Ma trận (toán học) – Wikipedia tiếng Việt

2,1 biểu diễn phần tử ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trận A.Mỗi thành phần của một ma trận thường được ký hiệu bằng một biến với hai chỉ số ở dưới. Ví dụ, abiểu diễn thành phần ở hàng thứ hai và cột thứ nhất của ma trậnĐối với những định nghĩa khác, xem Ma trận

Trong toán học, ma trận là một mảng chữ nhật[1] – các số, ký hiệu, hoặc biểu thức, sắp xếp theo hàngcột[2][3] – mà mỗi ma trận tuân theo những quy tắc định trước. Từng ô trong ma trận được gọi là các phần tử hoặc mục. Ví dụ một ma trận có 2 hàng và 3 cột.

[

1

9


13

20

5


6

]

.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.}

\begin{bmatrix}1 & 9 & -13 \\20 & 5 & -6 \end{bmatrix}.

Khi các ma trận có cùng kích thước (chúng có cùng số hàng và cùng số cột) thì có thể thực hiện phép cộng hoặc trừ hai ma trận trên các phần tử tương ứng của chúng. Tuy vậy, quy tắc áp dụng cho phép nhân ma trận chỉ có thể thực hiện được khi ma trận thứ nhất có số cột bằng số hàng của ma trận thứ hai. Ứng dụng chính của ma trận đó là phép biểu diễn các biến đổi tuyến tính, tức là sự tổng quát hóa hàm tuyến tính như f(x) = 4x. Ví dụ, phép quay các vectơ trong không gian ba chiều là một phép biến đổi tuyến tính mà có thể biểu diễn bằng một ma trận quay R: nếu v là vectơ cột (ma trận chỉ có một cột) miêu tả vị trí của một điểm trong không gian, tích của Rv là một vec tơ cột miêu tả vị trí của điểm đó sau phép quay này. Tích của hai ma trận biến đổi là một ma trận biểu diễn hợp của hai phép biến đổi tuyến tính. Một ứng dụng khác của ma trận đó là tìm nghiệm của các hệ phương trình tuyến tính. Nếu là ma trận vuông, có thể thu được một số tính chất của nó bằng cách tính định thức của nó. Ví dụ, ma trận vuông là ma trận khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác không. Quan niệm hình học của một phép biến đổi tuyến tính là nhận được (cùng với những thông tin khác) từ trị riêng và vec tơ riêng của ma trận.

Có thể thấy ứng dụng của kim chỉ nan ma trận trong hầu hết những nghành nghề dịch vụ khoa học. Trong mỗi nhánh của vật lý học, gồm có cơ học cổ xưa, quang học, điện từ học, cơ học lượng tử, và điện động lực học lượng tử, chúng được sử dụng để điều tra và nghiên cứu những hiện tượng kỳ lạ vật lý, như hoạt động của vật rắn. Trong đồ họa máy tính, ma trận được sử dụng để chiếu một ảnh 3 chiều lên màn hình hiển thị 2 chiều. Trong triết lý Phần Trăm và thống kê, những ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để miêu tả tập hợp những Tỷ Lệ ; ví dụ, chúng dùng trong thuật toán PageRank để xếp hạng những trang trong lệnh tìm kiếm của Google. [ 4 ] Phép tính ma trận tổng quát hóa những khái niệm trong giải tích như đạo hàm và hàm mũ so với số chiều lớn hơn .Một nhánh chính của giải tích số dành để tăng trưởng những thuật toán hữu hiệu cho những đo lường và thống kê ma trận, một chủ đề đã hàng trăm năm tuổi và là một nghành nghề dịch vụ điều tra và nghiên cứu rộng ngày này. Phương pháp khai triển ma trận làm đơn giản hóa những thống kê giám sát cả về mặt kim chỉ nan lẫn thực hành thực tế. Những thuật toán dựa trên những cấu trúc của những ma trận đặc biệt quan trọng, như ma trận thưa ( sparse ) và ma trận gần chéo, giúp xử lý những thống kê giám sát trong chiêu thức thành phần hữu hạn và những giám sát khác. Ma trận vô hạn Open trong cơ học thiên thể và triết lý nguyên tử. Một ví dụ đơn thuần về ma trận vô hạn là ma trận màn biểu diễn những toán tử đạo hàm, mà tính năng đến chuỗi Taylor của một hàm số .

Ma trận là một mảng chữ nhật chứa các số hoặc những đối tượng toán học khác, mà có thể định nghĩa một số phép toán như cộng hoặc nhân trên các ma trận.[5] Hay gặp nhất đó là ma trận trên một trường F là một mảng chữ nhật chứa các đại lượng vô hướng của F.[6][7] Bài viết này đề cập đến các ma trận thựcphức, tức là các ma trận mà các phần tử của nó là những số thực hoặc số phức. Những loại ma trận tổng quát hơn được thảo luận ở bên dưới. Ví dụ, ma trận thực:

A = [ − 1, 3 0, 6 20, 4 5, 5 9, 7 − 6, 2 ]. { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } – 1,3 và 0,6 \ \ 20,4 và 5,5 \ \ 9,7 và – 6,2 \ end { bmatrix } }. }\mathbf{A} = \begin{bmatrix}
     -1,3 & 0,6 \\
     20,4 & 5,5 \\
      9,7 & -6,2 
  \end{bmatrix}.

Các số, ký hiệu hay biểu thức trong ma trận được gọi là các phần tử của nó. Các đường theo phương ngang hoặc phương dọc chứa các phần tử trong ma trận được gọi tương ứng là hàngcột.

Độ lớn hay cỡ của ma trận được định nghĩa bằng số lượng hàng và cột. Một ma trận m hàng và n cột được gọi là ma trận m × n hoặc ma trận m-nhân-n, trong khi mn được gọi là chiều của nó. Ví dụ, ma trận A ở trên là ma trận 3 × 2.

Ma trận chỉ có một hàng gọi là vectơ hàng, ma trận chỉ có một cột gọi là vectơ cột. Ma trận có cùng số hàng và số cột được gọi là ma trận vuông. Ma trận có vô hạn số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) được gọi là ma trận vô hạn. Trong một số trường hợp, như chương trình đại số máy tính, sẽ có ích khi xét một ma trận mà không có hàng hoặc không có cột, goi là ma trận rỗng.

Tên gọi Độ lớn Ví dụ Miêu tả
Vectơ hàng 1 × n [ 3 7 2 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 3 và 7 và 2 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}3 & 7 & 2 \end{bmatrix} Ma trận có một hàng, được dùng để biểu diễn một vectơ
Vectơ cột n × 1 [ 4 1 8 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 4 \ \ 1 \ \ 8 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}4 \\ 1 \\ 8 \end{bmatrix} Ma trận có một cột, được dùng để biểu diễn một vectơ
Ma trận vuông n × n [ 9 13 5 1 11 7 2 6 3 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 9 và 13 và 5 \ \ 1 và 11 và 7 \ \ 2 và 6 và 3 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}
  9 & 13 & 5 \\
  1 & 11 & 7 \\
  2 & 6  & 3
  \end{bmatrix} Ma trận có cùng số hàng và số cột, nó được sử dụng để biểu diễn phép biến đổi tuyến tính từ một không gian vec tơ vào chính nó, như phép phản xạ, phép quay hoặc ánh xạ cắt.

Ma trận có một lịch sử dài về ứng dụng trong giải các phương trình tuyến tính nhưng chúng được biết đến là các mảng cho tới tận những năm 1800. Cuốn sách Cửu chương toán thuật viết vào khoảng năm 152 TCN đưa ra phương trận để giải hệ năm phương trình tuyến tính,[8] bao gồm khái niệm về định thức. Năm 1545 nhà toán học người Ý Girolamo Cardano giới thiệu phương pháp giải này vào châu Âu khi ông công bố quyển Ars Magna.[9] Nhà toán học Nhật Bản Seki đã sử dụng phương pháp mảng này để giải hệ phương trình vào năm 1683.[10] Nhà toán học Hà Lan Jan de Witt lần đầu tiên biểu diễn các biến đổi dưới dạng ma trận mảng trong cuốn sách viết năm 1659 Elements of Curves (1659).[11] Giữa các năm 1700 và 1710 Gottfried Wilhelm Leibniz công bố phương pháp sử dụng các mảng để ghi lại thông tin hay tìm nghiệm và nghiên cứu trên 50 loại ma trận khác nhau.[9] Cramer đưa ra quy tắc của ông vào năm 1750.

Thuật ngữ trong tiếng Anh “matrix” (tiếng Latin là “womb”, dẫn xuất từ mater—mẹ[12]) do James Joseph Sylvester nêu ra vào năm 1850,[13] khi ông nhận ra rằng ma trận là một đối tượng làm xuất hiện một số định thức mà ngày nay gọi là phần phụ đại số, tức là định thức của những ma trận nhỏ hơn thu được từ ma trận ban đầu bằng cách xóa đi các hàng và các cột. Trong một bài báo năm 1851, Sylvester giải thích:

Tôi đã định nghĩa trong bài báo trước về “Ma trận” là một mảng chữ nhật chứa các phần tử, mà những định thức khác nhau có thể đưa ra định thức của ma trận mẹ.[14]

Arthur Cayley đăng một chuyên luận về các phép biến đổi hình học sử dụng ma trận ngoài những phép biến đổi quay đã được khảo sát trước đó. Thay vào đó, ông định nghĩa các phép toán như cộng, trừ, nhân và chia những ma trận này và chứng tỏ các quy tắc kết hợp và phân phối vẫn được thỏa mãn. Cayley đã nghiên cứu và minh chứng tính chất không giao hoán của phép nhân ma trận cũng như tính giao hoán của phép cộng ma trận.[9] Lý thuyết ma trận sơ khai bị giới hạn ở cách sử dụng các mảng và tính định thức và các phép toán ma trận trừu tượng của Arthur Cayley đã làm nên cuộc cách mạng cho lý thuyết này. Ông áp dụng khái niệm ma trận cho hệ phương trình tuyến tính độc lập. Năm 1858 Cayley công bố Hồi ký về lý thuyết ma trận[15][16] trong đó ông nêu ra và chứng minh định lý Cayley-Hamilton.[9]

Nhà toán học người Anh Cullis là người đầu tiên sử dụng ký hiệu ngoặc hiện đại cho ma trận vào năm 1913 và ông cũng viết ra ký hiệu quan trọng A = [ai,j] để biểu diễn một ma trận với ai,j là phần tử ở hàng thứ i và cột thứ j.[9]

Quá trình nghiên cứu định thức xuất phát từ một số nguồn khác nhau.[17] Các bài toán số học dẫn Gauss đi tới liên hệ các hệ số của dạng toàn phương, những đa thức có dạng x2 + xy − 2y2, và ánh xạ tuyến tính trong không gian ba chiều với ma trận. Eisenstein đã phát triển xa hơn các khái niệm này, với nhận xét theo cách phát biểu hiện đại rằng tích ma trận là không giao hoán. Cauchy là người đầu tiên chứng minh những mệnh đề tổng quát về định thức, khi ông sử dụng định nghĩa như sau về định thức của ma trận A = [ai,j]: thay thế lũy thừa ajk bằng ajk trong đa thức

a

1

a

2

a

n

i
< j ( a j − a i ) {\displaystyle a_{1}a_{2}\cdots a_{n}\prod _{ia_1 a_2 \cdots a_n \prod_{i < j} (a_j - a_i)\;

với Π ký hiệu tích các hệ số đứng đằng sau. Ông cũng chứng tỏ vào năm 1829 rằng giá trị riêng của các ma trận đối xứng là thực.[18] Jacobi nghiên cứu “định thức hàm”—mà về sau trở thành định thức Jacobi như cách gọi của Sylvester—nó được ứng dụng để nghiên cứu các biến đổi hình học ở mức cục bộ (hay vô cùng bé); bài báo Vorlesungen über die Theorie der Determinanten của Kronecker [19] và Zur Determinantentheorie của Weierstrass,[20] cả hai đều được công bố vào năm 1903, lần đầu tiên đã coi định thức theo cách tiên đề hóa, ngược lại so với cách tiếp cận cụ thể ở những lần trước đó như trong công thức của Cauchy.

Nhiều định lý bắt đầu chỉ phát biểu cho những ma trận nhỏ, ví như định lý Cayley – Hamilton được chứng tỏ cho ma trận 2 × 2 như Cayley chỉ ra trong luận án của mình, và bởi Hamilton cho ma trận 4 × 4. Frobenius, dựa trên những dạng song tuyến tính, đã tổng quát định lý sang mọi kích cỡ ( 1898 ). Cũng vào cuối thế kỷ 19 chiêu thức khủ Gauss – Jordan ( tổng quát hóa cho trường hợp đặc biệt quan trọng đó là phép khử Gauss ) do nhà trắc địa Wilhelm Jordan nêu ra. Trong đầu thế kỷ 20, ma trận đã đạt tới vai trò TT trong đại số tuyến tính, [ 21 ] một phần nhờ ứng dụng của nó trong phân loại mạng lưới hệ thống số siêu phức trong thế kỷ trước .Sự khởi đầu của cơ học ma trận do những nhà vật lý Heisenberg, Born và Jordan nêu ra đã dẫn tới điều tra và nghiên cứu về ma trận có vô hạn hàng và cột. [ 22 ] Later, von Neumann đã thiết lập lên phát biểu toán học của cơ học lượng tử, bằng cách tăng trưởng xa hơn những khái niệm của giải tích hàm như toán tử tuyến tính trong khoảng trống Hilbert, mà, nói sơ lược, tương ứng với khoảng trống Euclide, nhưng có vô hạn hướng độc lập .

Mục lục bài viết

Lịch sử việc sử dụng từ ” ma trận ” trong toán học[sửa|sửa mã nguồn]

Từ này đã được sử dụng theo những cách khác thường bởi ít nhất hai tác giả có tầm quan trọng trong lịch sử Bertrand Russell và Alfred North Whitehead trong cuốn Principia Mathematica (1910–1913) sử dụng từ “ma trận” trong ngữ cảnh tiên đề về khả năng rút gọn. Alfred Tarski trong cuốn sách Introduction to Logic năm 1946 của ông đã sử dụng từ “ma trận” đồng nghĩa với khái niệm bảng chân trị như được sử dụng trong logic toán học.[23]

Ma trận thường được viết trong dấu ngoặc vuông :

A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ]. { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } a_ { 11 } và a_ { 12 } và \ cdots và a_ { 1 n } \ \ a_ { 21 } và a_ { 22 } và \ cdots và a_ { 2 n } \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ a_ { m1 } và a_ { mét vuông } và \ cdots và a_ { mn } \ end { bmatrix } }. } \mathbf{A} = 
 \begin{bmatrix}
 a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
 a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
 \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
 \end{bmatrix}.

Một cách ký hiệu khác là sử dụng dấu ngoặc đơn lớn thay cho dấu ngoặc vuông :

A = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) = ( a i j ) ∈ R m × n. { \ displaystyle \ mathbf { A } = \ left ( { \ begin { array } { rrrr } a_ { 11 } và a_ { 12 } và \ cdots và a_ { 1 n } \ \ a_ { 21 } và a_ { 22 } và \ cdots và a_ { 2 n } \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ a_ { m1 } và a_ { mét vuông } và \ cdots và a_ { mn } \ end { array } } \ right ) = \ left ( a_ { ij } \ right ) \ in \ mathbb { R } ^ { m \ times n }. }{\displaystyle \mathbf {A} =\left({\begin{array}{rrrr}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{array}}\right)=\left(a_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}

Ký hiệu cụ thể cho ma trận rất đa dạng, với một số xu hướng viết phổ biến cho nó. Ma trận thường được ký hiệu bằng chữ cái viết hoa (như A trong ví dụ trên), trong khi với chữ cái viết thường có hai chỉ số viết dưới (ví dụ a11, hay a1,1) biểu diễn cho phần tử của ma trận. Ngoài cách sử dụng ký hiệu chữ viết hoa cho ma trận, nhiều tác giả sử dụng kiểu viết nhấn mạnh cho từ, mà phổ biến là cách viết đậm (không nghiêng), để phân biệt ma trận với những đối tượng toán học khác. Một cách ký hiệu khác là sử dụng cách viết hai đường gạch dưới chân của từ ký hiệu, mà có hoặc không có cách viết đậm, (ví dụ

A
_

_

{\displaystyle {\underline {\underline {A}}}}

\underline{\underline{A}}).

Phần tử trong hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A đôi khi được viết thành i,j, (i,j), hoặc phần tử thứ (i,j) của ma trận, và cách viết hay gặp nhất đó là ai,j, hay aij. Cách ký hiệu khác cho phần tử của ma trận là A[i,j] hay Ai,j. Ví dụ, phần tử (1,3) trong ma trận A là 5 (cũng được viết là a13, a1,3, A[1,3] hoặc A1,3):

A = [ 4 − 7 5 0 − 2 0 11 8 19 1 − 3 12 ] { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } 4 và – 7 và \ color { red } { 5 } và 0 \ \ – 2 và 0 và 11 và 8 \ \ 19 và 1 và – 3 và 12 \ end { bmatrix } } }
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    4 & -7 & \color{red}{5} & 0 \\ 
    -2 & 0 & 11 & 8 \\
    19 & 1 & -3 & 12
  \end{bmatrix}

Thỉnh thoảng, các phần tử của ma trận có thể được xác định theo một công thức như ai,j = f(i, j). Ví dụ, mỗi phần tử của ma trận A dưới đây được xác định bằng aij = ij.

A = [ 0 − 1 − 2 − 3 1 0 − 1 − 2 2 1 0 − 1 ] { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } 0 và – 1 và – 2 và – 3 \ \ 1 và 0 và – 1 và – 2 \ \ 2 và 1 và 0 và – 1 \ end { bmatrix } } }\mathbf A = \begin{bmatrix}
0 & -1 & -2 & -3\\
1 & 0 & -1 & -2\\
2 & 1 & 0 & -1
\end{bmatrix}

Trong trường hợp này, chính ma trận được xác định theo công thức đó, với cách viết trong dấu ngoặc vuông hoặc ngoặc đơn mở rộng. Ví dụ, ma trận ở trên được ký hiệu là A = [ij], hoặc A = ((ij)). Nếu ma trận có kích thước m × n, công thức đề cập ở trên f(i, j) là đúng cho bất kỳ i = 1,…, m và bất kỳ j = 1,…, n. Có thể viết tách biệt kích thước của ma trận, hoặc sử dụng cách viết m × n như là chỉ số dưới. Ví dụ, ma trận A ở trên bằng 3 × 4 và có thể viết ký hiệu là A = [ij] (i = 1, 2, 3; j = 1,…, 4), hay A = [ij]3×4.

Một số ngôn ngữ lập trình sử dụng cách viết những mảng có hai chỉ số (hay mảng của mảng) để biểu diễn ma trận m-×-n. Một số ngôn ngữ lập trình bắt đầu ma trận bằng cách đánh số chỉ số của mảng tại 0, như trong trường hợp mảng m-×-n được đánh số bằng 0 ≤ im − 1 và 0 ≤ jn − 1.[24] Bài viết này tuân theo cách quy ước thường gặp trong toán học với chỉ số bắt đầu bằng 1.

Dấu hoa thị đôi khi được sử dụng để chỉ toàn bộ các hàng hoặc cột trong ma trận. Ví dụ, ai,∗ để chỉ hàng thứ i của ma trận A, và a∗,j để chỉ cột thứ j của ma trận A. Tập hợp mọi ma trận dạng m-×-n ký hiệu là

M

(
m
,
n
)
,

{\displaystyle \mathbb {M} (m,n),}

{\displaystyle \mathbb {M} (m,n),} hoặc

R

m
×
n

{\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}}

{\displaystyle \mathbb {R} ^{m\times n}} cho mọi ma trận.

Các phép toán cơ bản[sửa|sửa mã nguồn]

Có một số phép toán cơ bản tác dụng lên ma trận, bao gồm cộng ma trận, nhân một số với ma trận, chuyển vị, nhân hai ma trận, phép toán hàng, và ma trận con.[26]

Phép cộng, nhân 1 số ít với ma trận, và ma trận chuyển vị[sửa|sửa mã nguồn]

Phép toán Định nghĩa Ví dụ
Cộng hai ma trận Tổng A+B của hai ma trận cùng kích thước m-x-n AB được một ma trận cùng kích thước với phần tử trong vị trí tương ứng bằng tổng của hai phần tử tương ứng của mỗi ma trận:

(A + B)i,j = Ai,j + Bi,j, với 1 ≤ im và 1 ≤ jn.
[

1

3

1

1

]

+

[

5

7

5

]

=

[

1
+

3
+

1
+
5

1
+
7


+
5


+

]

=

[

1

3

6

8

5

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}}



\begin{bmatrix}
1 & 3 & 1 \\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0 & 0 & 5  \\
7 & 5 & 0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1+0 & 3+0 & 1+5 \\
1+7 & 0+5 & 0+0
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 6 \\
8 & 5 & 0
\end{bmatrix}

Nhân (vô hướng) một số với ma trận Tích cA của số c (cũng được gọi là vô hướng trong đại số trừu tượng) với ma trận A được thực hiện bằng cách nhân mỗi phần tử của A với c:

(cA)i,j = cAi,j.
Phép toán này được gọi là nhân vô hướng, nhưng không nên nhầm lẫn với khái niệm “tích vô hướng” hay “tích trong”.

2 ⋅ [ 1 8 − 3 4 − 2 5 ] = [ 2 ⋅ 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ − 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ − 2 2 ⋅ 5 ] = [ 2 16 − 6 8 − 4 10 ] { \ displaystyle 2 \ cdot { \ begin { bmatrix } 1 và 8 và – 3 \ \ 4 và – 2 và 5 \ end { bmatrix } } = { \ begin { bmatrix } 2 \ cdot 1 và 2 \ cdot 8 và 2 \ cdot – 3 \ \ 2 \ cdot 4 và 2 \ cdot – 2 và 2 \ cdot 5 \ end { bmatrix } } = { \ begin { bmatrix } 2 và 16 và – 6 \ \ 8 và – 4 và 10 \ end { bmatrix } } }2 \cdot

\begin{bmatrix}
1 & 8 & -3 \\
4 & -2 & 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 \cdot 1 & 2\cdot 8 & 2\cdot -3 \\
2\cdot 4 & 2\cdot -2 & 2\cdot 5
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2 & 16 & -6 \\
8 & -4 & 10
\end{bmatrix}
Chuyển vị Chuyển vị của ma trận m-x-n A là ma trận n-x-m AT (cũng còn ký hiệu là Atr hay tA) tạo ra bằng cách chuyển hàng thành cột và cột thành hàng:

(AT)i,j = Aj,i.

[ 1 2 3 0 − 6 7 ] T = [ 1 0 2 − 6 3 7 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 2 và 3 \ \ 0 và – 6 và 7 \ end { bmatrix } } ^ { \ mathrm { T } } = { \ begin { bmatrix } 1 và 0 \ \ 2 và – 6 \ \ 3 và 7 \ end { bmatrix } } }

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & -6 & 7
\end{bmatrix}^\mathrm{T} =
\begin{bmatrix}
1 & 0 \\
2 & -6 \\
3 & 7
\end{bmatrix}

Những đặc thù tựa như so với số thực hoàn toàn có thể lan rộng ra ra so với phép toán ma trận. Cộng hai ma trận có đặc thù giao hoán, hay tổng của những ma trận không phụ thuộc vào vào thứ tự của phép tính :

A + B = B + A.[27]
(A + B) + C = A + (B + C)[27]

Phép chuyển vị hoàn toàn có thể tích hợp với phép nhân vô hướng, cộng ma trận và nhân ma trận .

(cA)T = c(AT)
(A + B)T = AT + BT
(AT)T = A
(AB)T=BTAT

Nhân ma trận[sửa|sửa mã nguồn]

AB của hai ma trận AB.Minh họa tích ma trậncủa hai ma trậnvà

Phép nhân hai ma trận được xác định khi và chỉ khi số cột của ma trận bên trái bằng số hàng của ma trận bên phải. Nếu A là một ma trận m-x-nB là một ma trận n-x-p, thì ma trận tích AB là ma trận m-x-p với các phần tử được xác định theo tích vô hướng của hàng tương ứng trong A với cột tương ứng trong B:

[ A B ] i, j = A i, 1 B 1, j + A i, 2 B 2, j + ⋯ + A i, n B n, j = ∑ r = 1 n A i, r B r, j { \ displaystyle [ \ mathbf { AB } ] _ { i, j } = A_ { i, 1 } B_ { 1, j } + A_ { i, 2 } B_ { 2, j } + \ cdots + A_ { i, n } B_ { n, j } = \ sum _ { r = 1 } ^ { n } A_ { i, r } B_ { r, j } } [\mathbf{AB}]_{i,j} = A_{i,1}B_{1,j} + A_{i,2}B_{2,j} + \cdots + A_{i,n}B_{n,j} = \sum_{r=1}^n A_{i,r}B_{r,j},

với 1 ≤ im và 1 ≤ jp.[28] Ví dụ, phần tử gạch chân bên dưới 2340 trong tích được xác định bằng (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

[ 2 _ 3 _ 4 _ 1 0 0 ] [ 0 1000 _ 1 100 _ 0 10 _ ] = [ 3 2340 _ 0 1000 ]. { \ displaystyle { \ begin { aligned } { \ begin { bmatrix } { \ underline { 2 } } và { \ underline { 3 } } và { \ underline { 4 } } \ \ 1 và 0 và 0 \ \ \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } 0 và { \ underline { 1000 } } \ \ 1 và { \ underline { 100 } } \ \ 0 và { \ underline { 10 } } \ \ \ end { bmatrix } } và = { \ begin { bmatrix } 3 và { \ underline { 2340 } } \ \ 0 và 1000 \ \ \ end { bmatrix } }. \ end { aligned } } }
\begin{align}
\begin{bmatrix}
\underline{2} & \underline 3 & \underline 4 \\
1 & 0 & 0 \\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & \underline{1000} \\
1 & \underline{100} \\
0 & \underline{10} \\
\end{bmatrix}
&=
\begin{bmatrix}
3 & \underline{2340} \\
0 & 1000 \\
\end{bmatrix}.
\end{align}

Phép nhân ma trận thỏa mãn quy tắc (AB)C = A(BC) (tính chất kết hợp), và (A+B)C = AC+BC cũng như C(A+B) = CA+CB (luật phân phối trái và phải), khi kích thước của các ma trận tham gia vào phép nhân thỏa mãn yêu cầu của tích hai ma trận.[29] Tích AB có thể xác định trong khi BA không nhất thiết phải xác định, tức là nếu AB lần lượt có số chiều m-x-nn-x-k, và mk. Thậm chí khi cả hai tích này đều tồn tại thì chúng không nhất thiết phải bằng nhau, tức là

ABBA,

hay phép nhân ma trận không có tính giao hoán, một đặc thù khác với những trường số ( hữu tỉ, thực, hay phức ) mà tích của những số không nhờ vào vào thứ tự của những số triển khai trong phép nhân. Ví dụ về nhân hai ma trận không có tính giao hoán :

[ 1 2 3 4 ] [ 0 1 0 0 ] = [ 0 1 0 3 ], { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 2 \ \ 3 và 4 \ \ \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } 0 và 1 \ \ 0 và 0 \ \ \ end { bmatrix } } = { \ begin { bmatrix } 0 và 1 \ \ 0 và 3 \ \ \ end { bmatrix } }, }\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 3\\
\end{bmatrix},

trong khi

[ 0 1 0 0 ] [ 1 2 3 4 ] = [ 3 4 0 0 ]. { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 0 và 1 \ \ 0 và 0 \ \ \ end { bmatrix } } { \ begin { bmatrix } 1 và 2 \ \ 3 và 4 \ \ \ end { bmatrix } } = { \ begin { bmatrix } 3 và 4 \ \ 0 và 0 \ \ \ end { bmatrix } }. }\begin{bmatrix}
0 & 1\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1 & 2\\
3 & 4\\
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
3 & 4\\
0 & 0\\
\end{bmatrix}
.

Bên cạnh phép nhân ma trận thường thì như đã miêu tả, có 1 số ít phép toán công dụng lên ma trận ít gặp mà hoàn toàn có thể coi như là phép nhân ma trận, ví dụ như tích Hadamard và tích Kronecker. [ 30 ] Chúng Open khi giải phương trình ma trận, như phương trình Sylvester .

Phép toán hàng[sửa|sửa mã nguồn]

Có ba loại phép toán hàng :

  1. cộng hàng, tức là cộng các hàng lại với nhau.
  2. nhân hàng, tức là nhân mọi phần tử trong hàng với một hằng số khác 0;
  3. chuyển hàng, thay đổi vị trí hai hàng cho nhau trong ma trận;

Các phép toán này được vận dụng trong 1 số ít nghành, gồm có giải phương trình tuyến tính và tìm ma trận ngược .

Ma trận con[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận con của một ma trận nhận được bằng cách xóa bất kỳ các hàng và các cột.[31][32][33] Ma trận con được ký hiệu là Mij với i là dòng bị xóa, j là cột bị xóa. Ví dụ, từ ma trận 3 x 4, chúng ta có thể tạo ra ma trận con 2×3 bằng cách xóa hàng 3 và cột 2:

A = [ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 ] → [ 1 3 4 5 7 8 ]. { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } 1 và \ color { red } { 2 } và 3 và 4 \ \ 5 và \ color { red } { 6 } và 7 và 8 \ \ \ color { red } { 9 } và \ color { red } { 10 } và \ color { red } { 11 } và \ color { red } { 12 } \ end { bmatrix } } \ rightarrow { \ begin { bmatrix } 1 và 3 và 4 \ \ 5 và 7 và 8 \ end { bmatrix } }. }
  \mathbf{A}=\begin{bmatrix} 
    1 & \color{red}{2} & 3 & 4 \\ 
    5 & \color{red}{6} & 7 & 8 \\
    \color{red}{9} & \color{red}{10} & \color{red}{11} & \color{red}{12}
  \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}
    1 & 3 & 4 \\ 
    5 & 7 & 8 
  \end{bmatrix}.

Định thức con và phần phụ đại số của ma trận tìm được bằng cách tính định thức của những ma trận con nhất định. [ 33 ] [ 34 ]

Ma trận con chính là một ma trận con vuông thu được bằng cách xóa đi một số hàng và cột. Mỗi tác giả có một cách định nghĩa khác nhau. Theo một số tác giả, ma trận con chính là một ma trận con mà tập chỉ số hàng còn lại bằng tập chỉ số cột còn lại.[35][36] Một số tác giả khác định nghĩa ma trận con chính là một trong những ma trận con có k hàng và cột đầu tiên, đối với một số giá trị k, là những ma trận còn lại sau khi xóa hàng hoặc/và cột;[37] loại ma trận con này còn được gọi là ma trận con chính trước (leading principal submatrix).[38]

Phương trình tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận được dùng để viết gọn và nghiên cứu phương trình tuyến tính cũng như hệ phương trình tuyến tính. Ví dụ, nếu A là một ma trận mxn, x là vectơ cột (ma trận n×1) của n biến x1, x2,…, xn, và b là một vectơ cột m×1, thì phương trình ma trận

A x = b { \ displaystyle \ mathbf { Ax } = \ mathbf { b } }{\displaystyle \mathbf {Ax} =\mathbf {b} }

là tương tự với hệ phương trình tuyến tính [ 39 ]

a 1, 1 x 1 + a 1, 2 x 2 + ⋯ + a 1, n x n = b 1 ⋮ a m, 1 x 1 + a m, 2 x 2 + ⋯ + a m, n x n = b m { \ displaystyle { \ begin { aligned } a_ { 1,1 } x_ { 1 } + a_ { 1,2 } x_ { 2 } + và \ cdots + a_ { 1, n } x_ { n } = b_ { 1 } \ \ và \ \ \ vdots \ \ a_ { m, 1 } x_ { 1 } + a_ { m, 2 } x_ { 2 } + và \ cdots + a_ { m, n } x_ { n } = b_ { m } \ end { aligned } } }{\displaystyle {\begin{aligned}a_{1,1}x_{1}+a_{1,2}x_{2}+&\cdots +a_{1,n}x_{n}=b_{1}\\&\ \ \vdots \\a_{m,1}x_{1}+a_{m,2}x_{2}+&\cdots +a_{m,n}x_{n}=b_{m}\end{aligned}}}

Khi sử dụng ma trận, cách viết này có thể được giải quyết gọn gàng hơn thay vì cách viết ra tất cả các phương trình riêng biệt. Nếu n = m và các phương trình là độc lập khi đó để giải quyết bài toán này ta viết

x = A − 1 b { \ displaystyle \ mathbf { x } = \ mathbf { A } ^ { – 1 } \ mathbf { b } }{\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }

trong đó A−1 là ma trận khả nghịch của A. Nếu A không nghịch đảo, các giải pháp — nếu có — có thể được áp dụng bằng cách sử dụng giả nghịch đảo.

Biến đổi tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Các vectơ màn biểu diễn bởi một ma trận vuông 2×2 tương ứng với những cạnh của một hình vuông vắn đơn vị chức năng đổi khác thành một hình bình hành .

Ma trận và phép nhân ma trận cho thấy những đặc điểm cơ bản của chúng khi liên hệ với biến đổi tuyến tính, cũng còn gọi là ánh xạ tuyến tính.Một ma trận thực mxn A đại diện cho phép biến đổi tuyến tính RnRm ánh xạ mỗi vectơ x trong Rn vào tích (hay ma trận) Ax, mà là một vectơ trong Rm. Ngược lại, mỗi biến đổi tuyến tính f: RnRm đại diện bởi một ma trận duy nhất A mxn: một cách tường minh, phần tử (i, j) của A là tọa độ thứ i của f(ej), với
ej = (0,…,0,1,0,…,0) là vectơ đơn vị với một trong vị trí thứ j và 0 ở những vị trí khác. Ma trận A được nói là biểu diễn cho ánh xạ tuyến tính f, và A được gọi là ma trận biến đổi của f.

Ví dụ, ma trận vuông 2 × 2

A = [ a c b d ] { \ displaystyle \ mathbf { A } = { \ begin { bmatrix } a và c \ \ b và d \ end { bmatrix } } \, }
\mathbf A = \begin{bmatrix} a & c\\b & d \end{bmatrix}\,

có thể coi như là biến đổi của hình vuông đơn vị thành một hình bình hành với các đỉnh của nó nằm tại (0, 0), (a, b), (a + c, b + d), và (c, d). Hình bình hành trong ảnh bên cạnh thu được bằng cách nhân A với mỗi vectơ cột

[

]

,

[

1

]

,

[

1

1

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}}}

\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}

[

1

]

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}

\begin{bmatrix}0 \\ 1\end{bmatrix}. Những vectơ này xác định lên đỉnh của hình vuông đơn vị sau phép biến đổi.

Bảng sau liệt kê một số ma trận thực 2 × 2 găn với ánh xạ tuyến tính của R2. Hình màu lam ban đầu được ánh xạ thành hình màu lục. Điểm gốc (0,0) được đánh dấu là điểm màu đen.

Phép trượt ngang (Horizontal shear) với m=1.25. Phép lật theo phương ngang (Horizontal flip) Phép nén (Squeeze mapping) với r=3/2 Phép phóng tỉ lệ (scale) với tỉ lệ 3/2 Phép quay một góc π/6R = 30°
[ 1 1.25 0 1 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 1.25 \ \ 0 và 1 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}
1 & 1.25  \\
0 & 1 \end{bmatrix} [ − 1 0 0 1 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } – 1 và 0 \ \ 0 và 1 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}
-1 & 0  \\
0 & 1 \end{bmatrix} [ 3 / 2 0 0 2 / 3 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 3/2 và 0 \ \ 0 và 2/3 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 2/3 \end{bmatrix} [ 3 / 2 0 0 3 / 2 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 3/2 và 0 \ \ 0 và 3/2 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}
3/2 & 0  \\
0 & 3/2 \end{bmatrix} [ cos ⁡ ( π / 6 R ) − sin ⁡ ( π / 6 R ) sin ⁡ ( π / 6 R ) cos ⁡ ( π / 6 R ) ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } \ cos ( \ pi / 6 ^ { R } ) và – \ sin ( \ pi / 6 ^ { R } ) \ \ \ sin ( \ pi / 6 ^ { R } ) và \ cos ( \ pi / 6 ^ { R } ) \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}\cos(\pi / 6^{R}) & -\sin(\pi / 6^{R})\\ \sin(\pi / 6^{R}) & \cos(\pi / 6^{R})\end{bmatrix}
VerticalShear m=1.25.svg Flip map.svg Squeeze r=1.5.svg Scaling by 1.5.svg Rotation by pi over 6.svg

Đặt tương ứng 1-1 giữa ma trận và ánh xạ tuyến tính, phép nhân ma trận tương ứng với phép hợp các ánh xạ:[40] nếu một ma trận kxm B biểu diễn cho một ánh xạ tuyến tính khác g: RmRk, thì hợp của gf biểu diễn bằng BA

(gf)(x) = g(f(x)) = g(Ax) = B(Ax) = (BA)x.

Phương trình sau cuối là hệ quả từ tính tích hợp của phép nhân ma trận .

Hạng của ma trận A là số lớn nhất các vectơ hàng độc lập tuyến tính của ma trận, mà cũng bằng số lớn nhất các vectơ cột độc lập tuyến tính của nó.[41] Tương đương với hạng của ma trận là chiều Hamel của ảnh của ánh xạ tuyến tính biểu diễn bởi A.[42] Định lý hạng và số chiều của hạch nói rằng số chiều của hạch (kernel) ma trận cộng với hạng của nó bằng số cột của ma trận.[43]

Ma trận vuông[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận nxn còn gọi là ma trận vuông bậc n. Bất kỳ hai ma trận vuông có cùng bậc đều thực hiện được phép cộng và nhân với nhau.
Các phần tử aii tạo thành đường chéo chính của ma trận vuông. Chúng nằm trên một đoạn thẳng tưởng tượng bắt đầu từ góc trên bên trái xuống góc dưới bên phải của ma trận.

Các loại ma trận đặc biệt quan trọng[sửa|sửa mã nguồn]

Tên Ví dụ với n = 3
Ma trận chéo [ a 11 0 0 0 a 22 0 0 0 a 33 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } a_ { 11 } và 0 và 0 \ \ 0 và a_ { 22 } và 0 \ \ 0 và 0 và a_ { 33 } \ \ \ end { bmatrix } } }
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           0 & a_{22} & 0 \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
Ma trận tam giác dưới [ a 11 0 0 a 21 a 22 0 a 31 a 32 a 33 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } a_ { 11 } và 0 và 0 \ \ a_ { 21 } và a_ { 22 } và 0 \ \ a_ { 31 } và a_ { 32 } và a_ { 33 } \ \ \ end { bmatrix } } }
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & 0 & 0 \\
           a_{21} & a_{22} & 0 \\
           a_{31} & a_{32} & a_{33} \\
      \end{bmatrix}
Ma trận tam giác trên [ a 11 a 12 a 13 0 a 22 a 23 0 0 a 33 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } a_ { 11 } và a_ { 12 } và a_ { 13 } \ \ 0 và a_ { 22 } và a_ { 23 } \ \ 0 và 0 và a_ { 33 } \ \ \ end { bmatrix } } }
      \begin{bmatrix}
           a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
           0 & a_{22} & a_{23} \\
           0 & 0 & a_{33} \\
      \end{bmatrix}

Ma trận tam giác và ma trận đường chéo[sửa|sửa mã nguồn]

Nếu mọi phần tử của A ở bên dưới đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác trên. Tương tự, nếu mọi phần tử của A ở bên trên đường chéo chính bằng 0, thì A được gọi là ma trận tam giác dưới. Nếu mọi phần tử nằm bên ngoài đường chéo chính đều bằng 0, thì A được gọi là ma trận đường chéo.

Ma trận đơn vị chức năng[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận đơn vị In có số chiều n là một ma trận nxn trong đó mọi phần tử trên đường chéo chính bằng 1 và tất cả những phần tử khác đều bằng 0, ví dụ

I 1 = [ 1 ], I 2 = [ 1 0 0 1 ], …, I n = [ 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ] { \ displaystyle \ mathbf { I } _ { 1 } = { \ begin { bmatrix } 1 \ end { bmatrix } }, \ \ mathbf { I } _ { 2 } = { \ begin { bmatrix } 1 và 0 \ \ 0 và 1 \ end { bmatrix } }, \ \ ldots, \ \ mathbf { I } _ { n } = { \ begin { bmatrix } 1 và 0 và \ cdots và 0 \ \ 0 và 1 và \ cdots và 0 \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ 0 và 0 và \ cdots và 1 \ end { bmatrix } } }{\displaystyle \mathbf {I} _{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} _{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \ldots ,\ \mathbf {I} _{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}

Nó là một ma trận vuông bậc n, và cũng là trường hợp đặc biệt của ma trận đường chéo. Nó được gọi là ma trận đơn vị bởi vì khi thực hiện nhân một ma trận với nó thì vẫn thu được kết quả của chính ma trận đó:

AIn = ImA = A với ma trận A bất kỳ mxn.

Một bội số vô hướng khác không của ma trận đơn vị được gọi là ma trận vô hướng (scalar matrix). Nếu các mục nhập ma trận đến từ một trường thì ma trận vô hướng tạo thành một nhóm, dưới phép nhân ma trận, là đẳng cấu với nhóm nhân các phần tử khác không của trường.

Ma trận đối xứng hoặc phản đối xứng[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận vuông A bằng với ma trận chuyển vị của nó, tức là
A = AT, là ma trận đối xứng. Nếu A là bằng với phần trừ của chuyển vị của nó, i.e.,
A = −AT, thì A được gọi là ma trận phản đối xứng (skew-symmetric matrix). Đối với ma trận phức, ma trận đối xứng thường được thay bằng khái niệm ma trận Hermite, mà thỏa mãn A∗ = A, với dấu sao ký hiệu cho liên hợp của ma trận chuyển vị, tức là lấy chuyển vị của A sau đó lấy liên hợp phức các phần tử của ma trận chuyển vị.

Theo định lý phổ ( spectral theorem ), ma trận đối xứng thành phần thực và ma trận Hermite thành phần phức có một cơ sở riêng ; nghĩa là mỗi vectơ hoàn toàn có thể màn biểu diễn thành tổng hợp tuyến tính của những vectơ riêng. Trong cả hai trường hợp, mọi trị riêng của ma trận đều có giá trị thực. [ 44 ] Định lý này hoàn toàn có thể tổng quát hóa cho trường hợp ma trận vô hạn chiều, xem bên dưới .

Ma trận khả nghịch và nghịch đảo của nó[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận vuông A gọi là khả nghịch hay không suy biến nếu tồn tại một ma trận B sao cho

AB = BA = In.[45][46]

Nếu B tồn tại, thì nó là duy nhất và được gọi là ma trận nghịch đảo của A, ký hiệu bằng A−1.

Ma trận nghịch đảo có những đặc thù sau :

(A-1)-1 = A
(AB)-1 = B-1A-1
(AT)-1 = (A-1)T

Ma trận xác lập[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận xác định dương Ma trận không xác định
[ 1 / 4 0 0 1 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1/4 và 0 \ \ 0 và 1 \ \ \ end { bmatrix } } } \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & 1 \\
     \end{bmatrix} [ 1 / 4 0 0 − 1 / 4 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1/4 và 0 \ \ 0 và – 1/4 \ end { bmatrix } } } \begin{bmatrix}
         1/4 & 0 \\
         0 & -1/4 
     \end{bmatrix}
Q(x,y) = 1/4 x2 + y2 Q(x,y) = 1/4 x2 − 1/4 y2
Ellipse in coordinate system with semi-axes labelled.svg
Các điểm sao cho Q(x,y)=1
(Elíp).
Hyperbola2 SVG.svg
Các điểm sao cho Q(x,y)=1
(Hyperbol).

Ma trận đối xứng n×n được gọi là xác định dương (tương ứng xác định âm; không xác định), nếu với mọi vectơ khác 0 x ∈ Rn dạng toàn phương xác định bởi

Q(x) = xTAx

chỉ nhận những giá trị dương ( tương ứng chỉ nhận những giá trị âm ; nhận cả giá trị âm và giá trị dương ). [ 47 ] Nếu dạng toàn phương chỉ nhận giá trị không âm ( tương ứng chỉ nhận giá trị không dương ), ma trận đối xứng được gọi là bán xác lập dương ( tương ứng bán xác định âm ) ; và ma trận không xác lập đúng chuẩn khi nó không là ma trận bán xác lập dương hoặc ma trận bán xác lập âm .Ma trận đối xứng là xác lập dương nếu và chỉ nếu mọi trị riêng của nó có giá trị dương, hay ma trận là bán xác lập dương và khả nghịch. [ 48 ] Bảng bên phải chỉ ra hai năng lực cho ma trận 2×2 .

Ma trận xác định A cho phép thu được dạng song tuyến tính khi nó kết hợp hai vectơ khác nhau:

BA (x, y) = xTAy.[49]

Ma trận trực giao

[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận trực giao là ma trận vuông với các phần tử thực sao cho các cột và hàng là những vectơ đơn vị trực giao (nghĩa là vectơ trực chuẩn). Hay nói tương đương, ma trận A trực giao nếu và chỉ nếu ma trận chuyển vị của nó bằng ma trận nghịch đảo của nó:

A T = A − 1, { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ mathrm { T } } = \ mathbf { A } ^ { – 1 }, \, }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1},\,}

A T A = A A T = I n, { \ displaystyle \ mathbf { A } ^ { \ mathrm { T } } \ mathbf { A } = \ mathbf { A } \ mathbf { A } ^ { \ mathrm { T } } = \ mathbf { I } _ { n }, }{\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} _{n},}

với In là ma trận đơn vị.

Ma trận trực giao A cần thiết phải khả nghịch (do định nghĩa A−1 = AT), unita (A−1 = A*), và chuẩn tắc (A*A = AA*). Định thức của ma trận trực giao bất kỳ luôn bằng +1 hoặc −1. Ma trận trực giao đặc biệt là ma trận có định thức bằng +1. Đối với một biến đổi tuyến tính, mỗi ma trận trực giao với định thức bằng +1 là một phép quay thuần túy không có phản chiếu, tức là, phép biến đổi bảo toàn định hướng của cấu trúc đã biến đổi, trong khi mỗi ma trận trực giao có định thức bằng -1 là phép phản xạ thuần túy hoặc là tổ hợp của phép phản xạ và phép quay. Ma trận đơn vị có định thức bằng 1 và là phép quay thuần túy theo một góc bằng 0.

Tương tự số phức của ma trận trực giao là một ma trận unita .

Các đo lường và thống kê đa phần[sửa|sửa mã nguồn]

Vết của ma trận, tr(A) của một ma trận vuông A là tổng các phần tử trên đường chéo chính của nó. Trong khi phép nhân ma trận không có tính giao hoán, thì vết của tích hai ma trận là độc lập với thứ tự nhân của hai ma trận:

tr(AB) = tr(BA).

Điều này hoàn toàn có thể rút ngay ra được từ định nghĩa nhân hai ma trận :

tr ⁡ ( A B ) = ∑ i = 1 m ∑ j = 1 n a i j b j i = tr ⁡ ( B A ). { \ displaystyle \ operatorname { tr } ( \ mathbf { AB } ) = \ sum _ { i = 1 } ^ { m } \ sum _ { j = 1 } ^ { n } a_ { ij } b_ { ji } = \ operatorname { tr } ( \ mathbf { BA } ). }{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} ).}

Theo đó, vết của kết quả của nhiều hơn hai ma trận là độc lập với hoán vị vòng của các ma trận, tuy nhiên, điều này nói chung không áp dụng cho các hoán vị tùy ý (ví dụ trong thực tế, tr(ABC) ≠ tr(BAC)). Ngoài ra, vết của ma trận bằng vết của ma trận chuyển vị, hay

tr(A) = tr(AT).

R2 cho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng −1, và ý nghĩa hình học của phép biến đổi tuyến tính này đó là diện tích của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ.Biến đổi tuyến tính trêncho bởi ma trận trong ngoặc. Định thức của ma trận này bằng − 1, và ý nghĩa hình học của phép biến hóa tuyến tính này đó là diện tích quy hoạnh của hình bình hành màu lục ở bên phải vẫn bằng 1, nhưng ánh xạ đã hòn đảo hướng nó, do nó chuyển hướng theo chiều ngược kim đồng hồ đeo tay của vectơ thành theo chiều kim đồng hồ đeo tay .

Định thức của ma trận vuông (ký hiệu là det(A) hay |A|) là một số chứa đựng những tính chất nhất định của ma trận này. Ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó khác 0. Giá trị tuyệt đối của định thức ma trận trực giao bằng diện tích (trong R2) hoặc thể tích (trong R3) của ảnh của hình vuông đơn vị (hay hình lập phương đơn vị), trong khi dấu của nó tương ứng với hướng của ánh xạ tuyến tính tương ứng: định thức là dương nếu và chỉ nếu hướng được bảo toàn.

Định thức của ma trận 2 x 2 cho bởi công thức

det [ a b c d ] = a d − b c. { \ displaystyle \ det { \ begin { bmatrix } a và b \ \ c và d \ end { bmatrix } } = ad-bc. }\det \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix} = ad-bc.

Định thức của ma trận 3 x 3 gồm có 6 số hạng ( hay quy tắc Sarrus ). Công thức Leibniz tổng quát hai công thức này cho mọi số chiều của ma trận. [ 50 ]Định thức của tích hai ma trận vuông bằng tích những định thức ma trận :

det(AB) = det(A) • det(B).[51]

Khi cộng bội 1 số ít lần của một hàng bất kể vào một hàng khác, hoặc cộng bội 1 số ít lần của một cột bất kể vào một cột khác, sẽ không làm đổi khác định thức. Hoán vị hai hàng hoặc hai cột làm ảnh hưởng tác động tới định thức bằng cách nhân nó với − 1. [ 52 ] Sử dụng những quy tắc này, ma trận vuông bất kể hoàn toàn có thể chuyển thành một ma trận tam giác dưới ( hoặc trên ), mà so với những ma trận tam giác, định thức của nó bằng tích của những thành phần trên đường chéo chính ; giải pháp này mang lại một cách tính định thức của ma trận vuông bất kể .Cuối cùng, khai triển Laplace màn biểu diễn định thức trong số hạng của những phần phụ đại số, nghĩa là định thức của những ma trận nhỏ hơn. [ 53 ] Khai triển này hoàn toàn có thể dùng để đưa ra định nghĩa theo chiêu thức đệ quy so với định thức ( mà mở màn bằng định thức của ma trận 1 x 1, mà nó có một thành phần duy nhất, hay thậm chí còn định thức của ma trận 0 x 0, định nghĩa bằng 1 ), mà hoàn toàn có thể coi như tương tự với công thức Leibniz. Ứng dụng của định thức gồm có việc giải hệ phương trình tuyến tính sử dụng quy tắc Cramer, với thương của hai định thức của hai ma trận tương quan bằng giá trị của biến cần tìm trong hệ phương trình. [ 54 ] Khai triển Laplace cho ma trận bất kể như sau :

| A | = ∑ j = 1 n a i, j | C i, j | = ∑ i = 1 n a i, j | C i, j | { \ displaystyle | A | = \ sum _ { j = 1 } ^ { n } a_ { i, j } | C_ { i, j } | = \ sum _ { i = 1 } ^ { n } a_ { i, j } | C_ { i, j } | }{\displaystyle |A|=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}|C_{i,j}|=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}|C_{i,j}|}

với | C i, j | = ( − 1 ) ( i + j ) | M i, j | { \ displaystyle | C_ { i, j } | = ( – 1 ) ^ { ( i + j ) } | M_ { i, j } | }{\displaystyle |C_{i,j}|=(-1)^{(i+j)}|M_{i,j}|}

Các đặc thù của định thức :

|A| = |AT|
Đảo vị trí 2 dòng của ma trận sẽ làm định thức của ma trận đổi dấu
Nhân một dòng của ma trận với n sẽ làm giá trị định thức tăng lên n lần
Thay thế một dòng của ma trận bằng cách nhân một dòng khác của ma trận với n rồi cộng với dòng đó không làm thay đổi giá trị định thức
Nếu một dòng của ma trận là tích của một dòng khác với n thì định thức của ma trận bằng 0

Ma trận nghịch đảo[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận nghịch đảo A−1 chỉ tồn tại khi và chỉ khi |A| ≠ 0. Công thức tính ma trận nghịch đảo như sau:

A − 1 = 1 | A | a d j A { \ displaystyle A ^ { – 1 } = { \ frac { 1 } { | A | } } adjA }{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{|A|}}adjA}
với a d j A = [ | C 1, 1 | | C 2, 1 | ⋯ | C n, 1 | | C 1, 2 | | C 2, 2 | ⋯ | C n, 2 | ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ | C 1, n | | C 2, n | ⋯ | C n, n | ] { \ displaystyle adjA = { \ begin { bmatrix } | C_ { 1,1 } | và | C_ { 2,1 } | và \ cdots và | C_ { n, 1 } | \ \ | C_ { 1,2 } | và | C_ { 2,2 } | và \ cdots và | C_ { n, 2 } | \ \ \ vdots và \ vdots và \ ddots và \ vdots \ \ | C_ { 1, n } | và | C_ { 2, n } | và \ cdots và | C_ { n, n } | \ end { bmatrix } } }{\displaystyle adjA={\begin{bmatrix}|C_{1,1}|&|C_{2,1}|&\cdots &|C_{n,1}|\\|C_{1,2}|&|C_{2,2}|&\cdots &|C_{n,2}|\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\|C_{1,n}|&|C_{2,n}|&\cdots &|C_{n,n}|\end{bmatrix}}}

Vectơ riêng và trị riêng[sửa|sửa mã nguồn]

Một số λ và một vectơ khác 0 v thỏa mãn

A v = λ v { \ displaystyle Av = \ lambda v }{\displaystyle Av=\lambda v}

được gọi lần lượt là giá trị riêngvectơ riêng của A.[nb 1][55] Số λ là một trị riêng của một ma trận n×n A nếu và chỉ nếu A−λIn là không khả nghịch, mà tương đương với

det ( A − λ I ) = 0. { \ displaystyle \ det ( \ mathbf { A } – \ lambda \ mathbf { I } ) = 0. }{\displaystyle \det(\mathbf {A} -\lambda \mathbf {I} )=0.}[56]

Đa thức pA trong biến vô định (indeterminate variable) X cho bằng cách khai triển định thức det(XInA) được gọi là đa thức đặc trưng của A. Nó là một đa thức lồi (monic polynomial) có bậc n. Do vậy phương trình đa thức pA(λ) = 0 có nhiều nhất n nghiệm khác nhau, hay là các giá trị riêng của ma trận.[57] Chúng có thể nhận giá trị phức ngay cả khi các phần tử trong A là thực. Theo định lý Cayley–Hamilton,
pA(A) = , tức là, kết quả của sự thay thế chính ma trận vào đa thức đặc trưng của chính nó sẽ thu được ma trận rỗng.

Khía cạnh giám sát[sửa|sửa mã nguồn]

Tính toán các tính chất liên quan tới ma trận có thể dùng nhiều kỹ thuật khác nhau. Nhiều vấn đề được giải quyết bằng cả những thuật toán trực tiếp hoặc bằng phương pháp lặp. Ví dụ, có thể tìm vectơ riêng của một ma trận vuông bằng cách tính dãy các vectơ xn hội tụ về một vectơ riêng khi n tiến tới vô tận.[58]

Để hoàn toàn có thể chọn thuật toán thích hợp hơn cho mỗi yếu tố đơn cử, điều quan trọng là xác lập được cả tính đúng mực và hiệu suất cao của mọi thuật toán khả dĩ. Phạm vi điều tra và nghiên cứu những yếu tố này được gọi là đại số tuyến tính bằng số ( numerical linear algebra ). [ 59 ] Với những yếu tố về chiêu thức tính khác, hai góc nhìn chính đó là độ phức tạp của thuật toán ( complexity of algorithm ) và sự không thay đổi bằng số ( numerical stability ) của chúng .

Xác định độ phức tạp của thuật toán có nghĩa là tìm chặn trên hoặc ước lượng có bao nhiêu thao tác cơ bản như phép cộng và nhân vô hướng cần thiết để thực hiện một số thuật toán, ví dụ như phép nhân hai ma trận. Ví dụ, tính tích của hai ma trận bậc n x n sử dụng định nghĩa ở trên cần n3 phép nhân, do bất kỳ n2 phần tử của tích, cần có n phép nhân. Thuật toán Strassen tốt hơn thuật toán “thô” này; nó chỉ cần n2,807 phép nhân.[60] Cách tiếp cận đẹp hơn thường kết hợp với những đặc điểm nhất định của thiết bị tính toán.

Trong nhiều vấn đề thực tiễn, chúng ta biết thêm các thông tin về những ma trận tham gia vào quá trình tính toán. Một trường hợp đặc biệt đó là “ma trận thưa” (sparse matrix), tức là phần lớn các phần tử trong ma trận bằng 0. Có những thuật toán được sử dụng để giải hệ phương trình tuyến tính Ax = b cho những ma trận thưa A, như phương pháp gradien liên hợp (conjugate gradient method).[61]

Nói một cách sơ lược, một thuật toán được gọi là ổn định bằng số (numerically stable), nếu những độ lệch nhỏ trong giá trị đưa vào không dẫn tới sự thay đổi lớn trong kết quả của chúng. Ví dụ, khi tính nghịch đảo của ma trận thông qua công thức Laplace (Adj (A) ký hiệu cho ma trận phụ hợp của A)

A−1 = adj(A) / det(A)

hoàn toàn có thể dẫn tới sai số lớn do làm tròn nếu định thức của ma trận rất nhỏ. Ma trận chuẩn tắc ( norm matrix ) được ứng dụng để chớp lấy điều kiện kèm theo của những yếu tố đại số tuyến tính, như tính ma trận nghịch đảo. [ 62 ]Hầu hết ngôn từ lập trình máy tính tương hỗ mảng nhưng không được phong cách thiết kế với những lệnh cài sẵn cho ma trận. Thay vào đó, những thư viện bên ngoài có sẵn cung ứng những phép toán ma trận trên mảng, trong gần như toàn bộ những ngôn từ lập trình được sử dụng lúc bấy giờ. Thao tác ma trận là một trong những ứng dụng số sớm nhất của máy tính. [ 63 ] Dartmouth BASIC khởi đầu có những lệnh tích hợp được cho phép số học ma trận trên mảng từ việc tiến hành thế hệ thứ 2 vào năm 1964. Ngay từ những năm 1970, 1 số ít máy tính để bàn kỹ thuật như HP 9830 có hộp ROM ( ROM cartridges ) để cho thêm những lệnh BASIC so với ma trận. Một số ngôn từ máy tính như APL được phong cách thiết kế để thao tác với ma trận và những chương trình ứng dụng toán học khác nhau hoàn toàn có thể được sử dụng để tương hỗ đo lường và thống kê với ma trận. [ 64 ]

Phân tích ma trận[sửa|sửa mã nguồn]

Có một số phương pháp để đưa ma trận về những dạng dễ nghiên cứu hơn. Các nhà toán học thường coi chúng là kỹ thuật phân tích ma trận hoặc nhân tử hóa ma trận. Họ quan tâm tới những kỹ thuật này vì chúng bảo tồn một số tính chất nhất định của ma trận trong quá trình biến đổi, như định thức, hạng hay nghịch đảo, do đó những đại lượng này có thể dễ dàng tính toán sau khi áp dụng phép biến đổi, hoặc những tính toán ma trận sẽ dễ dàng hơn về mặt thuật toán thực thi đối với một số ma trận đặc biệt.

Phương pháp phân tích LU ma trận chính là kỹ thuật phân tích ma trận thành tích của một ma trận tam giác dưới (L) với một ma trận tam giác trên (U).[65] Khi phương pháp phân tích này được thực hiện, những hệ phương trình tuyến tính có thể giải một cách hữu hiệu hơn bằng những kỹ thuật đơn giản như thay thế tiến và lùi (forward and back substitution). Tương tự, tính nghịch đảo của ma trận tam giác sẽ dễ dàng hơn nhiều so với ma trận tổng quát. Phép khử Gauss tương tự như một thuật toán; nó biến đổi ma trận bất kỳ thành dạng hàng bậc thang (row echelon form).[66] Cả hai phương pháp được tiến hành bằng cách nhân ma trận với những ma trận cơ sở phù hợp, hay những ma trận thu được từ việc hoán vị các cột hoặc hàng cho nhau và cộng thêm một số bội lần một hầng vào hàng khác. Kỹ thuật phần tích giá trị kỳ dị (singular value decomposition) biểu diễn ma trận bất kỳ A thành tích của UDV∗, với UV là các ma trận unita và D là ma trận chéo hóa.

Ví dụng về ma trận trong dạng chuẩn tắc Jordan. Những khối xám mà được gọi là những khối Jordan .

Phân tích ma trận thành ma trận chỉ có các phần tử là các giá trị riêng (eigendecomposition) hay chéo hóa biểu diễn A thành tích VDV−1, với D là ma trận đường chéo và V là một ma trận khả nghịch phù hợp.[67] Nếu A được viết theo dạng này, nó được gọi là ma trận chéo hóa được (diagonalizable matrix). Tổng quát hơn, và áp dụng đối với mọi ma trận, phép phân tích Jordan biến đổi ma trận thành dạng chuẩn tắc Jordan (Jordan normal form), để đưa các ma trận về dạng mà chỉ những phần tử khác 0 là các giá trị riêng λ1 đến λn của A, nằm trên đường chéo chính và có thể có các phần tử nằm bên trên đường chéo chính đều bằng 1 như chỉ ra ở hình bên.[68] Dựa theo kỹ thuật phân tích ma trận theo giá trị riêng, lũy thừa bậc n của A (tức là thực hiện nhân ma trận A với chính nó n lần) sẽ được tính toán thông qua

An = (VDV−1)n = VDV−1VDV−1…VDV−1 = VDnV−1

và lũy thừa của ma trận đường chéo được tính trực tiếp khi lấy lũy thừa của các phần tử nằm trên đường chéo chính, mà cách này dễ dàng hơn rất nhiều khi thực hiện từng lần nhân với A. Phương pháp này còn được ứng dụng để tính lũy thừa ma trận (matrix exponential) eA, do nó xuất hiện thường xuyên trong lúc giải phương trình vi phân tuyến tính, logarit của ma trận (matrix logarithm) và căn bậc hai của ma trận (square root of a matrix).[69] Để tránh trường hợp sai số lớn khi thay đổi dữ liệu số đầu vào (condition number), các nhà toán học nêu những thuật toán tốt hơn như phân tích Schur sẽ được ứng dụng.[70]

Khía cạnh đại số trừu tượng và tổng quát hóa[sửa|sửa mã nguồn]

Các nhà toán học đã tổng quát hóa ma trận theo một số ít cách khác nhau. Đại số trừu tượng sử dụng ma trận với những thành phần là những dạng tổng quát hơn như là trường hay thậm chí còn là vành, trong khi đại số tuyến tính mã hóa những đặc thù của ma trận thành khái niệm những ánh xạ tuyến tính. Có thể coi ma trận với vô số hàng và cột. Sự lan rộng ra khác đó là tenxơ, mà hoàn toàn có thể coi như những mảng nhiều chiều chứa những phần tử số, khi nó khác với vectơ ở chỗ vectơ là dãy những số, thì ma trận là mảng hai chiều chứa những số. [ 71 ] Ma trận với những đặc thù yên cầu nhất định có xu thế tạo thành nhóm gọi là nhóm ma trận. Tương tự trong những điều kiện kèm theo nhất định, ma trận dạng vành được gọi là vành ma trận. Mặc dù tích của ma trận nói chung không giao hoán nhưng ma trận nhất định có dạng trường được gọi là trường ma trận .

Ma trận với những thành phần lan rộng ra[sửa|sửa mã nguồn]

Bài này viết chủ yếu về ma trận mà các phần tử là số thực hoặc số phức.Tuy nhiên có thể coi ma trận với phần tử tổng quát hơn số thực hoặc số phức. Bước đầu tiên trong việc tổng quát hóa, bất kỳ trường toán học nào, tức là các tập hợp có thể thực hiện được phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia được xác định, có thể được sử dụng thay cho R hoặc C, như số hữu tỉ hoặc trường hữu hạn. Ví dụ, lý thuyết mã hóa sử dụng ma trận trên các trường hữu hạn. Khi xét tới trị riêng, mà chúng là những nghiệm của một đa thức mà chỉ có thể tồn tại trong một trường lớn hơn trường của các phần tử của ma trận; chẳng hạn chúng có thể là phức trong trường hợp ma trận với các phần tử thực. Khả năng để giải thích lại các phần tử của ma trận như là các phần tử của một trường lớn hơn (ví dụ để coi một ma trận thực như là một ma trận phức khi các phần tử của nó đều là thực) sẽ cho phép mỗi ma trận vuông có một tập đầy đủ các giá trị riêng của nó. Nói cách khác ta chỉ có thể coi ma trận với các phần tử thuộc một trường đóng đại số, như C, từ một tập hợp ngoài.

Tổng quát hơn, ngành đại số trừu tượng sử dụng nhiều khái niệm ma trận với các phần tử thuộc một vành R.[72] Vành là những khái niệm tổng quát hơn khái niệm trường mà trong nó không nhất thiết phải có phép chia. Phép cộng và phép nhân ma trận cũng được mở rộng ra cho tính chất này. Tập hợp M(n, R) của mọi ma trận vuông n x n trên R là một vành gọi là vành ma trận, đẳng cấu vào vành tự đồng cấu của R-mô đun Rn bên trái.[73] Nếu vành R là giao hoán, nghĩa là phép nhân của nó có tính giao hoán, thì M(n, R) là một đại số kết hợp (associative algebra) không giao hoán unita (trừ khi n = 1) trên R. Định thức của ma trận vuông trên một vành giao hoán R vẫn xác định nhờ sử dụng công thức Leibniz; ma trận là khả nghịch nếu và chỉ nếu định thức của nó là khả nghịch trong R, được tổng quát lên đối với trường F, nơi mà mọi phần tử khác 0 là khả nghịch.[74] Ma trận trên một siêu vành (superring) được gọi là siêu ma trận (supermatrix).[75]

Ma trận không phải khi nào cũng có hàng loạt những thành phần của nó thuộc về cùng một vành – hay thậm chí còn trong vành bất kể nào đó. Một trường hợp đặc biệt quan trọng nhưng hay gặp đó là ma trận khối ( block matrix ), mà hoàn toàn có thể coi là ma trận với thành phần chính là những ma trận. Những thành phần này không thiết yếu phải là ma trận toàn phương, và do vậy không cần phải là thành viên của một vành thường thì bất kể ; nhưng size của chúng phải thỏa mãn nhu cầu 1 số ít điều kiện kèm theo nhất định .

Mối liên hệ với ánh xạ tuyến tính[sửa|sửa mã nguồn]

Ánh xạ tuyến tính RnRm là tương đương với ma trận m x n, như đã miêu tả ở trên. Tổng quát hơn, bất kỳ ánh xạ tuyến tính nào f: VW giữa hai không gian vectơ có chiều hữu hạn có thể được miêu tả bằng ma trận A = (aij), sau khi chọn cơ sở v1,…, vn của V, và w1,…, wm của W (do vậy n là chiều của Vm là chiều của W), sao cho

f ( v j ) = ∑ i = 1 m a i, j w i khi j = 1, …, n. { \ displaystyle f ( \ mathbf { v } _ { j } ) = \ sum _ { i = 1 } ^ { m } a_ { i, j } \ mathbf { w } _ { i } \ qquad { \ mbox { khi } } j = 1, \ ldots, n. }f(\mathbf{v}_j) = \sum_{i=1}^m a_{i,j} \mathbf{w}_i\qquad\mbox{khi }j=1,\ldots,n.

Nói cách khác, cột j của A biểu diễn ảnh của vj theo các vectơ cơ sở wi của W; vì thế mối liên hệ này xác định một cách duy nhất các phần tử của ma trận A. Chú ý rằng ma trận phụ thuộc vào cách lựa chọn cơ sở: chọn cơ sở khác nhau sẽ cho các ma trận khác nhau nhưng tương đương.[76] Nhiều khái niệm cụ thể nêu ở trên có thể được giải thích lại theo cách này, ví dụ, ma trận chuyển vị AT miêu tả chuyển vị của một ánh xạ tuyến tính cho bởi A, mà liên quan tới cơ sở đối ngẫu.[77]

Những tính chất này có thể được phát biểu lại theo một cách tự nhiên hơn: phạm trù của mọi ma trận với phần tử trong một trường

k

{\displaystyle k}

k trang bị phép nhân như là tổ hợp tương đương với phạm trù của không gian vectơ hữu hạn chiều và ánh xạ trên trường này.

Tổng quát hơn, tập hợp các ma trận m×n có thể dùng để biểu diễn ánh xạ tuyến tính R giữa những mô đun tự do RmRn cho một vành bất kỳ R với phần tử đơn vị. Khi hợp n = m của những ánh xạ này xảy ra sẽ đưa đến vành ma trận của các ma trận n×n biểu diễn cho vành tự đẳng cấu của Rn.

Nhóm ma trận[sửa|sửa mã nguồn]

Nhóm là một cấu trúc toán học chứa một tập hợp các đối tượng cùng với một phép toán hai ngôi, tức là phép toán kết hợp hai đối tượng bất kỳ cho kết quả một đối tượng thứ ba mà tuân theo những đòi hỏi nhất định.[78] Một nhóm trong đó các đối tượng là những ma trận và phép toán nhóm là phép nhân ma trận được gọi là nhóm ma trận.[nb 2][79] Vì trong nhóm mỗi phần tử đều phải có phần tử nghịch đảo của nó, nhóm ma trận tổng quát nhất là những nhóm chứa mọi ma trận khả nghịch trong số chiều cho trước, hay còn gọi là nhóm tuyến tính tổng quát.

Bất kỳ đặc thù nào của ma trận được bảo toàn dưới phép nhân ma trận và phép nghịch đảo hoàn toàn có thể được sử dụng để định nghĩa ra một nhóm ma trận. Ví dụ, ma trận với kích cỡ cho trước và định thức bằng 1 tạo thành nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát, gọi là nhóm tuyến tính đặc biệt quan trọng. [ 80 ] Ma trận trực giao xác lập bằng điều kiện kèm theo

MTM = I,

tạo thành nhóm trực giao.[81] Mỗi nhóm trực giao có định thức bằng 1 hoặc −1. Các ma trận trực giao có định thức bằng 1 tạo thành một nhóm con gọi là nhóm trực giao đặc biệt.

Mỗi nhóm hữu hạn là phép đẳng cấu vào một nhóm ma trận, mà tất cả chúng ta hoàn toàn có thể coi là màn biểu diễn chính quy của nhóm đối xứng. [ 82 ] Nhóm tổng quát hoàn toàn có thể được nghiên cứu và điều tra trải qua nhóm ma trận, mà những nhà đại số đã hiểu khá tốt về chúng, trải qua kim chỉ nan màn biểu diễn. [ 83 ]

Ma trận vô hạn[sửa|sửa mã nguồn]

Cũng hoàn toàn có thể coi ma trận có vô số hàng và / hoặc cột [ 84 ] ngay cả khi là những đối tượng người dùng vô hạn, người ta không hề viết ra những ma trận như vậy một cách rõ ràng. Tất cả những gì quan trọng là so với mọi thành phần trong những hàng tập chỉ mục và mọi thành phần trong những cột tập chỉ mục đều có một mục nhập được xác lập rõ ràng ( những tập chỉ mục này thậm chí còn không cần phải là tập con của những số tự nhiên ). Các phép toán cơ bản của cộng, trừ, nhân vô hướng và chuyển vị vẫn hoàn toàn có thể được xác lập mà không gặp yếu tố gì ; tuy nhiên phép nhân ma trận hoàn toàn có thể tương quan đến những phép tổng vô hạn để xác lập những mục nhập hiệu quả và chúng không được định nghĩa nói chung .

Nếu R là bất kỳ vành nào có sự thống nhất, sau đó là vành của các biến thể

M
=

i

I

R

{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}R}

{\displaystyle M=\bigoplus _{i\in I}R} như một mô-đun bên phải R là đẳng cấu với vòng của ma trận hữu hạn cột

C
F
M

I

(
R
)

{\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)}

{\displaystyle \mathbb {CFM} _{I}(R)} có mục nhập được chỉ mục bởi

I
×
I

{\displaystyle I\times I}

{\displaystyle I\times I} và mỗi cột chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0. Các tự đồng cấu của M được coi là kết quả mô-đun R bên trái trong một đối tượng tương tự, ma trận hữu hạn hàng

R
F
M

I

(
R
)

{\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)}

{\displaystyle \mathbb {RFM} _{I}(R)} mà mỗi hàng chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0.

Nếu ma trận vô hạn được sử dụng để mô tả bản đồ tuyến tính thì chỉ những ma trận đó mới có thể được sử dụng cho tất cả các cột của chúng có trừ một số hữu hạn các mục nhập khác 0, vì lý do sau. Đối với ma trận A để mô tả ánh xạ tuyến tính f: VW, căn cứ cho cả hai không gian phải được chọn; nhớ lại rằng theo định nghĩa, điều này có nghĩa là mọi vectơ trong không gian có thể được viết duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính (hữu hạn) của các vectơ cơ sở, do đó được viết dưới dạng vectơ (cột)  v của hệ số, chỉ có hữu hạn mục nhậpvi là số khác 0. Bây giờ các cột của A mô tả hình ảnh bằng f của các vectơ cơ sở riêng lẻ của V trong cơ sở của W, điều này chỉ có ý nghĩa nếu các cột này chỉ có hữu hạn nhiều mục khác. Tuy nhiên, không có hạn chế đối với các hàng của A: trong kết quả A·v chỉ có hữu hạn hệ số khác 0 của v có liên quan, vì vậy mỗi một trong số các mục nhập của nó, ngay cả khi nó được cho dưới dạng tổng vô hạn của các tích, chỉ liên quan đến rất nhiều số hạng khác nhau và do đó được xác định rõ ràng. Hơn nữa, điều này dẫn đến việc hình thành một tổ hợp tuyến tính của các cột A mà chỉ liên quan đến hữu hạn trong số chúng một cách hiệu quả, trong khi kết quả chỉ có hữu hạn mục nhập khác 0 vì mỗi cột đó đều có. Kết quả của hai ma trận thuộc loại đã cho được xác định rõ ràng (với điều kiện là bộ chỉ mục cột và chỉ số hàng khớp với nhau), có cùng kiểu và tương ứng với thành phần của bản đồ tuyến tính.

Nếu R là vành định mức thì điều kiện về tính hữu hạn của hàng hoặc cột có thể được nới lỏng. Với quy chuẩn được đưa ra, chuỗi hoàn toàn hội tụ có thể được sử dụng thay cho các tổng hữu hạn. Ví dụ, ma trận có tổng cột là chuỗi hội tụ tuyệt đối tạo thành một vành. Tương tự, các ma trận có tổng hàng là chuỗi hội tụ tuyệt đối cũng tạo thành một vành.

Ma trận vô hạn cũng hoàn toàn có thể được sử dụng để diễn đạt toán tử trên khoảng trống Hilbert, nơi phát sinh những câu hỏi quy tụ và liên tục, dẫn đến 1 số ít ràng buộc nhất định phải được áp đặt. Tuy nhiên, quan điểm rõ ràng về ma trận có khuynh hướng làm trộn lẫn yếu tố, [ 85 ] và những công cụ trừu tượng và can đảm và mạnh mẽ hơn của Giải tích hàm được sử dụng để thay thế sửa chữa .

Ma trận rỗng[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận rỗng được định nghĩa là ma trận với số hàng hoặc số cột (hoặc cả hai) bằng 0.[86][87] Khái niệm ma trận rỗng giúp giải quyết với những ánh xạ có sự tham gia của không gian vectơ không (zero vector space). Ví dụ, nếu A là ma trận 3 x 0 và B là ma trận 0 x 3, thì AB là ma trận không 3 x 3 tương ứng với ánh xạ rỗng từ không gian 3 chiều V vào chính nó, trong khi BA là ma trận 0 x 0. Không có ký hiệu chung cho ma trận rỗng, nhưng hầu hết các hệ thống đại số máy tính cho phép tạo ra và thực hiện tính toán với chúng. Định thức của ma trận 0 x 0 định nghĩa bằng 1 khi xét tới tích rỗng (empty product) xuất hiện trong công thức Leibniz cho định thức bằng 1. Giá trị này cũng tương thích với thực tế rằng ánh xạ đồng nhất từ không gian hữu hạn chiều nào vào chính nó đều có định thức bằng 1, một kết quả thường được coi là một phần của đặc trưng hóa của định thức.

Có rất nhiều ứng dụng của ma trận, cả trong toán học lẫn những ngành khoa học khác. Một số chỉ là tận dụng sự thuận tiện khi màn biểu diễn một cách ngắn gọn tập hợp số bên trong một ma trận. Ví dụ, trong triết lý game show và kinh tế tài chính học, ma trận tiền trả ( payoff matrix ) chứa số tiền trả của hai người chơi, phụ thuộc vào vào tập hợp ( hữu hạn ) những năng lực mà người chơi sẽ chọn. [ 88 ] Khai thác văn bản và những ý điển tự động hóa chỉnh sửa và biên tập sử dụng những ma trận thành phần văn bản ( document-term matrix ) như tf-idf để lưu lại tần suất một từ nhất định Open trong một vài văn bản. [ 89 ]Có thể màn biểu diễn số phức trải qua một ma trận thực 2 x 2 dưới đây

a + i b ↔ [ a − b b a ], { \ displaystyle a + ib \ leftrightarrow { \ begin { bmatrix } a và – b \ \ b và a \ end { bmatrix } }, }a + ib \leftrightarrow \begin{bmatrix}
a & -b  \\
b & a \end{bmatrix},

mà tương ứng phép cộng và nhân mỗi số phức chính là phép cộng và nhân mỗi ma trận. Ví dụ, ma trận quay 2 x 2 trình diễn phép nhân với 1 số ít phức có giá trị tuyệt đối bằng 1, như ở trên. Cách lý giải này cũng tựa như so với quaternion [ 90 ] và đại số Clifford nói chung .Những kỹ thuật mã hóa bắt đầu như mật mã Hill cũng vận dụng kim chỉ nan ma trận. Tuy nhiên, do thực chất tuyến tính của ma trận, những mã này bị phá tương đối dễ. [ 91 ] Đồ họa máy tính sử dụng ma trận để vừa màn biểu diễn ma trận và để giám sát sự đổi khác của những đối tượng người tiêu dùng sử dụng ma trận quay aphin để đạt được những tác vụ như chiếu một vật thể ba chiều lên màn hình hiển thị hai chiều, tương ứng với góc quan sát triết lý của một camera. [ 92 ] Ma trận trên một vành đa thức có vai trò quan trọng so với kim chỉ nan tinh chỉnh và điều khiển .Hóa học vận dụng ma trận theo nhiều cách khác nhau, đặc biệt quan trọng từ khi ứng dụng cơ học lượng tử để nghiên cứu và điều tra link phân tử và phổ học. Các ví dụ gồm có ma trận xen kẽ ( overlap matrix ) và ma trận Fock sử dụng để giải phương trình Roothaan nhằm mục đích tìm ra obitan phân tử theo giải pháp Hartree – Fock .

Lý thuyết đồ thị[sửa|sửa mã nguồn]

[ 1 1 0 1 0 1 0 1 0 ]. { \ displaystyle { \ begin { bmatrix } 1 và 1 và 0 \ \ 1 và 0 và 1 \ \ 0 và 1 và 0 \ end { bmatrix } }. }\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0
\end{bmatrix}.Một đồ thị vô hướng với ma trận kềMa trận kề của một đồ thị hữu hạn là khái niệm cơ bản trong triết lý đồ thị. [ 93 ] Nó trình diễn hai đỉnh bất kể trong đồ thị có được nối với nhau bằng cạnh của đồ thị hay không. Ma trận chỉ chứa hai giá trị ( 1 và 0 có nghĩa lần lượt ” có ” và ” không ” ) được gọi là ma trận lôgic. Ma trận khoảng cách chứa thông tin về khoảng cách giữa những cạnh. [ 94 ] Những khái niệm này được vận dụng cho những website liên kết bởi siêu link hoặc những thành phố liên kết bằng những con đường vv, mà trong hầu hết những trường hợp ( ngoại trừ mạng lưới link rất rậm rạp ) ma trận thường là thưa, nghĩa là nó chỉ chứa vài thành phần khác 0. Do vậy, những thuật toán ma trận sửa đổi hoàn toàn có thể vận dụng cho triết lý mạng .

Giải tích và hình học[sửa|sửa mã nguồn]

Ma trận Hesse của hàm số khả vi ƒ: RnR chứa đạo hàm bậc hai của ƒ với các thành phần tọa độ, tức là[95]

H ( f ) = [ ∂ 2 f ∂ x i ∂ x j ]. { \ displaystyle H ( f ) = \ left [ { \ frac { \ partial ^ { 2 } f } { \ partial x_ { i } \, \ partial x_ { j } } } \ right ]. }H(f) = \left [\frac {\partial^2f}{\partial x_i \, \partial x_j} \right ].

Nó mã hóa thông tin về độ biến thiên cục bộ của hàm số: tại một điểm tới hạn x = (x1, …, xn), là điểm mà đạo hàm riêng bậc nhất


f

/

x

i

{\displaystyle \partial f/\partial x_{i}}

\partial f / \partial x_i của ƒ triệt tiêu, hàm số có giá trị cực tiểu nếu ma trận Hess là xác định dương. Quy hoạch toàn phương có thể được sử dụng để tìm cực tiểu hay cực đại toàn cục của các hàm số toàn phương liên hệ mật thiết với ma trận gắn với chúng (xe ở trên).[96]

Một ma trận khác thường được sử dụng trong các vấn đề hình học đó là ma trận Jacobi của ánh xạ khả vi f: RnRm. Nếu f1,…, fm ký hiệu là các thành phần của f, thì ma trận Jacobi xác định bởi [97]

J ( f ) = [ ∂ f i ∂ x j ] 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. { \ displaystyle J ( f ) = \ left [ { \ frac { \ partial f_ { i } } { \ partial x_ { j } } } \ right ] _ { 1 \ leq i \ leq m, 1 \ leq j \ leq n }. }J(f) = \left [\frac {\partial f_i}{\partial x_j} \right ]_{1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n}.

Nếu n > m, và nếu hạng của ma trận Jacobi đạt giá trị lớn nhất bằng m, f là hàm khả nghịch tại điểm đó theo như định lý hàm ẩn.[98]

Các nhà toán học hoàn toàn có thể phân loại phương trình đạo hàm riêng bằng cách xét ma trận những thông số của những toán tử vi phân bậc cao nhất của phương trình. Đối với phương trình đạo hàm riêng eliptic ma trận này xác lập dương và có ảnh hưởng tác động quyết định hành động đến tập hợp nghiệm khả dĩ của bài toán tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng. [ 99 ]Phương pháp thành phần hữu hạn là một giải pháp số quan trọng để giải phương trình đạo hàm riêng, được ứng dụng thoáng rộng trong việc mô phỏng những mạng lưới hệ thống thực phức tạp. Phương pháp này nhìn nhận giao động nghiệm của phương trình bằng cách phân loại phương trình thành những hàm tuyến tính, mà những hàm này được chọn để lưới tạo ra đủ mịn, mà từ đó hoàn toàn có thể viết phương trình dưới dạng phương trình ma trận. [ 100 ]

Lý thuyết Phần Trăm và thống kê[sửa|sửa mã nguồn]

[. 7 0. 3 1 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix }. 7 và 0 \ \. 3 và 1 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}.7&0\\.3&1\end{bmatrix} [. 7. 2. 3. 8 ] { \ displaystyle { \ begin { bmatrix }. 7 và. 2 \ \. 3 và. 8 \ end { bmatrix } } }\begin{bmatrix}.7&.2\\.3&.8\end{bmatrix} Hai xích Markov khác nhau. Đồ thị biểu lộ số hạt ( trong tổng số 1000 ) ở trạng thái ” 2 “. Cả hai giá trị số lượng giới hạn được xác lập từ ma trận chuyển tiếp, lần lượt là ( đỏ ) và ( đen ) .Ma trận quy trình ngẫu nhiên là những ma trận vuông mà những hàng của nó là những vectơ Phần Trăm, tức là vectơ có những thành phần không âm và tổng của chúng bằng 1. Ma trận ngẫu nhiên được sử dụng để tìm xích Markov với những trạng thái hữu hạn. [ 101 ] Một hàng của ma trận ngẫu nhiên cho phân bổ Phần Trăm của vị trí tiếp theo của một số ít hạt ở trong trạng thái tương ứng với hàng đó. Các đặc thù của xích Markov giống như điểm mê hoặc ( attractor ), những điểm trạng thái mà những hạt ở đầu cuối đạt tới, hoàn toàn có thể được suy ra từ những vectơ riêng của ma trận chuyển tiếp. [ 102 ]

Lý thuyết thống kê cũng áp dụng ma trận trong nhiều dạng khác nhau.[103] Thống kê mô tả đề cập tới tập hợp dữ liệu được mô tả, mà chúng được biểu diễn bằng các ma trận dữ liệu, sau đó các nhà thống kê sử dụng những kỹ thuật “thu giảm số biến” (dimensionality reduction” để khảo sát các ma trận này. Ma trận hiệp phương sai mã hóa phương sai tương hỗ của các biến ngẫu nhiên.[104] Các kỹ thuật khác sử dụng ma trận là bình phương tối thiểu, một phương pháp xấp xỉ tập hợp hữu hạn những cặp điểm (x1, y1), (x2, y2),…, (xN, yN), bằng một hàm số tuyến tính

yiaxi + b, i = 1,…, N do chúng có thể được thiết lập dựa trên ngôn ngữ của lý thuyết ma trận, với liên hệ đến kỹ thuật phân tích thành tích các ma trận giá trị riêng đặc biệt (singular value decomposition).[105]

Ma trận ngẫu nhiên là ma trận với thành phần là những số ngẫu nhiên, tương thích cho nghiên cứu và điều tra đặc thù phân bổ Xác Suất, như là ma trận phân bổ chuẩn. Ngoài kim chỉ nan Xác Suất, chúng còn được vận dụng trong khoanh vùng phạm vi từ triết lý số tới vật lý học. [ 106 ] [ 107 ]

Đối xứng và những đổi khác trong vật lý học[sửa|sửa mã nguồn]

Các biến hóa tuyến tính và những đối xứng đi kèm đóng vai trò quan trọng trong vật lý tân tiến. Ví dụ, những hạt cơ bản trong triết lý trường lượng tử được phân loại nhờ những màn biểu diễn của nhóm Lorentz trong thuyết tương đối hẹp và, đơn cử hơn, bởi ứng xử của chúng dưới nhóm spin. Những màn biểu diễn tường minh gồm có ma trận Pauli và ma trận gamma tổng quát hơn là phần tích phân của miêu tả vật lý so với fermion, mà hoạt động giải trí như là spinor. [ 108 ] Đối với ba loại quark nhẹ nhất, hoàn toàn có thể trình diễn chúng bằng nhóm unita đặc biệt quan trọng SU ( 3 ) ; và những nhà vật lý sử dụng ma trận trình diễn thuận tiện gọi là ma trận Gell-Mann khi thống kê giám sát tương quan, ma trận này cũng được sử dụng cho nhóm chuẩn SU ( 3 ) mà nó trở thành cơ sở cho kim chỉ nan miêu tả về tương tác mạnh, sắc động lực học lượng tử. Ma trận Cabibbo – Kobayashi – Maskawa, trình diễn trạng thái cơ bản những quark khi tham gia vào tương tác yếu, nó không giống như ma trận Gell-Mann, nhưng có liên hệ tuyến tính với trạng thái cơ bản những quark xác lập lên hạt tổng hợp với đặc thù và khối lượng đơn cử. [ 109 ]

Tổ hợp tuyến tính của những trạng thái lượng tử[sửa|sửa mã nguồn]

Mô hình tiên phong về cơ học lượng tử ( Heisenberg, 1925 ) màn biểu diễn những toán tử của kim chỉ nan bằng những ma trận vô hạn chiều công dụng lên những trạng thái lượng tử. [ 110 ] Lý thuyết này còn được gọi là cơ học ma trận. Một ví dụ đơn cử đó là ma trận tỷ lệ đặc trưng cho trạng thái ” trộn ” của một hệ lượng tử như thể tổng hợp tuyến tính của những trạng thái riêng thuần tuý và cơ bản. [ 111 ]Ví dụ khác về ma trận trở thành công cụ quan trọng cho miêu tả những thí nghiệm tán xạ là hoạt động giải trí TT của vật lý hạt thực nghiệm : Những phản ứng va chạm xảy ra trong những máy gia tốc, nơi những hạt được cho va chạm cạnh tranh đối đầu vào nhau trong một miền va chạm nhỏ, với hiệu quả sau va chạm sinh ra những hạt mới, hoàn toàn có thể được miêu tả bằng tích vô hướng của trạng thái những hạt hình thành với tổng hợp tuyến tính của những hạt tham gia vào va chạm. Tổ hợp tuyến tính này cho bởi ma trận gọi là ma trận S, nó chứa mọi thông tin về những tương tác khả dĩ giữa những hạt tham gia vào va chạm. [ 112 ]

Dao động riêng[sửa|sửa mã nguồn]

Ứng dụng phổ cập của ma trận trong vật lý học là dùng để miêu tả hệ giao động điều hòa tuyến tính. Phương trình hoạt động của những hệ này hoàn toàn có thể miêu tả theo dạng ma trận, với ma trận khối lượng nhân với một vectơ tọa độ sẽ cho số hạng động học, ma trận lực nhân với vectơ chuyển dời vị trí sẽ cho đặc trưng của tương tác. Cách tốt nhất để thu được nghiệm của hệ phương trình đó là xác lập những vectơ riêng của hệ, hay những xê dịch riêng, bằng cách chéo hóa phương trình ma trận. Các kỹ thuật như thế này là quan trọng khi nghiên nghiên cứu và điều tra nội động lực phân tử : những xê dịch bên trong của hệ chứa những nguyên tử thành phần link với nhau. [ 113 ] Chúng cũng thiết yếu để miêu tả giao động cơ học, giao động trong mạch điện. [ 114 ]

Quang hình học[sửa|sửa mã nguồn]

Quang hình học sử dụng các ứng dụng của ma trận nhiều hơn. Trong lý thuyết xấp xỉ này, bản chất sóng của ánh sáng được bỏ qua. Mô hình kết quả trong đó tia sáng trở thành tia hình học. Nếu sự lệch của tia sáng bởi các quang cụ là nhỏ, tác dụng của một thấu kính hoặc dụng cụ phản xạ lên một tia sáng có thể được biểu diễn bằng tích của một vectơ hai thành phần với ma trận 2×2 gọi là ma trận chuyển tiếp tia (ray transfer matrix): các thành phần của vec tơ là độ dốc của tia sáng và khoảng cách của nó tới quang trục, trong khi ma trận mã hóa các tính chất của quang cụ. Thực sự có hai kiểu ma trận, trong đó ma trận khúc xạ miêu tả sự khúc xạ tại bề mặt thấu kính, và ma trận tịnh tiến miêu tả sự tịnh tiến của mặt phẳng tham chiếu tới mặt phẳng khúc xạ kề cận, nơi một ma trận khúc xạ khác được áp dụng.
Quang hệ, bao gồm tổ hợp các thấu kính và các dụng cụ phản xạ, được miêu tả đơn giản bằng ma trận từ tích các ma trận thành phần.[115]

Điện tử học[sửa|sửa mã nguồn]

Phương pháp nghiên cứu và phân tích dòng điện vòng ( mesh analysis ) truyền thống lịch sử trong điện tử học dẫn tới việc tìm nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính mà hoàn toàn có thể miêu tả bằng ma trận .

Hoạt động của nhiều linh kiện điện tử được miêu tả bằng ma trận. Nếu A là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp vào v1 và dòng vào i1, gọi B là một vec tơ 2 chiều với các thành phần của nó là điện áp ra v2 và dòng ra i2. Thì hoạt động của linh kiện điện tử được miêu tả bằng phương trình B = H A, với H là ma trận 2 x 2 chứa một phần tử trở kháng (h12), và một phần tử độ dẫn (admitance) (h21) và hai đại lượng không thứ nguyên (h11 và h22). Việc tính toán mạch điện thu về việc nhân các ma trận.

  1. ^ Eigen có nghĩa là “riêng” trong có nghĩa là ” riêng ” trong tiếng Đức và tiếng Hà Lan
  2. ^ Ngoài ra, nhóm yên cầu tập hợp và phép toán phải đóng so với nhóm tuyến tính tổng quát .

Tham khảo về vật lý[sửa|sửa mã nguồn]

  • Bohm, Arno (2001), Quantum Mechanics: Foundations and Applications, Springer, ISBN 0-387-95330-2
  • Burgess, Cliff; Moore, Guy (2007), The Standard Model. A Primer, Cambridge University Press, ISBN 0-521-86036-9
  • Guenther, Robert D. (1990), Modern Optics, John Wiley, ISBN 0-471-60538-7
  • Itzykson, Claude; Zuber, Jean-Bernard (1980), Quantum Field Theory, McGraw–Hill, ISBN 0-07-032071-3
  • Riley, Kenneth F.; Hobson, Michael P.; Bence, Stephen J. (1997), Mathematical methods for physics and engineering, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55506-X
  • Schiff, Leonard I. (1968), Quantum Mechanics (ấn bản 3), McGraw–Hill
  • Weinberg, Steven (1995), The Quantum Theory of Fields. Volume I: Foundations, Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7
  • Wherrett, Brian S. (1987), Group Theory for Atoms, Molecules and Solids, Prentice–Hall International, ISBN 0-13-365461-3
  • Zabrodin, Anton; Brezin, Édouard; Kazakov, Vladimir; Serban, Didina; Wiegmann, Paul (2006), Applications of Random Matrices in Physics (NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry), Berlin, DE; New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 978-1-4020-4530-1

Tham khảo về lịch sử vẻ vang[sửa|sửa mã nguồn]

Liên kết ngoài[sửa|sửa mã nguồn]

Bách khoa toàn thư
Lịch sử
Sách trực tuyến
Phần mềm tính ma trận trực tuyến

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay

Rate this post
Xem thêm  Bài giảng Phát triển ứng dụng web - Giới thiệu - Lê Đình Thanh - Tài liệu, Luận văn

Bài viết liên quan

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.