Ứng dụng của Đại số tuyến tính

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.22 MB, 63 trang )

TS. THIỀU ĐÌNH PHONG
KHOA SP TOÁN HỌC – TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

MỘT SỐ ỨNG DỤNG
CỦA ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

Tài liệu lưu hành nội bộ, Nghệ An – 2016

MỤC LỤC
1.

Phát triển tư duy trừu tượng

2

2.

Ứng dụng trong Hóa học

3

3.

Ứng dụng trong Lý thuyết mã

5

4.

Dao động điều hòa

10

5.

Ứng dụng trong Mật mã

16

6.

Ứng dụng trong mô hình input-output của Leonfief

18

7.

Ứng dụng trong Lý thuyết khử

22

8.

Ứng dụng trong Di truyền học

26

9.

Ứng dụng trong Hình học

28

10.

Ứng dụng trong Lý thuyết đồ thị

32

11.

Ứng dụng trong Phân bố nhiệt độ

38

12.

Ứng dụng trong Nén ảnh

44

13.

Ứng dụng trong Mạng lưới

50

14.

Ứng dụng trong Xã hội học

53

15.

Nhận diện khuôn mặt

55

16.

Ứng dụng trong xích Markov

60

1

PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRỪU TƯỢNG

Trong khi đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tế cuộc sống, nó cũng có
khía cạnh thanh lịch của nó, khía cạnh trừu tượng. Khía cạnh này của môn học có
một ứng dụng thực tế trong cuộc sống đó là giúp phát triển tư duy và ngôn ngữ. Tại
nhiều thời điểm trong quá trình công việc của bạn, bạn sẽ cần phải giải thích cho
người khác hiểu những gì bạn đang làm, và thực sự lý do tại sao bạn đang làm nó.
Các “người khác” có thể bao gồm những người quản lý số tiền bạn cần đầu tư cho
dự án của bạn. Thành công đòi hỏi phải có kỹ năng giao tiếp tốt, và chìa khóa để
thuyết phục những người khác là phải rõ ràng về mặt ý tưởng của bạn. Một điều bạn
có thể học hỏi từ các định nghĩa, định lý và chứng minh bạn sẽ thấy trong Đại số
tuyến tính (và trong bất kỳ lĩnh vực nào của toán học thuần túy) là làm thế nào để có

tư duy rõ ràng và thể hiện rõ bản thân mình, để tránh sự hiểu lầm và nhầm lẫn. Bạn
sẽ tìm thấy, trong việc học đại số tuyến tính, việc thực hành của bạn trong việc phân
loại ra các ý tưởng (một số trong đó lúc đầu sẽ có vẻ khá kỳ lạ) sẽ giúp bạn tư duy
một cách rõ ràng rành mạch. Trong thực tế, điều đó có thể còn quan trọng hơn nhiều
so với bất kỳ kỹ năng kỹ thuật đặc biệt nào mà bạn có.
Một lợi thế mà Đại số tuyến tính có được hơn các môn học khác trong việc
nâng cao khả năng tư duy, đó là hầu hết các khái niệm, tính chất của Đại số tuyến
tính đều có một giải thích hình học tương ứng. Trong không gian chiều thấp, người
ta có thể “hình học hóa” các kết quả đại số tuyến tính, và điều ngược lại cũng đúng:
đại số tuyến tính sẽ giúp phát triển các tố chất hình học của bạn. Trực giác hình học
bạn đã có sẽ được bổ sung bằng một “hình ảnh đại số”, cái mà sẽ cho phép bạn, trong
thực tế, có thể “nhìn thấy” trong không gian chiều cao hơn những cái mà các giác
quan thông thường của chúng ta không thể tiếp cận được.

2

ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌC

Ứng dụng 1: Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợp
chất hóa học nào đó. A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệt
trước khi chúng kết hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học. Biết rằng nếu kết hợp dung
dịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g/cm3 với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g/cm3 và dung dịch
chứa C với tỉ lệ 5.3 g/cm3 thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó. Nếu tỉ lệ của A, B,
C trong phương án này thay đổi thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g/cm3 (trong khi thể
tích là giống nhau), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra. Cuối cùng, nếu tỉ lệ
tương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g/cm3, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất. Thể tích của dung
dịch chứa A, B và C là bao nhiêu?
Lời giải Gọi x, y, z tương ứng là thể tích (cm3) của phương án chứa A, B và C. Khi
đó 1.5x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 3.6y là khối lượng của B và 5.3z

là khối lượng của C. Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 25.07 g. Do đó
1,5 x  3,6 y  5,3z  25,07.
Tương tự cho hai trường hợp còn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính
 1,5 x  3,6 y  5,3z  25,07

2,5 x  4,3 y  2,4 z  22,36
 2,7 x  5,5 y  3,2 z  28,14

Ma trận bổ sung của hệ này là
 1,5 3,6 5,3 25,07 
 2,5 4,3 2,4 22,36  .


2,7 5,5 3,2 28,14 
Biến đổi ma trận trên cho ta nghiệm là
x  1,5; y  3,1; z  2,2.
Ứng dụng 2 Một ứng dụng tiêu biểu khác của hệ phương trình tuyến tính trong hóa
học chính là việc cân bằng các phương trình phản ứng hóa học. Nguồn gốc của
nó chính là Định luật bảo toàn khối lượng được phát biểu như sau:
“Khối lượng không được tạo ra cũng không bị phá hủy trong bất kỳ phản ứng
hóa học nào. Do đó việc cân bằng phương trình phản ứng hóa học đòi hỏi cùng một
số lượng nguyên tử trên cả hai vế của một phản ứng hóa học. Khối lượng của tất cả
các chất phản ứng (các chất đi vào một phản ứng) phải bằng khối lượng của sản
phẩm (các chất được sản xuất bởi các phản ứng).”
3

Một ví dụ chẳng hạn như việc xét phương trình hóa học sau đây:
C2H6 + O2 → CO2 + H2O.
Cân bằng phương trình phản ứng này đồng nghĩa với việc tìm các giá trị x, y, z và t

sao cho số lượng các nguyên tử của mỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế của
phương trình:
xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O.
Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính sau:
2x  z

6 x  2t
 2 y  2 z  t.

Nghiệm tổng quát của hệ trên là
7

y

x

2

 z  2x
 t  3 x.


Do chúng ta đang tìm các giá trị của các biến x, y z, và t, nên chọn x=2 ta thu được
y=7, z= 4 và t=6. Phương trình cân bằng là:
2C2H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2O.

4

ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MÃ

1. Giới thiệu
Các thông điệp được truyền đi, như dữ liệu từ một vệ tinh, luôn là những thông
tin đã bị gây nhiễu. Do đó, một điều quan trọng đó là khả năng để mã hóa một tin
nhắn theo cách mà sau khi tiếng ồn đã gây nhiễu nó, nó có thể được giải mã về dạng
chính thống ban đầu. Điều này được thực hiện đôi khi bằng cách lặp lại tin nhắn hai
hoặc ba lần, một điều rất phổ biến trong các bài phát biểu của con người. Tuy nhiên,
việc sao chép dữ liệu được lưu trữ trên một đĩa nhỏ gọn, hoặc một đĩa mềm một hoặc
hai lần đòi hỏi thêm không gian để lưu trữ. Trong ứng dụng của ĐSTT này, chúng
ta sẽ xem xét cách thức giải mã một thông điệp sau khi nó bị bóp méo bởi một số
loại tiếng ồn. Quá trình này được gọi là mã hóa. Một mã phát hiện lỗi trong một tin
nhắn bị gây nhiêu được gọi là phát hiện lỗi. Nếu, thêm vào đó, nó có thể sửa lỗi thì
nó được gọi là sửa lỗi. Sẽ là khó khăn hơn nhiều để tìm cách sửa lỗi hơn so với các
mã phát hiện lỗi.
2. Một số kỹ thuật mã hóa cơ bản
Hầu hết các tin nhắn được gửi đi dưới dạng các dãy ký tự của 0 và 1, chẳng
hạn như 10101 hoặc 1010011, nên giả sử rằng chúng ta muốn gửi tin nhắn 1011.
“Từ” nhị phân này có thể thay cho một từ thực tế, chẳng hạn như mua, hoặc một câu
như mua cổ phiếu. Một cách để mã hóa 1011 sẽ là việc đính kèm một “đuôi” nhị
phân vào nó để sao cho nếu nó bị bóp méo, chẳng hạn như, 0011, chúng ta có thể
phát hiện các lỗi. Một trong những cái đuôi có thể là 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việc
chúng ta có lẻ hoặc một số chẵn của 1 trong các từ. Bằng cách này, tất cả các từ mã
hóa sẽ có một số chẵn của 1. Vì vậy, 1011 sẽ được mã hóa như 10111. Bây giờ nếu
tin nhắn bị bóp méo đến 00.111 chúng ta biết rằng một lỗi đã xảy ra, bởi vì chúng ta
chỉ nhận được một số lẻ của 1. Mã phát hiện lỗi này được gọi là kiểm tra ngang hàng
và nó quá đơn giản để có thể hữu ích. Ví dụ, nếu hai chữ số đã được thay đổi, chương
trình của chúng ta sẽ không phát hiện các lỗi, vì vậy điều này chắc chắn không phải
là một mã sửa lỗi. Một phương pháp khác đó là việc mã hóa thông điệp bằng cách
lặp lại nó hai lần, chẳng hạn như 10111011. Sau đó, nếu ta nhận được là 00.111.011,
chúng ta biết rằng một trong hai phần bằng nhau đã bị bóp méo. Nếu chỉ có một lỗi

xảy ra, sau đó nó rõ ràng ở vị trí 1. là chương trình mã hóa này cũng cho kết quả
thấp và không thường được sử dụng. Chúng ta có thể có được kết quả tốt hơn bằng
cách lặp lại thông điệp nhiều lần, nhưng sẽ mất không gian và thời gian.
5

3. Một kỹ thuật mã hóa nâng cao: Mã Hamming
Trong những năm 1950, R.H. Hamming đã giới thiệu một mã sửa lỗi đơn thú
vị cái mà trở thành một mã được biết đên với tên gọi là mã Hamming. Trước khi
chúng ta có thể kiểm tra chi tiết của kỹ thuật đó, chúng ta cần một vài kiến thức nền
tảng từ đại số tuyến tính.
Không gian vectơ trên 2
Trong một khóa học đại số tuyến tính năm nhất tiêu biểu, lúc sinh viên được
giới thiệu khái niệm của một không gian vectơ, từ “vô hướng” có nghĩa là một số
thực hoặc một số phức. Điều này có thể được tổng quát tới một phần tử bất kỳ của
một trường cho trước.
Một trường là một tập F với hai phép toán, cộng và nhân, thỏa mãn các tiên
đề sau đây:
1. Phép cộng khép kín: nếu x, y thuộc F, thì x+y cũng thuộc F.
2. Phép nhân khép kín: nếu x, y thuộc F, thì xy cũng thuộc F.
3. Phép cộng có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì (x+y)+z=x+(y+z)
4. Phép nhân có tính kết hợp: nếu x, y, z thuộc F, thì (xy)z=x(yz)
5. Luật phân phối: nếu x, y, z thuộc F, thì x(y+z)=xy+yz
6. Tồn tại phần tử 0: một phần tử của F thỏa mãn x+0=x với mọi x thuộc F
7. Tồn tại phần tử 1: một phần tử của F thỏa mãn x.1=x với mọi x thuộc F
8. Tồn tại phần tử đối: Nếu x thuộc F, thì tồn tại y thuộc F sao cho x+y=0
9. Tồn tại phần tử nghịch đảo của phần tử khác 0: Nếu x khác 0 và thuộc F
thì tồn tại một phần tử y thuộc F sao cho xy=1.
10. Luật giao hoán của phép cộng: Nếu x, y thuộc F, thì x+y=y+x
11. Luật giao hoán của phép nhân: Nếu x, y thuộc F, thì xy=yx.

Ví dụ của trường như
phức), và

p

(tập các số hữu tỷ),

(tập các số thực),

(tập các số

nếu p là một số nguyên tố (các số nguyên modulo một số nguyên tố

p):

 0,1,…,( p  1).

p

Đặc biệt, trong trường hợp p=2, trường
hai phần tử là 0 và 1, tức là

2

được ký hiệu bởi

2

. Nó bao gồm chỉ

 2  0,1 .
Trong Z2, phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau:
0+0=0;
1+0=1;
0+1=1;
1+1=0;
0.0=0;
1.0=0;
0.1=0;
1.1=1.
n
Nhắc lại rằng cấu trúc không gian vectơ của
trên xác định bởi hai phép toán
sau:
1. (x1,…, xn)+ (y1,…, yn)= (x1+ y1,…, xn+yn)
2. a(x1,…, xn)= (ax1,…,a xn) nếu a là một số thực.
2

6

Cấu trúc tương tự có thể được định nghĩa trên n2. Chúng ta trang bị n2 với phép
cộng và phép nhân với vô hướng (nhân với 0 và 1). Chẳng hạn, trong 52 chúng ta
có:
(1,0,1,1,0) + (0,1,1,1,1) = (1,1,0,0,1),
0.(1,1,0,1,0) = (0,0,0,0,0).
n
Khi đó, 2 trở thành một không gian vectơ trên trường 2 (phép nhân ở đây là với
0 và 1). Tất cả các khái niệm cơ bản của không gian vectơ như độc lập tuyến tính,
tập các tổ hợp tuyến tính, không gian con, chiều, không gian hàng, không gian

không, …. đều áp dụng được trong trường hợp này. Điểm khác biệt lớn nhất với
không gian vectơ n là n2 chứa một số hữu hạn các vectơ, cụ thể là 2n vectơ.
4. Mã Hamming (7,4)
Cho trước hai số nguyên k≤ n, một không gian con của n2 với chiều k được
gọi là một (n,k) mã tuyến tính. Các phần tử của một mã tuyến tính được gọi là các
từ mã.
Xét ma trận H trên 2 gồm các cột c1, …, c7 là các vectơ khác không của 32 :
0 0 0 1 1 1 1
H  0 1 1 0 0 1 1 .
1 0 1 0 1 0 1
Không gian không, Null(H) (còn được gọi là hạt nhân), của H được gọi là một mã
Hamming (7,4). Nhắc lại rằng Null(H) không gì khác là tập tất cả các nghiệm của
hệ phương trình tuyến tính thuần nhất HX=0 tương ứng với H. Ta nói rằng H là một
ma trận kiểm tra cho mã Null(H). Ta giải hệ phương trình HX=0 để xác định
Null(H).
Sử dụng phương pháp khử Gauss-Jordan (cùng với các phép toán số học của
chúng ta thu được dạng bậc thang của H như sau:
1 0 1 0 1 0 1
H  0 1 1 0 0 1 1 .
0 0 0 1 1 1 1

2

),

Và từ hạng của H bằng 3, chiều của Null(H) là 7-3=4. Thực ra, ta có thể dễ dàng chỉ
ra rằng
B  (1,0,0,0,0,1,1);(0,1,0,0,1,0,1);(0,0,1,0,1,1,0);(0,0,0,1,1,1,1)
là một cơ sở của Null(H) trên Z2.
Nhận xét Giả sử {e1,…,e7} là cơ sở chuẩn tắc của 72, khi đó Hei=ci với

mọi i=1,…,7, và do đó không có vectơ ei nào thuộc Null(H). Như là một hệ quả, ta
có hai nhận xét sau:
1. Nếu v là một vectơ của Null(H), thì v+ ei không thuộc Null(H) với i=1,2,…,7.
7

2. Nếu v là một vectơ của 72 sao cho Hv=ci với i nào đó, thì v+ ei là một vectơ
của Null(H). Hơn nữa, v+ ej không thuộc Null(H) với mọi j i.
Ma trận G gồm các hàng là các phần tử của cơ sở B được gọi là ma trận phần tử sinh
của mã Hamming (7,4):
1 0 0 0 0 1 1 
0 1 0 0 1 0 1 
.
G
0 0 1 0 1 1 0 


0 0 0 1 1 1 1 
Bây giờ chúng ta sẽ giải thích quá trình giải mã Hamming và sửa lỗi:
5. Thuật toán sửa lỗi với mã Hamming (7,4)
Giả sử rằng chúng ta muốn gửi một từ u bao gồm 4 ký tự u1 u2 u3 u4, và giả sử
rằng chúng ta biết trước rằng từ mã hóa có thể bị làm nhiễu bởi một việc thay đổi
chỉ một thành phần của nó. Gọi w là từ thu được.
1. Để mã hóa u, chúng ta tạo ra một tổ hợp tuyến tính v của các phần tử của cơ
sở B ở trên với 4 ký tự của u như là hệ số. Chú ý rằng v có thể đạt được từ từ
gốc bằng việc biểu diễn phép nhân ma trận v=[u1 u2 u3 u4]G, trong đó G là
ma trận ở trên. Bởi xây dựng này, vectơ v thuộc Null(H). Chú ý rằng
[u1 u2 u3 u4]G có thể cho ta một vectơ 7 ký tự trong đó 4 ký tự đầu biểu diễn
cho từ gốc.
2. Tính Hw, trong đó H là ma trận được mô tả ở trên.

3. Nếu Hw=0, thì w nằm trong Null(H). Do đó, một lỗi đơn có nghĩa là w không
thuộc Null(H) bằng chú ý đầu tiên ở trên. Chúng ta sẽ kết luận là không có sự
sai lệch ở đây và u là 4 ký tự đầu tiên của w.
4. Nếu Hw=ci với i nào đó, thì v+ ei là một vectơ của Null(H), và v+ ej không
thuộc Null(H) với mọi j  i. Điều này gợi ý một sự thay đổi thành phần thứ i
của w (từ 0 thành 1 hoặc từ 1 thành 0) và thu được một vectơ mới w’. Bốn ký
tự đầu của w’ biểu diễn cho từ u.
Ta cùng minh họa các bước trên bởi hai ví dụ sau đây:
Ví dụ 1 Giả sử chúng ta nhận được tin nhắn là w=1100011 được mã hóa bởi mã
Hamming (4, 7). Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi trong quá trình chuyển phát thông
tin, hãy tìm tin nhắn gốc.
Lời giải

8

Ta có

1 
1 
 
0  0 
 
H 0   1  .
0  0 
 
1 
1 

Từ Hw bằng cột thứ hai của H, thay thành phần thứ hai của w cho ta từ mã hóa

1000011. Chúng ta kết luận rằng tin nhắn gốc là 1000.
Ví dụ 2 Giả sử rằng chúng ta nhận được tin nhắn là w=0101010 được mã hóa bởi
mã Hamming (4, 7). Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi sai trong truyền tin, tìm tin
nhắn gốc.
Lời giải
0 
1 
 
0  0 
 
Ta có
H 1   0  .
0  0 
 
1 
0 
Từ Hw =0, không có lỗi nào trong quá trình truyền tin nhắn này, do đó từ gốc là
0101.
Trong kỹ thuật ở trên, các từ chúng ta gửi đi rất ngắn: chỉ 4 ký tự. Chỉ có 24 từ
như vậy. Trong thực tế, các tin nhắn điện tử chứa đựng rất nhiều ký tự. Một vấn đề
khác với mã Hamming (4, 7) đó là nó không thể nhận ra nhiều hơn một lỗi trong tin
nhắn được mã hóa. Với cuộc cách mạng điện tử của thời đại chúng ta, ta có thể hình
dung ra rằng có nhiều kiểu mã hiệu quả hơn nhiều.

9

DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

Chúng ta sẽ tìm hiểu các dao động điều hòa của một chuỗi tuyến tính các cơ

quan không tương tác đồng nhất kết nối với mỗi cái khác và với các thiết bị đầu cuối
cố định bởi các lò xo đồng nhất.
Đầu tiên, chúng ta nhắc lại Định luật II Newton về chuyển động:
Định luật II Newton về chuyển động
Tất cả mọi người một cách vô thức đều biết Luật này. Ta đều biết rằng các
vật nặng hơn đòi hỏi nhiều lực hơn để di chuyển cùng một khoảng cách so với các
vật nhẹ hơn. Định luật thứ hai này, tuy nhiên, cho chúng ta một mối quan hệ chính
xác giữa lực, trọng lượng, và gia tốc:
Khi một vật chịu tác động của các ngoại lực, thì gia tốc chuyển động của vật
tỉ lệ thuận với hợp lực của các ngoại lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật.
Định luật này được biết đến rộng rãi với phương trình sau đây:
F  ma.

trong đó F là hợp lực, m là khối lượng của vật mà lực F tác động lên nó và a là gia
tốc của vật. Do gia tốc là đạo hàm cấp 2 của quãng đường tương ứng với thời gian,
định luật trên có thể phát biểu dưới dạng
F  mx ”
trong đó x ” là đạo hàm cấp hai của x đối với thời gian t.
Vận tốc, lực, và gia tốc có độ lớn và hướng tương ứng với chúng. Các nhà
khoa học và nhà toán học gọi đó là vectơ lượng (độ lớn cộng với hướng). Phương
trình ở trên thực tế là một phương trình vectơ và có thể được áp dụng trong mỗi một
hướng thành phần.
Một định luật thứ hai chúng ta cần là Định luật Hooke
Định luật Hooke được khám phá bởi nhà khoa học người Anh tên là Robert Hooke
vào năm 1660—nói rằng:
Lực tác dụng bởi một lò xo cuộn là tỷ lệ thuận với độ giãn của nó.
Hằng số của tỉ lệ này được gọi là hằng số lò xo. Độ giãn của lò xo là hiệu của độ dài
thực tế và độ dài tự nhiên của nó (tức là, độ dài của nó lúc không có lực tác động.
Lực tác động song song với trục của lò xo. Rõ rang, Định luật Hooke chỉ đúng nếu
độ giãn của lò xo là đủ bé. Nếu độ giãn quá lớn thì lò xo sẽ biến dạng vĩnh viễn,

10

hoặc thậm chí là gãy. Những trường hợp như vậy nằm ngoài phạm vi của Định luật
Hooke.

Chúng ta hãy xét một trường hợp đơn giản đầu tiên của một khối được gắn với một
lò xo có một đầu được gắn với một bức tường thẳng đứng:

Nếu x(t) là vị trí của vật m từ vị trí cân bằng tại thời điểm t và k là hằng số lò xo, khi
đó định luật thứ hai của Newton về chuyển động cùng với định luật Hooke suy ra:
mx ”  kx .
hoặc tương đương,
d2x k
 x  0.
dt 2 m
Đây là một trong những phương trình nổi tiếng nhất của vật lý. Nó được biết tới như
k
là phương trình điều hòa. Đặt w0 
, w0 được gọi là tần số của dao động.
m
Nghiệm của phương trình điều hòa được biết đến rộng rãi là
x(t )  A0 cos(w0t  t0 ). (1)
trong đó A0 là số thực dương biểu thị cho giá trị lớn nhất của x(t). Ta cũng có thể chỉ
ra rằng nghiệm của phương trình điều hòa có thể được viết dưới dạng
v
x (t )  x0 cos(w0t )  0 sin(w0t ),
w0
trong đó x0 và v0 tương ứng là các giá trị của vị trí ban đầu của vật và vận tốc tại t
=0 của nó. Chu kỳ của dao động được mô tả bằng công thức (1) là

2
T
w0
w
1
và đại lượng v0  0  được gọi là tần số tự nhiên của dao động.
2 T
Tiếp theo, ta cùng tìm hiểu một vài trường hợp phức tạp hơn của dao động.
1. Trường hợp 2 vật
Xét hai vật thể giống nhau được gắn vào các lò xo giống nhau trên mặt phẳng
không ma sát như sau:

Ở đây A và B đại diện cho vị trí cân bằng của hai vật. Giả sử x1(t) và x2(t) là khoảng
cách từ vị trí cân bằng của hai vật tại thời điểm t và k là hằng số lò xo.

11

Lực tác động lên vật đầu tiên có hai phần bởi Định luật Hooke: phần thứ nhất là –
kx1 do lò xo bên trái và phần thứ hai là k(x2-x1) do lò xo trung tâm. Hợp lực tác động
lên vật thứ nhất là
F1  kx1  k( x2  x1 )  2kx1  kx2 .
Tương tự, hợp lực tác động lên vật thứ hai là
F2  kx1  2kx2 .
Áp dụng Định luật II Newton của chuyển động cho ta hệ phương trình vi phân sau:
 mx1 ”  2kx1  kx2

mx2 ”  kx1  2kx2 .
Hệ này có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau:
 x1 ” 

k  2 1  x1 


(*)
 x ”
m  1 2   x2 
 2 
 2 1
Ta tìm giá trị riêng của ma trận A  
 của hệ phương trình trên.

1
2


Nhắc lại rằng giá trị riêng của A là các giá trị λ thỏa mãn phương trình:
det( A   I )  0,
trong đó I là ma trận đơn vị cùng cấp với A:
2
1
  1
det( A   I ) 
 0  (2   )2  1  0  
1 2  
  3.

a
Bây giờ ta tìm các vectơ riêng tương ứng. Nếu X    là một vectơ riêng của A ứng
b
với giá trị riêng 1, khi đó ta có AX=X, hoặc (A- I)X=0:

 1 1 0  1 1 0 
 1 1 0   0 0 0  .

 


1
Suy ra a=b. Do đó   là một cơ sở của không gian riêng ứng với 1. Tương tự, ta
1
 1
có thể chỉ ra rằng vectơ   là một cơ sở của không gian riêng tương ứng với 3.
1
1 0 
1 1 1
1
P
AP

D
,
khi
đó
,
trong
đó
D



0 3  .

2 1 1 


1
là dạng chéo hóa của ma trận A. Chú ý rằng A  PDP, nên phương trình (*) ở trên
trở thành
 x1 ” 
k 1 1 1 1 0  2  1 1  x1 


(**)
 x ”
m 2 1 1  0 3 2  1 1  x2 
 2 
Bây giờ, ta xét phép đổi biến như sau:
x  x2
 x  x2
y1  1
; y2  1
.
2
2

Đặt P 

12

y1  y2
y y

; x2  1 2 .
2
2
Lấy đạo hàm cấp 2 ta có
y ” y2 ”
y ” y2 ”
x1 ”  1
; x2 ”  1
.
2
2
Nên phương trình (**) ở trên trở thành
1 3  y1 
 y1 ” y2 ” 
2 
 y ” y ”  w0 1 3   y 

 2
 1
2 
sau khi rút gọn. Từ đó cho ta hệ phương trình điều hòa sau:
 y1 ”  w02 y1

2
 y2 ”  3w0 y2
là phương trình mà chúng ta biết cách giải bằng trường hợp đơn giản ở trên của một
vật đơn gắn vào một lò xo.

Suy ra x1 

Vậy, giải thích vật lý cho tất cả điều này là thế nào?
Sẽ không khó để thấy rằng có hai loại chuyển động đặc biệt mà ta có thể dễ dàng mô
tả như sau:
1
1. Ta xét lại vectơ riêng   ứng với giá trị riêng 1. Thực tế là các thành phần
1
bằng nhau cho chúng ta biết rằng x1 và x2 luôn bằng nhau. Do đó, hệ thống
dao động qua lại nhưng lò xo ở giữa là không bao giờ bị kéo dãn. Đó là, nếu
như chúng ta có hai vật, gắn liền với một lò xo hằng số k. Khi đó, dễ dàng
thấy rằng sau đó tần số dao động được cho bởi
k
w0 
 1w0 .
m
 1
2. Trong trường hợp của vectơ riêng thứ hai  , ta có x1 và x2 luôn bằng nhau
1
nhưng ngược hướng nhau. Như ta có thể đoán, điều này cho ta một loại chuyển
động “vào và ra”. Các tần số của hệ thống cũng có thể dự đoán trong trường
hợp này: mỗi vật được gắn vào một lò xo nén một khoảng cách x1 và lò xo
khác kéo dãn một khoảng cách 2×1. Đó là, nếu như vật được gắn vào một lò
xo đơn có hằng số là 3k. Chúng ta biết rằng các tần số trong trường hợp này
3k
 3w0 .
m
 1
Chú ý rằng   là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3, điều này giải thích tại
1
sao

3 xuất hiện trong tuần số ở trên.

13

Hai trường hợp đặc biệt này được gọi là các dạng chuẩn tắc của hệ thống. Như
ta có thể đoán, chúng có tính chất là nếu hệ thống bắt đầu ra ở một trong các chế độ
này, nó sẽ vẫ còn trong chế độ đó.
Tất nhiên, những vấn đề nêu trên liên quan đến hai vật có thể được giải quyết
mà không nói về vectơ riêng. Lợi ích của việc sử dụng các kỹ thuật đại số đó là rõ
ràng hơn trong các trường hợp phức tạp hơn hai vật.
2. Trường hợp 3 vật
Ta hãy xét trường hợp 3 vật:

Lặp lại cùng các suy luận như trường hợp trước cho ta hệ sau
 x1 ” 
 2 1 0   x1 
 x ”  w 2  1 2 1  x  .
0 
 2 
 2
 x3 ” 
 0 1 2   x3 
Với w0 

k
, như thông thường. Ta có thể chỉ ra rằng giá trị riêng của ma trận:
m
 2 1 0 
A   1 2 1

 0 1 2 

 1   1   1 
 
 
là 2  2, 2, 2  2 và  2 ,  0 ,  2  là các vectơ riêng tương ứng.
 1   1  1 
     
Một chuyển động có thể miêu tả dễ hơn là cái tương ứng với giá trị riêng là 2: Vật ở
giữa không di chuyển và hai vật khác di chuyển về hai phía ngược nhau. Mỗi một
vật trong các vật này có 2 lò xo được gắn vào, điều này giải thích giá trị riêng là 2.
Hai chuyển động khác có khó hơn một ít để miêu tả.
Bây giờ chúng ta hãy xem xét một ví dụ về sự rung động được mô tả bở sơ đồ sau:

Sử dụng k 

S
, hệ có thể được biểu diễn bởi phương trình ma trận:
mb
14

2 1   x 
 x ”
2 
 y ”   k  1 2   y 
 

 
trong đó, như thường lệ, ký hiệu x’’ là đạo hàm cấp 2 của x đối với thời gian.

Khi đó ta có
 2 1 
A  k2 

 1 2 
thì các giá trị riêng của nó là –k2 và -3k2, và các vectơ riêng tương ứng là:
1  1 
1,  1 .
   

Do đó, tần số chuẩn tắc của sự dao động là k, 3k và kiểu chuẩn tắc của sự rung
động. Do đó, tần số chuẩn tắc của sự rung chuyển k, 3k và dạng chuẩn tắc của dao
động như sau:

15

ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ

Mật mã học, với hầu hết mọi người, là việc giữ thông tin liên lạc một cách
riêng tư. Thực tế là, việc bảo vệ các thông tin liên lạc nhạy cảm đã được đặt là trọng
tâm của mật mã trong suốt quá trình lịch sử của nó. Mã hóa là việc chuyển đổi dữ
liệu vào một số hình thức không đọc được. Mục đích của nó là để đảm bảo sự riêng
tư bằng cách giữ các thông tin bí mật với bất cứ ai mà nó không có ý định truyền tải
đến, ngay cả những người có thể xem dữ liệu được mã hóa. Giải mã là quá trình
ngược lại của mã hóa; nó là sự chuyển đổi dữ liệu được mã hóa trở về một số hình
thức đọc được, hiểu được. Mã hóa và giải mã yêu cầu sử dụng một số thông tin bí
mật, thường được gọi là một chìa khóa. Tùy thuộc vào các cơ chế mã hóa được sử
dụng, các chìa khóa tương tự có thể được sử dụng cho cả mã hóa và giải mã, trong

khi đối với các cơ chế khác, các chìa khóa được sử dụng để mã hóa và giải mã có
thể khác nhau.
Ngày nay, các chính phủ sử dụng các phương pháp phức tạp để mã hóa và
giải mã các thông điệp. Một loại mã, mà rất khó để phá vỡ, được tạo ra bằng việc sử
dụng một ma trận lớn để mã hóa một thông điệp. Người nhận thông điệp giải mã nó
bằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận đó. Ma trận đầu tiên này được
gọi là ma trận mã hóa và nghịch đảo của nó được gọi là ma trận giải mã.
Ví dụ Giả sử thông điệp cần gửi là
PREPARE TO NEGOTIATE
Và ma trận mã hóa là
 3 3 4 
 0 1 1 .


 4 3 4 
Chúng ta gán một số cho mỗi chữ cái của bảng chữ cái. Để đơn giản, chúng ta hãy
gắn mỗi chữ cái với vị trí của nó trong bảng chữ cái: A là 1, B là 2, và cứ tiếp tục
như vậy. Ngoài ra, chúng ta chỉ định số 27 (nhớ là chúng ta chỉ có 26 chữ cái trong
bảng chữ cái) là cách trống giữa hai từ. Vì vậy, thông điệp trở thành:

16

Từ việc chúng ta đang sử dụng một ma trận cấp 3×3, chúng ta ngắt tin nhắn trên
thành một dãy của các vectơ cột gồm 3 hàng như sau:

Lưu ý rằng nếu cần thiết có thể thêm cách trống vào cuối của thông điệp để hoàn
thành vector cuối cùng. Bây giờ chúng ta mã hóa thông điệp bằng cách nhân mỗi
vectơ trên với ma trận mã hóa. Điều này có thể được thực hiện bằng cách viết các
vectơ trên như là các cột của ma trận và thực hiện các phép nhân ma trận đó ma trận

với ma trận mã hóa như sau:

Và ta nhận được ma trận

Các cột của ma trận này cung cấp cho các thông điệp được mã hóa. Thông điệp được
truyền đi dưới dạng tuyến tính như sau

Để giải mã thông điệp, người nhận viết chuỗi này như là một chuỗi của các ma trận
cột 3×1 và lặp lại kỹ thuật bằng việc sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận mã
hóa. Ma trận nghịch đảo của ma trận mã hóa này, hay ma trận giải mã, là:

Vì vậy, để giải mã thông điệp, thực hiện phép nhân ma trận

Ta nhận được ma trận

Các cột của ma trận này, được viết ở dạng tuyến tính, cho ta thông điệp ban đầu:

17

ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT LEONTIEF

Giới thiệu Để hiểu và có thể vận dụng vào nền kinh tế của một quốc gia hoặc một
khu vực, người ta cần phải tìm ra một mô hình nhất định dựa trên các lĩnh vực khác
nhau của nền kinh tế này. Mô hình Leontief là một nỗ lực theo hướng này. Dựa trên
giả định rằng mỗi ngành công nghiệp trong nền kinh tế có hai loại nhu cầu: nhu cầu
bên ngoài (từ bên ngoài hệ thống) và nhu cầu nội bộ (nhu cầu từ một ngành công
nghiệp bởi ngành khác trong cùng một hệ thống), các mô hình Leontief biểu thị cho
nền kinh tế như một hệ phương trình tuyến tính. Các mô hình Leontief được phát
minh vào những năm 30 bởi Giáo sư Wassily Leontief (ảnh trên), ông đã phát triển

một mô hình kinh tế của nền kinh tế Hoa Kỳ bằng cách chia thành 500 thành phần
kinh tế. Vào ngày 18 tháng 10 năm 1973, Giáo sư Leontief đã được trao giải Nobel
về kinh tế cho những thành tựu của ông.
1. Mô hình Leontief đóng
Xét một nền kinh tế bao gồm n ngành công nghiệp (hoặc thành phần) phụ thuộc
lẫn nhau S1, S2, …, Sn. Điều đó có nghĩa rằng mỗi ngành công nghiệp tiêu thụ một
số hàng hoá được sản xuất bởi các ngành công nghiệp khác, bao gồm cả chính nó
(ví dụ, một nhà máy phát điện sử dụng một số điện riêng cho sản xuất). Chúng ta nói
rằng một nền kinh tế là đóng nếu nó đáp ứng được mọi nhu cầu của mình; nghĩa là,
không có hàng bỏ đi hoặc nhập vào hệ thống. Ký hiệu mij là số đơn vị sản xuất bởi
ngành công nghiệp Si cần để sản xuất một đơn vị của ngành công nghiệp Sj. Nếu pk
là mức sản xuất của ngành công nghiệp Sk, thì mijpj là số các đơn vị sản xuất bởi
ngành công nghiệp Si và tiêu thụ bởi ngành công nghiệp Sj. Khi đó, tổng số đơn vị
sản xuất của ngành công nghiệp Si được cho bởi:
p1mi1+p2mi2+…+pnmin.
Để nền kinh tế cân bằng, tổng sản phẩm của mỗi ngành công nghiệp phải bằng tổng
sản phẩm tiêu thụ. Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính:

18

Nếu

thì hệ trên có thể viết lại thành AP=P, trong đó

.
A được gọi là ma trận vào – ra.
Bây giờ chúng ta tìm vectơ P thỏa mãn phương trình AP=P với các thành
phần không âm và ít nhất một thành phần là dương.
Ví dụ Giả sử rằng nền kinh tế của một vùng nào đó phụ thuộc vào ba ngành công

nghiệp: dịch vụ, sản xuất điện, dầu. Giám sát hoạt động của ba ngành công nghiệp
trong khoảng thời gian một năm, chúng ta đi đến các quan sát như sau:
1. Để sản xuất 1 đơn vị giá trị của dịch vụ, các ngành công nghiệp dịch vụ phải
tiêu thụ 0,3 đơn vị sản xuất riêng của mình, 0,3 đơn vị điện lực và 0,3 đơn vị
dầu để điều hành hoạt động của nó.
2. Để sản xuất 1 đơn vị điện, các nhà máy phát điện phải mua 0,4 đơn vị dịch
vụ, 0,1 đơn vị sản xuất riêng của mình, và 0,5 đơn vị dầu.
3. Cuối cùng, công ty sản xuất dầu cần 0,3 đơn vị dịch vụ, 0,6 đơn vị điện lực và
0,2 đơn vị sản xuất riêng của mình để sản xuất 1 đơn vị dầu.
Tìm năng lực sản xuất của mỗi ngành công nghiệp nhằm đáp ứng các nhu cầu bên
ngoài và nội bộ, giả định rằng mô hình trên là đóng, tức là, không có hàng để lại
hoặc nhập vào hệ thống.
Lời giải Xét các ẩn như sau:
1. p1= mức sản xuất của ngành công nghiệp dịch vụ.
2. p2= mức sản xuất của các nhà máy phát điện (điện).
3. p3= mức sản xuất cho các công ty sản xuất dầu.
Do mô hình là đóng, tổng lượng tiêu thụ phải bằng tổng lượng sản xuất. Từ đây cho
ta hệ phương trình tuyến tính sau:

Ma trận vào – ra là

19

và hệ trên có thể viết lại thành (A-I)P=0. Chú ý rằng đây là hệ phương trình tuyến
tính thuần nhất có vô số nghiệm (và hệ quả là có 1 nghiệm không tầm thường) do
mỗi cột trong ma trận hệ số có tổng bằng 1. Ma trận bổ sung của hệ thuần nhất này
là

Ta biến đổi sơ cấp ma trận đó thành

.
Để giải hệ, ta đặt p3=t (một tham số), khi đó nghiệm tổng quát là

và như chúng ta đề cập ở trên, các giá trị của các biến trong hệ này phải là không âm
nhằm làm cho mô hình có nghĩa; nói một các khác, t≥0. Lấy t=100 chẳng hạn, ta có
nghiệm sau

2) Mô hình Leontief mở
Mô hình Leontief thứ nhất dùng cho trường hợp không có hàng hóa nào bỏ lại
hoặc nhập vào nền kinh tế, nhưng trong thực tế, điều này không xảy ra thường xuyên.
Thông thường, một nền kinh tế nào đó phải thỏa mã yêu cầu bên ngoài, ví dụ như,
từ các cơ quan như cơ quan chính phủ. Trong trường hợp này, gọi di là yêu cầu từ
ngành công nghiệp thứ i bên ngoài, pi, và mij ký hiệu như trong mô hình đóng ở trên,
khi đó
với mỗi i. Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận như sau:
trong đó P và A ký hiệu như ở trên và

là vectơ nhu cầu.
Một cách để giải hệ tuyến tính này là
20

Tất nhiên, chúng ta yêu cầu ở đây là ma trận I-A phải khả nghịch, điều đó có thể
không phải luôn luôn đúng. Nếu, them vào đó, (I-A)-1 có các phần tử không âm, thì
các thành phần của vectơ P là không âm và do đó chúng có thể chấp nhận được như
là các nghiệm của mô hình này. Ta nói trong trường hợp này rằng A là ma trận sản
xuất.
Ví dụ Xét một nền kinh tế mở với 3 ngành công nghiệp: khai thác than, nhà máy
phát điện và một nhà máy chế tạo ô tô. Để sản xuất 1 $ than, các hoạt động khai thác

khoáng sản phải mua $ 0.1 sản phẩm riêng của mình, $ 0,30 điện và 0,1 $ giá trị của
ô tô để vận chuyển của nó. Để sản xuất 1 $ điện, phải mất $ 0,25 than, $ 0.4 của điện
và 0,15 $ của ô tô. Cuối cùng, để sản xuất 1 $ giá trị của ô tô, các nhà máy ô tô phải
mua 0,2 $ than, $ 0,5 điện và tiêu thụ 0,1 $ của ô tô. Giả sử rằng trong khoảng thời
gian một tuần, nền kinh tế có nhu cầu từ bên ngoài khoảng 50.000 $ giá trị của than,
75.000 $ giá trị của điện, và 125.000 $ giá trị của ô tô. Tìm năng lực sản xuất của
mỗi ngành công nghiệp trong khoảng thời gian một tuần để đáp ứng chính xác cả
nhu cầu nội bộ và nhu cầu bên ngoài.
Lời giải Ma trận vào – ra của nền kinh tế là

và vectơ nhu cầu là

Bởi phương trình (*) ở trên, ta có P= (I-A)-1d, trong đó

Sử dụng phương pháp khử của (hoặc công thức B-1=(1/det(B))adj(B)), ta tính được

Suy ra

Nên, tổng sản lượng của các hoạt động khai thác than phải là 229.921,59 $, tổng sản
lượng cho các nhà máy phát điện là 437.795,27 $ và tổng sản lượng cho nhà máy tự
động sản xuất là 237.401,57 $.

21

ƯNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT KHỬ

Giới thiệu Nhiều vấn đề trong đại số tuyến tính (và nhiều ngành khoa học khác) dẫn
tới việc giải quyết một hệ phương trình tuyến tính của một số biến. Điều này có
nghĩa là tìm nghiệm chung cho một số phương trình “đa thức” bậc 1 (siêu phẳng).

Trong nhiều trường hợp, chúng ta đang phải đối mặt với hệ phương trình “phi tuyến”
của các phương trình đa thức của nhiều hơn một biến. Một các hình học hóa, điều
này có nghĩa là tìm điểm chung của một số “mặt”. Giống như phương pháp khử
Gauss cho các hệ tuyến tính, lý thuyết khử nói chung là về việc khử một số lượng
ẩn số từ một hệ phương trình đa thức của một hay nhiều biến để có được một hệ
phương trình tương đương đơn giản hơn.
Một cách để tìm ra nghiệm chung của các phương trình đa thức là giải từng
phương trình riêng biệt và sau đó so sánh tất cả các nghiệm. Đây không phải là một
cách hiệu quả nhất nếu mục tiêu chỉ là để chỉ ra sự tồn tại nghiệm của hệ.
Để hiểu tầm quan trọng của lý thuyết khử, chúng ta bắt đầu bằng việc xét ví dụ đơn
giản sau.
Ví dụ Xét một hệ phương trình bậc hai của một ẩn x:

Chúng ta tìm một điều kiện cần và đủ để tồn tại một nghiệm của hệ

Nếu f(x) và g(x) có một nghiệm chung, thì chúng phải có một nhân tử tuyến tính
chung, chẳng hạn là L. Đặt
Khi đó cả q1(x) và q2(x) phải là tuyến tính, và ta có thể viết dưới dạng
(chọn dấu “-“ trong q2(x) sẽ có ý nghĩa ở phần sau) với các hằng số A1, B1, A2 và B2.
Bây giờ, từ
22

Ta có
Một cách tường minh, ta có
Khai triển và nhóm các hạng tử cùng bậc trong phương trình trên ta được:
Phương trình này là đúng với mọi x nếu các hệ số của x, x2, x3 và hệ số tự do bằng 0.
Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau với các ẩn được sắp xếp theo thứ tự là: A2,
B2, A1, B1:

Để hệ này có nghiệm không tầm thường thì ma trận hệ số của nó phải là ma trận suy
biến, tức là định thức của nó phải bằng 0:

Điều này tương đương với

do định thức của một ma trận bằng định thức ma trận chuyển vị của nó. Định thức
này được gọi là kết thức (Sylvester) của f(x) và g(x). Chú ý rằng kết thức trong
trường hợp này là định thức của ma trận cấp 4×4 bao gồm các hệ số của hai đa thức
cùng với 0 ở được sắp xếp theo một cách đặc biệt.
Sau đây là định nghĩa của kết thức:
Định nghĩa Cho
là hai đa thức bậc tương ứng là m và n sao cho am ≠ 0 và bn ≠ 0. Nếu m ≤ n, ta định
nghĩa kết thức của f(x) và g(x) là định thức sau:

23

Chú ý rằng Res(f(x), g(x)) là định thức của một ma trận vuông cấp (m+n).
Ví dụ Nếu
thì

Tổng quát của ví dụ đầu tiên, ta có định lý sau:
Định lý Cho
là hai đa thức tương ứng bậc m và n với am ≠ 0 và bn ≠ 0. Khi đó hệ phương trình đa
thức

có nghiệm nếu và chỉ nếu Res(f(x), g(x))=0.
Ví dụ 1 Không giải các phương trình đa thức, chứng minh rằng hệ phương trình sau
có nghiệm:

Lời giải Ta tính kết thức của hai đa thức

24

105. Ứng dụng trong Mật mã166. Ứng dụng trong quy mô input-output của Leonfief187. Ứng dụng trong Lý thuyết khử228. Ứng dụng trong Di truyền học269. Ứng dụng trong Hình học2810. Ứng dụng trong Lý thuyết đồ thị3211. Ứng dụng trong Phân bố nhiệt độ3812. Ứng dụng trong Nén ảnh4413. Ứng dụng trong Mạng lưới5014. Ứng dụng trong Xã hội học5315. Nhận diện khuôn mặt5516. Ứng dụng trong xích Markov60PHÁT TRIỂN TƯ DUY TRỪU TƯỢNGTrong khi đại số tuyến tính có nhiều ứng dụng thực tiễn đời sống, nó cũng cókhía cạnh lịch sự của nó, góc nhìn trừu tượng. Khía cạnh này của môn học cómột ứng dụng trong thực tiễn trong đời sống đó là giúp tăng trưởng tư duy và ngôn từ. Tạinhiều thời gian trong quy trình việc làm của bạn, bạn sẽ cần phải lý giải chongười khác hiểu những gì bạn đang làm, và thực sự lý do tại sao bạn đang làm nó. Các ” người khác ” hoàn toàn có thể gồm có những người quản trị số tiền bạn cần góp vốn đầu tư chodự án của bạn. Thành công yên cầu phải có kiến thức và kỹ năng tiếp xúc tốt, và chìa khóa đểthuyết phục những người khác là phải rõ ràng về mặt ý tưởng sáng tạo của bạn. Một điều bạncó thể học hỏi từ những định nghĩa, định lý và chứng tỏ bạn sẽ thấy trong Đại sốtuyến tính ( và trong bất kể nghành nghề dịch vụ nào của toán học thuần túy ) là làm thế nào để cótư duy rõ ràng và biểu lộ rõ bản thân mình, để tránh sự hiểu nhầm và nhầm lẫn. Bạnsẽ tìm thấy, trong việc học đại số tuyến tính, việc thực hành thực tế của bạn trong việc phânloại ra những sáng tạo độc đáo ( 1 số ít trong đó lúc đầu sẽ có vẻ như khá kỳ lạ ) sẽ giúp bạn tư duymột cách rõ ràng rành mạch. Trong thực tiễn, điều đó hoàn toàn có thể còn quan trọng hơn nhiềuso với bất kể kỹ năng và kiến thức kỹ thuật đặc biệt quan trọng nào mà bạn có. Một lợi thế mà Đại số tuyến tính có được hơn những môn học khác trong việcnâng cao năng lực tư duy, đó là hầu hết những khái niệm, đặc thù của Đại số tuyếntính đều có một lý giải hình học tương ứng. Trong khoảng trống chiều thấp, ngườita hoàn toàn có thể ” hình học hóa ” những tác dụng đại số tuyến tính, và điều ngược lại cũng đúng : đại số tuyến tính sẽ giúp tăng trưởng những năng lực hình học của bạn. Trực giác hình họcbạn đã có sẽ được bổ trợ bằng một ” hình ảnh đại số “, cái mà sẽ được cho phép bạn, trongthực tế, hoàn toàn có thể ” nhìn thấy ” trong khoảng trống chiều cao hơn những cái mà những giácquan thường thì của tất cả chúng ta không hề tiếp cận được. ỨNG DỤNG TRONG HÓA HỌCỨng dụng 1 : Cần 3 thành phần khác nhau A, B và C, để sản xuất một lượng hợpchất hóa học nào đó. A, B và C phải được hòa tan trong nước một cách riêng biệttrước khi chúng phối hợp lại để tạo ra hợp chất hóa học. Biết rằng nếu tích hợp dungdịch chứa A với tỉ lệ 1.5 g / cm3 với dung dịch chứa B với tỉ lệ 3.6 g / cm3 và dung dịchchứa C với tỉ lệ 5.3 g / cm3 thì tạo ra 25.07 g hợp chất hóa học đó. Nếu tỉ lệ của A, B, C trong giải pháp này biến hóa thành tương ứng 2.5, 4.3 và 2.4 g / cm3 ( trong khi thểtích là giống nhau ), khi đó 22.36 g chất hóa học sẽ được tạo ra. Cuối cùng, nếu tỉ lệtương ứng là 2.7, 5.5 và 3.2 g / cm3, thì sẽ tạo ra 28.14 g hợp chất. Thể tích của dungdịch chứa A, B và C là bao nhiêu ? Lời giải Gọi x, y, z tương ứng là thể tích ( cm3 ) của giải pháp chứa A, B và C. Khiđó 1.5 x là khối lượng của A trong trường hợp đầu, 3.6 y là khối lượng của B và 5.3 zlà khối lượng của C. Cộng lại với nhau, ba khối lượng này sẽ tạo ra 25.07 g. Do đó1, 5 x  3,6 y  5,3 z  25,07. Tương tự cho hai trường hợp còn lại, ta có hệ phương trình tuyến tính  1,5 x  3,6 y  5,3 z  25,07  2,5 x  4,3 y  2,4 z  22,36  2,7 x  5,5 y  3,2 z  28,14 Ma trận bổ trợ của hệ này là  1,5 3,6 5,3 25,07   2,5 4,3 2,4 22,36 .   2,7 5,5 3,2 28,14   Biến đổi ma trận trên cho ta nghiệm làx  1,5 ; y  3,1 ; z  2,2. Ứng dụng 2 Một ứng dụng tiêu biểu vượt trội khác của hệ phương trình tuyến tính trong hóahọc chính là việc cân đối những phương trình phản ứng hóa học. Nguồn gốc củanó chính là Định luật bảo toàn khối lượng được phát biểu như sau : “ Khối lượng không được tạo ra cũng không bị tàn phá trong bất kể phản ứnghóa học nào. Do đó việc cân đối phương trình phản ứng hóa học yên cầu cùng mộtsố lượng nguyên tử trên cả hai vế của một phản ứng hóa học. Khối lượng của tất cảcác chất phản ứng ( những chất đi vào một phản ứng ) phải bằng khối lượng của sảnphẩm ( những chất được sản xuất bởi những phản ứng ). ” Một ví dụ ví dụ điển hình như việc xét phương trình hóa học sau đây : C2H6 + O2 → CO2 + H2O. Cân bằng phương trình phản ứng này đồng nghĩa tương quan với việc tìm những giá trị x, y, z và tsao cho số lượng những nguyên tử của mỗi nguyên tố là bằng nhau ở cả hai vế củaphương trình : xC2H6 + yO2 → zCO2 + tH2O. Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính sau :  2 x  z  6 x  2 t  2 y  2 z  t. Nghiệm tổng quát của hệ trên là  z  2 x  t  3 x. Do tất cả chúng ta đang tìm những giá trị của những biến x, y z, và t, nên chọn x = 2 ta thu đượcy = 7, z = 4 và t = 6. Phương trình cân đối là : 2C2 H6 + 7O2 → 4CO2 + 6H2 O.ỨNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT MÃ1. Giới thiệuCác thông điệp được truyền đi, như tài liệu từ một vệ tinh, luôn là những thôngtin đã bị gây nhiễu. Do đó, một điều quan trọng đó là năng lực để mã hóa một tinnhắn theo cách mà sau khi tiếng ồn đã gây nhiễu nó, nó hoàn toàn có thể được giải thuật về dạngchính thống bắt đầu. Điều này được triển khai đôi lúc bằng cách lặp lại tin nhắn haihoặc ba lần, một điều rất phổ cập trong những bài phát biểu của con người. Tuy nhiên, việc sao chép tài liệu được tàng trữ trên một đĩa nhỏ gọn, hoặc một đĩa mềm một hoặchai lần yên cầu thêm khoảng trống để tàng trữ. Trong ứng dụng của ĐSTT này, chúngta sẽ xem xét phương pháp giải thuật một thông điệp sau khi nó bị bóp méo bởi một sốloại tiếng ồn. Quá trình này được gọi là mã hóa. Một mã phát hiện lỗi trong một tinnhắn bị gây nhiêu được gọi là phát hiện lỗi. Nếu, thêm vào đó, nó hoàn toàn có thể sửa lỗi thìnó được gọi là sửa lỗi. Sẽ là khó khăn vất vả hơn nhiều để tìm cách sửa lỗi hơn so với cácmã phát hiện lỗi. 2. Một số kỹ thuật mã hóa cơ bảnHầu hết những tin nhắn được gửi đi dưới dạng những dãy ký tự của 0 và 1, chẳnghạn như 10101 hoặc 1010011, nên giả sử rằng tất cả chúng ta muốn gửi tin nhắn 1011. ” Từ ” nhị phân này hoàn toàn có thể thay cho một từ trong thực tiễn, ví dụ điển hình như mua, hoặc một câunhư mua CP. Một cách để mã hóa 1011 sẽ là việc đính kèm một ” đuôi ” nhịphân vào nó để sao cho nếu nó bị bóp méo, ví dụ điển hình như, 0011, tất cả chúng ta có thểphát hiện những lỗi. Một trong những cái đuôi hoàn toàn có thể là 1 hoặc 0, tùy thuộc vào việcchúng ta có lẻ hoặc một số ít chẵn của 1 trong những từ. Bằng cách này, toàn bộ những từ mãhóa sẽ có 1 số ít chẵn của 1. Vì vậy, 1011 sẽ được mã hóa như 10111. Bây giờ nếutin nhắn bị bóp méo đến 00.111 tất cả chúng ta biết rằng một lỗi đã xảy ra, chính do chúng tachỉ nhận được một số lẻ của 1. Mã phát hiện lỗi này được gọi là kiểm tra ngang hàngvà nó quá đơn thuần để hoàn toàn có thể hữu dụng. Ví dụ, nếu hai chữ số đã được biến hóa, chươngtrình của tất cả chúng ta sẽ không phát hiện những lỗi, vì thế điều này chắc như đinh không phảilà một mã sửa lỗi. Một chiêu thức khác đó là việc mã hóa thông điệp bằng cáchlặp lại nó hai lần, ví dụ điển hình như 10111011. Sau đó, nếu ta nhận được là 00.111.011, tất cả chúng ta biết rằng một trong hai phần bằng nhau đã bị bóp méo. Nếu chỉ có một lỗixảy ra, sau đó nó rõ ràng ở vị trí 1. là chương trình mã hóa này cũng cho kết quảthấp và không thường được sử dụng. Chúng ta hoàn toàn có thể có được tác dụng tốt hơn bằngcách lặp lại thông điệp nhiều lần, nhưng sẽ mất khoảng trống và thời hạn. 3. Một kỹ thuật mã hóa nâng cao : Mã HammingTrong những năm 1950, R.H. Hamming đã ra mắt một mã sửa lỗi đơn thúvị cái mà trở thành một mã được biết đên với tên gọi là mã Hamming. Trước khichúng ta hoàn toàn có thể kiểm tra chi tiết cụ thể của kỹ thuật đó, tất cả chúng ta cần một vài kỹ năng và kiến thức nềntảng từ đại số tuyến tính. Không gian vectơ trên 2T rong một khóa học đại số tuyến tính năm nhất tiêu biểu vượt trội, lúc sinh viên đượcgiới thiệu khái niệm của một khoảng trống vectơ, từ “ vô hướng ” có nghĩa là một sốthực hoặc một số ít phức. Điều này hoàn toàn có thể được tổng quát tới một thành phần bất kể củamột trường cho trước. Một trường là một tập F với hai phép toán, cộng và nhân, thỏa mãn nhu cầu những tiênđề sau đây : 1. Phép cộng khép kín : nếu x, y thuộc F, thì x + y cũng thuộc F. 2. Phép nhân khép kín : nếu x, y thuộc F, thì xy cũng thuộc F. 3. Phép cộng có tính tích hợp : nếu x, y, z thuộc F, thì ( x + y ) + z = x + ( y + z ) 4. Phép nhân có tính phối hợp : nếu x, y, z thuộc F, thì ( xy ) z = x ( yz ) 5. Luật phân phối : nếu x, y, z thuộc F, thì x ( y + z ) = xy + yz6. Tồn tại thành phần 0 : một thành phần của F thỏa mãn nhu cầu x + 0 = x với mọi x thuộc F7. Tồn tại thành phần 1 : một thành phần của F thỏa mãn nhu cầu x. 1 = x với mọi x thuộc F8. Tồn tại thành phần đối : Nếu x thuộc F, thì sống sót y thuộc F sao cho x + y = 09. Tồn tại thành phần nghịch đảo của thành phần khác 0 : Nếu x khác 0 và thuộc Fthì sống sót một thành phần y thuộc F sao cho xy = 1.10. Luật giao hoán của phép cộng : Nếu x, y thuộc F, thì x + y = y + x11. Luật giao hoán của phép nhân : Nếu x, y thuộc F, thì xy = yx. Ví dụ của trường nhưphức ), và ( tập những số hữu tỷ ), ( tập những số thực ), ( tập những sốnếu p là một số nguyên tố ( những số nguyên modulo 1 số ít nguyên tốp ) :   0,1, …, ( p  1 ) . Đặc biệt, trong trường hợp p = 2, trườnghai thành phần là 0 và 1, tức làđược ký hiệu bởi. Nó gồm có chỉ  2   0,1 . Trong Z2, phép cộng và phép nhân được định nghĩa như sau : 0 + 0 = 0 ; 1 + 0 = 1 ; 0 + 1 = 1 ; 1 + 1 = 0 ; 0.0 = 0 ; 1.0 = 0 ; 0.1 = 0 ; 1.1 = 1. Nhắc lại rằng cấu trúc khoảng trống vectơ củatrên xác lập bởi hai phép toánsau : 1. ( x1, …, xn ) + ( y1, …, yn ) = ( x1 + y1, …, xn + yn ) 2. a ( x1, …, xn ) = ( ax1, …, a xn ) nếu a là một số thực. Cấu trúc tương tự như hoàn toàn có thể được định nghĩa trên n2. Chúng ta trang bị n2 với phépcộng và phép nhân với vô hướng ( nhân với 0 và 1 ). Chẳng hạn, trong 52 chúng tacó : ( 1,0,1,1,0 ) + ( 0,1,1,1,1 ) = ( 1,1,0,0,1 ), 0. ( 1,1,0,1,0 ) = ( 0,0,0,0,0 ). Khi đó, 2 trở thành một khoảng trống vectơ trên trường 2 ( phép nhân ở đây là với0 và 1 ). Tất cả những khái niệm cơ bản của khoảng trống vectơ như độc lập tuyến tính, tập những tổng hợp tuyến tính, khoảng trống con, chiều, không quầy bán hàng, không giankhông, …. đều vận dụng được trong trường hợp này. Điểm độc lạ lớn nhất vớikhông gian vectơ n là n2 chứa một số ít hữu hạn những vectơ, đơn cử là 2 n vectơ. 4. Mã Hamming ( 7,4 ) Cho trước hai số nguyên k ≤ n, một khoảng trống con của n2 với chiều k đượcgọi là một ( n, k ) mã tuyến tính. Các thành phần của một mã tuyến tính được gọi là cáctừ mã. Xét ma trận H trên 2 gồm những cột c1, …, c7 là những vectơ khác không của 32 :  0 0 0 1 1 1 1  H    0 1 1 0 0 1 1  .   1 0 1 0 1 0 1   Không gian không, Null ( H ) ( còn được gọi là hạt nhân ), của H được gọi là một mãHamming ( 7,4 ). Nhắc lại rằng Null ( H ) không gì khác là tập toàn bộ những nghiệm củahệ phương trình tuyến tính thuần nhất HX = 0 tương ứng với H. Ta nói rằng H là mộtma trận kiểm tra cho mã Null ( H ). Ta giải hệ phương trình HX = 0 để xác địnhNull ( H ). Sử dụng giải pháp khử Gauss-Jordan ( cùng với những phép toán số học củachúng ta thu được dạng bậc thang của H như sau :  1 0 1 0 1 0 1  H    0 1 1 0 0 1 1  .   0 0 0 1 1 1 1   ), Và từ hạng của H bằng 3, chiều của Null ( H ) là 7-3 = 4. Thực ra, ta hoàn toàn có thể thuận tiện chỉra rằngB   ( 1,0,0,0,0,1,1 ) ; ( 0,1,0,0,1,0,1 ) ; ( 0,0,1,0,1,1,0 ) ; ( 0,0,0,1,1,1,1 )  là một cơ sở của Null ( H ) trên Z2. Nhận xét Giả sử { e1, …, e7 } là cơ sở chuẩn tắc của 72, khi đó Hei = ci vớimọi i = 1, …, 7, và do đó không có vectơ ei nào thuộc Null ( H ). Như là một hệ quả, tacó hai nhận xét sau : 1. Nếu v là một vectơ của Null ( H ), thì v + ei không thuộc Null ( H ) với i = 1,2, …, 7.2. Nếu v là một vectơ của 72 sao cho Hv = ci với i nào đó, thì v + ei là một vectơcủa Null ( H ). Hơn nữa, v + ej không thuộc Null ( H ) với mọi j i. Ma trận G gồm những hàng là những thành phần của cơ sở B được gọi là ma trận thành phần sinhcủa mã Hamming ( 7,4 ) :  1 0 0 0 0 1 1   0 1 0 0 1 0 1  . G    0 0 1 0 1 1 0   0 0 0 1 1 1 1  Bây giờ tất cả chúng ta sẽ lý giải quy trình giải thuật Hamming và sửa lỗi : 5. Thuật toán sửa lỗi với mã Hamming ( 7,4 ) Giả sử rằng tất cả chúng ta muốn gửi một từ u gồm có 4 ký tự u1 u2 u3 u4, và giả sửrằng tất cả chúng ta biết trước rằng từ mã hóa hoàn toàn có thể bị làm nhiễu bởi một việc thay đổichỉ một thành phần của nó. Gọi w là từ thu được. 1. Để mã hóa u, tất cả chúng ta tạo ra một tổng hợp tuyến tính v của những thành phần của cơsở B ở trên với 4 ký tự của u như là thông số. Chú ý rằng v hoàn toàn có thể đạt được từ từgốc bằng việc trình diễn phép nhân ma trận v = [ u1 u2 u3 u4 ] G, trong đó G làma trận ở trên. Bởi thiết kế xây dựng này, vectơ v thuộc Null ( H ). Chú ý rằng [ u1 u2 u3 u4 ] G hoàn toàn có thể cho ta một vectơ 7 ký tự trong đó 4 ký tự đầu biểu diễncho từ gốc. 2. Tính Hw, trong đó H là ma trận được diễn đạt ở trên. 3. Nếu Hw = 0, thì w nằm trong Null ( H ). Do đó, một lỗi đơn có nghĩa là w khôngthuộc Null ( H ) bằng chú ý quan tâm tiên phong ở trên. Chúng ta sẽ Kết luận là không có sựsai lệch ở đây và u là 4 ký tự tiên phong của w. 4. Nếu Hw = ci với i nào đó, thì v + ei là một vectơ của Null ( H ), và v + ej khôngthuộc Null ( H ) với mọi j  i. Điều này gợi ý một sự đổi khác thành phần thứ icủa w ( từ 0 thành 1 hoặc từ 1 thành 0 ) và thu được một vectơ mới w ’. Bốn kýtự đầu của w ’ màn biểu diễn cho từ u. Ta cùng minh họa những bước trên bởi hai ví dụ sau đây : Ví dụ 1 Giả sử tất cả chúng ta nhận được tin nhắn là w = 1100011 được mã hóa bởi mãHamming ( 4, 7 ). Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi trong quy trình chuyển phát thôngtin, hãy tìm tin nhắn gốc. Lời giảiTa có  1   1     0   0    H  0     1  .  0    0      1    1   Từ Hw bằng cột thứ hai của H, thay thành phần thứ hai của w cho ta từ mã hóa1000011. Chúng ta Kết luận rằng tin nhắn gốc là 1000. Ví dụ 2 Giả sử rằng tất cả chúng ta nhận được tin nhắn là w = 0101010 được mã hóa bởimã Hamming ( 4, 7 ). Giả sử rằng có nhiều nhất một lỗi sai trong truyền tin, tìm tinnhắn gốc. Lời giải  0   1     0   0    Ta cóH  1     0  .  0    0      1    0   Từ Hw = 0, không có lỗi nào trong quy trình truyền tin nhắn này, do đó từ gốc là0101. Trong kỹ thuật ở trên, những từ tất cả chúng ta gửi đi rất ngắn : chỉ 4 ký tự. Chỉ có 24 từnhư vậy. Trong trong thực tiễn, những tin nhắn điện tử tiềm ẩn rất nhiều ký tự. Một vấn đềkhác với mã Hamming ( 4, 7 ) đó là nó không hề nhận ra nhiều hơn một lỗi trong tinnhắn được mã hóa. Với cuộc cách mạng điện tử của thời đại tất cả chúng ta, ta hoàn toàn có thể hìnhdung ra rằng có nhiều kiểu mã hiệu quả hơn nhiều. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒAChúng ta sẽ tìm hiểu và khám phá những xê dịch điều hòa của một chuỗi tuyến tính những cơquan không tương tác như nhau liên kết với mỗi cái khác và với những thiết bị đầu cuốicố định bởi những lò xo giống hệt. Đầu tiên, tất cả chúng ta nhắc lại Định luật II Newton về hoạt động : Định luật II Newton về chuyển độngTất cả mọi người một cách vô thức đều biết Luật này. Ta đều biết rằng cácvật nặng hơn yên cầu nhiều lực hơn để chuyển dời cùng một khoảng cách so với cácvật nhẹ hơn. Định luật thứ hai này, tuy nhiên, cho tất cả chúng ta một mối quan hệ chínhxác giữa lực, khối lượng, và tần suất : Khi một vật chịu ảnh hưởng tác động của những ngoại lực, thì tần suất hoạt động của vậttỉ lệ thuận với hợp lực của những ngoại lực và tỉ lệ nghịch với khối lượng của vật. Định luật này được biết đến thoáng đãng với phương trình sau đây : F  ma.trong đó F là hợp lực, m là khối lượng của vật mà lực F ảnh hưởng tác động lên nó và a là giatốc của vật. Do tần suất là đạo hàm cấp 2 của quãng đường tương ứng với thời hạn, định luật trên hoàn toàn có thể phát biểu dưới dạngF  mx ‘ ‘ trong đó x ‘ ‘ là đạo hàm cấp hai của x so với thời hạn t. Vận tốc, lực, và tần suất có độ lớn và hướng tương ứng với chúng. Các nhàkhoa học và nhà toán học gọi đó là vectơ lượng ( độ lớn cộng với hướng ). Phươngtrình ở trên thực tiễn là một phương trình vectơ và hoàn toàn có thể được vận dụng trong mỗi mộthướng thành phần. Một định luật thứ hai tất cả chúng ta cần là Định luật HookeĐịnh luật Hooke được tò mò bởi nhà khoa học người Anh tên là Robert Hookevào năm 1660 — nói rằng : Lực tính năng bởi một lò xo cuộn là tỷ suất thuận với độ giãn của nó. Hằng số của tỉ lệ này được gọi là hằng số lò xo. Độ giãn của lò xo là hiệu của độ dàithực tế và độ dài tự nhiên của nó ( tức là, độ dài của nó lúc không có lực ảnh hưởng tác động. Lực tác động ảnh hưởng song song với trục của lò xo. Rõ rang, Định luật Hooke chỉ đúng nếuđộ giãn của lò xo là đủ bé. Nếu độ giãn quá lớn thì lò xo sẽ biến dạng vĩnh viễn, 10 hoặc thậm chí còn là gãy. Những trường hợp như vậy nằm ngoài khoanh vùng phạm vi của Định luậtHooke. Chúng ta hãy xét một trường hợp đơn thuần tiên phong của một khối được gắn với mộtlò xo có một đầu được gắn với một bức tường thẳng đứng : Nếu x ( t ) là vị trí của vật m từ vị trí cân đối tại thời gian t và k là hằng số lò xo, khiđó định luật thứ hai của Newton về hoạt động cùng với định luật Hooke suy ra : mx ‘ ‘   kx. hoặc tương tự, d2x k  x  0.dt 2 mĐây là một trong những phương trình nổi tiếng nhất của vật lý. Nó được biết tới nhưlà phương trình điều hòa. Đặt w0 , w0 được gọi là tần số của xê dịch. Nghiệm của phương trình điều hòa được biết đến thoáng đãng làx ( t )  A0 cos ( w0t  t0 ). ( 1 ) trong đó A0 là số thực dương biểu lộ cho giá trị lớn nhất của x ( t ). Ta cũng hoàn toàn có thể chỉra rằng nghiệm của phương trình điều hòa hoàn toàn có thể được viết dưới dạngx ( t )  x0 cos ( w0t )  0 sin ( w0t ), w0trong đó x0 và v0 tương ứng là những giá trị của vị trí khởi đầu của vật và tốc độ tại t = 0 của nó. Chu kỳ của giao động được diễn đạt bằng công thức ( 1 ) là2  T  w0và đại lượng v0  0  được gọi là tần số tự nhiên của xê dịch. 2  TTiếp theo, ta cùng khám phá một vài trường hợp phức tạp hơn của xê dịch. 1. Trường hợp 2 vậtXét hai vật thể giống nhau được gắn vào những lò xo giống nhau trên mặt phẳngkhông ma sát như sau : Ở đây A và B đại diện thay mặt cho vị trí cân đối của hai vật. Giả sử x1 ( t ) và x2 ( t ) là khoảngcách từ vị trí cân đối của hai vật tại thời gian t và k là hằng số lò xo. 11L ực tác động ảnh hưởng lên vật tiên phong có hai phần bởi Định luật Hooke : phần thứ nhất là – kx1 do lò xo bên trái và phần thứ hai là k ( x2-x1 ) do lò xo TT. Hợp lực tác độnglên vật thứ nhất làF1   kx1  k ( x2  x1 )   2 kx1  kx2. Tương tự, hợp lực ảnh hưởng tác động lên vật thứ hai làF2  kx1  2 kx2. Áp dụng Định luật II Newton của hoạt động cho ta hệ phương trình vi phân sau :  mx1 ‘ ‘   2 kx1  kx2  mx2 ‘ ‘  kx1  2 kx2. Hệ này hoàn toàn có thể được viết lại dưới dạng ma trận như sau :  x1 ‘ ‘  k  2  1   x1  ( * )  x ‘ ‘  m    1 2     x2    2   2  1  Ta tìm giá trị riêng của ma trận A    của hệ phương trình trên. Nhắc lại rằng giá trị riêng của A là những giá trị λ thỏa mãn nhu cầu phương trình : det ( A   I )  0, trong đó I là ma trận đơn vị chức năng cùng cấp với A : 2    1    1 det ( A   I )   0  ( 2   ) 2  1  0    1 2      3.  a  Bây giờ ta tìm những vectơ riêng tương ứng. Nếu X    là một vectơ riêng của A ứng  b  với giá trị riêng 1, khi đó ta có AX = X, hoặc ( A – I ) X = 0 :  1  1 0   1  1 0    1 1 0    0 0 0 .    1  Suy ra a = b. Do đó   là một cơ sở của khoảng trống riêng ứng với 1. Tương tự, ta  1    1  hoàn toàn có thể chỉ ra rằng vectơ   là một cơ sở của khoảng trống riêng tương ứng với 3.  1   1 0  1  1  1   1AP khiđótrongđó  0 3 . 2  1 1   1 là dạng chéo hóa của ma trận A. Chú ý rằng A  PDP, nên phương trình ( * ) ở trêntrở thành  x1 ‘ ‘  k 1  1  1   1 0  2  1 1   x1  ( * * )  x ‘ ‘  m 2   1 1     0 3   2    1 1     x2    2  Bây giờ, ta xét phép đổi biến như sau : x  x2  x  x2y1  1 ; y2  1 Đặt P  12 y1  y2y  y ; x2  1 2. Lấy đạo hàm cấp 2 ta cóy ‘ ‘  y2 ‘ ‘ y ‘ ‘  y2 ‘ ‘ x1 ‘ ‘  1 ; x2 ‘ ‘  1N ên phương trình ( * * ) ở trên trở thành1  3   y1   y1 ‘ ‘  y2 ‘ ‘  2   y ‘ ‘  y ‘ ‘    w0  1 3   y    2   12  sau khi rút gọn. Từ đó cho ta hệ phương trình điều hòa sau :  y1 ‘ ‘   w02 y1  y2 ‘ ‘   3 w0 y2là phương trình mà tất cả chúng ta biết cách giải bằng trường hợp đơn thuần ở trên của mộtvật đơn gắn vào một lò xo. Suy ra x1  Vậy, lý giải vật lý cho toàn bộ điều này là thế nào ? Sẽ không khó để thấy rằng có hai loại hoạt động đặc biệt quan trọng mà ta hoàn toàn có thể thuận tiện môtả như sau :  1  1. Ta xét lại vectơ riêng   ứng với giá trị riêng 1. Thực tế là những thành phần  1  bằng nhau cho tất cả chúng ta biết rằng x1 và x2 luôn bằng nhau. Do đó, hệ thốngdao động qua lại nhưng lò xo ở giữa là không khi nào bị kéo dãn. Đó là, nếunhư tất cả chúng ta có hai vật, gắn liền với một lò xo hằng số k. Khi đó, dễ dàngthấy rằng sau đó tần số xê dịch được cho bởiw0   1 w0.   1  2. Trong trường hợp của vectơ riêng thứ hai  , ta có x1 và x2 luôn bằng nhau  1  nhưng ngược hướng nhau. Như ta hoàn toàn có thể đoán, điều này cho ta một loại chuyểnđộng “ vào và ra ”. Các tần số của mạng lưới hệ thống cũng hoàn toàn có thể Dự kiến trong trườnghợp này : mỗi vật được gắn vào một lò xo nén một khoảng cách x1 và lò xokhác kéo dãn một khoảng cách 2×1. Đó là, nếu như vật được gắn vào một lòxo đơn có hằng số là 3 k. Chúng ta biết rằng những tần số trong trường hợp này3k  3 w0.   1  Chú ý rằng   là một vectơ riêng ứng với giá trị riêng 3, điều này lý giải tại  1  sao3 Open trong tuần số ở trên. 13H ai trường hợp đặc biệt quan trọng này được gọi là những dạng chuẩn tắc của mạng lưới hệ thống. Nhưta hoàn toàn có thể đoán, chúng có đặc thù là nếu mạng lưới hệ thống mở màn ra ở một trong những chế độnày, nó sẽ vẫ còn trong chính sách đó. Tất nhiên, những yếu tố nêu trên tương quan đến hai vật hoàn toàn có thể được giải quyếtmà không nói về vectơ riêng. Lợi ích của việc sử dụng những kỹ thuật đại số đó là rõràng hơn trong những trường hợp phức tạp hơn hai vật. 2. Trường hợp 3 vậtTa hãy xét trường hợp 3 vật : Lặp lại cùng những suy luận như trường hợp trước cho ta hệ sau  x1 ‘ ‘   2  1 0   x1   x ‘ ‘    w 2   1 2  1   x . 0   2    2    x3 ‘ ‘     0  1 2     x3   Với w0 , như thường thì. Ta hoàn toàn có thể chỉ ra rằng giá trị riêng của ma trận :  2  1 0  A     1 2  1     0  1 2     1   1   1      là 2  2, 2, 2  2 và  2 ,   0  ,  2  là những vectơ riêng tương ứng.   1    1   1        Một hoạt động hoàn toàn có thể miêu tả dễ hơn là cái tương ứng với giá trị riêng là 2 : Vật ởgiữa không chuyển dời và hai vật khác vận động và di chuyển về hai phía ngược nhau. Mỗi mộtvật trong những vật này có 2 lò xo được gắn vào, điều này lý giải giá trị riêng là 2. Hai hoạt động khác có khó hơn một chút ít để miêu tả. Bây giờ tất cả chúng ta hãy xem xét một ví dụ về sự rung động được diễn đạt bở sơ đồ sau : Sử dụng k , hệ hoàn toàn có thể được trình diễn bởi phương trình ma trận : mb14  2 1   x   x ‘ ‘  2   y ‘ ‘   k  1  2   y       trong đó, như thường lệ, ký hiệu x ’ ’ là đạo hàm cấp 2 của x so với thời hạn. Khi đó ta có   2 1  A  k2   1  2  thì những giá trị riêng của nó là – k2 và – 3 k2, và những vectơ riêng tương ứng là :  1   1   1 ,   1 .     Do đó, tần số chuẩn tắc của sự giao động là k, 3 k và kiểu chuẩn tắc của sự rungđộng. Do đó, tần số chuẩn tắc của sự rung chuyển k, 3 k và dạng chuẩn tắc của daođộng như sau : 15 ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃMật mã học, với hầu hết mọi người, là việc giữ thông tin liên lạc một cáchriêng tư. Thực tế là, việc bảo vệ những thông tin liên lạc nhạy cảm đã được đặt là trọngtâm của mật mã trong suốt quy trình lịch sử vẻ vang của nó. Mã hóa là việc quy đổi dữliệu vào 1 số ít hình thức không đọc được. Mục đích của nó là để bảo vệ sự riêngtư bằng cách giữ những thông tin bí hiểm với bất kể ai mà nó không có dự tính truyền tảiđến, ngay cả những người hoàn toàn có thể xem tài liệu được mã hóa. Giải mã là quá trìnhngược lại của mã hóa ; nó là sự quy đổi tài liệu được mã hóa trở về một số ít hìnhthức đọc được, hiểu được. Mã hóa và giải thuật nhu yếu sử dụng 1 số ít thông tin bímật, thường được gọi là một chìa khóa. Tùy thuộc vào những chính sách mã hóa được sửdụng, những chìa khóa tương tự như hoàn toàn có thể được sử dụng cho cả mã hóa và giải thuật, trongkhi so với những chính sách khác, những chìa khóa được sử dụng để mã hóa và giải thuật cóthể khác nhau. Ngày nay, những cơ quan chính phủ sử dụng những giải pháp phức tạp để mã hóa vàgiải mã những thông điệp. Một loại mã, mà rất khó để phá vỡ, được tạo ra bằng việc sửdụng một ma trận lớn để mã hóa một thông điệp. Người nhận thông điệp giải thuật nóbằng cách sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận đó. Ma trận tiên phong này đượcgọi là ma trận mã hóa và nghịch đảo của nó được gọi là ma trận giải thuật. Ví dụ Giả sử thông điệp cần gửi làPREPARE TO NEGOTIATEVà ma trận mã hóa là   3  3  4   0 1 1 .   4 3 4   Chúng ta gán 1 số ít cho mỗi vần âm của bảng vần âm. Để đơn thuần, tất cả chúng ta hãygắn mỗi vần âm với vị trí của nó trong bảng vần âm : A là 1, B là 2, và cứ tiếp tụcnhư vậy. Ngoài ra, tất cả chúng ta chỉ định số 27 ( nhớ là tất cả chúng ta chỉ có 26 vần âm trongbảng vần âm ) là cách trống giữa hai từ. Vì vậy, thông điệp trở thành : 16T ừ việc tất cả chúng ta đang sử dụng một ma trận cấp 3×3, tất cả chúng ta ngắt tin nhắn trênthành một dãy của những vectơ cột gồm 3 hàng như sau : Lưu ý rằng nếu thiết yếu hoàn toàn có thể thêm cách trống vào cuối của thông điệp để hoànthành vector ở đầu cuối. Bây giờ tất cả chúng ta mã hóa thông điệp bằng cách nhân mỗivectơ trên với ma trận mã hóa. Điều này hoàn toàn có thể được triển khai bằng cách viết cácvectơ trên như thể những cột của ma trận và thực thi những phép nhân ma trận đó ma trậnvới ma trận mã hóa như sau : Và ta nhận được ma trậnCác cột của ma trận này phân phối cho những thông điệp được mã hóa. Thông điệp đượctruyền đi dưới dạng tuyến tính như sauĐể giải thuật thông điệp, người nhận viết chuỗi này như thể một chuỗi của những ma trậncột 3×1 và tái diễn kỹ thuật bằng việc sử dụng ma trận nghịch đảo của ma trận mãhóa. Ma trận nghịch đảo của ma trận mã hóa này, hay ma trận giải thuật, là : Vì vậy, để giải thuật thông điệp, thực thi phép nhân ma trậnTa nhận được ma trậnCác cột của ma trận này, được viết ở dạng tuyến tính, cho ta thông điệp khởi đầu : 17 ỨNG DỤNG TRONG MÔ HÌNH INPUT-OUTPUT LEONTIEFGiới thiệu Để hiểu và hoàn toàn có thể vận dụng vào nền kinh tế của một vương quốc hoặc mộtkhu vực, người ta cần phải tìm ra một quy mô nhất định dựa trên những nghành khácnhau của nền kinh tế này. Mô hình Leontief là một nỗ lực theo hướng này. Dựa trêngiả định rằng mỗi ngành công nghiệp trong nền kinh tế có hai loại nhu yếu : nhu cầubên ngoài ( từ bên ngoài mạng lưới hệ thống ) và nhu yếu nội bộ ( nhu yếu từ một ngành côngnghiệp bởi ngành khác trong cùng một mạng lưới hệ thống ), những quy mô Leontief biểu lộ chonền kinh tế như một hệ phương trình tuyến tính. Các quy mô Leontief được phátminh vào những năm 30 bởi Giáo sư Wassily Leontief ( ảnh trên ), ông đã phát triểnmột quy mô kinh tế của nền kinh tế Hoa Kỳ bằng cách chia thành 500 thành phầnkinh tế. Vào ngày 18 tháng 10 năm 1973, Giáo sư Leontief đã được trao giải Nobelvề kinh tế cho những thành tựu của ông. 1. Mô hình Leontief đóngXét một nền kinh tế gồm có n ngành công nghiệp ( hoặc thành phần ) phụ thuộclẫn nhau S1, S2, …, Sn. Điều đó có nghĩa rằng mỗi ngành công nghiệp tiêu thụ mộtsố hàng hoá được sản xuất bởi những ngành công nghiệp khác, gồm có cả chính nó ( ví dụ, một nhà máy sản xuất phát điện sử dụng 1 số ít điện riêng cho sản xuất ). Chúng ta nóirằng một nền kinh tế là đóng nếu nó cung ứng được mọi nhu yếu của mình ; nghĩa là, không có hàng bỏ đi hoặc nhập vào mạng lưới hệ thống. Ký hiệu mij là số đơn vị chức năng sản xuất bởingành công nghiệp Si cần để sản xuất một đơn vị chức năng của ngành công nghiệp Sj. Nếu pklà mức sản xuất của ngành công nghiệp Sk, thì mijpj là số những đơn vị chức năng sản xuất bởingành công nghiệp Si và tiêu thụ bởi ngành công nghiệp Sj. Khi đó, tổng số đơn vịsản xuất của ngành công nghiệp Si được cho bởi : p1mi1 + p2mi2 + … + pnmin. Để nền kinh tế cân đối, tổng sản phẩm của mỗi ngành công nghiệp phải bằng tổngsản phẩm tiêu thụ. Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính : 18N ếuthì hệ trên hoàn toàn có thể viết lại thành AP = P., trong đóA được gọi là ma trận vào – ra. Bây giờ tất cả chúng ta tìm vectơ P. thỏa mãn nhu cầu phương trình AP = P. với những thànhphần không âm và tối thiểu một thành phần là dương. Ví dụ Giả sử rằng nền kinh tế của một vùng nào đó nhờ vào vào ba ngành côngnghiệp : dịch vụ, sản xuất điện, dầu. Giám sát hoạt động giải trí của ba ngành công nghiệptrong khoảng chừng thời hạn một năm, tất cả chúng ta đi đến những quan sát như sau : 1. Để sản xuất 1 đơn vị chức năng giá trị của dịch vụ, những ngành công nghiệp dịch vụ phảitiêu thụ 0,3 đơn vị chức năng sản xuất riêng của mình, 0,3 đơn vị chức năng điện lực và 0,3 đơn vịdầu để quản lý hoạt động giải trí của nó. 2. Để sản xuất 1 đơn vị chức năng điện, những nhà máy sản xuất phát điện phải mua 0,4 đơn vị chức năng dịchvụ, 0,1 đơn vị chức năng sản xuất riêng của mình, và 0,5 đơn vị chức năng dầu. 3. Cuối cùng, công ty sản xuất dầu cần 0,3 đơn vị chức năng dịch vụ, 0,6 đơn vị chức năng điện lực và0, 2 đơn vị chức năng sản xuất riêng của mình để sản xuất 1 đơn vị chức năng dầu. Tìm năng lượng sản xuất của mỗi ngành công nghiệp nhằm mục đích phân phối những nhu yếu bênngoài và nội bộ, giả định rằng quy mô trên là đóng, tức là, không có hàng để lạihoặc nhập vào mạng lưới hệ thống. Lời giải Xét những ẩn như sau : 1. p1 = mức sản xuất của ngành công nghiệp dịch vụ. 2. p2 = mức sản xuất của những nhà máy sản xuất phát điện ( điện ). 3. p3 = mức sản xuất cho những công ty sản xuất dầu. Do quy mô là đóng, tổng lượng tiêu thụ phải bằng tổng lượng sản xuất. Từ đây chota hệ phương trình tuyến tính sau : Ma trận vào – ra là19và hệ trên hoàn toàn có thể viết lại thành ( A-I ) P = 0. Chú ý rằng đây là hệ phương trình tuyếntính thuần nhất có vô số nghiệm ( và hệ quả là có 1 nghiệm không tầm thường ) domỗi cột trong ma trận thông số có tổng bằng 1. Ma trận bổ trợ của hệ thuần nhất nàylàTa biến hóa sơ cấp ma trận đó thànhĐể giải hệ, ta đặt p3 = t ( một tham số ), khi đó nghiệm tổng quát làvà như tất cả chúng ta đề cập ở trên, những giá trị của những biến trong hệ này phải là không âmnhằm làm cho quy mô có nghĩa ; nói một những khác, t ≥ 0. Lấy t = 100 ví dụ điển hình, ta cónghiệm sau2 ) Mô hình Leontief mởMô hình Leontief thứ nhất dùng cho trường hợp không có sản phẩm & hàng hóa nào bỏ lạihoặc nhập vào nền kinh tế, nhưng trong trong thực tiễn, điều này không xảy ra tiếp tục. Thông thường, một nền kinh tế nào đó phải thỏa mã nhu yếu bên ngoài, ví dụ như, từ những cơ quan như cơ quan cơ quan chính phủ. Trong trường hợp này, gọi di là nhu yếu từngành công nghiệp thứ i bên ngoài, pi, và mij ký hiệu như trong quy mô đóng ở trên, khi đóvới mỗi i. Từ đây cho ta hệ phương trình tuyến tính viết dạng ma trận như sau : trong đó P. và A ký hiệu như ở trên vàlà vectơ nhu yếu. Một cách để giải hệ tuyến tính này là20Tất nhiên, tất cả chúng ta nhu yếu ở đây là ma trận I-A phải khả nghịch, điều đó có thểkhông phải luôn luôn đúng. Nếu, them vào đó, ( I-A ) – 1 có những thành phần không âm, thìcác thành phần của vectơ P. là không âm và do đó chúng hoàn toàn có thể gật đầu được nhưlà những nghiệm của quy mô này. Ta nói trong trường hợp này rằng A là ma trận sảnxuất. Ví dụ Xét một nền kinh tế mở với 3 ngành công nghiệp : khai thác than, nhà máyphát điện và một nhà máy sản xuất sản xuất xe hơi. Để sản xuất 1 USD than, những hoạt động giải trí khai tháckhoáng sản phải mua USD 0.1 mẫu sản phẩm riêng của mình, USD 0,30 điện và 0,1 USD giá trị củaô tô để luân chuyển của nó. Để sản xuất 1 USD điện, phải mất USD 0,25 than, USD 0.4 của điệnvà 0,15 USD của xe hơi. Cuối cùng, để sản xuất 1 USD giá trị của xe hơi, những nhà máy sản xuất xe hơi phảimua 0,2 USD than, USD 0,5 điện và tiêu thụ 0,1 USD của xe hơi. Giả sử rằng trong khoảng chừng thờigian một tuần, nền kinh tế có nhu yếu từ bên ngoài khoảng chừng 50.000 USD giá trị của than, 75.000 USD giá trị của điện, và 125.000 USD giá trị của xe hơi. Tìm năng lượng sản xuất củamỗi ngành công nghiệp trong khoảng chừng thời hạn một tuần để phân phối đúng mực cảnhu cầu nội bộ và nhu yếu bên ngoài. Lời giải Ma trận vào – ra của nền kinh tế làvà vectơ nhu yếu làBởi phương trình ( * ) ở trên, ta có P = ( I-A ) – 1 d, trong đóSử dụng giải pháp khử của ( hoặc công thức B-1 = ( 1 / det ( B ) ) adj ( B ) ), ta tính đượcSuy raNên, tổng sản lượng của những hoạt động giải trí khai thác than phải là 229.921,59 USD, tổng sảnlượng cho những nhà máy sản xuất phát điện là 437.795,27 USD và tổng sản lượng cho xí nghiệp sản xuất tựđộng sản xuất là 237.401,57 USD. 21 ƯNG DỤNG TRONG LÝ THUYẾT KHỬGiới thiệu Nhiều yếu tố trong đại số tuyến tính ( và nhiều ngành khoa học khác ) dẫntới việc xử lý một hệ phương trình tuyến tính của 1 số ít biến. Điều này cónghĩa là tìm nghiệm chung cho một số ít phương trình ” đa thức ” bậc 1 ( siêu phẳng ). Trong nhiều trường hợp, tất cả chúng ta đang phải đương đầu với hệ phương trình ” phi tuyến ” của những phương trình đa thức của nhiều hơn một biến. Một những hình học hóa, điềunày có nghĩa là tìm điểm chung của một số ít ” mặt “. Giống như giải pháp khửGauss cho những hệ tuyến tính, triết lý khử nói chung là về việc khử một số ít lượngẩn số từ một hệ phương trình đa thức của một hay nhiều biến để có được một hệphương trình tương tự đơn thuần hơn. Một cách để tìm ra nghiệm chung của những phương trình đa thức là giải từngphương trình riêng không liên quan gì đến nhau và sau đó so sánh toàn bộ những nghiệm. Đây không phải là mộtcách hiệu suất cao nhất nếu tiềm năng chỉ là để chỉ ra sự sống sót nghiệm của hệ. Để hiểu tầm quan trọng của triết lý khử, tất cả chúng ta mở màn bằng việc xét ví dụ đơngiản sau. Ví dụ Xét một hệ phương trình bậc hai của một ẩn x : Chúng ta tìm một điều kiện kèm theo cần và đủ để sống sót một nghiệm của hệNếu f ( x ) và g ( x ) có một nghiệm chung, thì chúng phải có một nhân tử tuyến tínhchung, ví dụ điển hình là L. ĐặtKhi đó cả q1 ( x ) và q2 ( x ) phải là tuyến tính, và ta hoàn toàn có thể viết dưới dạng ( chọn dấu “ – “ trong q2 ( x ) sẽ có ý nghĩa ở phần sau ) với những hằng số A1, B1, A2 và B2. Bây giờ, từ22Ta cóMột cách tường minh, ta cóKhai triển và nhóm những hạng tử cùng bậc trong phương trình trên ta được : Phương trình này là đúng với mọi x nếu những thông số của x, x2, x3 và thông số tự do bằng 0. Từ đó ta có hệ phương trình tuyến tính sau với những ẩn được sắp xếp theo thứ tự là : A2, B2, A1, B1 : Để hệ này có nghiệm không tầm thường thì ma trận thông số của nó phải là ma trận suybiến, tức là định thức của nó phải bằng 0 : Điều này tương tự vớido định thức của một ma trận bằng định thức ma trận chuyển vị của nó. Định thứcnày được gọi là kết thức ( Sylvester ) của f ( x ) và g ( x ). Chú ý rằng kết thức trongtrường hợp này là định thức của ma trận cấp 4×4 gồm có những thông số của hai đa thứccùng với 0 ở được sắp xếp theo một cách đặc biệt quan trọng. Sau đây là định nghĩa của kết thức : Định nghĩa Cholà hai đa thức bậc tương ứng là m và n sao cho am ≠ 0 và bn ≠ 0. Nếu m ≤ n, ta địnhnghĩa kết thức của f ( x ) và g ( x ) là định thức sau : 23C hú ý rằng Res ( f ( x ), g ( x ) ) là định thức của một ma trận vuông cấp ( m + n ). Ví dụ NếuthìTổng quát của ví dụ tiên phong, ta có định lý sau : Định lý Cholà hai đa thức tương ứng bậc m và n với am ≠ 0 và bn ≠ 0. Khi đó hệ phương trình đathứccó nghiệm nếu và chỉ nếu Res ( f ( x ), g ( x ) ) = 0. Ví dụ 1 Không giải những phương trình đa thức, chứng tỏ rằng hệ phương trình saucó nghiệm : Lời giải Ta tính kết thức của hai đa thức24

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay