Ứng dụng của tích phân trong hình học toán 12 chi tiết nhất

I. Lý thuyết ứng dụng của tích phân trong hình học

1. Tính diện tích hình phẳng.

a) Nếu hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x)y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b][a;b]; trục hoành và hai đường thẳng x=a;x=bx=a;x=b, thì diện tích SS được cho bởi công thức:

S = ∫ ba | f ( x ) | dxS = ∫ ab | f ( x ) | dx ( 1 )

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu của f(x)f(x) trên đoạn [a,b][a,b]. Nếu f(x)f(x) không đổi dấu trên khoảng (c;d)⊂[a;b](c;d)⊂[a;b] thì :

∫ dc | f ( x ) | dx = ∣ ∣ ∫ dcf ( x ) dx ∣ ∣ ∫ cd | f ( x ) | dx = | ∫ cdf ( x ) dx |
Chẳng hạn ta có :
∫ ba | f ( x ) | dx = ∣ ∣ ∫ c1af ( x ) dx ∣ ∣ + ∣ ∣ ∫ c2c1f ( x ) dx ∣ ∣ ∫ ab | f ( x ) | dx = | ∫ ac1f ( x ) dx | + | ∫ c1c2f ( x ) dx | + ∣ ∣ ∫ c3c2f ( x ) dx ∣ ∣ + ∣ ∣ ∫ bc3f ( x ) dx ∣ ∣ + | ∫ c2c3f ( x ) dx | + | ∫ c3bf ( x ) dx |
b ) Nếu hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số y = f1 ( x ) và y = f2 ( x ) liên tục trên đoạn [ a ; b ] và hai đường thẳng x = a, x = bx = a, x = b thì diện tích quy hoạnh SS được cho bởi công thức :
∫ ba | f1 ( x ) − f2 ( x ) | dx ∫ ab | f1 ( x ) − f2 ( x ) | dx ( 2 )

Chú ý: Để tính tích phân trên, ta xét dấu f(x)= f1(x)  – f2(x) trên đoạn [a;b][a;b] hoặc tìm nghiệm của nó trên khoảng (a;b)(a;b), sau đó áp dụng tính chất nêu ở chú ý trên. Cụ thể ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 : Giải phương trình : f1 ( x ) – f2 ( x ) = 0, tìm những nghiệm xi ∈ ( a ; b ) .
Bước 2 : Sắp xếp những nghiệm theo thứ tự tăng dần, ví dụ điển hình có n nghiệm :
x1 < x2 < … < xn . Bước 3 : Tính diện tích quy hoạnh theo công thức ( * ) : S = ∫ ab | f ( x ) | dx = ∣ ∣ ∫ x1af ( x ) dx ∣ ∣ + ∣ ∣ ∫ x2x1f ( x ) dx ∣ ∣ + ... + ∣ ∣ ∫ bxnf ( x ) dx ∣ ∣ S = ∫ ab | f ( x ) | dx = | ∫ ax1f ( x ) dx | + | ∫ x1x2f ( x ) dx | + ... + | ∫ xnbf ( x ) dx | Nếu hình phẳng nói trên không cho số lượng giới hạn bởi hai đường thẳng x = a, x = bx = a, x = b thì ta tìm những nghiệm trên tập xác lập và trong công thức ( * ), a được thay thế sửa chữa bởi x1, b được thay thế sửa chữa bởi xn . Công thức ( 1 ) là trường hợp đặc biệt quan trọng của công thức ( 2 ) khi y = f1 ( x ) = 0 hoặc y = f2 ( x ) = 0 . Tương tự, hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g1 ( y ), x = g2 ( y ) liên tục trên đoạn [ c ; d ] và hai đường thẳng y = c, y = d có diện tích quy hoạnh được cho bởi công thức : S = ∫ dc | g1 ( y ) − g2 ( y ) | dyS = ∫ cd | g1 ( y ) − g2 ( y ) | dy

2. Thể tích vật thể

Một vật thể được giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ x=a,x=b(a

3. Thể tích khối tròn xoay

a ) Hình phẳng quay quanh trục Ox : Cho hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) y = f ( x ) không âm và liên tục trên đoạn [ a ; b ] [ a ; b ], trục OxOx và hai đường thẳng x = a, x = bx = a, x = b quay quanh trục OxOx, ta được khối tròn xoay ( h. 4 ). Thể tích Vx của khối tròn xoay này được cho bởi công thức : Vx = π ∫ ba [ f ( x ) ] 2 dx. Vx = π ∫ ab [ f ( x ) ] 2 dx .
b ) Hình phẳng quay quanh trục Oy ( kiến thức và kỹ năng bổ trợ ) : Cho hình phẳng được số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số x = g ( y ) x = g ( y ) không âm và liên tục trên đoạn [ c ; d ] [ c ; d ], trục OyOy và hai đường thẳng y = c, y = dy = c, y = d quay quanh trục OyOy, ta được khối tròn xoay. Thể tích Vy của khối tròn xoay này được cho bởi công thức : Vy = π ∫ dc [ g ( y ) ] 2 dy. Vy = π ∫ cd [ g ( y ) ] 2 dy .

Chú ý. Thể tích của vật thể tạo bởi hình phẳng được giới hạn bởi hai đường thẳng x=ax=a, x=bx=b và đồ thị hàm số y = f1(x), y = f2(x) liên tục và 0 ≤  f1(x) ≤ f2(x) trên đoạn [a;b][a;b] quay quanh trục OxOx được cho bởi công thức:Vx=π∫ba[(f2(x))2−(f1(x))2]dxVx=π∫ab[(f2(x))2−(f1(x))2]dx

Tương tự, đổi vai trò xx và yy cho nhau, ta có công thức tính Vy ( khi hình phẳng quay quanh trục Oy ) .

II. Hướng dẫn trả lời câu hỏi bài tập ứng dụng của tích phân trong hình học toán 12

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 114:

Tính diện tích quy hoạnh hình thang vuông được số lượng giới hạn những đường thẳng y = – 2 x – 1, y = 0, x = 1 và x = 5 .
So sánh với diện tích quy hoạnh hình thang vuông trong câu hỏi 1 bài 2 .

Lời giải:

Ta có diện tích hình thang cần tính

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 117:

Hãy nhắc lại công thức tính thể tích khối lăng trụ có diện tích quy hoạnh đáy bằng B và chiều cao bằng h .

Lời giải:

Công thức tính thể tích lăng trụ có diện tích quy hoạnh đáy là B và chiều cao là h là : V = B * h .

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 3 trang 119:

Nhắc lại khái niệm mặt tròn xoay và khối tròn xoay trong hình học .

Lời giải:

– Khái niệm mặt tròn xoay : Trong khoảng trống cho mặt phẳng ( P ) chứa đường thẳng Δ và chứ đường L. Khi quay mặt ( P ) xung quanh Δ một góc 360 o thì đường L tạo nên một mặt tròn xoay. Mặt tròn xoay đó nhận Δ làm trục, đường L được gọi là đường sinh .
– Khái niệm khối tròn xoay : Khối tròn xoay là khối hình học được tạo thành khi quay một hình phẳng quanh một đường thẳng cố định và thắt chặt ( trục quay ) của hình .

III. Hướng dẫn giải bài tập ứng dụng của tích phân trong hình học toán 12

Bài 1 trang 121 SGK Giải tích 12:

Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường :
a ) y = x2 ; y = x + 2
b ) y = | lnx | ; y = 1
c ) y = ( x – 6 ) 2 ; y = 6 x – x2

Lời giải:

a ) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của phương trình :

x2 = x + 2 ⇔ x2 – x – 2 = 0 ⇔ 

Vậy diện tích quy hoạnh cần tìm là :

b ) Hoành độ giao điểm hai đồ thị là nghiệm của pt :

Vậy diện tích cần tìm là:

(Vì lnx > 0 khi 1 < x < e và lnx < 0 khi  ).

c) Hoành độ giao điểm của hai đồ thị là nghiệm của pt :

( x – 6 ) 2 = 6 x – x2
⇔ ( x – 6 ) 2 + x2 – 6 x = 0
⇔ ( x – 6 ). ( x – 6 + x ) = 0
⇔ ( x – 6 ) ( 2 x – 6 ) = 0
⇔ x = 3 hoặc x = 6
Vậy diện tích quy hoạnh cần tìm là :

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a ; x = b là :

Bài 2 trang 121 SGK Giải tích 12:

Tính diện tích quy hoạnh hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường cong y = x2 + 1, tiếp tuyến với đường này tại điểm M ( 2 ; 5 ) và trục Oy .

Lời giải:

Xét hàm số y = x2 + 1 có đạo hàm y ’ = 2 x
Phương trình tiếp tuyến với đường cong y = x2 + 1 tại điểm M ( 2 ; 5 ) là :
y = y ’ ( 2 ). ( x – 2 ) + 5 ⇔ y = 4 ( x – 2 ) + 5 hay y = 4 x – 3
Phương trình hoành độ giao điểm của đường cong và tiếp tuyến là :
x2 + 1 = 4 x – 3 ⇔ x2 – 4 x + 4 = 0 ⇔ x = 2
Vậy diện tích quy hoạnh hình số lượng giới hạn bởi y = x2 + 1 ; tiếp tuyến y = 4 x – 3 và trục Oy ( x = 0 ) là :

Kiến thức áp dụng

+ Diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f ( x ) ; y = g ( x ) và hai đường thẳng x = a ; x = b là :

+ Phương trình tiếp tuyến của đường cong y = f(x) tại điểm M(x0 ; y0) là :

y = f ’ ( x0 ). ( x – x0 ) + y0

Bài 3 trang 121 SGK Giải tích 12:

Parabol  chia hình tròn có tâm tại gộc toạ độ, bán kính 2√2 thành hai phần. Tìm tỉ số diện tích của chúng.

Lời giải:

Bài 4 trang 121 SGK Giải tích 12:

Tính thể tích khối tròn xoay đó hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường sau quay quanh Ox :

Lời giải:

a ) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình :

Vậy thể tích khối tròn xoay cần tính là :

b ) Thể tích khối tròn xoay cần tính :

c ) Thể tích khối tròn xoay cần tính :

Kiến thức áp dụng

Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị y = f ( x ), trục Ox, đường thẳng x = a ; x = b quay quanh trục Ox tạo thành là :

Bài 5 trang 121 SGK Giải tích 12:

Cho tam giác vuông OPM có cạnh OP nằm trên trục Ox. Đặt  ; OM = R 

Gọi V là khối tròn xoay thu được khi quay tam giác đó quanh trục Ox ( H. 63 ) .
a ) Tính thể tích của V theo α và R .
b ) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất .

Lời giải:

a ) Ta có : OP = OM.cos α = R. cosα
Phương trình đường thẳng OM đi qua O nên có dạng : y = k. x
OM tạo với trục hoành Ox 1 góc
⇒ Hệ số góc k = tanα
⇒ OM : y = x. tanα
Vậy khối tròn xoay được tạo bởi hình phẳng số lượng giới hạn bởi đường thẳng y = x. tanα ; y = 0 ; x = 0 ; x = R.cos α quay quanh trục Ox

* Ta tìm giá trị lớn nhất của P = cosα – cos3α

Kiến thức áp dụng

+ Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng : y = kx .

Trong đó, k là hệ số góc và k = tan α với α là góc tạo bởi đưởng thẳng và tia Ox.

+ Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x); trục Ox và hai đường thẳng x= a và x = b (a < b) là: 

toán lớp 12 bài 3 giải bài tập do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 12. Được Soanbaitap. com chỉnh sửa và biên tập và đăng trong phân mục giải toán 12 giúp những bạn học viên học tốt môn toán đại 12. Nếu thấy hay hãy comment và san sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập .toán lớp 12 bài 3 giải bài tập

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay