Trong chương trình hình học nâng cao lớp 11 đã đề cập về phép biến hình. Khi gặp những bài toán vận dụng phép biến hình, mình khá lúng túng và gặp khó khăn vất vả khi tìm kiếm lời giải một phần cũng là do thiếu tài liệu, sách để tìm hiểu thêm. Chính do đó, khi đọc được bài báo hay của Kin. Y.Lin về phép biến hình trên tạp chí toán học Hồng Kông ( Mathematical Excalibur ) mình bèn dịch sang tiếng Việt và đưa lên đây để mọi người tìm hiểu thêm. Mong rằng bài viết này sẽ giúp cho những bạn hiểu thêm và đỡ “ sợ ” khi gặp những bài toán về phép biến hình hơn .
PHÉP BIẾN HÌNH VÀ ỨNG DỤNG GIÚP GIẢI CÁC BÀI TOÀN CHỨNG MINH HÌNH HỌC
KIN.Y.LIN
I. PHÉP TỊNH TIẾN.
Nhắc lại khái niệm về phép tịnh tiến theo 
: Trong mặt phẳng, phép tịnh tiến theo là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M’ sao cho 
. Kí hiệu phép tịnh tiến theo là 
Ví dụ 1: Cho một lục giác ABCDEF có các cạnh đối diện song song với nhau và thỏa mãn BC – EF = ED – AB = AF – CD > 0. Chứng minh rằng các góc của lục giác ABCDEF bằng nhau.
Lời giải.
*Làm thế nào mà ta có thể khai thác được dữ kiện BC – EF = ED – AB = AF – CD > 0 mà đề bài đã cho ? Chúng ta sẽ thử di chuyển các cạnh của lục giác “lại gần nhau” xem sao !
Xét các phép tịnh tiến : 
Khi đó các tứ giác EFAP, ABCQ, CDER là hình bình hành.
Từ điều kiện giả thiết cho các cạnh đối diện của lục giác song song với nhau, P thuộc AQ, Q thuộc CR và R thuộc EP (dễ dàng chứng minh), ta có: BC – EF = AQ – AP = PQ.
Tương tự, ta có: ED – AB = QR và AF – CD = RP. Vậy 
là tam giác đều.
Suy ra các góc của bằng 
.
Suy ra 
. Tương tự, 
(đpcm).
Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD với AD = BC. E, F tương ứng là trung điểm của CD, AB. Giả sử tia AD, FE giao nhau tại H và tia BC, FE giao nhau tại G. Chứng minh rằng 
Lời giải.
Xét phép tịnh tiến 
Khi đó BCAI hình bình hành. Từ giả thiết F là trung điểm của AB, suy ra F cũng là trung điểm của CI. Áp dụng định
lí về đường trung bình trong tam giác CDI, ta có EF // DI. Mặt khác CB // AI nên ta có 
Vì AD = BC = AI nên 
Mà EF // DI
(đpcm)
Ví dụ 3 : Cho M, N lần lượt là trung điểm những cạnh AD, BC của tứ giác ABCD. Hãy chứng tỏ rằng nếu 2MN = AB + CD thì AB / / CD .
Lời giải.
Xét các phép tịnh tiến 
Khi đó ta có thể thấy CDME và BÀM là các hình bình hành. Vì 
nên BFCE là hình bình hành.
Mà N là trung điểm của BC nên N cũng là trung điểm của EF.
Tiếp theo, lấy 
, khi đó EMFK là hình bình hành, suy ra MK = 2MN = AB + CD = MF + EM = MF + FK.
Từ đó ta có F, M, K, N thẳng hàng và AB // MN. Tương tự, CD // MN, suy ra AB // CD
Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay
