Các số tự nhiên dùng để đếm ( một quả táo, hai quả táo, ba quả táo …. ) .

Trong toán học, các số tự nhiên được sử dụng để đếm (như trong “có sáu đồng xu trên bàn”) và thứ tự (như trong “đây là thành phố lớn thứ ba trong cả nước”). Đôi khi, các số tự nhiên có thể xuất hiện dưới dạng một bộ mã thuận tiện (nhãn hoặc “tên”), nghĩa là, như những gì các nhà ngôn ngữ học gọi là số danh nghĩa, loại bỏ nhiều hoặc tất cả các thuộc tính của một số theo nghĩa toán học. Tập hợp các số tự nhiên thường được kí hiệu bằng kí hiệu

{\displaystyle \mathbb {N} }

${\mathbb {N}}$ .[1][2][3]

Trong tiêu chuẩn của ISO 80000-2[4] và tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam[5], số tự nhiên được định nghĩa là các số nguyên không âm 0, 1, 2, 3,… (đôi khi được ký hiệu chung là biểu tượng

{\displaystyle \mathbb {N} _{0}}

$\mathbb {N} _{0}$ , để nhấn mạnh rằng số 0 cũng được bao gồm), trong khi những số khác bắt đầu bằng 1, tương ứng với các số nguyên dương 1, 2, 3,… (đôi khi được ký hiệu chung bằng ký hiệu

{\displaystyle \mathbb {N} _{1}}

$\mathbb {N} _{1}$ ,

{\displaystyle \mathbb {N} ^{+}}

$\mathbb {N} ^{+}$ , hoặc

∗

{\displaystyle \mathbb {N} ^{*}}

$\mathbb {N} ^{*}$ với nhấn mạnh rằng số 0 bị loại trừ).[6][7]

Các số tự nhiên là cơ sở mà từ đó nhiều tập hợp số khác có thể được xây dựng bằng cách mở rộng: tập hợp các số nguyên, được xây dựng bằng cách bao gồm (nếu chưa có) phần tử trung tính 0 và một phép cộng nghịch đảo ( − n ) cho mỗi số tự nhiên khác nhau n ; tập hợp các số hữu tỉ, bằng cách bao gồm một nghịch đảo phép nhân (1/n ) cho mỗi số nguyên khác n (và cả tích của các phép nghịch đảo này với các số nguyên); tập hợp các số thực bằng cách bao gồm với các số hữu tỉ các giới hạn của (hội tụ) dãy Cauchy của các số hữu tỉ; các số phức, bằng cách cộng với các số thực căn bậc hai chưa giải của trừ một (và cả tổng và tích của chúng),…. [a] [b] Những chuỗi mở rộng này làm cho các số tự nhiên được nhúng (nhận dạng) về mặt quy tắc trong các hệ thống số khác.[8]

Bạn đang đọc: Số tự nhiên – Wikipedia tiếng Việt

Các đặc thù của số tự nhiên, ví dụ điển hình như tính chia hết và phân phối của những số nguyên tố, được điều tra và nghiên cứu trong triết lý số. Các yếu tố tương quan đến việc đếm và sắp xếp thứ tự, ví dụ điển hình như phân vùng và liệt kê, được điều tra và nghiên cứu trong tổng hợp .

Theo ngôn ngữ thông thường, đặc biệt là trong giáo dục tiểu học, số tự nhiên có thể được gọi là số đếm[9] để loại trừ trực quan các số nguyên âm và số 0, và cũng để đối chiếu tính rời rạc của phép đếm với tính liên tục của phép đo – một đặc điểm nổi bật của số thực.

Mục lục bài viết

Thời cổ đại[sửa|sửa mã nguồn]

Phương pháp nguyên thủy nhất để màn biểu diễn 1 số ít tự nhiên là đặt một ký hiệu cho mỗi đối tượng người tiêu dùng. Sau đó, một tập hợp những đối tượng người dùng hoàn toàn có thể được kiểm tra xem có bằng nhau, thừa hay thiếu — bằng cách lưu lại và xóa một đối tượng người dùng khỏi tập hợp đó .Bước tiến lớn tiên phong trong trừu tượng hóa là việc sử dụng những chữ số để màn biểu diễn những số lượng. Điều này được cho phép những mạng lưới hệ thống được tăng trưởng để ghi số lượng lớn. Người Ai Cập cổ đại đã tăng trưởng một mạng lưới hệ thống chữ số can đảm và mạnh mẽ với những chữ tượng hình riêng không liên quan gì đến nhau cho 1, 10 và toàn bộ những quyền hạn của 10 đến hơn 1 triệu. Một tác phẩm chạm khắc trên đá ở Karnak, có niên đại khoảng chừng năm 1500 TCN và giờ đây là Bảo tàng Louvre ở Paris, miêu tả 276 như 2 trăm, 7 chục và 6 đơn vị chức năng ; và tựa như cho số 4,622. Người Babylon có một mạng lưới hệ thống giá trị vị trí về cơ bản dựa trên những chữ số cho 1 và 10, sử dụng cơ số sáu mươi, với hình tượng cho 60 giống với hình tượng cho 1 — giá trị đơn cử của nó được xác lập từ ngữ cảnh. [ 13 ]

Một tiến bộ nữa trong việc trừu tượng hóa con số nhưng diễn ra trễ hơn nhiều: phát triển ý tưởng thể hiện số không như là một con số với biểu diễn số của riêng nó. Vào khoảng 700 TCN, những người Babylon đã dùng chữ số không trong hệ thống ký hiệu giá trị theo vị trí nhưng một điều khá lạ là mãi cho đến lúc nền văn hóa Babylon đến hồi suy tàn, người Babylon cũng chỉ biết dùng chữ số không ở giữa các con số (ví dụ: khi viết số 3605 họ biết đặt chữ số không vào giữa), và chữ số này vẫn chưa bao giờ được sử dụng để làm chữ số cuối cùng của một số[14] (ví dụ: người Babylon thể hiện số 3600 và 60 như nhau – người Babylon dùng hệ cơ số 60 – để phân biệt đâu là 3600 và 60 họ phải kèm thêm một chú thích bằng lời ở dưới[15]). Các nền văn minh Olmec và Maya đã dùng số không như là một con số riêng từ khoảng thế kỷ thứ 1 TCN (dường như được phát triển một cách độc lập), tuy nhiên việc sử dụng này đã không được phổ biến ra ngoài vùng Trung Bộ châu Mỹ[16][17]. Khái niệm số không mà chúng ta hiện nay vẫn dùng xuất phát từ nhà toán học Ấn Độ Brahmagupta vào năm 628. Mặc dầu số không đã được dùng như một con số bởi tất cả các nhà tính toán thời Trung Cổ (dùng để tính ngày Phục Sinh) mà khởi đầu là Dionysius Exiguus vào năm 525, nhưng nhìn chung vẫn không có một chữ số La Mã nào được dành riêng để viết số không. Thay vì vậy, thời đó người ta dùng từ Latinh là nullae, có nghĩa là”không có gì”để chỉ số không.[18]

Xem thêm Cách chụp ảnh màn hình máy tính Laptop Win 10, Win 7, Win 8, XP (2021)

Người ta thường xem những nhà triết học Hy Lạp Pythagore và Archimedes là những người tiên phong đặt yếu tố điều tra và nghiên cứu một cách mạng lưới hệ thống về những số lượng như thể một thực thể trừu tượng. Tuy nhiên, cùng thời kỳ đó, một số ít nơi như Ấn Độ, Trung Quốc và Trung Bộ châu Mỹ cũng có những nghiên cứu và điều tra độc lập tương tự như. [ 19 ]

Các định nghĩa văn minh[sửa|sửa mã nguồn]

Ở châu Âu thế kỷ 19, đã có cuộc bàn luận toán học và triết học về thực chất đúng chuẩn của những số tự nhiên. Một phe phái của chủ nghĩa tự nhiên công bố rằng những số tự nhiên là hệ quả trực tiếp của tâm ý con người. Henri Poincaré là một trong những người ủng hộ nó, cũng như Leopold Kronecker, người đã tóm tắt niềm tin của mình là ” Chúa tạo ra những số nguyên, toàn bộ những thứ khác là tác phẩm của con người “. [ c ]Đối lập với những nhà Tự nhiên học, những nhà toán học thiết kế thấy cần phải cải tổ tính ngặt nghèo logic trong nền tảng của toán học. [ d ] Vào những năm 1860, Hermann Grassmann đề xuất kiến nghị một định nghĩa đệ quy cho những số tự nhiên, do đó nói rằng chúng không thực sự là tự nhiên – mà là hệ quả của những định nghĩa. Sau đó, hai lớp định nghĩa chính thức như vậy đã được kiến thiết xây dựng ; về sau, chúng vẫn được chứng tỏ là tương tự trong hầu hết những ứng dụng trong thực tiễn .Các định nghĩa triết lý tập hợp về số tự nhiên được Frege khởi xướng. Ban đầu, ông định nghĩa một số ít tự nhiên là lớp của toàn bộ những tập hợp tương ứng 1-1 với một tập hợp đơn cử. Tuy nhiên, định nghĩa này hóa ra lại dẫn đến những nghịch lý, gồm có cả nghịch lý Russell. Để tránh những nghịch lý như vậy, phép hình thức hóa đã được sửa đổi để một số ít tự nhiên được định nghĩa là một tập hợp đơn cử và bất kể tập hợp nào hoàn toàn có thể được đưa vào tương ứng 1-1 với tập hợp đó được cho là có số thành phần đó. [ 22 ]Loại định nghĩa thứ hai được Charles Sanders Peirce đưa ra, được Richard Dedekind tinh chỉnh, và được Giuseppe Peano tò mò thêm ; chiêu thức này giờ đây được gọi là số học Peano. Nó dựa trên tiên đề về những đặc thù của số thứ tự : mỗi số tự nhiên có một tiếp nối và mọi số tự nhiên khác 0 đều có một nhiệm kỳ trước đó duy nhất. Số học Peano tương tự với 1 số ít mạng lưới hệ thống yếu của kim chỉ nan tập hợp. Một trong những mạng lưới hệ thống như vậy là ZFC với tiên đề về vô hạn được sửa chữa thay thế bằng sự phủ định của nó. Các định lý hoàn toàn có thể được chứng tỏ trong ZFC nhưng không hề được chứng tỏ bằng cách sử dụng Tiên đề Peano gồm có định lý Goodstein. [ 23 ]Với tổng thể những định nghĩa qua tập hợp này, thật tiện nghi khi gồm có cả số 0 ( tương ứng với tập rỗng ) vào tập hợp số tự nhiên. Bao gồm cả số 0 hiện là quy ước chung giữa những nhà triết lý tập hợp [ 24 ] và những nhà logic học. [ 25 ] Các nhà toán học khác cũng gồm có cả 0, [ e ] và những ngôn từ máy tính thường khởi đầu từ 0 khi liệt kê những mục như bộ đếm vòng lặp và thành phần chuỗi hoặc mảng. [ 26 ] [ 27 ] Mặt khác, nhiều nhà toán học đã giữ truyền thống cuội nguồn cũ hơn để lấy 1 là số tự nhiên tiên phong. [ 28 ]

Các nhà toán học dùng ký hiệu N hay ℕ cho tập hợp tất cả các số tự nhiên[29][30][31]. Một số văn bản cũ cũng đôi khi dùng kí hiệu J cho tập hợp này.[32] Theo định nghĩa, tập hợp vô hạn và đếm được, tức lực lượng của tập hợp số tự nhiên là ℵ0

Vì các thuộc tính khác nhau thường được liên kết với các mã thông báo 0 và 1 (ví dụ: các phần tử trung tính cho phép cộng và phép nhân, tương ứng), điều quan trọng là phải biết phiên bản số tự nhiên nào được sử dụng trong trường hợp đang xem xét. Điều này có thể được thực hiện bằng cách giải thích bằng văn xuôi, bằng cách viết ra tập hợp một cách rõ ràng hoặc bằng cách định danh số nhận dạng chung bằng chỉ số viết lên trên hoặc chỉ số viết xuống dưới,[33][34] chẳng hạn như thế này:

{
1
,
2
,
.
.
.
}
=

∗

Xem thêm Telecom Spectrum Auctions, YS Sharmila Future Party Strategy | SEC Nimmagadda Ramesh | 10TV News | Website share advice

∖
{
0
}
.

{\displaystyle \{1,2,…\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}.}

$\{1,2,...\}=\mathbb {N} ^{*}=\mathbb {N} ^{+}=\mathbb {N} _{0}\smallsetminus \{0\}.$

{
0
,
1
,
2
,
.
.
.
}
=

∗

∪
{
0
}

{\displaystyle \;\{0,1,2,…\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}}

$\;\{0,1,2,...\}=\mathbb {N} _{0}=\mathbb {N} ^{0}=\mathbb {N} ^{*}\cup \{0\}$

Đôi khi một số tác giả dùng chỉ số dưới hoặc chỉ số trên”+”để ám chỉ khái niệm”dương”của số tự nhiên, tức là N+ hay N+ = { 1, 2,… }. Thế nhưng, cần thận trọng với ký hiệu kiểu này, vì trong một số trường hợp khác, ít nhất là đối với trường phái toán châu Âu, ký hiệu này lại ám chỉ cho khái niệm”không âm”, lấy ví dụ: R+ = [0,∞) hay Z+ = { 0, 1, 2,…}. Trong khi đó, ký hiệu * là chuẩn mực dùng cho khái niệm”khác số không”hay tổng quát hơn là dùng cho một phần tử có thể nghịch đảo được. Tài liệu giáo khoa chuẩn của Việt Nam[5], cũng dùng ký hiệu N*.

{
1
,
2
,
3
,
…
}
=
{
x
∈

:
x
>
0
}
=

{\displaystyle \{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}}

${\displaystyle \{1,2,3,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x>0\}=\mathbb {Z} ^{+}}” class=”mwe-math-fallback-image-inline” src=”https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5163c2e3b3333cd15d8d2b527ea091ef8df9916e”/>{ 0 , 1 , 2 , … } = { x ∈Z: x ≥ 0 } =Z0+{\displaystyle \{0,1,2,\dots \}=\{x\in \mathbb {Z} :x\geq 0\}=\mathbb {Z} _{0}^{+}}<img data-lazyloaded=$

Cho tập hợp

{\displaystyle \mathbb {N} }

của các số tự nhiên và hàm kế thừa

S
:

→

{\displaystyle S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N} }

$S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ ánh xạ mỗi số tự nhiên cho một số tiếp theo, người ta có thể định nghĩa phép cộng các số tự nhiên một cách đệ quy bằng cách đặt a + 0 = a và a + S(b) = S(a + b) với mọi a, b. Khi đó (ℕ, +) là một monoid giao hoán với phần tử đơn vị là 0. Nó là một monoid tự do trên phần tử sinh là 1. Monoid giao hoán này thỏa mãn thuộc tính hủy bỏ, vì vậy nó có thể được nhúng trong một nhóm. Nhóm nhỏ nhất chứa các số tự nhiên là các số nguyên.

Nếu 1 được xác định là S(0), thì b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b). Có nghĩa là, b + 1 đơn giản là phần tử kế thừa của b.

Định nghĩa hình thức[sửa|sửa mã nguồn]

Trong lịch sử vẻ vang, quy trình đưa ra một định nghĩa toán học đúng chuẩn về số tự nhiên là một quy trình nhiều khó khăn vất vả. Các định đề Peano đưa ra những điều kiện kèm theo tiên quyết cho một định nghĩa thành công xuất sắc về số tự nhiên. Một số phép kiến thiết xây dựng cho thấy rằng, với kim chỉ nan tập hợp đã biết, những quy mô của những định đề Peano chắc như đinh sống sót .

Các tiên đề Peano[sửa|sửa mã nguồn]

Có một số tự nhiên 0
Với mọi số tự nhiên $a$
, tồn tại một số tự nhiên liền sau, ký hiệu là
$S (a)$
.
Không có số tự nhiên nào mà số liền sau của nó là 0.
Hai số tự nhiên khác nhau phải có hai số liền sau tương ứng khác nhau: nếu a ≠ b thì S(a) ≠ S(b).
Nếu có một tính chất nào đó được thỏa mãn với số 0, và chúng ta chứng minh được rằng với mọi số tự nhiên thỏa tính chất đó thì số liền sau của nó cũng thỏa tính chất đó, khi đó, tính chất đó được thỏa mãn với mọi số tự nhiên. (Định đề này đảm bảo rằng phép quy nạp toán học là đúng.)

Cần chú ý quan tâm rằng ” 0 ” ở định nghĩa trên không nhất thiết phải là số không mà tất cả chúng ta vẫn thường nói đến. ” 0 ” ở đây chẳng qua là một đối tượng người dùng nào đó mà khi tích hợp với một hàm liền sau nào đó thì sẽ thỏa mãn nhu cầu những tiên đề Peano. Có nhiều mạng lưới hệ thống thỏa mãn nhu cầu những tiên đề này, trong đó có những số tự nhiên ( mở màn bằng số không hay bằng số một ) .

Xây dựng dựa trên triết lý tập hợp[sửa|sửa mã nguồn]

Phép thiết kế xây dựng chuẩn[sửa|sửa mã nguồn]

Trong triết lý tập hợp có một trường hợp đặc biệt quan trọng của phép thiết kế xây dựng von Neumann định nghĩa tập hợp số tự nhiên như sau :

Chúng ta định nghĩa 0 = { }, tập hợp rỗng

và định nghĩa

S (a) = a \cup {a}

với mọi

a

Sau đó tập hợp số tự nhiên được định nghĩa là giao của tất cả các tập hợp chứa 0 mà là các tập đóng đối với hàm liền sau.

Nếu chúng ta thừa nhận tiên đề về tính vô hạn thì sẽ chứng minh được định nghĩa này thỏa mãn các tiên đề Peano.

Mỗi số tự nhiên khi đó bằng tập hợp của các số tự nhiên nhỏ hơn nó, sao cho:

0 = { },
1 = 0 ∪ { 0 } = { 0 } = { { } },
2 = 1 ∪ { 1 } = { 0, 1 } = { { }, { { } } },
3 = 2 ∪ { 2 } = { 0, 1, 2 } = { { }, { { } }, { { }, { { } } } },
$n = n -1 \cup {n -1} = {0, 1, \dots, n -1} = {{ }, {{ }}, \dots, {{ }, {{ }}, \dots}}$
, vân vân

Khi ta thấy một số tự nhiên được dùng như là một tập hợp, thì thông thường, ý nghĩa của nó như được trình bày ở trên. Theo định nghĩa đó, có đúng n phần tử (theo nghĩa thông thường) trong tập n và n ≤ m (cũng theo nghĩa bình thường) khi và chỉ khi n là một tập con của m.

Cũng từ định nghĩa này, những cách hiểu khác nhau về các ký hiệu như

ℝ n

(là một n-tuple hay là một ánh xạ từ

n

vào

ℝ

Xem thêm: Tổng hợp những điều cần biết về xổ số miền trung trực tiếp ngay hôm nay

)) trở nên tương đương nhau.

Các phép thiết kế xây dựng khác[sửa|sửa mã nguồn]

Mặc dù phép kiến thiết xây dựng chuẩn thông dụng nhưng nó không phải là phép kiến thiết xây dựng duy nhất. Ví dụ về phép dựng của Zermalo :

có thể định nghĩa 0 = { }

và

S (a) = a

tạo ra

0 = { }
1 = {0} = {{ }}
2 = {1} = {{{ }}},…

Hay tất cả chúng ta hoàn toàn có thể định nghĩa 0 = { { } }

và { { { 1 } } }}

tạo ra

0 = {{ }}
1 = {{ }, 0} = {{ }, {{ }}}
2 = {{ }, 0, 1},…

Có thể vẫn còn tranh cãi, nhưng nhìn chung người ta thường gán định nghĩa có tính lý thuyết tập hợp xưa nhất về số tự nhiên cho Frege và Russell. Trong định nghĩa của hai người này thì mỗi số tự nhiên n cụ thể được định nghĩa là tập hợp của tất cả các tập có n phần tử.

Frege và Rusell bắt đầu bằng cách định nghĩa 0 là

{
{
}
}

{\displaystyle \{\{\}\}}

$\{\{\}\}$ (rõ ràng đây là tập của tất cả các tập có 0 phần tử) và định nghĩa

σ
(
A
)

{\displaystyle \sigma (A)}

$\sigma (A)$ (với A là một tập bất kỳ) là

{
x
∪
{
y
}
∣
x
∈
A
∧
y
∉
x
}

{\displaystyle \{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}}

$\{x\cup \{y\}\mid x\in A\wedge y\not \in x\}$ . Như vậy 0 sẽ là tập của tất cả các tập có 0 phần tử,

1
=
σ
(
0
)

{\displaystyle 1=\sigma (0)}

$1=\sigma (0)$ sẽ là tập của tất cả các tập có một phần tử,

2
=
σ
(
1
)

{\displaystyle 2=\sigma (1)}

$2=\sigma (1)$ sẽ là tập của tất cả các tập có 2 phần tử, và cứ thế. Sau đó, tập hợp của tất cả các số tự nhiên được định nghĩa như là phần giao của tất cả các tập có chứa 0 và là tập đóng với phép

{\displaystyle \sigma }

$\sigma$ (tức là nếu tập này chứa phần tử n) thì nó cũng phải chứa

σ
(
n
)

{\displaystyle \sigma (n)}

$\sigma (n)$ ).

Định nghĩa này sẽ không dùng được trong những hệ thống thông thường của lý thuyết tập hợp tiên đề vì những tập được tạo ra như vậy quá lớn (nó sẽ không dùng được trong bất kỳ lý thuyết tập hợp nào với tiên đề tách – separation axiom); nhưng định nghĩa này sẽ làm việc được trong Cơ sở Mới (New Foundations) (và trong các hệ thống tương thích với Cơ sở Mới) và trong một vài hệ thống của lý thuyết kiểu.

Trong phần còn lại của bài này, tất cả chúng ta sử dụng phép thiết kế xây dựng chuẩn đã diễn đạt ở trên .

Các phép toán trên tập hợp số tự nhiên[sửa|sửa mã nguồn]

Các phép toán trên tập hợp những số tự nhiên hoàn toàn có thể định nghĩa nhờ phép đệ quy như sau

$a + 0 = a$
$a + S (b) = S (a + b)$

Nếu chúng ta ký hiệu S(0) là 1, khi đó b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b); tức là, số liền sau của b chẳng qua là b + 1.

Tương tự như phép cộng, tất cả chúng ta định nghĩa phép nhân × như sau

$a \times 0 = 0$
$a \times S(b) = (a \times b) + a$

Phép nhân được định nghĩa như vậy khiến (N,×) trở thành một vị nhóm với phần tử trung lập là 1; một hệ sinh của vị nhóm này chính là tập hợp các số nguyên tố.

Phép cộng và phép nhân thỏa tính chất phân phối:

a \times (b + c) = (a \times b) + (a \times c)

Các tính chất mà phép cộng và phép nhân thỏa khiến tập số tự nhiên trở thành một trường hợp ví dụ của nửa vành giao hoán. Nửa vành là dạng tổng quát hóa đại số của số tự nhiên mà trong đó phép nhân không cần phải thỏa tính giao hoán.

Nếu chúng ta hiểu tập hợp số tự nhiên theo nghĩa”không có số 0″và”bắt đầu bằng số 1″thì các định nghĩa về phép + và × cũng vẫn thế, ngoại trừ sửa lại a + 1 = S(a) và a × 1 = a.

Trong phần còn lại của bài này, chúng ta viết ab để ám chỉ tích a × b, và chúng ta cũng sẽ thừa nhận quy định về thứ tự thực hiện các phép toán.

Quan hệ thứ tự[sửa|sửa mã nguồn]

Chúng ta hoàn toàn có thể định nghĩa một quan hệ thứ tự toàn phần trên tập số tự nhiên như sau :

Với hai số tự nhiên a,b, ta có

a \leq b

nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên

c

sao cho

a + c = b

. Kiểu sắp thứ tự này cùng với các phép toán số học đã định nghĩa ở trên cho ta:

Nếu

a

b

và

c

là các số tự nhiên và

a \leq b

, thì

a + c \leq b + c

và

ac \leq bc

Tập số tự nhiên còn có một tính chất quan trọng nữa là chúng là tập sắp tốt: mọi tập không rỗng của các số tự nhiên phải có một phần tử nhỏ nhất.

Phép chia có dư và tính chia hết[sửa|sửa mã nguồn]

Cho hai số tự nhiên a, b và b ≠ 0. Xét tập hợp M các số tự nhiên p sao cho pb ≤ a. Tập này bị chặn nên có một phần tử lớn nhất, gọi phần tử lớn nhất của M là q. Khi đó bq ≤ a và b(q + 1) > a. Đặt r = a − bq. Khi đó ta có

a = bq + r

, trong đó

0 \leq r < b

Có thể chứng minh rằng các số q và r là duy nhất. Số q được gọi là thương hụt (hay vắn tắt là thương), số r được gọi là số dư khi chia a cho b.
Nếu r = 0 thì a = bq. Khi đó ta nói rằng a chia hết cho b hay b là ước của a, a là bội của b.

Tổng quát hóa[sửa|sửa mã nguồn]

Với hai hướng sử dụng như đã nêu ở phần ra mắt, số tự nhiên trước hết được tổng quát hóa theo hai hướng sử dụng này : số thứ tự được dùng để diễn đạt vị trí của một thành phần trong một dãy sắp thứ tự và bản số dùng để xác lập kích cỡ của một tập hợp nào đó .Trong trường hợp dãy hữu hạn hay tập hợp hữu hạn, cả hai cách sử dụng này thực ra là giống hệt với nhau .