Phép biến đổi laplace và ứng dụng – Tài liệu, ebook

38 trang

| Chia sẻ : tuanhd28

| Lượt xem: 7015

| Lượt tải : 1

Bạn đang xem trước 20 trang tài liệu Phép biến đổi laplace và ứng dụng, để xem tài liệu hoàn chỉnh bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên

wn = z. Đặt w = ρ ( cosθ + isinθ ), ta có ρn ( cosnθ + isinnθ ) = [ ρ ( cosθ + isinθ ) ] n = wn = z = r ( cosϕ + isinϕ ) Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 3 ⎩ ⎨ ⎧ ∈ + = = ⇒ Z kvới, 2 kn rn πθ ρ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ∈ + = = ⇒ Z k, 2 k rn với n π θ ρ ϕ. Suy ra z r k n i k n n n = + + + ( cos sinϕ π ϕ π2 2 ) ; k = 0,1,2, …, n-1 ; n ∈ N + Nhận xét Căn bậc n của 1 số ít phức z = r ( cosϕ + isinϕ ) ≠ 0 có tổng thể n giá trị, chúng có trình diễn hình học là n đỉnh của một đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn tâm 0 nửa đường kính là n r. ♦ Công thức Euler – Dạng mũ của số phức Công thức Euler : cosϕ + isinϕ = eiϕ Dạng mũ số phức : z = r ( cosϕ + isinϕ ) = reiϕ 0.1 Hàm đa thức w = anzn + an-1zn – 1 + ….. + a1z + a0 = P ( z ) với an ≠ 0 ; a0, a1, ….., an là những hằng số phức, n là số nguyên dương được gọi là bậc đa thức P ( z ). 0.2 Hàm phân thức đại số w : = P z Q z ( ) ( ) với P ( z ), Q. ( z ) là những đa thức. 0.3 – Hàm mũ ♦ w = ez = ex + iy = ex ( cosy + isiny ) ez + 2 kπi = ez e2kπi ez ( cos2kπ + isin2kπ ) = ez, k ∈ Z. ♦ 1 ≠ a ∈ R + : az : = ezlna Ví dụ 2. 7 2 z = ezln2 ; 2 3 + i = e ( 3 + i ) ln2 = e3ln2 eiln2 = e3ln2 [ cos ( ln2 ) + isin ( ln2 ) ]. ¡ 0.4 – Các hàm lượng giác sin z e iz e iz i = − − 2 ; cosz e iz e iz = + − 2 tgz z z = sin cos ; cot cos sin gz z z = Với t ∈ R, cos ( it ) = 2 ee tt + − + ∞ ⎯ ⎯ → ⎯ + ∞ → t ; sin ( it ) = 2 ee tt − − + ∞ ⎯ ⎯ → ⎯ − ∞ → t. ª * Nhận xét Các hàm sinz, cosz không bị chặn trên. 0.5 – Các hàm Hyperbolic shz e z e z = − − 2 ; chz e z e z = + − 2 thz shz chz = ; shz chzzcoth = 0.6 Các hàm logarit ♦ Nếu z = ew thì ta viết w = lnz, gọi là logarit tự nhiên của z. z = reiϕ = rei ( ϕ + k2π ), k = 0, ± 1, ± 2, …. w = lnz = lnr + i ( ϕ + k2π ) ; k = 0, ± 1, ± 2, …. Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 4 Vậy w = lnz là hàm đa trị. Với mỗi số nguyên k cố định và thắt chặt, ta sẽ xác lập được một nhánh của hàm, lúc đó hàm trở thành đơn trị. Nhánh chính của hàm lnz, ký hiệu là Lnz, xác lập bởi : Lnz = lnr + iϕ với 0 ≤ ϕ < 2 π ( hoặc hoàn toàn có thể lấy - π < ϕ ≤ π ). Hàm lnz là hàm ngược của hàm ez. ♦ Nếu z = aw thì w = logaz, 0 < a ≠ 1 : W z z = = log ln a aln 0.7 - Các hàm lượng giác ngược Các hàm ngược của những hàm sinz, cosz, tgz, cotgz lần lượt là arcsinz, arccosz, arctgz, arccotgz ; và xác lập như sau : arcsin ln ( ) z i iz z = + − 1 1 2 arctgz i iz iz = + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 1 1 ln arccos ln ( ) z i z z = + − 1 12 arc gz i z i z i cot ln = + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 2 0.8 - Các hàm Hyperbolic ngược Các hàm ngược của những hàm shz, chz, thz, cothz lần lượt là, ,, ; và xác lập như sau : zsh 1 − zch 1 − zth 1 − zcoth 1 − sh z z z − = + + 1 1 ln ( ) 2 th z z z − = + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 1 2 1 1 ln ch z z z − = + − 1 1 ln ( ) 2 coth ln − = + − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ 1 1 2 1 1 z z z 0.9 - Hàm lũy thừa zα, α ∈ C được định nghĩa bởi zα : = eαlnz Tương tự hàm ( f ( z ) ) g ( z ) =. g ( z ) lnf ( z ) e 1 - Hàm gốc Hàm gốc là hàm phức biến thực f ( t ) = u ( t ) + iv ( t ), thỏa mãn nhu cầu 3 điều kiện kèm theo sau : ( i ) f ( t ) liên tục hay liên tục từng khúc trên toàn trục t ( những điểm gián đoạn ( nếu có ) thuộc loại 1 ). ( ii ) f ( t ) = 0 khi t < 0. ( iii ) f ( t ) có bậc mũ. Tức là, sống sót những số M > 0, s ≥ 0 sao cho ∀ t > 0 thì stMetf ≤ ) ( Số s0 ≥ 0 sao cho bất đẳng thức ( iii ) thỏa ∀ s = s0 + ε ( ε > 0 ) và không thỏa với s = s0 – ε ( s0 – cận dưới đúng chuẩn của s ) được gọi là chỉ số tăng của hàm f ( t ). Hàm gốc f ( t ) khi t ¤ + ∞ rõ ràng hoặc là hữu hạn hoặc | f ( t ) | tăng ra + ∞ nhưng không nhanh hơn hàm mũ. ts0e Ví dụ 7.1 a ) Hàm bậc thang đơn vị chức năng ( unit step function, Heavisite’s unit function ) : u ( t ) : = ⎩ ⎨ ⎧ > 〈 0 t khi1 0 t khi 0 Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 5 khitsin khi 0 khie khi0 tα là hàm gốc với chỉ số tăng so = 0. Đồ thị của hàm bậc thang đơn vị chức năng được vẽ trong hình 7.1. u ( t ) 1 0 t Hình 7.1 b ) Hàm f ( t ) = > 〈 0 t 0 t = u ( t ) sint là hàm gốc với chỉ số tăng so = 0. ⎩ ⎨ ⎧ c ) Hàm f ( t ) = > < 0 t 0 t = u ( t ) eαt là hàm gốc với chỉ số tăng so = α. ⎩ ⎨ ⎧ d ) Hàm bậc thang đơn vị chức năng trễ a đơn vị chức năng thời hạn : u ( t - a ) : = là hàm gốc với chỉ số tăng so = 0. Đồ thị của hàm bậc thang đơn trễ a đơn vị chức năng thời hạn vị được vẽ trong hình 7.2. ⎩ ⎨ ⎧ > 〈 at khi1 at khi 0 u ( t-a ) 1 0 a t Hình 7. 2 d ) Hàm lọc : uab ( t ) = u ( t-a ) – u ( t-b ), đồ thị là hình 7.3. uab ( t ) 1 0 a b t Hình7. 3 Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 6 Hàm này gọi là hàm lọc vì khi nhân một hàm g ( t ) bất kể với nó, tức là, thì hàm g ( t ) sẽ bị khử mất ngoài băng thông và giữ nguyên dạng trong băng thông đó. ) ] ( ) ( ) [ ( btuatutg − − − bta < < Qui ước về cách viết ♦ Hàm u ( t ) ⎯ ⎯ 1 ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ là gọn viết được ♦ Hàm u ( t ) sint ⎯ ⎯ sint ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ là gọn viết được ♦ Hàm u ( t ) eαt ⎯ ⎯ eαt ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ là gọn viết được M ♦ Hàm u ( t ) g ( t ) ⎯ ⎯ g ( t ) ⎯ ⎯ ⎯ ⎯ → ⎯ là gọn viết được 2 - Hàm ảnh Hàm ảnh của hàm f ( t ) là hàm F ( p ) của biến số phức p = s + iσ xác lập bởi tích phân Laplace F ( p ) : = L [ f ( t ) ] e f t dtpt − + ∞ ∫ ( ) 0 hiệuký = Ví dụ 7.2 a ) Hàm ảnh của hàm f ( t ) = 1 là hàm : F ( p ) = = = ∫ ∞ + − 0 dte pt ∫ − + ∞ → a 0 dtelim pt a a 0 pt a p elim ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ∞ → = p 1 elim pa a − − − + ∞ → = p 1 ( với Rep > 0 ) b ) Hàm ảnh của hàm f ( t ) = eαt là hàm : F ( p ) = = = ∫ ∞ + α − 0 dte. e tpt ∫ − α + ∞ → a 0 dtelim t ) p ( a a 0 t ) p ( a p elim ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − α − α + ∞ → = p 1 elim a ) p ( a − α − − α + ∞ → = α − p 1 ( với Rep > α ) c ) Hàm ảnh của hàm f ( t ) = cost là hàm : F ( p ) = = = ∫ ∞ + − 0 tdtcos. e pt ∫ − + ∞ → a 0 tdtcoselim pt a a 0 2 pt a p1 ) tcospt ( sinelim ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ∞ → = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − + ∞ → 2 pa a p1 p ) acospa ( sinelim = 2 p1 p + ( với Rep > 0 ) d ) Tương tự hàm ảnh của hàm f ( t ) = sint là hàm : Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 7 F ( p ) = = ∫ ∞ + − 0 tdtsin. e pt 2 p1 1 + ( với Rep > 0 ) ¡ 3 – Định lý 7.1 Nếu f ( t ) hàm gốc với chỉ số tăng s0 thì hàm ảnh F ( p ) sẽ quy tụ trong nửa mặt phẳng Re ( p ) = s > s0, và là hàm giải tích ( có đạo hàm ) trong miền đó. 4 – Định lý 7.2 ( điều kiện kèm theo cần của hàm ảnh ) Nếu F ( p ) là hàm ảnh của hàm f ( t ) với chỉ số tăng s0 thì. lim ( ) p F p → ∞ = 0 Ví dụ7. 3 Cho hàm F ( p ) = 1 p 1 p 2 2 + −. Hỏi có sống sót hàm gốc f ( t ) sao cho F ( p ) = L [ f ( t ) ] không ? Giải Vì 01 1 p 1 plim 2 2 p ≠ = + − ∞ →, nên không sống sót hàm gốc f ( t ) sao cho F ( p ) = L [ f ( t ) ]. ¡ 5. Phép biến đổi Laplace 5.1 – Phép biến đổi Laplace Phép tương ứng f ( t ) → F ( p ) = e f t dpt − + ∞ ∫ ( ) 0 t được gọi là phép biến đổi Laplace hay toán tử Laplace. Ký hiệu : L [ f ( t ) ] = F ( p ) ; L { f ( t ) } = F ( p ) ; f ( t ) → F ( p ) ; f ( t ) N F [ p ] 5.2 – Phép biến đổi Laplace ngược Phép tương ứng ngược lại F ( p ) → f ( t ) sao cho L [ f ( t ) ] = F ( p ) được gọi là phép biến đổi Laplace ngược. Ký hiệu : L – 1 [ F ( p ) ] = f ( t ) ; L – 1 { F ( p ) } = f ( t ) ; F ( p ) → f ( t ), F ( p ) ≒ f ( t ) Nhận xét Mỗi biến đổi Laplace luôn có biến đổi Laplace ngược tương ứng và ngược lại. Ví du 7.4 ( xem lại ví dụ 7.2 ) a ) L [ 1 ] = p 1 ; L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ p 1 = 1 ( với Rep > 0 ) b ) L [ eαt ] = α − p 1 ; L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ α − p 1 = eαt ( với Rep > α ) Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 8 c ) L [ cost ] = 2 p1 p + ; L – 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 p1 p = cost ( với Rep > 0 ) d ) L [ sint ] = 2 p1 1 + ; L – 1 ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 p1 1 = sint ( với Rep > 0 ) e ) L [ t ] = = = ∫ ∞ + − 0 tdte pt ∫ − + ∞ → a 0 tdtelim pt a a 0 2 pt a p ) 1 pt ( elim ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + − − + ∞ → = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − − + ∞ → 22 pa a p 1 p ) 1 pa ( elim = 2 p 1 ( với Rep > 0 ). Do đó L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 p 1 = t. f ) L [ u ( t-a ) ] = = = = ∫ ∞ + − − 0 dt ) at ( ue pt ∫ ∞ + − a dte pt ∫ − + ∞ → b a dtelim pt b b a pt b p elim ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − + ∞ → = p eelim papb b − − − − + ∞ → = p e pa − ( với Rep > 0 ) ¡ 6 – Các đặc thù cơ bản của phép biến đổi laplace 6. 1 Tính chất tuyến tính Nếu [ ] [ ] phứcsố cáclà, và ) p ( G ) t ( g ), p ( F ) t ( f βα = = LL thì L [ αf ( t ) + β g ( t ) ] = αF ( p ) + β G ( p ) Chứng minh L [ αf ( t ) + β g ( t ) ] = = + β ∫ ∞ + + − 0 dt ) ] t ( g ) t ( f [ e pt βα ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( f e ptα ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( g e pt = α L [ f ( t ) ] + β L [ g ( t ) ] = αF ( p ) + β G ( p ). ª Ví dụ 7.5 a ) L [ 5 – 3 e2t + 4 sint ] = 5L [ 1 ] – 3 L [ e2t ] + 4 L [ sint ] = 2 p 3 p 5 − – + 4 2 p1 1 + b ) L [ shwt ] = L ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − 2 ee wtwt = 2 1 ( L [ ewt ] – L [ e-wt ] ) = 2 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − wp 1 wp 1 = 22 wp w −, với Rep > ⎢ w ⎢. c ) Tương tự L [ chwt ] = 22 wp p −, với Rep > ⎢ w ⎢. d ) Aûnh của hàm lọc : L [ uab ( t ) ] = L [ u ( t-a ) ] – L [ u ( t-b ) ] = p ee pbpa − − −. ¡ 6. 2 Tính chất đồng dạng ( đổi khác thang đo ) Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 9 Nếu [ ] 0 và ) p ( F ) t ( f > = αL thì L [ f ( αt ) ] = 1 α αF p ( ), L – 1 [ F ( αp ) ] = ) αtf ( α1 Chứng minh L [ f ( αt ) ] = = ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( f e pt α α 1 ∫ ∞ + − 0 du ) u ( f e up α = 1 α αF p ( ). ª Ví dụ 7.6 a ) Biết L [ sint ] = 1 p 1 2 +. Khi đó L [ sinwt ] = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 w p1 1 w 1 = 22 wp w + b ) Biết L [ cost ] = 1 p p 2 +. Khi đó L [ coswt ] = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + 2 w p1 w p w 1 = 22 wp p + ¡ 6. 3 Tính chất di dời gốc Nếu [ ] ) p ( F ) t ( f = L và a > 0 thì L [ u ( t-a ) f ( t-a ) ] = e F ( p ) ; pa − L – 1 [ F ( p ) ] = u ( t-a ) f ( t-a ). e pa − Chú ý : u ( t – a ) = ⎩ ⎨ ⎧ > 〈 at khi1 a t khi 0 Chứng minh L [ u ( t-a ) f ( t-a ) ] = = ∫ ∞ + − − − 0 dt ) at ( u ) at ( f e pt ∫ ∞ + − − a dt ) at ( f e pt = = ( đặt u = t – a ) ∫ ∞ + + − 0 du ) u ( f e ) au ( p ∫ ∞ + − − 0 du ) u ( f ee pupa = = e-paF ( p ). ª ∫ ∞ + − − 0 du ) u ( f ee pupa Ví dụ 7.7 a ) Biết L [ sinwt ] = 22 wp w +. Khi đó L [ u ( t-2 ) sin ( w ( t-2 ) ) ] = e p2 − 22 wp w +. b ) Biết L [ t ] = 2 p 1. Khi đó L – 1 [ pe − 2 p 1 ] = u ( t-1 ) ( t-1 ). ¡ 6.4 – Tính chất di dời ảnh Nếu [ ] ) p ( F ) t ( f = L, f ( t ) có chỉ số tăng so, a là số phức Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 10 thì L = F ( p-a ), với Re ( p-a ) > so. ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ) t ( feat Chứng minh L = = = F ( p-a ), với Re ( p-a ) > so. ª ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ) t ( feat ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( fe e atpt ∫ ∞ + − − 0 dt ) t ( f e t ) ap ( Ví dụ 7.8 a ) Biết L [ t ] = 2 p 1. Khi đó L [ eαt ] = t 2 ) p ( 1 α −. b ) Biết L [ sinwt ] = 22 wp w +. Khi đó L [ e αt sinwt ] = 22 w ) p ( w + α −. c ) Biết L [ coswt ] = 22 wp p +. Khi đó L [ e αt coswt ] = 22 w ) p ( p + α − α −. d ) L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + 13 p4p 4 p 2 = L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − + + − − 2222 3 ) 2 p ( 3.2 3 ) 2 p ( 2 p = e2tcos3t + 2 e2tsin3t. ¡ 6.5 Ảnh của hàm gốc tuần hoàn Đồ thị hàm tuần hoàn f ( t ) được màn biểu diễn trong hình 7.4. f ( t ) Hình 7.4 Nếu f ( t ) là hàm gốc tuần hoàn với chu kỳ luân hồi T thì ảnh của nó là F ( p ) = L [ f ( t ) ] = 1 1 0 − − − ∫ Tp pt f t dte e T ( ) Chứng minh L [ f ( t ) ] = = + + ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( f e pt ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt ∫ − T2 T dt ) t ( f e pt Trong những tích phân sau ta lần lượt đổi biến t = u + T, t = u + 2T .., ta được L [ f ( t ) ] = + e-PT + e-2PT +. ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt ∫ − T 0 du ) u ( f e pu ∫ − T 0 du ) u ( f e pu = + e-PT + e-2PT + ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt = ( 1 + e-PT + e-2PT + ) = ∫ − T 0 dt ) t ( f e pt 1 1 0 − − − ∫ Tp pt f t dte e T ( ). ª Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 11 Ví dụ 7.9 Tìm ảnh của hàm gốc f ( t ) =, f ( t ) tuần hoàn chu kỳ luân hồi là 2 π. ⎩ ⎨ ⎧ < < < ≤ ππ π 2 t nếu 0 t0 nếu t f ( t ) π 0 π 2 π 3 π 4 π 5 π t Giải L [ f ( t ) ] = dt ) t ( fe pt e1 1 2 0 p2 ∫ − − − π π = tdte pt e1 1 0 p2 ∫ − − − π π = e1 1 p2π − − π 0 2 pt p ) 1 pt ( e ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + − − = e1 1 p2π − − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − − 2 p 2 p ) 1 ( pe p 1 ππ ¡ 6.6 - Tính chất đạo hàm hàm gốc Nếu hàm gốc f ( t ) có đạo hàm đến cấp n và những đạo hàm cũng là hàm gốc thì : L [ f ’ ( t ) ] = pF ( p ) - f ( 0 ) L [ f ’ ’ ( t ) ] = p2F ( p ) - pf ( 0 ) - f ’ ( 0 ) L [ f ( n ) ( t ) ] = pnF ( p ) - pn-1f ( 0 ) - pn-2f ’ ( 0 ) - ........ - f ( n - 1 ) ( 0 ) Trong đó F ( p ) = L [ f ( t ) ]. Chứng minh Aùp dụng tích phân từng phần, ta có L [ f ’ ( t ) ] = = [ ] + p = pF ( p ) – f ( 0 ). ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( ' f e pt ∞ − 0 pte ) t ( f ∫ ∞ + − 0 dt ) t ( f e pt L [ f ’ ’ ( t ) ] = p L [ f ’ ( t ) ] - f ’ ( 0 ) = p [ pF ( p ) – f ( 0 ) ] - f ’ ( 0 ) = p2F ( p ) – pf ( 0 ) – f ’ ( 0 ) ª Ví dụ 7.10 Giải phương trình vi phân :. 1 ) 0 ( y, 1 ) 0 ( y, tyy = ′ = = − ′ ′ Giải Đặt = L [ y ]. Biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc ta được : ) P ( YY = 222 2 2 2 p 1 1P 1 1P 1Y P 11P ) 1P ( Y P 1Y ) 0 ( y ) 0 ( PyYP − − + − = ⇔ + + = − ⇔ = − ′ − − Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 12 Biến đổi Laplace ngược hai vế : [ ]. tshtey P 1 1P 1 1P 1Y y t 2 1 2 111 − + = ⇔ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = = − − − − LLLL Vậy nghiệm của phương trình đã cho là : ¡. tshtey t − + = 6.7 - Tính chất đạo hàm hàm ảnh ( nhân cho t ) Nếu F ( p ) = L [ f ( t ) ] và Re ( p ) > s0 thì L [ t f ( t ) ] = – F ’ ( p ), L [ t2f ( t ) ] = F ’ ’ ( p ) …. L [ tnf ( t ) ] = ( – 1 ) n F ( n ) ( p ), Re ( p ) > s0. Ví dụ 7.11 Tìm : a ) L [ tsinwt ] b ) L [ tn ] a ) Ta có L [ sinwt ] = 22 wp w + ⇒ L [ tsinwt ] = – ‘ wp w 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + = 222 ) wp ( pw2 + b ) L [ 1 ] = p 1 ⇒ L [ tn ] = L [ tn. 1 ] = ( – 1 ) n ) n ( p 1 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 np ! n + ¡ 6.8 – Tính chất tích phân hàm gốc Nếu [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ > = 0 s ) pRe ( ) p ( F ) t ( fL, thì p ) p ( Ft 0 du ) u ( f = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ L 6.9 – Tính chất tích phân hàm ảnh ( chia cho t ) Nếu L [ f ( t ) ] = F ( p ), Re ( p ) > s0 và du quy tụ trong nửa mặt phẳng Re ( p ) > s1 > s0 thì ∫ ∞ p ) u ( F ∫ ∞ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = p t ) t ( fdu ) u ( F L, Rep > s1 > s0 Ví dụ 7.12 Tìm : a ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ t tsinL b ) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ t 0 du u usinL Giải a ) Ta có L [ sint ] = 1 p 1 2 + ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ t tsinL = ∫ ∞ = + p du1u 1 2 arctgp2 − π b ) Theo đặc thù tích phân hàm gốc ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ t 0 du u usinL = p 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − arctgp 2 π ¡ Ví dụ 7.13 Tìm ảnh của hàm gốc : + − − = ) sin ( ) ( ) ( ππ ttutf e-3t * sin6t + udut e u 5 cos 0 2 ∫ − Giải Aùp dụng đặc thù tuyến tính, đặc thù di dời gốc, định lý Borel, đặc thù tích phân gốc Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 13 [ ] = ) ( tfL πpe p − + 1 1 2 + [ ] te 3 − L [ ] + t6sinL p1 [ ] te t 5 cos2 − L = πpe p − + 1 1 2 + 3 1 + p. 36 6 2 + p + p 1. 25 ) 2 ( 2 2 + + + p p Ví dụ 7.14 ( Sinh viên hoàn thành xong giải thuật ví dụ này ) Tìm ảnh của những hàm gốc : a ) f ( t ) = 5 – 3 e2t – 7 cost b ) 2 t = ) ( tf + tt 5 sin2 udu t e u 3 cos 0 2 ∫ − c ) f ( t ) = d ) Nếu và f ( t + 3 π ) = f ( t ) ⎩ ⎨ ⎧ > < < π π 2,2 sin 20,2 tt t ⎩ ⎨ ⎧ < < < < = ππ π 33 sin 00 ) ( tkhit tkhi tf e ) f ) f ( t ) = 5 + sin3t – 3 te - 2 t – cos2t + + − − = ) 153 sin ( ) 5 ( ) ( ttutf udu t et u cos 0 ∫ − 2 t udut e u 3 sin 0 2 ∫ − 1G iải Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 14 § 2. TÍCH CHẬP VÀ ẢNH CỦA TÍCH CHẬP 1. Tích chập ? Định nghĩa Tích chập của hai hàm phức biến thực f ( t ) và g ( t ), 0 ≤ t < ∞ ; ký hiệu là được định nghĩa bởi gf * ) ) ( * ( tgf = = du ) ut ( g ). ( f t 0 ∫ − u ) ) ( * ( ) u ( ) ( 0 tfgdutfug t = − ∫ Đẳng thức ở giữa trong ba đẳng thức trên có được bằøng cách đổi biến. Như vậy, tích chập có tính giao hoán. Ví dụ 7.14 a ) 1 * t = du ) t − u = ( t 0 ∫ 2 t2. b ) et * 1 = due = et – 1 t 0 ∫ u c ) sint * 1 = duusin = 1 - cost t 0 ∫ d ) t * sint = udusin = t - = t ( 1 - cost ) – ( sint – tcost ) ) t ( t 0 ∫ − u ∫ t 0 udusin ∫ t 0 udusinu = t - sint ¡ ? Các đặc thù ( i ) Giao hoán : f ∗ g = g ∗ f ( ii ) Kết hợp : ( f ∗ g ) ∗ h = f ∗ ( g ∗ h ) = f * g * h ( iii ) Phân phối so với phép cộng : f ∗ ( g + h ) = f ∗ g + f ∗ h ( iv ) ( kf ) * g = k ( f * g ), với k là hằng số. ( v ) | f ∗ g | ≤ | f | ∗ | g | ( vi ) Nếu f ( t ) và g ( t ) liên tục trong 0 ≤ t < ∞ thì f ∗ g cũng liên tục. ( vii ) Nếu f ( t ) là hàm gốc với chỉ số tăng s1 và g ( t ) là hàm gốc với chỉ số tăng s2 thì ( f ∗ g ) ( t ) là hàm gốc với chỉ số tăng là max { s1, s2 }. 2 - Aûnh của tích chập 2.1 - Định lý Borel Nếu thì [ ] [ ] ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ > = > = 1 2 s ) pRe ( ), p ( G ) t ( g s ) pRe ( ), p ( F ) t ( f L L { } ⎩ ⎨ ⎧ = > = g * f ) ] p ( G ). p ( F s, smaxRe ( p ) ), p ( G ). p ( F ] g * f [ [ 1 – 21 L L Ví dụ 7.15 a ) Tìm ảnh của hàm gốc : f ( t ) = 5 + t sh2t + e-2tcos3t +. ∫ − t u duute 0 3 ) sin ( Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 15 b ) Tìm gốc của hàm ảnh : F ( p ) = ) 1 p ( p 1 23 + Giải a ) Aùp dụng tích chập ta được : ( ) tsin * et3coset2tsh5tf t3t2 + + + = − Aùp dụng bảng và định lý Borel ta được : L ( ) [ ] ( ) ( ) 1P 13P 192P 2P4 P P4P5tf 2222 + ⋅ − + + + + + − + = b ) Aùp dụng bảng và định lý Borel ta được : L – 1 [ F ( p ) ] = L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ) 1 p ( p 1 23 = L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ) 1 p ( 1. p 1. p 1 22 = 1 * t * sint = 1 * ( t * sint ) = 1 * ( t – sint ) = 1 * t – 1 * sint = 2 t 2 – ( 1 – cost ) = 2 t 2 – 1 + cost ( xem lại ví dụ 7.14 ) ¡ Ví dụ 7.16 Giải phương trình tích phân sau : y ( t ) = 2 + du t 0 ). u ( y ) utsin ( ∫ − Giải Phương trình tương tự với : y ( t ) = 2 + sint * y ( t ) Đặt Y = Y ( p ) = L [ y ( t ) ] biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng công thức Borel ta được Y = p 2 + L [ sint ] L [ y ( t ) ] ⇔ Y = p 2 + 1 p Y 2 + ⇔ Y = 33 2 p 2 p 2 p ) 1 p ( 2 + = + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được : y ( t ) = L – 1 [ Y ] = 2 + t2 ¡ Ví dụ 7.17 Giải phương trình tích phân : y ( t ) = e3t + 2 duut t uy ) cos ( 0 ) ( − ∫ Giải Aùp dụng tích chập, phương trình tương tự với : y ( t ) = e3t + 2 y ( t ) * cost Đặt Y = Y ( p ) = L [ y ( t ) ] biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được Y = 3 1 − p + 2L [ y ( t ) ] L [ cost ] ⇔ Y = 3 1 − p + 2Y 12 + p p Giải phương trình với Y là ẩn ta được : Y = ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 − − + pp p ( * ) = 2 ) 1 ( − p A + 1 − p B + 3 − p C Phân tích thành phân thức đơn thuần : Y = ) 3 ( ) 1 ( ) 1 ( 2 2 − − + pp p ( * ) = 2 ) 1 ( − p A + 1 − p B + 3 − p C ( với A, B, C = const ). Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 16 Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm : y ( t ) = ttt CeBeAte 3 + + Từ đẳng thức ( * ) tính được 5 13 132 = − + = C, 1 31 112 − = − + = A ; tiếp theo cho được 0 = p 33 1 CBA − − = − rồi thế tính vào tính được CA, 3 7 − = B. 2.2 – Công thức Duhamel Nếu L [ f ( t ) ] = F ( p ), L [ g ( t ) ] = G ( p ) thì L [ f ( 0 ) g ( t ) + f ’ ∗ g ] = pF ( p ) G ( p ). L [ g ( 0 ) f ( t ) + f ∗ g ’ ] = pF ( p ) G ( p ). Ví dụ 7.18 Aùp dụng công thức Duhamel tìm gốc của hàm H ( p ) = ) wp ) ( p ( pw 22 + − α Giải Đặt f ( t ) = sinwt, L [ f ( t ) ] = L [ sinwt ] = 22 wp w +, f ( 0 ) = 0, f ’ ( t ) = wcowt g ( t ) = eαt, L [ g ( t ) ] = L [ eαt ] = α − p 1 H ( p ) = ) wp ) ( p ( pw 22 + − α = α − + p 1. wp w. p 22 = pF ( p ). G ( p ) ⇒ L-1 [ H ( p ) ] = f ( 0 ) g ( t ) + f ’ ∗ g = f ’ ∗ g = w ∫ − t 0 ) ut ( α due.wucos = w = ∫ t 0 utα due.wucos. e α – 22 t2 w ) wtcose ( wwtsinw α α α + − +. ¡ 3 – Một số cách tìm hàm gốc 3.1 Tìm gốc nhờ bảng so sánh Gốc – Ảnh và những đặc thù cơ bản. Ví dụ 7.19 Tìm gốc của những hàm ảnh a ) F ( p ) = 5 p4p 2 p 2 − − − b ) F ( p ) = 8 p4p 8 p 2 + + + Giải a ) F ( p ) = 5 p4p 2 p 2 − − − = 22 3 ) 2 p ( 2 p − − − ⇒ L – 1 [ F ( p ) ] = e2tch3t. b ) F ( p ) = 8 p4p 8 p 2 + + + = 2222 2 ) 2 p ( 2.3 2 ) 2 p ( 2 p + + + + + + Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 17 L – 1 [ F ( p ) ] = e-2tcos2t + 3 e – 2 tcos2t ¡ ⇒ 3.2 – Tìm gốc nhờ định lý Borel và công thức Duhamel Nếu biết L [ f ( t ) ] = F ( p ) và L [ g ( t ) ] = G ( p ) thì hoàn toàn có thể tìm gốc của F ( p ) G ( p ), pF ( p ) G ( p ) nhờ tích chập. Ví dụ 7.20 L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − ) 1 p ( p 1 2 = L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 p 1 L – 1 ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 1 p 1 = t * et = et-t – 1 ¡ 3.3 – Tìm gốc nhờ khai triển thành phân thức đơn thuần Ví dụ 7.21 ( Sinh viên triển khai xong giải thuật ví dụ này ) Tìm gốc của những hàm ảnh sau : a ) F ( p ) = ) 52 ) ( 22 ( 32 22 2 + + + + + + pppp pp b ) F ( p ) = ) 4 ) ( 2 ) ( 1 ( 161034 2 23 + − − − + − ppp ppp c ) F ( p ) = ) 3 ) ( 2 ) ( 1 ( 42 2 − − + − ppp p d ) F ( p ) = ) 134 ) ( 1 ( ) 2 ( 32 23 3 + − + − + + pppp pp + ) 1 ) ( 294 ( 1 2 − + − + ppp p Giải 2 Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 18 Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 19 BIẾN ĐỔI LAPLACE – TÍNH CHẤT Công thức Tên – Tính chất F ( p ) = L [ f ( t ) ] = e f t dtpt − + ∞ ∫ ( ) 0 f ( t ) = L – 1 [ F ( P ) ] Định nghĩa biến đổi laplace biến đổi laplace ngược L [ αf ( t ) + β g ( t ) ] = α L [ f ( t ) ] + β L [ g ( t ) ] Tính chất tuyến tính L [ eat f ( t ) ] = F ( p-a ) L – 1 [ F ( p-a ) ] = eat f ( t ) Tính chất di dời ảnh L [ u ( t-a ) f ( t-a ) ] = e-ap F ( p ) L – 1 [ e-ap F ( p ) ] = u ( t-a ) f ( t-a ) Tính chất di dời gốc L [ f ’ ( t ) ] = p L [ f ( t ) ] – f ( 0 ) L [ f ’ ’ ( t ) ] = p2 L [ f ( t ) ] – pf ( 0 ) – f ’ ( 0 ) M L [ f ( n ) ( t ) ] = pn L [ f ( t ) ] – pn-1f ( 0 ) — f ( n-1 ) ( 0 ) Tính chất đạo hàm hàm gốc ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ∫ t 0 du ) u ( fL = p 1 L [ f ( t ) ] Tính chất tích phân hàm gốc L [ f ( t ) ] = 1 1 0 − − − ∫ Tp pt f t dte e T ( ) Aûnh của hàm gốc tuần hoàn chu kỳ luân hồi T L [ t f ( t ) ] = – F ’ ( p ), L [ t2f ( t ) ] = F ’ ’ ( p ) ….. L [ tnf ( t ) ] = ( – 1 ) n F ( n ) ( p ) Tính chất đạo hàm hàm ảnh ( nhân t ) ∫ ∞ = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ p du ) u ( F t ) t ( fL Tính chất tích phân hàm ảnh ( chia t ) ( f * g ) ( t ) = = du ) ut ( g ). ( f t 0 ∫ − u du ) u ( g ). t ( f t 0 ∫ − u L [ f * g ] = L [ f ( t ) ] L [ g ( t ) ] Tích chập – Aûnh của tích chập Định lý Borel L [ f ( 0 ) g ( t ) + f ’ ∗ g ] = pF ( p ) G ( p ) L [ g ( 0 ) f ( t ) + f ∗ g ’ ] = pF ( p ) G ( p ) Công thức Duhamel Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 20 BẢNG ĐỐI CHIẾU GỐC – ẢNH CƠ BẢN STT f ( t ) F ( p ) = L [ f ( t ) ] STT f ( t ) F ( p ) = L [ f ( t ) ] 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 1 eαt tn sinwt coswt tn eαt shwt chwt eαtsinwt eαtcoswt 1 p 1 p − α n pn ! + 1 w p w2 2 + p p w2 2 + n p n ! ( ) − + α 1 w p w2 2 − p p w2 2 − w p a w ( ) − + 2 2 p p w − − + α α ( ) 2 2 1 11 12 13 14 15 16 17 18 9 20 eαtchwt eαtshwt tsinwt tcoswt tshwt tchwt ba ee btat − − t ee btat − t eαtsinwt t eαtcoswt p p w − − − α α ( ) 2 2 w p w ( ) − − α 2 2 2 2 2 pw p w ( ) + 2 p w p w 2 2 2 2 − + ( ) 2 2 2 2 pw p w ( ) − 2 p w p w 2 2 2 2 + − ( ) 2 ) ) ( ( 1 bpap − − ln p b p a − − ( ) [ ] 2 2 2 2 w p p w − − + α α ( ) [ ] ( ) ( ) p w p w − − − + α α 2 2 2 2 2 Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 21 § 3. ỨNG DỤNG PHÉP BIẾN ĐỔI LAPLACE Sơ đồ ứng dụng của phép biến đổi Laplace Biến đổi Laplace Bài toán và những điều kiện kèm theo đầu Phương trình đại số ( ) Y P ( ) Lời giải Giải phương của bài trình đại toán số Biến đổi Laplace ngược Tìm được Y P F p ( ) ( ) = f ( t ) = L – 1 [ F ( p ) ] Trong sơ đồ trên, nếu bài toán với điều kiện kèm theo khởi đầu là hệ phương trình vi phân hoặc hệ phương trình tích phân hoặc hệ phương trình vi tích phân thì tương ứng tất cả chúng ta có hệ phương trình đại số. Khi đó, tất cả chúng ta giải hệ phương trình đại số rồi biến đổi Laplace ngược sẽ được lời giải bài toán khởi đầu. 1. Giải phương trình vi phân Ví dụ 7.22 Giải những phương trình vi phân sau : a ) y ’ ’ + 2 y ’ + 5 y = e-tsint, y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = 1 b ) y ’ ’ + 3 y ’ + 2 y = f ( t ), y ( 0 ) = y ’ ( 0 ) = 0, f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ > < < 2 t khi, 1 2 t0 khi, et Giải a ) Đặt Y = Y ( P ) = [ ] ) t ( yL. Biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc ta được : p2Y – py ( 0 ) – y ’ ( 0 ) + 2 [ pY – y ( 0 ) ] + 5Y = 1 ) 1 p ( 1 2 + + ⇔ Y = ) 5 p2P ) ( 2 p2P ( 3 p2p 22 2 + + + + + + Biếi đổi Laplace ngược hai vế và vận dụng tác dụng ví dụ 7.21 c ta được nghiệm phương trình là : y ( t ) = 3 1 e-tsint + 3 1 e-tsin2t b ) = ( ) ⎩ ⎨ ⎧ ⎩ ⎨ ⎧ > 〈 〈 < = 2 t 1, 2 t0 0, 1 2 t, 0 2 t0, 1 etf t ( ) ( ) [ ] ( ) 2 tu2tutuet − + − − = et – e2. e ( t-2 ) u ( t-2 ) + u ( t-2 ) Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 22 ⇒ L ( ) [ ] p e 1 p ee 1 p 1 tf P2P2 2 − − + − ⋅ − − = Đặt Y = L ( y ) ; biến đổi Laplace 2 vế phương trình ; vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc và đặc thù di dời gốc ta được : ( ) p e 1 p ee 1 p 1Y2 P3P P2P2 22 − − + − ⋅ − − = + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 p1pp e 2 p1p1p ee 2 p1p1p 1Y p2p22 + + + + + − ⋅ − + + − = ⇔ − − ⇔ p2p22 e 2 p1p 1 p2p1p1p ee 2 p1p1p Y 2 1 2 1 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + − + + ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − − ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + − = − − Biến đổi ngược hai vế và vận dụng đặc thù di dời gốc ta được − − + − − = tetetety 2 3 1 2 1 6 1 ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 tu2t2e 2 12 te 2 12 t2e 3 12 te 2 12 te 6 12 e − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − − + − − − − − + − − − − Ví dụ 7.23 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ’ ’ - 4 y ’ + 20 y = 3 +, với y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = 0 te 2 − te Giải Đặt = ) ( pYY = [ ) t ( y ] L. Biến đổi Laplace hai vế phương trình, vận dụng đặc thù tuyến tính và đặc thù đạo hàm hàm gốc ta được : = ( ) YypYypyYp 20 ) 0 ( 4 ) 0 ( ' ) 0 ( 2 + − − − − [ ] tt ee + − 23L ⇔ = + − ) 204 ( 2 ppY 1 1 2 3 − + + pp ⇔ = Y ] 16 ) 2 ) [ ( 1 ) ( 2 ( 14 2 + − − + − ppp p = 12 − + + p B p A + 16 ) 2 ( 4 ) 2 ( 2 + − + − p DpC Biến đổi Laplace ngược hai vế và vận dụng đặc thù tuyến tính ta được = ) ( ty = ] [ 1 Y − L ] 16 ) 2 ( 4 16 ) 2 ( 2 1 1 2 1 [ 22 1 + − + + − − + − + + − p D p pC p B p AL ⇔ = ) ( ty + + + tAe 2 − tBe tCe t 4 cos2 tDe t 4 sin2 Tìm dựa vào đẳng thức : DCBA, ,, ] 16 ) 2 ) [ ( 1 ) ( 2 ( 14 2 + − − + − ppp p ( * ) = 12 − + + p B p A + 16 ) 2 ( 4 ) 2 ( 2 + − + − p DpC = A ] 16 ) 22 ) [ ( 12 ( 1 ) 2 ( 4 2 + − − − − − − × 32 3 =, = B ] 16 ) 21 ) [ ( 21 ( 114 2 + − + − × = 17 1 Từ ( * ) cho được : 0 = p = × − − 202 1 2 A B − + 20 42 DC + − Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 23 Từ ( * ) cho được : 2 = p 64 7 = 44 DBA + + Suy ra = C 544 83 −, = D 544 59 Ví dụ 7.24 Cho phương trình vi phân ttytyty 2 sin3 ) ( 18 ) ( ' 6 ) ( ' ' = + +, 0 ) 0 ( = y, 0 ) 0 ( ' = y a ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân trên. b ) Giả sử ) ( ty là phương trình hoạt động thẳng của một chất điểm theo thời hạn t. Xác định giá trị ( gần đúng ) của biên độ hoạt động khi t đủ lớn. Giải a ) Đặt Y = Y ( p ) = L [ y ( t ) ], biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm gốc ta được 4 6186 2 2 + = + + pYpYYp Giải phương trình với Y là ẩn rồi nghiên cứu và phân tích thành phân thức đơn thuần ta được Y = ] 9 ) 3 ) [ ( 4 ( 6 22 + + + pp = 4 2 2 + + p BAp + 9 ) 3 ( 3 ) 3 ( 2 + + + + p DpC = 4 2 4 22 + + + p B p Ap + 9 ) 3 ( 3 9 ) 3 ( ) 3 ( 22 + + + + + + p D p pC Biến đổi Laplace ngược ta được = ) ( ty 1 − L [ Y ] = 1 − L [ 4 2 4 22 + + + p B p Ap + 9 ) 3 ( 3 9 ) 3 ( ) 3 ( 22 + + + + + + p D p pC ] hay = + ) ( ty tBtA 2 sin2cos + ) 3 sin3cos ( 3 tDtCe t + − với A = - 9/85, B = 21/170, C = 9/85, D = 2/85 b ) Khi t đủ lớn : ) 3 0 sin3cos ( 3 tDtCe t + − ≈, đặt 2 2 2 2 sin cosA B A B A B α α = ∧ = + + Khi đó ) 2 sin ( ( 2 sin2cos ) ( 22 α + + = + ≈ tBAtBtAty Đây là phương trình hoạt động của xê dịch điều hòa có biên độ xê dịch là 22 BA + Vậy biên độ hoạt động gần bằng 22 BA +, với A = - 9/85, B = 21/170 Nếu bài toán được cho điều kiện kèm theo khởi đầu cho tại 0 ≠ ot thì tất cả chúng ta giải tương tự như như ví dụ sau. Ví dụ 7.25 Giải phương trình vi phân 1 ) 2 ( ', 1 ) 2 (, 2 sin9 ' ' − = = = + ππ yytyy Giải Đặt Y = Y ( p ) = L [ y ( t ) ], biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm gốc ta được Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 24 4 29 ) 0 ( ' ) 0 ( 2 2 + = + − − pYypyYp hay 4 29 2 2 + = + − − pYBpAYp ( với constAy = = ) 0 (, ) ) 0 ( ' constBy = = Giải phương trình với Y là ẩn rồi nghiên cứu và phân tích thành phân thức đơn thuần ta được ) 4 ) ( 9 ( 2 99 2222 + + + + + + = ppp B p ApY ) 9 1 4 1 ( 5 2 99 2222 + − + + + + + = ppp B p Ap Biến đổi Laplace ngược ta được = ) ( ty 1 − L ) ] 9 3 3 1 4 2 2 1 ( 5 2 9 3 3 1 9 [ 2222 + − + × + + × + + ppp B p Ap = tBtA 3 sin 3 3 cos + + tt 3 sin 15 22 sin 5 1 − hay = ) ( ty tBtA 3 sin 3 3 cos + + tt 3 sin 15 22 sin 5 1 − Đạo hàm = - 3 + ) ( ' ty tBtA 3 cos3sin + tt 3 cos 5 22 cos 5 2 − Ta có ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = = 1 ) 2 ( ' 1 ) 2 ( π π y y ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − + − = 5 231 15 2 3 1 A B ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − = − = ⇔ 5 13 5 1 B A Vậy nghiệm cần tìm của phương trình là = ) ( ty tt 3 sin3cos 5 1 − − + t2sin 5 1 2. Giải hệ phương trình vi phân Ví dụ 7.26 a ) Giải hệ phương trình vi phân :, với điều kiện kèm theo x ( 0 ) = 3, y ( 0 ) = 2 ⎩ ⎨ ⎧ = + = − t3x2 ' y 4 y2 ' x b ) Giải hệ phương trình vi phân :, với điều kiện kèm theo x ( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 2. ⎩ ⎨ ⎧ = + + − = 02 3 yxy yx ' ' Giải a ) Đặt [ ] [ ] yY, xX LL = = ; biến đổi Laplace hai vế ta được : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ = + ′ = − ′ t3x2y 14 y2x LLL LLL ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = + − = − − ⇔ 2P 3X22 PY P 4Y23 PX ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + + = − ⇔ 2P 32PYX2 P 43Y2 PX Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 25 ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + − + + + − = + + + + + = ⇔ 4PP 5 4P P2 4P 6Y 4PP 6 4P P3 4P 8X 222 2222 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + + + − = + − + + = ⇔ P4 5 4P P 4 13 4P 6Y 4P 16 P 6 4P P3X 22 222. Biến đổi ngược hai vế ta được nghiệm : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ − + − = − + = 4 5 t2cos 4 13 t2sin3y t2sin8t6t2cos3x. b ) Đặt [ ] [ ] yY, xX LL = = ; biến đổi Laplace hai vế ta được : ( ) ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + 2Y2 PX 1Y3 XP ( ) ( ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + + − = − + − = + + − − = + − − = ⇔ 3P 4 7 1P 4 1 3P2 P 2P2 Y 3P 4 7 1P 4 3 3P1 P 4PX 2 Biến đổi ngược hai vế ta được nghiệm : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ + = + − = − − t3t t3t e 4 7 e 4 1 y e 4 7 e 4 3 x ¡ Ví dụ 7.27 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩ ⎨ ⎧ = − + = − 37 ' 5 sin6 ' yyx tyx với điều kiện kèm theo x ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 0 Giải Đặt [ ] [ ] yY, xX LL = = ; biến đổi Laplace hai vế ta được : [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ⎩ ⎨ ⎧ = − ′ + = − ′ 137 5 sin6 LLLL LLL y tyx yx ⇔ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + + = − P YPX P YPX 3 ) 7 ( 25 56 2 ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − − + + = − − + + − = ) 6 ) ( 1 ) ( 25 ( 703 ) 6 ) ( 1 ) ( 25 ( 4503523 2 2 2 2 ppp pY pppp ppX ⇔ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ − + − + + + = + − + − + + + = 6 ' 1 ' 25 ' 5 ' 6125 5 2 2 p D p C p BpAY p E p D p C p BApX Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được nghiệm hệ phương trình ⎩ ⎨ ⎧ + + + = + + + + = tt tt eDeCtBtAty EDeCetBtAtx 6 6 ' ' 5 sin ' 5 cos ' ) ( 5 sin5cos ) ( Tìm A, B, C, D, E dựa vào : = − − + + − pppp pp ) 6 ) ( 1 ) ( 25 ( 4503523 2 2 p E p D p C p BAp + − + − + + + 6125 5 2 3 7 ) 6 ) ( 1 ( 25 450 = − − = E, D = 6 ) 16 ) ( 256 ( 4506.356.23 2 2 − + + −, C = Tìm A ’, B ’, C ’, D ’ dựa vào : ) 6 ) ( 1 ) ( 25 ( 703 2 2 − − + + ppp p = 6 ' 1 ' 25 ' 5 ' 2 − + − + + + p D p C p BpA 3. Giải phương trình tích phân Volterra Phương trình sau đây gọi là phương trình tích phân Volterra loại 2 Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 26 y ( t ) = f ( t ) + λ, y ( t ) là hàm cần tìm, λ = const ∫ − t duuyutk 0 ) ( ) ( Giải Aùp dụng tích chập, phương trình được viết lại : y ( t ) = f ( t ) + k ( t ) * y ( t ) Đặt Y = Y ( p ) = [ ] yL, F ( p ) = [ ) t ( ] fL, K ( p ) = [ ] ) t ( kL. Biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng định lý Borel ta được : Y = F ( p ) + λK ( p ) Y ⇔ ) P ( K1 ) p ( FY λ − = ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = − ) p ( K1 ) p ( Fy 1 λ L ª Ví dụ 7.28 Giải phương trình tích phân : ∫ − + = t duutuytty 0 2 ) sin ( ) ( ) ( Giải Aùp dụng tích chập, phương trình được viết lại dưới dạng : tsin ) t ( yt ) t ( y 2 ∗ + = Đặt [ ) t ( y ) P ( YY ] L = =. Biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng định lý Borel ta được : 5323 P 2 P 2Y 1P 1Y P 2Y + = ⇔ + ⋅ + = Biến đổi ngược hai vế : 12 tt P 2 P 2 y 4 2 5 1 3 1 + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ = − − LL Vậy nghiệm của phương trình là : 12 tt ) t ( y 4 2 + = ¡ Ví dụ 7.29 Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân tety 512 ) ( − = + duutuy t ∫ − 0 ) ( 2 cos ) ( 5 Giải Áp dụng tích chập, phương trình tương tự với tety 512 ) ( − = + tty 2 cos * ) ( 5 Đặt Y = Y ( p ) = L [ y ( t ) ], và biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng định lý Borel ta được 4 5 5 12 2 + + + = p pY p Y 415 ) 4 ) ( 1 ) ( 5 ( ) 4 ( 12 ( * ) 2 − + − + + = − − + + = ⇔ p C p B p A ppp pY Biến đổi Laplace ngược ta được ttt CeBeAety 45 ) ( + + = − Từ đẳng thức ( * ) tính được A = 58/9, B = - 10/3, C = 80/9 4. Giải phương trình vi tích phân Ví dụ 7.30 Giải phương trình y ’ ’ + y = sint +, với y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = 1. ∫ − t duutuy 0 ) sin ( ) ( Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 27 Giải Aùp dụng tích chập, phương trình được viết lại dưới dạng : y ’ ’ + y = sint + y ( t ) * sint Đặt. Biến đổi Laplace hai vế phương trình, vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc và định lý Borel ta được : P2Y – 1 + Y = [ ) t ( yL ) P ( YY = = ] 1P 1 2 + + 1P Y 2 + Giải phương trình với Y là ẩn số ta được : Y = 2 p 1 Biến đổi ngược hai vế ta được nghiệm phương trình là : y = t. ¡ 5. Ứng dụng vào cơ học ♦ Một chất điểm P có khối lượng m hoạt động dọc trục 0 x với hoành độ x ( t ) ; và bị hút về gốc 0 bởi một lực hướng tâm f1 ( t ) = kx ( t ). 0 v ( t ) → 1 f ° P x x Hình 7.5 Theo định luật Newton ta có phương trình hoạt động của chất điểm là m 2 2 dt xd = - f1 ( t ) ⇔ m 2 2 dt xd + f1 ( t ) = 0 ⇔ mx ’ ’ + k x = 0 ♦ Nếu có thêm một lực tắt dần tỷ suất với tốc độ tức thời của chất điểm là f2 ( t ) = αv ( t ) tính năng vào chất điểm thì theo định luật Newton phương trình hoạt động của chất điểm là m 2 2 dt xd = - f1 ( t ) - f2 ( t ) ⇔ m 2 2 dt xd + f1 ( t ) + f2 ( t ) = 0 ⇔ mx ’ ’ + k x + αv ( t ) = 0 ⇔ mx ’ ’ + αx ’ ( t ) + k x = 0 → 2 f 0 v ( t ) → 1 f ° P x x Hình 7.6 ♦ Bây giờ, nếu có thêm ngoại lực f ( t ) công dụng vào chất điểm thì theo định luật Newton phương trình hoạt động của chất điểm là Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 28 m 2 2 dt xd = - f1 ( t ) - f2 ( t ) + f ( t ) ⇔ m 2 2 dt xd + f1 ( t ) + f2 ( t ) = f ( t ) ⇔ mx ’ ’ + k x + αv ( t ) = f ( t ) ⇔ mx ’ ’ + αx ’ ( t ) + k x = f ( t ) Ví dụ 7.31 Một chất điểm P có khối lượng m = 2 gram hoạt động dọc trục 0 x với hòanh độ x ( t ) ; và bị hút về gốc 0 bởi một lực hướng tâm f1 ( t ) = - 8 x ( t ). Giả sử bắt đầu chất điểm đứng yên ở vị trí xo = x ( 0 ) = 10. Hãy tìm vị trí x ( t ) của chất điểm tại thời gian t bất kể trong hai trường hợp sau : a ) Không có lực nào khác tác động ảnh hưởng lên chất điểm. b ) Chất điểm chịu công dụng của một lực tắc dần f2 ( t ) = - 8 v ( t ) ; với v ( t ) là tốc độ tức thời của chất điểm. → 2 f 0 v ( t ) → 1 f ° P x x Hình 7.7 Giải Trên hình 7.7 ta chọn chiều dương cùng chiều trục 0 x. Khi x > 0 thì f1 < 0 ; khi x < 0 thì f1 > 0 ( do lực hút hướng tâm ). Khi v > 0 ( chất điểm P đang chạy về phía bên phải ) thì f2 < 0 ; khi v 0 ( do lực hút tắt dần và ngược chiều vectơ tốc độ ). a ) Theo định luật Newton, ta có : m x ’ ’ = f1 ⇔ 2 x ’ ’ = - 8 x Ta được phương trình : x ’ ’ + 4 x = 0, x ( 0 ) = 10, x ’ ( 0 ) = vo = 0 Đặt X = [ ] ) t ( xL ; biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc ta được : p2 X – 10 p + 4X = 0 ⇔ X = 4 p p10 2 + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được : x ( t ) = 10 cos2t. b ) Theo định luật Newton, ta có : m x ’ ’ = f1 + f2 ⇔ 2 x ’ ’ = - 8 x - 8 x ’ Ta được phương trình : x ’ ’ + 4 x ’ + 4 x = 0, x ( 0 ) = 10, x ’ ( 0 ) = vo = 0 Đặt X = [ ) t ( x ] L ; biến đổi Laplace hai vế phương trình và vận dụng đặc thù đạo hàm hàm gốc ta được : p2 X – 10 p + 4 ( pX - 10 ) + 4X = 0 ⇔ X = 4 p4p 40 p10 2 + + + ⇔ X = 2 ) 2 p ( 20 2 p 10 + + + Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được : x ( t ) = 10 e - 2 t + 20 t e-2t. Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 29 6. Ứng dụng vào giải tích mạch điện ) ( ) ( tRitv RR = dt tdi Ltv LL ) ( ) ( = dt tdv Cti CC ) ( ) ( = C qdtti C tv CC = = ∫ ) ( 1 ) ( + Mạch RLC : Xét mạch điện như hình 7.8. Trong đó R, L, C là những hằng số. Hình 7.8 Mạch RLC Theo định luật Kirchoff ta có : vL ( t ) + vR ( t ) + vC ( t ) = E ( t ) ⇔ dt ) t ( diL + Ri ( t ) + C ) t ( q = E ( t ) ⇔ 2 2 dt ) t ( qd + dt ) t ( dq L R + LC ) t ( q = L ) t ( E ♦ Nếu mạch không có thành phần C thì ta có : dt ) t ( diL + Ri ( t ) = E ( t ) ♦ Nếu mạch không có thành phần L thì ta có : Ri ( t ) + C ) t ( q = E ( t ) hay dt ) t ( dq + RC ) t ( q = R ) t ( E Ví dụ 7.32 Xét mạch điện RL ( hình 7.9 ). Trong đó i ( 0 ) = 0, R, L là cacù hằng số. Hình 7.9 Mạch RL a ) Cho E ( t ) = E0 là hằng số. Tìm i ( t ). b ) Tìm i ( t ) nếu E ( t ) = E0sinωt, ω là hằng số. Giải Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 30 Ta có : dt ) t ( diL + Ri ( t ) = E ( t ), i ( 0 ) = 0, R, L là cacù hằng số. Đặt I = I ( p ) = [ ) t ( i ] L ⇒ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ dt diL = [ ] ) t ( ' iL = pI-i ( 0 ) = pI. a ) + Ri = Eo. Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được ) t ( ' i. L LIp + RI = p Eo ⇔ I ( Lp + R ) = p Eo ⇔ I = ) RLp ( p Eo + ⇔ I = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + − L Rp 1 p 1 R Eo Biến đổi Laplace ngược hai vế ta được : i ( t ) = [ ] = I - 1L ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − − t L R o e1 R E Đồ thị i ( t ) được màn biểu diễn trong hình 7.10. i ( t ) R Eo i ( t ) 0 t Hình 7.10 b ) + Ri = Eosinwt. Biến đổi Laplace hai vế phương trình ta được ) t ( ' i. L LIp + RI = 22 o wp wE + ⇔ I = ) RLp ) ( wp ( wE 22 o + + ⇔ I = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + ) p ) ( wp ( 1 L wE L R22 o ⇔ I = ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + + + + L Rp C wp BwAp L wE 22 o Biến đổi ngược hai vế ta được : i ( t ) = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + − tLRo CewtsinBwtcosA L wE ( * ) Tìm A, B, C bằng cách xét : = + + ) p ) ( wp ( 1 L R22 L Rp C wp BwAp 22 + + + + ( * * ) ♦ Nhân hai vế của ( * * ) với ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + L Rp và cho p → L R − ta được : C = 22 wp 1 L Rp lim + − → = 222 2 LwR L + ♦ Nhân hai vế của ( * * ) với p và cho p → ∞ ta được : Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 31 0 = A + C ⇒ A = - C = 222 2 LwR L + − ♦ Từ ( * * ) cho p = 0 ta được : = Rw L 2 w B + C R L ⇒ B = ) LwR ( wRL 222 + Thay A, B, C vào ( * ) ta được hiệu quả : i ( t ) = 222 o LwR wLE + − coswt + ) LwR ( wRL 222 + sinwt + 222 o LwR wLE + − tLRe − ¡ Ví dụ 7.33 ( Sinh viên triển khai xong giải thuật ví dụ này ) a ) Giải phương trình vi phân : y ’ + 2 y = u ( t-π ) ( 1 ) với điều kiện kèm theo bắt đầu y ( 0 ) = 1. te b ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ’ ’ - 5 y ’ + 4 y = 54 e - 2 t - 15 et - 30 sin2t-40cos2t, với y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = a ( a là ngày sinh của bạn ) c ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình tích phân y ( t ) = e5t + 10 duut t uy ) ( 3 cos 0 ) ( − ∫ d ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ’ ’ – 2 y ’ – 3 y = với y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ > < < π π tt t, 2 sin 0,0 e ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩ ⎨ ⎧ = + + = + − teyyx tyx 3 ' 2 sin4 ' với điều kiện kèm theo x ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = 0 Giải 3 Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 32 Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 33 BÀI TẬP Bài 7.1 Tìm ảnh của những hàm số sau : 1 ) f ( t ) = tsine 2 - t 2 ) f ( t ) = 3 t5e - t + 3 tet + 7 3 ) f ( t ) = 2 e-3t sint – 5 et cos2t + 3 4 ) f ( t ) = tcos2t – 3 tsin3t + 4 5 ) f ( t ) = 4 e3t sin2t + 2 t3e2t + 5 e-t sh3t + 4 cos2t. 6 ) f ( t ) = 4 et sin4 t + t3e2t + 6 t sh2t + 3. 7 ) f ( t ) = tet cost + t2e-3tsin2t 8 ) f ( t ) = te-2tchat 9 ) f ( t ) = 2 t 2 + 1 + t te + t tcos3 10 ) f ( t ) = 4 e-3t cos2 3 t + t3et + 5 e-2t cht + 7. Bài 7.2 Tìm biến đổi Laplace những hàm số sau : ( hàm tuần hoàn ) a ) f ( t ) =, f ( t + sin t t t 0 0 0 < < > ⎧ ⎨ ⎩ π π ) = f ( t ) b ) f ( t ) =, f ( t + 2 ⎩ ⎨ ⎧ < ≤ < ≤ 2 πt khi 0 t0 khisint π π π ) = f ( t ) c ) f ( t ) = 12 < < < < f ( t + 2 ) = f ( t ) t t t 0 0 1 ⎧ ⎨ ⎩ d ) f ( t ) = ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ < ≤ < ≤ 2 πt 2 π khisint 2 πt0 khi π 2, f ( t + 2 π ) = f ( t ) Bài 7.3 Cho hàm gốc f ( t ) có đồ thị như hình vẽ. a ) Viết phương trình của f ( t ). b ) Tìm ảnh của f ( t ). Bài 7.4 Tìm ảnh của những hàm gốc ( chia t, tích chập ) a ) f ( t ) = t tsin 2 b ) f ( t ) = t cost-1 c ) f ( t ) = tsin t ee bt-at π − − d ) f ( t ) = ∫ − t 0 2 ducos2u u ) ( t e ) f ( t ) = t2 * e3tsin2t f ) f ( t ) = t sht Bài 7.5 Tính những tích chập f * g : Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 34 a ) f ( t ) = t, g ( t ) = 1 b ) f ( t ) = cost, g ( t ) = t c ) f ( t ) = et, g ( t ) = t d ) f ( t ) = t2, g ( t ) = et e ) f ( t ) = et, g ( t ) = et sint f ) f ( t ) = t, g ( t ) = sint g ) f ( t ) = e2t, g ( t ) = 1 Bài 7.6 Tìm L [ f * g ] a ) f ( t ) = t, g ( t ) = sint b ) f ( t ) = e2t, g ( t ) = 1 c ) f ( t ) = sint, g ( t ) = cos2t d ) f ( t ) = et, g ( t ) = te2t e ) f ( t ) = t2, g ( t ) = e3t sin2t Bài 7.7 Tìm gốc của những hàm ảnh sau đây : 1 ) F ( p ) = a bp c + ; b ≠ 0 ; 2 ) F ( p ) = ap bp c2 + ; b ≠ 0 ; 3 ) F ( p ) = 2 1 32 p p p − + − 4 ) F ( p ) = 3 12 − + + p p p 5 ) F ( p ) = 32 1 1 ) p ( + 6 ) F ( p ) = 32 72 p p − 7 ) F ( p ) = p p p 2 3 9 9 − + 8 ) F ( p ) = ) p ) ( p ) ( p ( 213 6 + − − + 204 6 2 + + + pp p 9 ) F ( p ) = ) p ) ( p ) ( p ( p 413 610 − − + + + 256 8 2 + − + pp p 10 ) F ( p ) = ) p ) ( p ( 13 4 − − + 256 1 2 + − + pp p 11 ) F ( p ) = 5 31 2 5 p + ) 2 p p p + − + ( ) ( 12 ) F ( p ) = 22 21 32 ) p ( ) p ( p + + + 13 ) F ( p ) = ) p ) ( p ( p 94 22 + + 14 ) F ( p ) = 13 2 22 2 ( ) ( p p p − + − ) 15 ) F ( p ) = 6116 562 23 2 − + − + − ppp pp 16 ) F ( p ) = ) 1 ) ( 3 ( 5 − − pp + 54 1 2 − − − pp p 17 ) F ( p ) = ) 2 ) ( 5 ( 6 − − pp + 222 + − pp p 18 ) F ( p ) = ) p ) ( p ( 23 6 + − + 204 5 2 + + pp 19 ) F ( p ) = 43 2 2 5 1 1 2 92 2 p p p p + − + + + Bài 7.8 Aùp dụng biến đổi Laplace giải những phương trình vi phân sau : 1 ) y ’ ’ - 2 y ’ + 10 y = cos2t ; y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = 1 2 ) y ’ ’ + y = t – ( t-1 ) u ( t-1 ), y ( 0 ) = 2, y ’ ( 0 ) = 1 3 ) 2 y ’ ’ - 3 y = 4 sint + 5 cost, y ( 0 ) = - 1, y ’ ( 0 ) = - 2 Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 35 4 ) y ’ ’ + 2 y = 3 cos2t, y ( 0 ) = - 1, y ’ ( 0 ) = 0 Bài 7.9 Tìm nghiệm riêng của hệ phương trình vi phân : a ) y t2 + 3 với điều kiện kèm theo bắt đầu : x ( 0 ) = 2, y ( 0 ) = 3 x y x ' ' = − = + ⎧ ⎨ ⎩ 2 4 b ), x ( 0 ) = y ( 0 ) = y ’ ( 0 ) = 0. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = − + = + − 12 2 yx'x e ' ' yx t ' c ) ⎩ ⎨ ⎧ = − = + − tez ' ' y t'z ' y, y ( 0 ) = 3, y ’ ( 0 ) = - 2, z ( 0 ) = 0 Bài 7.10 Tìm biến đổi Laplace những hàm số sau : a ) f ( t ) = 1 ) u ( te − 1 ) cos3 ( t1 ) 2 ( t − − b ) f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < < 1 t khi1 1 t0 t khi c ) f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ < < > 1 t0 khi0 1 t khi1 ) – ( t 2 d ) f ( t ) = cos sin t t t t 0 < < > ⎧ ⎨ ⎩ π π Bài 7.11 Giải những phương trình vi phân 1 ) y ’ – y = f ( t ) ; y ( 0 ) = 0 ; f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ > − < < 1 t1 1 t02 2 ) y ’ - 3 y = f ( t ), y ( 0 ) = 2 ; f ( t ) ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ > < < 2 t1 2 t0tsin π π 3 ) y ’ + y = f ( t ), f ( t ) =, y ( 0 ) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ > < < 2 t nếu 0 2 t0 nếu 1 4 ) y ’ ’ – y ’ = f ( t ), f ( t ) =, y ( 0 ) = y ’ ( 0 ) = 0 ⎩ ⎨ ⎧ > < < 1 t nếu 0 1 t0 nếu e-t 5 ) y ’ + 2 y = f ( t ), y ( 0 ) = 0, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ > < ≤ + 1 t khi 0 1 t0 i kh1t - 6 ) y ’ - y = f ( t ), y ( 0 ) = 2, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ 1 1 t khi t0 hit k 1 ) - ( t-e 7 ) y ’ + 2 y = f ( t ), y ( 0 ) = 3, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ > < ≤ π π t isin2t kh t0 i kh0 8 ) y ’ + 3 y = f ( t ), y ( 0 ) = 1, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ 1 t khi0 1 t0 i khE o 9 ) y ’ - 2 y = f ( t ), y ( 0 ) = 2, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ ≥ < ≤ 2 2 t i khte t0 i kh 0 10 ) y ’ - 3 y = f ( t ), y ( 0 ) = 2, với f ( t ) = ⎩ ⎨ ⎧ > < < π π t khi 0 t0 khisint Phép biến đổi Laplace ................................................................ Trang 36 Bài 7.12 Giải những phương trình tích phân a ) y ( t ) = 1 + 2 b ) y ( t ) = 2 c ) x ( t ) = e-t + 4 d ) x ( t ) = 4 et + 3 e ) x ( t ) = e2t + 5 τττ d t ). ( y ) tsin ( ∫ − 0 ∫ − − t ) t ( t d ) ( yee 0 23 τττ ∫ − t d ) ( x ) t ( 0 τττ ∫ − − t d ) ( x ) t ( e 0 τττ ∫ − t d ) ( x ) ] t ( [ cos 0 2 τττ Bài 7.13 Giải hệ phương trình : ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ + = + = + = ∫ ∫ ∫ t 0 t 0 t 0 2 duux1tz duuztty duuyttx ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎩ Bài 7.14 Giải những phương trình vi phân : a ) y ’ ’ ’ - 3 y ’ ’ + 3 y ’ – y = t2et, y ( 0 ) = 1, y ’ ( 0 ) = 0, y ’ ’ ( 0 ) = - 2. b ) y ’ ’ ’ - 3 y ’ ’ + 3 y ’ – y = t2et, y ( 0 ) = A, y ’ ( 0 ) = B, y ’ ’ ( 0 ) = C. Sinh viên hoàn thành xong giải thuật những bài tập từ 7.15 đến 7.24 øi 7.15 Ba Một chất điểm chu únyển động trên đường tha g sao cho độ dời x từ một điểm cố định và thắt chặt O vào lúc t được cho bởi : t5sin80x5x4x = + ′ + ′ ′ a ) Tìm x ( t ) biết lúc t = 0, chất điểm đứng yên ở x = 0. b ) Tìm biên độ, chu kỳ luân hồi và tần số sau một thời hạn dài. Bài 7.16 D trình vi phân : òng điện i ( t ) trong mạch tiếp nối đuôi nhau RL thỏa phương L dt + Ri = E ( t ) ( volts ) ; i ( 0 ) = 0, R, L là cdi acù hằng số. 0 cosωt, ω là hằng số. b ) Tìm i ( t ) nếu E ( t ) = ≤ < 5 t 0, t10 Bài 7.17 a ) Tìm i ( t ) nếu E ( t ) = E ⎩ ⎨ > 5 t, 10 ⎧ Cho mạch điện RLC như hình vẽ và biết i ( 0 ) = 0. a ) Cho E = 300 ( volts ). Tìm i ( t ), t > 0. b ) Cho E = 100 sin3t ( volts ). Tìm i ( t ), t > 0. Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 37 Bài 7.18 Cho mạch điện RC như hình vẽ và biết i ( 0 ). Tìm i ( t ) trong hai trườngng hợp sau : a ) Cho E = Eo ( volts ). b ) Cho E = Eo e-αt ( volts ). Bài 7.19 a ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải phương trình vi phân y ’ ’ – 6 y ’ + 13 y = 6 te3t + 4 cos2t + 5 sin2t, với y ( 0 ) = 0, y ’ ( 0 ) = a ( a là ngày sinh của bạn ) b ) Áp dụng phép biến đổi Laplace giải hệ phương trình vi phân ⎩ ⎨ ⎧ = − + = − 26 ‘ 5 cos5 ‘ yyx tyx, với điều kiện kèm theo x ( 0 ) = 0, y ( 0 ) = a ( a là ngày sinh của bạn ) BÀI TOÁN TRUYỀN NHIỆT-Định luật truyền nhiệt của Newton ( Newton’s law of cooling ) Vận tốc nguội lạnh hoặc nóng lên của một vật trong môi trường tự nhiên tỷ suất với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ thiên nhiên và môi trường xung quanh. Tức là, nếu gọi T = T ( t ) là nhiệt độ của vật theo thời hạn Tm là nhiệt độ môi trường tự nhiên k là thông số tỷ suất thì ) ( mTTkdt dT − = Bài 7.20 Một xác chết được phát hiện vào lúc 15 giờ ngày thứ hai trong một nhà kho có nhiệt độ là 50 oF. Nhiệt độ xác chết khi được phát hiện là 80 oF và 20 phút sau giảm xuống 78 oF. Biết nhiệt độ của một người sống trung bình là 98.6 oF, vận dụng định luật tỏa nhiệt của Newton, hãy xác lập ngày giờ mà người này chết. Bài 7.21 Dòng điện i ( t ) trong mạch tiếp nối đuôi nhau RL thỏa phương trình vi phân : L di dt + Ri = E ( t ) với R, L là những hằng số. a ) Cho E ( t ) = E0 là hằng số. Tìm i ( t ). b ) Tìm i ( t ) nếu E ( t ) = E0cosωt, t > 0, với E0 và ω là hằng số. Chứng minh i ( t ) hoàn toàn có thể viết dưới dạng ) cos (. ) ( Φ − + + = − t aL E eAti oat ωω 22 Với ) / ( aarctg ω = Φ, LRa / =, và A là hằng số. Bài 7.22 ( Resale value problem ) Giá trị bán lại của một máy sau t năm sẽ giảm với vận tốc tỷ suất với hiệu giữa giá trị hiện tại và giá trị phế liệu của máy. Tức là, nếu là giá trị phế liệu của máy thì thỏa phương trình ) ( tr S ) ( tr Phép biến đổi Laplace ………………………………………………………. Trang 38 ( Srk dt dr − − = ), với 0 > = constk là hằng số tỷ suất Xác định ) biết giá trị mua mới của máy là USD 16.000, giá trị 2 năm sau là USD 8.000 và giá trị phế liệu S = USD 5 ( tr 00. Bài 7.23 ( bài toán dân số – population growth ) Giả sử dân số ( đơn vị chức năng là triệu người ) của một hội đồng tăng theo quy luật hàm mũ với tỷ suất tự nhiên là r và ( đơn vị chức năng triệu người / năm ) cơng dân di cư khỏi hội đồng tại thời gian t, ( đơn vị chức năng triệu người / năm ) cơng dân nhập cư vào hội đồng tại thời gian t. Tức là, thoả phương trình vi phân ) ( tP ) ( tE ) ( tI ) ( tP ) ( ) ( tItErP dt dP + − = Giải phương trình xác lập dân số tại thời gian t ( đơn vị chức năng là năm ) trong trường hợp r = 0.01, ,, P ( 0 ) = 90 triệu tetE − = 05.0 ) ( 01.0 ) ( = tI Bài 7.24 Vận tốc nguội lạnh của một vật trong không khí tỷ suất với hiệu giữa nhiệt độ của vật và nhiệt độ của không khí. Aùp dụng biến đổi Laplce tìm quy luật nguội lạnh của vật nếu nhiệt độ của không khí là 20 oc và sau 20 phút nhiệt độ của vật giảm từ 100 oc xuống 60 oc. Hỏi sau bao lâu nhiệt độ của vật giảm tới 30 oc. Giải
Các file đính kèm theo tài liệu này :

• ch_7_pbd_laplace_4222.pdf

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay