : x − y + 3 = 0 ; ( d ) : x = 2. Tìm điểm M thuộc ( ∆ ) và Nthuộc ( C ) sao cho M, N đối xứng qua d. Hướng dẫn : Viết pt đường thẳng ( ∆ ‘ ) đối xứng ( ∆ ) qua d. N ∈ ( C ) và N đối xứng với M qua d mà M ∈ ( ∆ ) nên N ∈ ( ∆ ‘ ) ⇒ N ∈ ( C ) ∩ ( ∆ ‘ ) Tìm được tọa độ N ⇒ tọa độ M. GiảiM và N đối xứng qua ( d ) ⇒ sống sót phép đối xứng trục § d : M → N. Gọi ( ∆ ‘ ) là đường thẳng đối xứng với ( ∆ ) qua ( d ) ⇒ ( ∆ ‘ ) : x + y − 7 = 0. Ta có : M ∈ ( ∆ ) ⇒ N ∈ ( ∆ ‘ ). Theo giả thiết N ∈ ( C ) ⇒ N ∈ ( ∆ ‘ ) ∩ ( C ). Tọa độ N là nghiệm của hệ : ( x − 4 ) 2 + ( y − 4 ) 2 = 8 2 x 2 − 14 x + 17 = 07 ± 15 ⇔ ⇔ x = y = 7 − x x + y − 7 = 07 + 157 − 15 N 7 + 15 ; 7 − 15 + ) Với x1 = ⇒ y1 = ⇒ 1 2 27 − 15G ọi M 1 ∈ ( ∆ ) và đối xứng với N1 qua ( d ) ⇒ M 1 có tung độ y = 1 − 15 7 − 15 M 1 ∈ ∆ ⇒ x − 7 − 15 + 3 = 0 ⇔ x = 1 − 15 ⇒ M 1 Nguyễn Thị Giang
Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay
