Mở đầu về lý thuyết xác suất và các ứng dụng giáo trình dùng cho các trường đại học và cao đẳng

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.44 MB, 218 trang )

CD

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM

ĐẶNG HÙNG THẮNG
■

MỞ ĐẦU
VẾ
Lí THUYẾT XÁC SUẤT VÀ CÁC ÚNG DỤNG
■

Giáo trình dùng cho các trường
Đại học và Cao đẳng
(Tái bản lần th ứ tám)

NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DUC VIÊT NAM

LÒI NÓI ĐAU

“Càn nhó rằng mộn khoa học bắt dầu từ uiệc xem
xét các trò chơi may rủi lại hứa hẹn trỏ thành dối
tượng quan trọng nhát của tri thức loài người. Phần
lớn những ván dầ quan trọng nhát của đời sống thực ‘
ra chỉ là những bài toán của lí (huyết xác suất”
P.S.Laplaxơ (1812)

Trong hoạt động thực tiễn của mình, con người bắt buộc phải
tiếp xúc với các biến cố ngẫu nhiên khống th ể dự đoán trước

đưcc. Một lĩnh vực của Toán học cố tên là : “Lí thuyết Xác
suêt” đã ra đời nhằm nghiên cứu các quy luật và các quy tắc
tỉm toán các hiện tư ợ ng ngẫu nhiên.
Ngày nay Lí thuyết Xác su ất (LTXS) đã trở thành một ngành
Tom học lớn, chiếm vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫn
ứn£ dụng. Một m ặt LTXS là một ngành Toán học cd tẩ m lí
thiyết ở trình độ cao, m ặt khác nó được ứng dụng rộng rãi
tro ig nhiều ngành KHKT và cả KHXH và N hân văn. Đặc biệt
LTXS gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về các
phtơng pháp thu thập, tổ chức và phân tích các dữ liệu, thông
tin định lượng.
ờ rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã được
đưỉ. vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bát
biũc đối với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậc
đại học. ơ nước ta, trong chương trình cải cách, học sinh phổ
th m g tru n g học đã được làm quen với LTXS.

3

Trong quyết định vể đào tạo đại cương theo 7 nhóm ngành
của Bộ Giáo dục và Dào tạo, tấ t cả các nhổm ngành đều cd
chương trình Xác Suất – Thông Kê với thời lượng ít n h ấ t là 4
đơn vị học trình. Nhiều cán bộ đã ra công tác có nhu cẩu phải
tự học môn học này.
Cho đến nay các giáo trình, sách tham khảo về Xác su ấ t Thống kê ở nước ta còn rấ t ít. Một só sách xu ất bản trước đây
khá lâu đã không còn phù hợp. Để đáp ứng nhu cấu về giảng
dạy, học tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuốn sách
này với hy vọng cuốn sách sẽ là một giáo trình có chất lượng,
phục vụ cho một đối tượng đông đảo các bạn đọc bao gồm :

1) Các bạn sinh viên cao học, đại học và cao đẳng lần đầu
tiên làm quen với LTXS, muốn được tra n g bị những kiến thức
cơ bản n h ất của môn học.
2) Các eán bộ nghiên cứu, các thấy giáo ở đại học và phổ
thông và tấ t cả những ai muổn tự học bộ môn này.
Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trên chương
trình chuẩn vể môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại học
Quốc gia H à Nội, cũng như chương trình chuấn ở các trường
đậi học kinh tế, kỉ th u ậ t khác. Chúng tôi cũng đã th am khảo
những sách và giáo trình mới n h ấ t về Xác su ất của một số
nước ph át triển.
P hẩn lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thử nghiệm
giảng dạy nhiều lần cho sinh viên các khoa Toán, Tin, Hóa,
Địa, Sinh, Y.
Để giúp các bạn sinh viên không phải thuộc ngành Toán và
các bạn tự học dễ lỉnh hội, chúng tôi đã cố gắng lựa chọn các
phương pháp trình bày th ậ t dễ hiểu. Các chứng minh dài được
bỏ bớt, dành chỗ cho nhiều thỉ dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nấm
vững lí thuyết hơn, đổng thời qua đổ bước đầu thấy được khả
năng ứng dụng rộng rãi của LTXS. N hững thí dụ này cũng^đdng
vai trò như những bài toán chọn lọc để độc giả lấy làm mẫu khi
giải các bài tập ở cuối chương. Cuốn sá>ch có gẩn 100 thí dụ.
Để học Toán Xác su ất có kết quả, sinh viên n h ấ t thiết phải
giải bài tập, giải được càng nhiểu càng tốt. Thành thử ở cuối

4

mỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiểu bài tập để độc giả

được thử thách rèn luyện và tự kiểm tra. Da số các bài tập ở
mức cơ bản, không phải là các bài quá khó. Mỗi bài tập đều
cd đáp số và chỉ dẫn để giúp cho các bạn tự học. Cuốn sách
gốm cò 5 chương và một phụ lục. Chương I, Chương II và
Chương III trìn h bày những kiến thức cơ bàn, cốt lõi của LTXS
m à mọi chương trìn h cho các nhóm ngành đểu đòi hỏi.
Để nám được các Chương I và II chỉ yêu cầu kiến thức về
Đại số ở tru n g học, còn đối với Chương III thỉ cần thêm một
chút kiến thức vể Giải tích ờ tru n g học và năm thứ n h ất bậc
đại học. Chương IV và Chương V được biên soạn phục vụ cho
các sinh viên thuộc nhdm ngành 1, 2 (Toán, Tin, Vật lí, Hổa,
Địa) và kinh tế, ở đó sự chuẩn bị về Tbán của họ đầy đủ hơn.
P hần phụ lục 1 nh ằm giúp độc giả ôn tập lại các kiến thức cơ
bàn về Giải tích tổ fyợp phục vụ cho việc học các chương I, II.
Phụ lục 2 là các b ản g phân bô nhị thức, Poatxông và chuẩn.
Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiểu ý kiến
đóng góp của các đổng nghiệp trong Bộ môn Xác suất Thống
kê khoa Tbán “ Cơ – Tin học, Đcại học Quốc gia Hà Nội. Xin
chân th à n h cám ơn những đổng góp đó. Tấc giả xin bày tỏ
lời cảm ơn đặc biệt tới GS.TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS.
Nguyễn Văn Hữu, PGS. Lý Hoàng Tú, PTS. Trần Phương Dung
PTS. Nguyễn Văn Thường và ông Nguyễn Khắc An, trong việc
thẩm định, tổ chức bản thảo và biên tập cuốn sách.
Mặc dù tác già d ã hết sức cố gáng, song cuốn sách vẫn có
thể có những thiếu sđt. Chúng tôi rấ t mong nhận được sự gdp
ý phê bỉnh của độc giả.

5

Chương I
B I Ế N CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIEN c ố

§1

PHÉP THỬ NGẤU NHIÊN
VÀ KHÔNG GIAN MAU

Trong thực tế ta thường gặp r ấ t nhiều hành động m à các
kết quả của nổ không th ể dự báo trước được. Ta gọi chúng là
các phép thử ngẫu nhiên.
Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ s. Các
kết quả của s là ngẫu nhiên, không th ể xác định trước. Tuy
nhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả các kết quả cố th ể của s .
Tập hợp tấ t cả các kết quả cđ th ể của s được gọi là không
gian m ẫ u của s và ta thường kí hiệu nổ bằng chữ Q. Chữ cu
dùng để kí hiệu một phẩn tử của Q và ta gọi mỗi phần tử ơ)
của Q là một biến cố sơ cáp.
T h í dụ

1

‘

a) Phép thử s là gieo một con xúc xắc
và quan sát số nốt trên
m ặt xuất hiện của con xúc xắc. Th không th ể biết trước được m ặt
nào của con xúc sắc sẽ xuất hiện. Không gian mẫu Q của & là

Q = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

b) Phép thử £ là chọn
ngẫu nhiên 500 thanh niên ở lứa tuổi
từ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người cđ thổi quen hút
thuốc lá. Con số này cổ th ể là một số nguyên bất kì từ 0 đến
500 Vậy
Q = {0, 1, 2,
500}.

7

§2. B IẾ N CỐ VÀ MỐI QUAN H Ệ GIỮA CHÚNG

Xét một phép thử 6. Cđ rấ t nhiều câu hỏi liên quan tới kết
quả của s. Ta hãy xét các biến cố (còn gọi là sự kiện) mà việc
xày ra hay không xảy ra của chúng hoàn toàn được quyết định
bởi kết quả của &.
Kết quả cư của s được gọi là kết quả thuận lợi cho biến
A nếu A xảy ra khi kết quà của £ 1à CƯ.

cố

Thí dụ 2
Phép thử 6 là gieo một đống tiễn liên tiếp 3 lẩn. Đổng tiền
cđ th ể
sấp (S) hoặc ngửa (N). Không gian
mẫu Q của s là

Q = {SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, sss, NNS}.
Gọi A là biến cố : “Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt ngử a”.

Khi đố các kết quả thu ận lợi cho A là
{SNN, NSN, NNS}.
Nếu B là biến cố : “Số lẩn xu ất hiện m ặt ngửa là một số
lẻ” thì các kết quả th u ận lợi cho B là
{SNS, SSN, NSS, NNN}.
Như vậy một biến cố A được đống nhất với một tập con của
Q bao gồm tất cà các kết quả thuận lợi cho A.
Biến có không thể là biến cố không bao giờ xảy ra. Nố tương
ứng với tập con rỗng 0 của Q. Biến có chắc chắn
làbiến cố
luôn luôn xảy ra. Nd tương ứng với toàn bộ tậ p Q.
a ) Q u a n h ệ g iứ a c á c b ié n cố.

Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khi
A xảy ra thì B cũng xảy ra. Nếu biểu diễn A và B bởi hai tập
con của Q thì A kéo theo B nghĩa là. A c B.
Biến cố đối : Biến cố được gọi là biến cố dối của A nếu nó
xảy ra khi
chỉ khi A không xảy ra. Biến cố đối của A được
kí hiệu là A. Tầ có
à = Q \A

8

b) Hợp c ủ a c á c biên cố
Hợp của hai biến cố A và 5 là biến cố xảy ra nếu ít nhất
có m ột trong hai biến cô A và B xảy ra. Ta kí hiệu hợp của
hai biến cố A và B là A u B.
Tương tự ta có th ể định nghĩa hợp của nhiểu biến cố. Nếu

Ap A 2,
A n là các biến cố thi hợp của chúng là biến cố xảy
ra nếu ít n h ấ t có một biến cố nào đó trong các biến cố A p
An
xảy ra. Tá kí hiệu hợp của Ap A 2y
A n là

Aj u A2 … u A n .
c) G iao c ủ a c á c biến cố
Giao của hai biến cô A và 5 là biến cố xảy ra nếu cả A và
B đều xảy ra. Ta kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB.
Giao của nhiểu biến cố Aj, A t ,

là m ột biến cố xảy ra

nếu tấ t cà các biến cố Aị, At, …, A n đều xảy ra. Kí hiệu giao
của Aj, A 2 ,

là A ị A 2 …An .

Thí dụ 3
Ba xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn một viên đạn vào mục
tiêu. Giả sử A, B và c là các biến cố sau :
A

:”Xạ thủ A bắn trúng” ;

D

:nXạ thủ B bắn trúng” ;

c

:”Xạ th ủ c bán trú n g ”

i) Hãy mô tả các biến cố sau

ABC, A B C, A u B u c .
ề

ii) Xét các biến cô sau
D

:”Có ít n h ất hai xạ thủ

bán trúng”

E

:”Có nhiều nhất một xạ

thủ bántrúng” ;

;

F : “Chỉ có một xạ thủ bán trúng” ;
G : “Chỉ có xạ thủ c bán trúng”.
Hãy biểu diễn các biến cố này theo các biến cô A, B và c .

9

Giải.
i) A B C là biến cố : “Cả ba xạ thủ đểu bắn trú n g ”
A B c là biến cố : “Cả ba xạ th ủ đều bán trư ợ t”
A u B u c là biến cố : “Cổ ít nh ất một xạ thủ bán trú n g ”.

ii)

D = AB u BC u CA.

E = Ã B u BC u CÃ
bởi vì cđ nhiều nh ất một xạ thủ bắn trú n g có nghĩa là cổ ít
n h ất hai xạ thủ bắn trượt.
F = ÃB c u ÃB c u à BC.
G = ABC.
Biến có xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xu ng khấc
nếu A và B không đống thời xày ra.
Nói cách khác A và B xung khắc nếu A B = 0 .

§3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ố
Xác suất của một biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, số
này đo lường khả năng xu ất hiện của biến cố đd khi phép thử
được thực hiện. Kí hiệu xác su ất của biến cố A là pCA).
Cd ba phương pháp gán xác s u ấ t cho các biến cố là : định
nghĩa- xác su ất cổ điển, định nghĩa xác su ất dựa trên tẩn su ất
và định nghĩa xác suất theo tiên đề.
a) Đ ịnh n g h ía x á c su ấ t cổ đ iể n. Giả thử phép thử s có
một số hữu hạn các kết quả cđ th ể. Hơn nữa ta
giả thiết rằn g

các kết quả này có đòng khả nàng xuấ t hiện. Khi đó xác s u ấ t
của biến cố A là tỉ số giữa sổ k ết quả th u ận lợi của A và số
kết quả cố thể.
Như vậy trong trường hợp này ta có
|Ả|

p(A) – w
ở đó \A\ kí hiệu số phẩn tử của tậ p hợp A.

10

Như vậy trong trường hợp này việc tính xác suất quy về
việc đếm số kết quả cố th ể và số kết quả thuận lợi. Để việc
“đếm” này thực hiện một cách chính xác, nhanh chóng, ta Gần
một số kiến thức về Giải tích Tổ hợp (xem Phụ lục).
Định nghỉa xác suất cổ điển này dựa trên hai giả thiết quan
trọng :
x
i) Các kết quà có thể là hữu hạn ;
ii) Các kết quả có thể là dòng kh ả năng.
Hai giả thiết này thường được thỏa m ãn khi chúng ta tính
toán xác su ất tro n g các trò chơi may rủi, hoặc khi việc chọn
lựa là vô tư, không thiên vị.
Thí dụ 4
Gieo đổng thời ba con xúc sắc được chế tạo cân đối, đổng
chất. Tính xác s u ấ t để tổng số nốt xu ất hiện của ba con là 9.
Giải : Mỗi kết quả của phểp thử là một bộ ba (a, b, c) trong
đổ a, b, c là các số nguyên dương từ 1 đến 6. Vậy

1 ^ a ^ 6
Q =

(a, b,

c) :

1 ^ b ^ 6
1 ^ c

IQI
Các bộ ba (a, b,

6

= 6 X 6 X 6 = 63 = 216.
c) có tổng bằng

9 là

(1, 2,

6 )và 5 hoán vị của nó

(1, 3,

5)và 5 hoán vị của nd

(1, 4,

4) và 2 hoán vị của nó

(2, 2,

5)và 2 hoán vị của nd

(2, 3,

4) và 5 hoán vị của nó

(3, 3,

3)

Vậy số trư ờng hợp thuận lợi là
\A\ = 6 4 – 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25.
Vì các con xúc sắc cân đối, đồng chất nên có thể cho rằng
các kết quả là đổng khả nãng. Vậy

11

P(A) = 216

0,1157

Thi dụ 5
Trước cổng trường đại học có ba quán cơm binh dâni chất
lượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, c độc lập với nhau chọn
ngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa. Tính xác suất của các biến

cố sau :
a) 3 sinh viên vào cùng một quán ;
b) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quán
khác.
Giải ; Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3. Gọi a, 6, c là
quán cơm mà sinh viên A, B, c chọn.
Như vậy Q là tập hợp các bộ ba (a, b, c) với 1 ^ a ^ 3,
1 ^ ò ^ 3, 1 ^ c ^ 3.
Rõ ràn g |Q | = 3 3 = 27. Ta cđ th ể coi rằn g các kết q u à là
đống khả năng.
a)
H iển nhiên cđ 3 trường hợp thuận lợi là (1, 1, 1), (2, 2, 2),
(3, 3, 3). Vậy :
p =

27

9

b) Các trường hợp thuận lợi là
( 1, 1, 2 ) và 2 hoán vị của nó
(1, 1, 3) và 2 hoán vị của nó
(2, 2, 1 ) và 2 hoán vị của nó
(2, 2, 3) và 2 hoán vị của nó
(3, 3j 1) và 2 hoán vl của nd
(3, 3, 2) và 2 hoán vi của nó.
Thành thử |A| = 6 x 3

= 18. ♦

Xác s u ấ t cấn tìm là
P(A) =

12

18
27

2
3

Thí dụ 6
Một công ti cấn tuyển hai nhân viên. Có 6 người nộp đơn,
trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng khả năng trúng tuyển
của 6 người là như nhau.
a) Tính

xác suất để 2

người trúng tuyển đẽu

là nam.

b) Tính

xácsuất để cả hai người trúng tuyển

đểu là nữ.

c) Tính

xácsuất để có ít nhất một nữ trúng

tuyển.

Giải : Số trường hợp có thể là

= 15. Các trường hợp

này đồng khả năng.
a)
su ất là

Vì chỉ có 1 trường hợp cà 2 nam trú n g tuyển nên xác

b) Só cách chọn 2 nữ trú n g

tuyển

trong số 4 nữ

là

C 4 = 6. Vậy xác suất cẩn tim là

c)
Chỉ có 1 trường hợp cả hai nam trú n g tuyển nên 14
trư ờ ng hợp còn lại đểu có ít n hất một nữ trú n g tuyển. Vậy

b) Đ ịn h n g h ía x á c su ấ t b ằ n g tẩn su ấ t
Nếu số các kết quả cổ thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưng
không đổng khả năng, cách tính xác su át cổ điển như trên
không còn dùng được. Giả sử phép thử s có thể được thực
hiện lặp lại rấ t nhiều lẩn trong những điễu kiện giống hệt nhau.
N ếu trong n lần thực hiện phép thử 6, biến cố A xuất hiện
k’.(A) lần thì tỉ số fn(A) =

được gọi là tần suất xuất hiện
^
*
củ a biến cố A trong n phép thử. Người ta nhận thấy rằn g khi
Stố phép thử n tăng ra vô hạn thỉ tẩn su ất f n(A) luôn dần tới
raiột giới hạn xác định.

13

Giới hạn đó được định nghĩa là xác suất cùa A
P(A) = lim fn(A).
n -* oc
Trên thực tế P(A) được tính xấp xỉ bởi tầ n suất fn(A) với n
đủ lớn.
Thí dụ 7
Để xác định xác suất để một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chết
trong năm sắp tới, người ta theo dõi 100000 thanh niên 25 tuổi
và thấy rằng có 138 người chết trong vòng 1 năm sau đổ. Vậy
xác suất cẩn tìm xấp xỉ bằng
138
100000 = ° ’001.38

Thí dụ 8
Các con số thống kê cho thấy tần suất sinh con trai xấp xỉ
0,513. Như vậy xác suất sinh con trai lớn hơn xác suất sinh con
gái. Việc giải thích sự kiện này là việc mà các nhà sinh học đang
muón làm.
Định nghĩa xác suất bằng tần suất chỉ áp dụng được cho các
phép thử ngẫu nhiên cò thể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lập
trong những điều kiện giống hệt nhau. Ngoài ra để xác định một
cách tương đối chính xác giá trị của xác suất ta phải tiến hành
một số đủ lớn các phép thử, mà việc này đôi khi không thể làm
được vì hạn chế về thời gian và- kinh phí.
c) P h ư ơ n g p h á p tiê n đ ể tr o n g lí thuyết* x á c su ất
Bản chất của phường pháp tiên để khi xây dựng một lí thuyết
toán học nào đđ là không quan tâm tới việc định nghĩa các đối
tượng của lí thuyết đ<5, mà chỉ quan tâm tới mối quan hệ giữa
các đối tượng đổ. Các đổi tượng đố cố th ể có bản chất khác
nhau, miễn là chúng cùng tuân theo một bộ các quy tắc xác
định, được gọi là hệ tiên đ’ê. Chảng hạn, trong bộ môn cờ tướng,
các quân cờ và bàn cờ là cái gỉ cũng được, cái quan trọng là
luật chơi. Luật chơi là “hệ tiên đề” của bộ môn cờ tướng. Trong

14

việc xây dựng môn Hinh học theo phương pháp tiên đé cũng
vậy, các khái niệm điểm, đường th ẳn g và m ật phảng không
được định nghĩa (chúng có th ể là bất cứ cái gì, là các bàn ghế
hay cốc bia !). Một hệ tiên đề hỉnh học được nêu ra để định
rõ mối quan hệ giữa chúng như : Qua hai điểm .xác định
một đường thẳng, qua ba điểm xác định một m ặt phẳng, qua

một điểm vẽ được một đường th ẳn g song song với một đường
th ẳn g đã cho (tiên để Oclit). Các tiên để có th ể được lựa chọn
bằng những cách khác nhau và tương ứng với mỗi hệ tiên để
là một thứ hình học : Hình học Oclit, H ình học Lôbasepski,
Hỉnh học Riơman.
Trong việc xây dựng lí thuyết Xác su ất bằng phương pháp
tiên đề, người ta cũng không quan tâm tới việc định nghĩa th ế
nào là xác suất của m ột biến cố, mà chỉ quan tâm tới việc đưa
ra một hệ tiên đề mà định nghĩa xác suất phải tuân theo.
Sau đây là hệ tiên để của lí thuyết Xác suất do nhà toán
học Nga lỗi lạc, Viện sỉ Kolmogorov, đưa ra năm 1933.
Giả sử & là một phép thử ngẫu
kết quả của 6. Mỗi tập con của
(liên kết với 6 ). Một họ ĩ nào đd
là một ỡ – đại số qác biến cố nếu

nhiên vồ Q là tập hợp các
Q được gọi là một biến cố
các tập con của Q được gọi
:

i) Q e ĩ, 0 e 7.
ii)

Nếu A E 7 thì Q

\ A

iii) Nếu Aj ,A -,, … là một
oo

u At
/1=1

E ĩ.
dãy các tập hợp của họ 7 thì

hợp

cũng thuộc 7.

Xác định m ột quy luật xác suất trên ơ – đại
số 7 là gán
cho mỗi biến cô A E 7 một sô P(A) gọi là xác suất của A.
Pìhép gán đổ phải thỏa m ãn các điều kiện sau
1) V A e 7, 0 ^ P(A) ^ 1
2) P(Q) = 1, P ( 0 ) = 0.
3)

Nếu Aj ,

xiung

khắc với

A 2 ••• là

một dãy các

nhau (Aị A ị = 0 nếu

biến cố
i

thuộc ĩ đôimột

j ) thì

15

00

ŨC

p ( ũ A .) = 2 m. )
/1 = 1
n =ì
Nói cách khác xác su ất p là m ột án h xạ từ f vào [0,1] thỏa
mán 3 điều kiện nêu trên.
Thí dụ : Giả sử phép thử & gổm n kết quả có thể
Q = {cư{1 cư2

5

0Jn}

Tá gán cho mỗi kết quả a>\ một sổ Pi ^ 0 sao cho
p\ + P2 + ••• + Pn = 1. Gọi 7 là họ tấ t cả các tậ p con của Q.
Dễ thấy 7 là một ơ – đại số. Nếu A là một tập con thì ta
định nghĩa

P(A) = 2 Pi
i G/
ở đó tổng chạy trên các chỉ số i mà 0 J\ E A. Dễ dàng kiểm
tra được ánh xạ p : A
P(A) thỏa m ãn hệ tiên đề Kolmogorov.
Đặc

biệt

nếu

ta

chọn

P\ = P2 – … = Pn =

n

th ì

\ A \

P(A) = ——, ở đó |A| là số phẩn tử của A. Đây chính là định
Tb
nghĩà xác suất cổ điển trong trư ờng hợp các kết quả của & là
đổng khả năng.
Thí dụ
Giả sử phép thử & gổm một sổ vô hạn đếm được các kết quả

Q = {cưp (jl>2 •••}
Ta gán cho mỗi kết quả ơ)i m ột sổ Pi ^ 0 sao cho
00
1
/ Pi = 1 (chẳng han lấy Pi = —7
ọ/ ). Goi 7 là ho tấi_cả các tẵp
/=1
z
con của Q.
Dễ thấy 7 lập thành một õ – đại số. Nếu A là một tập con
của Q thì ta định nghĩa
P(A) = 2 Pi
i G/
ở đó I là tập hợp các chỉ số i m à U)ị E A. Dễ thấy tương ứnig
A —* P(A) như trên xác định một xác suất.

16

Thí dụ
Giả sử phép thử & là chọn ngẫu nhiên một điểm trong hình
vuông I. Rõ ràn g tập hợp Q các kết quả cổ th ể là tập hợp các
điểm của hình vuông này. Q là một tập hợp không đếm được.
Biến cố : “Điểm ngẫu nhiên rơi vào tập hợp A trong hình vuông
I” được đổng nh ất với tập con A của I. Gọi lr là họ các tập
con của I có diện tích (chú ý rằíig từ lí thuyết độ đo ta biết
rằng không th ể gán diện tích cho mọi tập con của /). Bây giờ
ta định nghĩa P(A) là diện tích của tập A. Do tính chất của
diện tích, cách gán như trên thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorov
và như vậy cho ta một xác suất. N hững tập hợp không cò diện

tích tương ứng với. các biến cố m à không xác định được xác
suất. Các biến ‘cố này rấ t “ki quái” và thực tế chúng ta cũng
không bao giờ xem xét các biến cố như vậy.
Rõ ràn g cđ th ể cố nhiềù cách định nghĩa ánh xạ p thỏa mãn
hệ tiên đề Kolmogorov. Thực tiễn khách quan là tiêu chuẩn
quyết định xem cách gán nào là đúng đắn, phù hợp.
d) N g u y ê n lí x á c x u ấ t nhỏ
Một biến cố không th ể có xác su ất bằng 0. Tuy nhi-ên một
biến cố cđ xác suất b ằn g 0 vẫn cổ th ể xảy ra trong một số rất
lớn phép thử. Qua thực nghiệm và quan sá t thực tế, người ta
thấy rằng các biến cố cđ xác suất bé sẽ không xảy r a khi ta
chỉ thực hiện một phép thử hay một vài phép thử. Từ dó người
t a thừ a nhận nguyền lí sau đây, gọi là “Nguyên lí xác suất
nhỏ” : “Nếu m ột bĩến có cố xác su ất rấ t nhỏ thì thực tế cđ thể
cho rằn g trong một phép thử biến cố đd sẽ không xảy ra ”.
Chẳng hạn mỗi chiếc máy bay đều cổ một xác suất rấ t nhỏ
(đi máy bay vì tin tư ở n g rằng trong chuyên bay ta đi sự kiện
máy bay rơi sẽ không xảy ra.
Hiển nhiên việc quy định một mức xác suất th ế nào được
gọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từng bài toán cụ thể. Chẳng hạn
nếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác su ất đổ chưa thể
được coi là nhỏ. Song nếu Kâc su ất 111ôt -chuyền t àu- -khởi hành
chậm là 0,01 thì cđ thể

,2-MĐẩu.

No l/r. ( ijj.. é 4 S p. 6

17

Mức xác suất nhỏ này được gọi là mức ý nghỉa. Nếu a là
mức ý nghĩa thì số Ịì = 1 – a gọi là độ tin cậy. Khi dựa trên
nguyên lí xác suất nhỏ ta tuyên bố rằ n g : “Biến cổ A cd xác
suất nhỏ (tức là P(A) ^ a) sẽ không xảy ra trê n thực tế ” thì
độ tin cậy của kết luận trên là (ỉ. Tính đúng đ án của kết luận
chỉ xảy ra trong 100 ./?% trư ờ n g hợp.
Tương tự như vậy ta cđ th ể đưa r a nguyên lí xác suất lớn.
Nếu biến cố A có xác suất gần b ằn g 1 thì trê n thực tế co’ th ể
cho rằn g biến cố đó sẽ xảy ra tro n g một phép thử. Cũng như
ở trên, việc quy định một mức xác s u ấ t th ế nào được gọi là
lớn sẽ tùy thuộc vào từ ng bài toán cụ thể.

§4. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT

a) Quy. tá c c ộ n g x á c s u ấ t : N ếu A và B là hai biến
xung khấc thì

có

PCA u B)
P(A) + p (B)
Một cách tổng quát, cho các biến cố A 1, A 2, …, An sao cho
hai biến cố b ất kì là xung khắc (nghĩa là chúng xung khắc
từng đôi). Khi đố

p (Aj u A 2 u … u An) = P(A;) + … + P(A„)
b) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t t ổ n g q u á t : Nếu A
hai biến cồ bát kì (không n h á t thiết x u n g khắc) thi

và B là

P(A u B) = P(A) + PCB) – PCAB).
l ầ có th ể mở rộng công thức này cho hợp của ba biến cố :

P(A u B u C) = P(A) + p (B u C) – p (A (B u C)) =
= PCA) + p (B) + P(C) – Pt BC) – p (AB u AC).
Mặt khác

p (AB u AC) = P(AB> + p {AC) – p (ABC)

18

Thay vào ta được

p (A u B .u C) = P(A) + p (B) + P(C) – p (AB) – p {AC) – p {BC) + PiABC).
c) Quy tá c c h u y ể n s a n g b iến c ố dối
Trong nhiều bài toán việc tín h xác su ất của biến cố A khó
Lơn nhiễu so với việc tín h xác su ất của biến cổ đối A. Khi đố
a sẽ tính P(A) rồi từ đó tỉm P(A) nhờ quan hệ sau :
P(A) = 1 – P(Ã).
Các thí dụ sau đây sẽ m inh họa việc ứng dụng các quy tắc
.), b) và c).
T hí dụ 9
Trong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%,
m ắc bệnh huyết áp là 12% và mắc cả hai bệnh là 7%..
Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất để
người đổ không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp.

Giải : Kí hiệu A là biến cố : ‘”Người đd mắc bệnh tim”, B
là biến cố : “Người đó m ắc bệnh huyết áp”. Theo giả thiết ta cổ
PCA) = 0,09, p (B) = 0,12 và PCAB) = 0,07.
Gọi H là biến cố : “Người đó không mắc cà bệnh tim và
b ệnh huyết áp”.
Biến có đối H là : “Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyết
áp”. Tà cổ
H = A u B
Theo quy tắc b)
P(H) = .P(A u B) = P(A) + p (B) – p (AB) =
= 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14.
Theo quy tắc c)
P(H> = 1 – P(Ỡ) = 1 – 0,14 = 0, 86 .
Thỉ dụ 10
Cho A, B, c là ba biến cố sao cho

19

P(A) = 0,5,

P(B) = 0,7,

p (AB) = 0,3,

p (BC) = 0,4,

và p (ABC) =

P(C) = 0,6

0,2

0,1.
ba biến cố A, B, c đều không

a) Tỉm

xác suất để cả

b) Tìm

xác suất để chỉ có đúng hai

c) Tìm
xảy ra.

P(AC) –

xảy ra.

trong ba biến cố xảy ra.

xác suất để chỉ có đúng một biến cố trong ba biến cố

Giải
a) Gọi H là biến cố cần tìm. Dễ thấy
H = A U B \ J C, H
Vậy

= ÃBC

p (H) =1 P(A) + p (B) + P(C) – p (AB) –

P(-BC) – p (CA) + p ( A B q

= 0,5 + 0,7 + 0,6 –

– (0,3 + 0,4 + 0,2) + 0,1 =
Vậy p (H) = 1 – P (ĩĩ) = 0
b) Gọi E

là biến cố cần

tìm. Ta có

E = ABC u ACB
Theo quy tắc 1) Ta có

u ABC.

P(Ê) = P(ABC) + p (ACB) + p (ÃBỢ).
Tk tính P(ABC). Dễ thấy

AB = ABC u ABC
vậy
suy ra

P(AB) = P(ABC) + V(ABC)
p (ABC) = P(AB) – P(ABC) = 0,2.

Tương tự

p (ACB) = P(AC) – p (ABC) = 0,1.
P(ÃfiC) = P(J3C) – P(ABC) = 0,3.

Từ đó p (E) = 0,6.
c) Gọi F là biến cố cẩn tìm. Ta có

E u F u ABC = A u B u c
Các biến cố E, F, A B C đôi một xung khắc. Vậy
P(A u B u C) = p (E) + p (F) + p (ABC)

1.

«=> 1 = 0,6 + P(F) + 0,1
=> p (F) = 0,3.
Thí dụ 11
Trên giá sách cđ n cuốn sách (n ^ 4) trong đó có 3 cuốn
sách của cùng một tác giả. Tìm xác suất để không có hai cuốn
nào trong ba cuốn đứ ng cạnh nhau.
Giải : Kí hiệu ba cuốn sách đố là a, b và c.
Kí hiệu H là biến cố đang xét
A là biến

cố : “Hai cuốn sách b,

c đứng cạnh nhau”

B là biến cố : “Hai cuốn sách a,

c đứng cạnh nhau”

c là biến có : “Hai cuốn sách a,
Khi đó

b đứng cạnh n hau”.

POH) = 1 – P(A u B u C) =
= 1 – P(A) – P(B) – P(C)

+ P(AB)

+

+ p(AC) + P(BC) – p(ABC).
_
2 ( n – 2 ) ! ( n – 1)
Dễ thấy p(A) = p (£) = P(C) = -±—– ^ -1 = ị

2

Tá tính P(A5). Dễ thấy
(

… m2
n(n – 1 )

= 2(n – 3 ) ! (, – 2 )
)

nỉ

Tương tự P(BC)

= PCAC) =

TÌ/\JTL

IJ

Hiển nhiên p (ABC) = 0. Vậy
6
6
P(H) = 1 – – +
v yn
n(n – 1)
(n – 4) (n — 3)
n(n —2)

= 1-

6(n —2)
TV =
n(n –

1)

d) Quy tắ c n h â n
Hai biến cố A ưà B được gọi là dộc lập vói nhau nếu việc xảy
ra hay không xảy ra biến cố này không lầm ảnh hưởng tới việc

xảy ra hay không xảy ra biến có
kia.

21

Nếu hai biến cổ A và B độc lập thì
p (AB) = P(A).PCB)
Tổng q u á t các biến cố A [, A 2, … An được gọi là độc lập nếu
việc xảy r a hay không xảy ra của một nhổm bất kì k biến cố
trong đó (1 ^ k ^ lì) không làm ảnh hưởng tới việc xảy ra
hay không xảy ra của các biến cố còn lại.
Nếu A 1, Ả 2 …, An là độc lập thì
p (AjA2

A n) = P(A ; ). P(A2) … P(A„)

T hí dụ 12
Ba xạ thủ A, B và c độc lập với nhau cùng nổ súng vào một
mục tiêu. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A, B và c tương ứng
là 0,4, 0,5 và 0,7.
a) Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng.
b) Tính xác suất để ít n h ất cd một xạ thủ bắn trúng.
Giải : Kí hiệu A, B và c là các biến có
A

:”Xạ

th ủ A bắn trúng”, P(A) = 0,4

;

B

:”Xạ

th ủ B bắn trúng”, P(B) = 0,5

;

c :”Xạ th ủ c bắn trúng”, P(C) = 0,7.
a) Gọi H là biến cố “Chỉ cđ duy nhất m ột
Tá cd

xạ thủ bắn trúng”.

H = Ã B C u A B C u ÃBC
Sử d ụ n g quy tắc cộng và nhân xác su ất (chú ý rằng A, B, c
độc lập) ta có
P (fl)

= p (A) P(B) P (ệ) +

P(Ã)

+ P (A ) P (B ) P (C ) = ( 0,4

P(B) P(C) +
( 0 ,5) ( 0 ,3) +

+ (0,6) (0,5) (0,7) + (0,6) (0,5) (0,3.) = 0,36.
b) Gọi D là biến cố : “Có ít n h ất một xạ thủ bắn trúng”.

D = A u B u c
p(D)

22

= P(A) + p (B) + P(C) P(A) P(B) – P(S) P(C) – PCA) P(C) + P(A) P(B) P(C)
= 0,4 + 0,5 + 0,7 – 0,2 – 0,35 – 0,28 + 0,14 = 0,91.

/

f
Ta cd th ể tìm p (D) bằng quy tắc chuyển qua biến cố đối.
Rõ ràng
D = A B C .
Vậy

p ( 5 ) = P(Ã) P (£) P(C)
= (0,6) (0,5) (0,3) = 0,09.

Từ đố p (D) = 1 – P(D) = 0,91.
Thỉ dụ 13
Có hai túi đựng các quả cầu. Túi thứ n h ất chứa 3 quả trắng,
7 quả đỏ và 15 quả xanh. Túi thứ hai cđ chứa 10 q u ả trắng ,
6 quả đỏ và 9 quả xanh. Từ mỗi túi ta chọn ngẫu nhiên một
quả cầu.
Tỉm xác suất để 2 quả cầu được chọn đều cđ cùng mầu.

Giải : Gọi

: “Quả cầu rú t từ túi 1 là m ẩu trắng”.

A~, : “Quả cấu rú t từ túi 2 m ầu trắng”

rIầ có p (Aj) = ^

, P(A2) =

10
25

Vậy xác suất để 2 quả cầu rú t ra m ẩu trắ n g là (vì A p A 2
độc lập)
P 0 V 2) = PÍAP P(A2) = ^
Tương tự xác su ất để hai quả cầu rú t ra đều m ầu x an h là
—. — = — -, và xác su át đế rú t ra hai quả m au đỏ là
zo
Zỉ)
bZỈ)
6
7
42
25 ■ 25 ~ 625 ■
1 5

9

1 3 5

–

1. ‘

1

ắ

r

Sử dụng quy tắc cộng, xác suất .rút ra haĩ quả cùng m ẩu là
30
135
42
207
___
+
+ ~
= =r~ ~ 0,331.
625
625
625
625
Quy tác nhân trong trường hợp các biến cố b ấ t kì không
Tihẩt th iế t độc lập sẽ được xét trong §6 .

23

§5. P H É P T H Ử LẶP – CÔ N G TH Ứ C B E C N U L I

Xét một phép thử s và một biến cố A liên quan tới phép
thử đó. Xác suất xu ất hiện A là p. Tầ thực hiện phép thử £
n lẩn một cách độc lập. Bài toán đ ặ t ra là hãy tính xác suất
để trong n phép thử lặp này biến cố A x u ất hiện đ ú n g k lấn,
ở đổ k là một số tự nhiên cho trước, 0 ^ k ^ n.
Kí hiệu Hk là biến có : “A xảy ra đúng k lần trong n phép
thử S”. Ta hãy xét một số trường hợp đặc biệt.
Với k = n : H n = A A … A do đó
n lẩn
p (Hn) = P(A … A) = p ( Ạ f = p n.
Với k = 0, Ho = Ã Ã …Ã do đó
p (Ha) = P(Ã)n = (1 – p)n .
Với k = 1 ta cd
Hì = AA

… Ã u ÃA … Ã u … u ÃÃ … Ã A .

Vậy p (Hị) = P(A)P(Ã )n~1 + … + P(Ã)n_1P(A)
= rip( 1 – p)n~lMột cách tổng qu át biến có H k là hợp của các biến cố có
dạng A A A A. .. A (*) trong đđ chữ cái A x u ấ t hiện k lấn, còn
chữ cái A x uất hiện n – k lần. Do tín h độc lập của các phép
thử lặp, mỗi biến cố dạng như vậy cđ xác s u ấ t là
P(A)P(A)P(Ã) … P(Ã) … P(A) = p \ 1 – p)n ~ k
Dễ thấy H k là hợp của

biến cố dạng (*). Thành thử

p (Hk) = c kn p k(l – p ) n ~k.

Vậy ta có công thức Becnuli sau đây :
Đ ịnh lí (Công thức Becnuli)

24

Ki hiệu Pk(ft ; p) là xác suất d ề trong m ột dãy
dộc lập biến có A xu át hiện đú n g k lần
:

n phép thử

p k( n j p) = Ớn p k qn~k
ỏ dó p = P(A), q = P(A) = 1 – / 5.
Thí dụ 14
Xác su ất thành công của một thí nghiệm sinh hđa là 40%.
Một nhóm gốm 9 sinh viên tiến hành cùng thí nghiệm trên độc
lập với nhau. Tìm xác su ất để :
a) Cđ đúng 6 thí nghiệm th àn h công.
b) Cđ ít nhất một thí nghiệm thành công.
c) Có ít nh ất 8 thí nghiệm thành công.
Giải : Phép thử £ là tiến
“Thí nghiệm thành công”. Ta
= 1 – p = 0,6 và /1 = 9.
a) P 6(9 ; 0 ,4 )

hành thí nghiệm,
A là biến_cố :
có p —P(A) = 0,4, q = p (Ay =

= T ^ ( 0 ,4 ) 6( 0, 6)3

= 84 X (0,4 )6 (0,6 )3 = 0,0743.
b) P{có ít n h ất 1 th í nghiệm thành công}
= 1 – P{ không có thí nghiệm nào
= 1 –

Po(9 ; 0,4)

thành công}

= 1 – (0,6 )9

= 0,9899.
c) P{có ít nhất 8 th í nghiệm th àn h công}
= P8(9 ; 0,4) + p ọ(9 ; 0,4)
= Cụ(0,4)8(0,6) +■ (0,4)9
= 0,00354 + 0,0)0026 = 0,0038.
Thi dụ 15
Hai đấu
m ột ván là
nào tháng
s u ấ t để B

thủ A và B thi đấu cờ. Xác su ất th án g của A trong
0,6 (không; có hòa). Trận đấu bao gổm 5 ván. Người
một. số ván lớn hơn là người tháng cuộc. Tính xác
tháng cuộc.

25

Giải : Xác suất để B th á n g 3 ván là
P 3(5 ; 0,4) = C^(0,4)3(0,6)2 =
Xác suất

để B

th án g

4

0,2304

ván là

P 4(5 ; 0,4) = CịỊ(0,4)4(0,6) =

0,0768.

Xác suất để B th ắn g cả 5 ván là
P 5(5 ; 0,4) = 0^(0,4 )5 = (0,4)5 = 0,0102.
Vậy xác suất th ắng cuộc của B là
P 3(5 ; 0 ,4 ) ’+ P 4(5 ; 0,4) + P 5(õ ; 0,4) = 0,31744.

§6. XẤC SUẤT CÓ ĐIỀƯ K IỆ N QUY TẮC NHÂN T ổ N G QUÁT
a) Xác su ấ t có đ iều k iện
Giả sử A là một biến có, B là một biến cố khác. Xác suất
của B được tính trong điều kiện biết rằn g A đã xảy ra được
gọi là xác suất của B vói diêu kiện A và được kí hiệu là p (BỊA).

Để minh họa cho khái niệm rấ t quan trọ n g này, ta hãy xét
thí dụ sau : Giả sử trong một vùng dân cư gổm N người trong
đổ
cónđàn ông và m phụ nữ (N = n + m). Trong n đàn ông
có k người bị cận thị và trong m phụ nữ cđ l người bị cận thị.
Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác su ất để người đđ bị cận
thị nếu biết rằng người đó là một phụ nữ.
Gọi B là biến cố : “Người đđ bị cận thị”, A là biến cố :
“Người đđ là phụ nữ”! Rõ ràn g p (B/A) chính là tỉ lệ nữ bị cận
l
thị do đó P(B/A) = i r .
m
l ầ hãy tìm mối quan hệ giữa xác suất không điểu kiện và
xác suất cd điều kiện. Ta cổ
P (BM) .
v
‘

26

L
m

w .
m/N

đưcc. Một nghành của Toán học cố tên là : ” Lí thuyết Xácsuêt ” đã sinh ra nhằm mục đích nghiên cứu và điều tra những quy luật và những quy tắctỉm toán những hiện tư ợ ng ngẫu nhiên. Ngày nay Lí thuyết Xác su ất ( LTXS ) đã trở thành một ngànhTom học lớn, chiếm vị trí quan trọng cả về lí thuyết lẫnứn £ dụng. Một m ặt LTXS là một ngành Toán học cd tẩ m líthiyết ở trình độ cao, m ặt khác nó được ứng dụng rộng rãitro ig nhiều ngành khoa học kỹ thuật và cả KHXH và N hân văn. Đặc biệtLTXS gắn liền với khoa học Thống kê, một khoa học về cácphtơng pháp tích lũy, tổ chức triển khai và nghiên cứu và phân tích những tài liệu, thôngtin định lượng. ờ rấ t nhiều nước trên th ế giới, LTXS và Thống kê đã đượcđưỉ. vào giảng dạy ngay từ bậc tru n g học và là môn cơ sở bátbiũc so với sinh viên của nhiều ngành học khác nhau ở bậcđại học. ơ nước ta, trong chương trình cải cách, học viên phổth m g tru n g học đã được làm quen với LTXS.Trong quyết định hành động vể đào tạo và giảng dạy đại cương theo 7 nhóm ngànhcủa Bộ Giáo dục đào tạo và Dào tạo, tấ t cả những nhổm ngành đều cdchương trình Xác Suất – Thông Kê với thời lượng ít n h ấ t là 4 đơn vị chức năng học trình. Nhiều cán bộ đã ra công tác làm việc có nhu cẩu phảitự học môn học này. Cho đến nay những giáo trình, sách tìm hiểu thêm về Xác su ấ t Thống kê ở nước ta còn rấ t ít. Một só sách xu ất bản trước đâykhá lâu đã không còn tương thích. Để phân phối nhu cấu về giảngdạy, học tập và ứng dụng LTXS, chúng tôi biên soạn cuốn sáchnày với kỳ vọng cuốn sách sẽ là một giáo trình có chất lượng, Giao hàng cho một đối tượng người dùng phần đông những bạn đọc gồm có : 1 ) Các bạn sinh viên cao học, ĐH và cao đẳng lần đầutiên làm quen với LTXS, muốn được tra n g bị những kiến thứccơ bản n h ất của môn học. 2 ) Các eán bộ nghiên cứu và điều tra, những thấy giáo ở ĐH và phổthông và tấ t cả những ai muổn tự học bộ môn này. Trong khi biên soạn sách này, chúng tôi đã dựa trên chươngtrình chuẩn vể môn LTXS cho 7 nhóm ngành của Đại họcQuốc gia H à Nội, cũng như chương trình chuấn ở những trườngđậi học kinh tế tài chính, kỉ th u ậ t khác. Chúng tôi cũng đã th am khảonhững sách và giáo trình mới n h ấ t về Xác su ất của một sốnước ph át triển. P hẩn lớn nội dung cuốn sách đã được chúng tôi thử nghiệmgiảng dạy nhiều lần cho sinh viên những khoa Toán, Tin, Hóa, Địa, Sinh, Y.Để giúp những bạn sinh viên không phải thuộc ngành Toán vàcác bạn tự học dễ lỉnh hội, chúng tôi đã nỗ lực lựa chọn cácphương pháp trình diễn th ậ t dễ hiểu. Các chứng tỏ dài đượcbỏ bớt, dành chỗ cho nhiều thỉ dụ cụ th ể để giúp bạn đọc nấmvững lí thuyết hơn, đổng thời qua đổ trong bước đầu thấy được khảnăng ứng dụng thoáng đãng của LTXS. N hững thí dụ này cũng ^ đdngvai trò như những bài toán tinh lọc để fan hâm mộ lấy làm mẫu khigiải những bài tập ở cuối chương. Cuốn sá > ch có gẩn 100 thí dụ. Để học Toán Xác su ất có hiệu quả, sinh viên n h ấ t thiết phảigiải bài tập, giải được càng nhiểu càng tốt. Thành thử ở cuốimỗi chương chúng tôi đưa vào khá nhiểu bài tập để độc giảđược thử thách rèn luyện và tự kiểm tra. Da số những bài tập ởmức cơ bản, không phải là những bài quá khó. Mỗi bài tập đềucd đáp số và hướng dẫn để giúp cho những bạn tự học. Cuốn sáchgốm cò 5 chương và một phụ lục. Chương I, Chương II vàChương III trìn h bày những kiến thức và kỹ năng cơ bàn, cốt lõi của LTXSm à mọi chương trìn h cho những nhóm ngành đểu yên cầu. Để nám được những Chương I và II chỉ nhu yếu kiến thức và kỹ năng vềĐại số ở tru n g học, còn so với Chương III thỉ cần thêm mộtchút kiến thức và kỹ năng vể Giải tích ờ tru n g học và năm thứ n h ất bậcđại học. Chương IV và Chương V được biên soạn ship hàng chocác sinh viên thuộc nhdm ngành 1, 2 ( Toán, Tin, Vật lí, Hổa, Địa ) và kinh tế tài chính, ở đó sự chuẩn bị sẵn sàng về Tbán của họ khá đầy đủ hơn. P hần phụ lục 1 nh ằm giúp fan hâm mộ ôn tập lại những kỹ năng và kiến thức cơbàn về Giải tích tổ fyợp Giao hàng cho việc học những chương I, II.Phụ lục 2 là những b ản g phân bô nhị thức, Poatxông và chuẩn. Trong quá trìn h biên soạn tác giả đã nhận được nhiểu ý kiếnđóng góp của những đổng nghiệp trong Bộ môn Xác suất Thốngkê khoa Tbán “ Cơ – Tin học, Đcại học Quốc gia Thành Phố Hà Nội. Xinchân th à n h cám ơn những đổng góp đó. Tấc giả xin bày tỏlời cảm ơn đặc biệt quan trọng tới GS.TS. Nguyễn Duy Tiến, PGS.Nguyễn Văn Hữu, PGS. Lý Hoàng Tú, PTS. Trần Phương DungPTS. Nguyễn Văn Thường và ông Nguyễn Khắc An, trong việcthẩm định, tổ chức triển khai bản thảo và chỉnh sửa và biên tập cuốn sách. Mặc dù tác già d ã rất là cố gáng, tuy nhiên cuốn sách vẫn cóthể có những thiếu sđt. Chúng tôi rấ t mong nhận được sự gdpý phê bỉnh của fan hâm mộ. Chương IB I Ế N CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIEN c ố § 1PH ÉP THỬ NGẤU NHIÊNVÀ KHÔNG GIAN MAUTrong thực tiễn ta thường gặp r ấ t nhiều hành vi m à cáckết quả của nổ không th ể dự báo trước được. Ta gọi chúng làcác phép thử ngẫu nhiên. Phép thử ngẫu nhiên thường được kí hiệu bởi chữ s. Cáckết quả của s là ngẫu nhiên, không th ể xác lập trước. Tuynhiên ta cd th ể liệt kê ra tấ t cả những hiệu quả cố th ể của s. Tập hợp tấ t cả những hiệu quả cđ th ể của s được gọi là khônggian m ẫ u của s và ta thường kí hiệu nổ bằng chữ Q. Chữ cudùng để kí hiệu một phẩn tử của Q. và ta gọi mỗi thành phần ơ ) của Q. là một biến cố sơ cáp. T h í dụa ) Phép thử s là gieo một con xúc xắcvà quan sát số nốt trênm ặt Open của con xúc xắc. Th không th ể biết trước được m ặtnào của con xúc sắc sẽ Open. Không gian mẫu Q. của và làQ = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }. b ) Phép thử £ là chọnngẫu nhiên 500 người trẻ tuổi ở lứa tuổitừ 18 đến 25 và đếm xem có bao nhiêu người cđ thổi quen hútthuốc lá. Con số này cổ th ể là một số nguyên bất kỳ từ 0 đến500 VậyQ = { 0, 1, 2,500 }. § 2. B IẾ N CỐ VÀ MỐI QUAN H Ệ GIỮA CHÚNGXét một phép thử 6. Cđ rấ t nhiều câu hỏi tương quan tới kếtquả của s. Ta hãy xét những biến cố ( còn gọi là sự kiện ) mà việcxày ra hay không xảy ra của chúng trọn vẹn được quyết địnhbởi hiệu quả của và. Kết quả cư của s được gọi là tác dụng thuận tiện cho biếnA nếu A xảy ra khi kết quà của £ 1 à CƯ.cốThí dụ 2P hép thử 6 là gieo một đống tiễn liên tục 3 lẩn. Đổng tiềncđ th ểsấp ( S ) hoặc ngửa ( N ). Không gianmẫu Q. của s làQ = { SNN, NSN, SSN, NNN, SNS, NSS, sss, NNS }. Gọi A là biến cố : ” Cđ đúng hai lẩn đổng tiền ra m ặt ngử a ”. Khi đố những hiệu quả thu ận lợi cho A là { SNN, NSN, NNS }. Nếu B là biến cố : ” Số lẩn xu ất hiện m ặt ngửa là một sốlẻ ” thì những tác dụng th u ận lợi cho B là { SNS, SSN, NSS, NNN }. Như vậy một biến cố A được đống nhất với một tập con củaQ gồm có tất cà những tác dụng thuận tiện cho A.Biến có không hề là biến cố không khi nào xảy ra. Nố tươngứng với tập con rỗng 0 của Q. Biến có chắc chắnlàbiến cốluôn luôn xảy ra. Nd tương ứng với hàng loạt tậ p Q.a ) Q u a n h ệ g iứ a c á c b ié n cố. Kéo theo : Biến cố A được gọi là kéo theo biến cố B nếu khiA xảy ra thì B cũng xảy ra. Nếu màn biểu diễn A và B bởi hai tậpcon của Q. thì A kéo theo B nghĩa là. A c B.Biến cố đối : Biến cố được gọi là biến cố dối của A nếu nóxảy ra khichỉ khi A không xảy ra. Biến cố đối của A đượckí hiệu là A. Tầ cóà = Q \ Ab ) Hợp c ủ a c á c biên cốHợp của hai biến cố A và 5 là biến cố xảy ra nếu ít nhấtcó m ột trong hai biến cô A và B xảy ra. Ta kí hiệu hợp củahai biến cố A và B là A u B.Tương tự ta có th ể định nghĩa hợp của nhiểu biến cố. NếuAp A 2, A n là những biến cố thi hợp của chúng là biến cố xảyra nếu ít n h ấ t có một biến cố nào đó trong những biến cố A pAnxảy ra. Tá kí hiệu hợp của Ap A 2 yA n làAj u A2 … u A n. c ) G iao c ủ a c á c biến cốGiao của hai biến cô A và 5 là biến cố xảy ra nếu cả A vàB đều xảy ra. Ta kí hiệu giao của hai biến cố A và B là AB.Giao của nhiểu biến cố Aj, A t, là m ột biến cố xảy ranếu tấ t cà những biến cố Aị, At, …, A n đều xảy ra. Kí hiệu giaocủa Aj, A 2, là A ị A 2 … An. Thí dụ 3B a xạ th ủ A, B, c mỗi người bắn một viên đạn vào mụctiêu. Giả sử A, B và c là những biến cố sau :: ” Xạ thủ A bắn trúng ” ; : nXạ thủ B bắn trúng ” ; : ” Xạ th ủ c bán trú n g ” i ) Hãy miêu tả những biến cố sauABC, A B C, A u B u c. ii ) Xét những biến cô sau : ” Có ít n h ất hai xạ thủbán trúng ” : ” Có nhiều nhất một xạthủ bántrúng ” ; F : ” Chỉ có một xạ thủ bán trúng ” ; G : ” Chỉ có xạ thủ c bán trúng ”. Hãy trình diễn những biến cố này theo những biến cô A, B và c. Giải. i ) A B C là biến cố : ” Cả ba xạ thủ đểu bắn trú n g ” A B c là biến cố : ” Cả ba xạ th ủ đều bán trư ợ t ” A u B u c là biến cố : ” Cổ ít nh ất một xạ thủ bán trú n g ”. ii ) D = AB u BC u CA.E = à B u BC u CÃbởi vì cđ nhiều nh ất một xạ thủ bắn trú n g có nghĩa là cổ ítn h ất hai xạ thủ bắn trượt. F = ÃB c u ÃB c u à BC.G = ABC.Biến có xung khắc : Hai biến cố A và B gọi là xu ng khấcnếu A và B không đống thời xày ra. Nói cách khác A và B xung khắc nếu A B = 0. § 3. XÁC SUẤT CỦA MỘT BIẾN c ốXác suất của một biến cố là m ột số nằm giữa 0 và 1, sốnày thống kê giám sát năng lực xu ất hiện của biến cố đd khi phép thửđược thực thi. Kí hiệu xác su ất của biến cố A là pCA ). Cd ba giải pháp gán xác s u ấ t cho những biến cố là : địnhnghĩa – xác su ất cổ xưa, định nghĩa xác su ất dựa trên tẩn su ấtvà định nghĩa xác suất theo tiên đề. a ) Đ ịnh n g h ía x á c su ấ t cổ đ iể n. Giả thử phép thử s cómột số hữu hạn những hiệu quả cđ th ể. Hơn nữa tagiả thiết rằn gcác tác dụng này có đòng khả nàng xuấ t hiện. Khi đó xác s u ấ tcủa biến cố A là tỉ số giữa sổ k ết quả th u ận lợi của A và sốkết quả cố thể. Như vậy trong trường hợp này ta có | Ả | p ( A ) – wở đó \ A \ kí hiệu số phẩn tử của tậ p hợp A. 10N hư vậy trong trường hợp này việc tính xác suất quy vềviệc đếm số hiệu quả cố th ể và số hiệu quả thuận tiện. Để việc ” đếm ” này thực thi một cách đúng mực, nhanh gọn, ta Gầnmột số kỹ năng và kiến thức về Giải tích Tổ hợp ( xem Phụ lục ). Định nghỉa xác suất cổ xưa này dựa trên hai giả thiết quantrọng : i ) Các kết quà hoàn toàn có thể là hữu hạn ; ii ) Các hiệu quả hoàn toàn có thể là dòng kh ả năng. Hai giả thiết này thường được thỏa m ãn khi tất cả chúng ta tínhtoán xác su ất tro n g những game show may rủi, hoặc khi việc chọnlựa là vô tư, không thiên vị. Thí dụ 4G ieo đổng thời ba con xúc sắc được sản xuất cân đối, đổngchất. Tính xác s u ấ t để tổng số nốt xu ất hiện của ba con là 9. Giải : Mỗi tác dụng của phểp thử là một bộ ba ( a, b, c ) trongđổ a, b, c là những số nguyên dương từ 1 đến 6. Vậy1 ^ a ^ 6Q = ( a, b, c ) : 1 ^ b ^ 61 ^ cIQICác bộ ba ( a, b, = 6 X 6 X 6 = 63 = 216. c ) có tổng bằng9 là ( 1, 2,6 ) và 5 hoán vị của nó ( 1, 3,5 ) và 5 hoán vị của nd ( 1, 4,4 ) và 2 hoán vị của nó ( 2, 2,5 ) và 2 hoán vị của nd ( 2, 3,4 ) và 5 hoán vị của nó ( 3, 3,3 ) Vậy số trư ờng hợp thuận tiện là \ A \ = 6 4 – 6 + 3 + 6 + 3 + 1 = 25. Vì những con xúc sắc cân đối, đồng chất nên hoàn toàn có thể cho rằngcác tác dụng là đổng khả nãng. Vậy11P ( A ) = 2160,1157 Thi dụ 5T rước cổng trường ĐH có ba quán cơm binh dâni chấtlượng ngang nhau. Ba sinh viên A, B, c độc lập với nhau chọnngẫu nhiên một quán ăn để ăn trưa. Tính xác suất của những biếncố sau : a ) 3 sinh viên vào cùng một quán ; b ) 2 sinh viên vào cùng một quán, còn người kia thì vào quánkhác. Giải ; Ta đánh số ba quán cơm là 1, 2, 3. Gọi a, 6, c làquán cơm mà sinh viên A, B, c chọn. Như vậy Q. là tập hợp những bộ ba ( a, b, c ) với 1 ^ a ^ 3,1 ^ ò ^ 3, 1 ^ c ^ 3. Rõ ràn g | Q | = 3 3 = 27. Ta cđ th ể coi rằn g những kết q u à làđống năng lực. a ) H iển nhiên cđ 3 trường hợp thuận tiện là ( 1, 1, 1 ), ( 2, 2, 2 ), ( 3, 3, 3 ). Vậy : p = 27 b ) Các trường hợp thuận tiện là ( 1, 1, 2 ) và 2 hoán vị của nó ( 1, 1, 3 ) và 2 hoán vị của nó ( 2, 2, 1 ) và 2 hoán vị của nó ( 2, 2, 3 ) và 2 hoán vị của nó ( 3, 3 j 1 ) và 2 hoán vl của nd ( 3, 3, 2 ) và 2 hoán vi của nó. Thành thử | A | = 6 x 3 = 18. ♦ Xác s u ấ t cấn tìm làP ( A ) = 121827T hí dụ 6M ột công ti cấn tuyển hai nhân viên cấp dưới. Có 6 người nộp đơn, trong đó có 4 nữ và 2 nam. Giả sử rằng năng lực trúng tuyểncủa 6 người là như nhau. a ) Tínhxác suất để 2 người trúng tuyển đẽulà nam. b ) Tínhxácsuất để cả hai người trúng tuyểnđểu là nữ. c ) Tínhxácsuất để có tối thiểu một nữ trúngtuyển. Giải : Số trường hợp hoàn toàn có thể là = 15. Các trường hợpnày đồng năng lực. a ) su ất làVì chỉ có 1 trường hợp cà 2 nam trú n g tuyển nên xácb ) Só cách chọn 2 nữ trú n gtuyểntrong số 4 nữlàC 4 = 6. Vậy xác suất cẩn tim làc ) Chỉ có 1 trường hợp cả hai nam trú n g tuyển nên 14 trư ờ ng hợp còn lại đểu có ít n hất một nữ trú n g tuyển. Vậyb ) Đ ịn h n g h ía x á c su ấ t b ằ n g tẩn su ấ tNếu số những hiệu quả cổ thể là vô hạn hoặc hữu hạn nhưngkhông đổng năng lực, cách tính xác su át cổ xưa như trênkhông còn dùng được. Giả sử phép thử s hoàn toàn có thể được thựchiện lặp lại rấ t nhiều lẩn trong những điễu kiện giống hệt nhau. N ếu trong n lần thực thi phép thử 6, biến cố A xuất hiệnk ‘. ( A ) lần thì tỉ số fn ( A ) = được gọi là tần suất xuất hiệncủ a biến cố A trong n phép thử. Người ta nhận thấy rằn g khiStố phép thử n tăng ra vô hạn thỉ tẩn su ất f n ( A ) luôn dần tớiraiột số lượng giới hạn xác lập. 13G iới hạn đó được định nghĩa là xác suất cùa AP ( A ) = lim fn ( A ). n – * ocTrên trong thực tiễn P. ( A ) được tính giao động bởi tầ n suất fn ( A ) với nđủ lớn. Thí dụ 7 Để xác lập xác suất để một người đàn ông 25 tuổi sẽ bị chếttrong năm sắp tới, người ta theo dõi 100000 người trẻ tuổi 25 tuổivà thấy rằng có 138 người chết trong vòng 1 năm sau đổ. Vậyxác suất cẩn tìm giao động bằng138100000 = ° ’ 001.38 Thí dụ 8C ác số lượng thống kê cho thấy tần suất sinh con trai xấp xỉ0, 513. Như vậy xác suất sinh con trai lớn hơn xác suất sinh congái. Việc lý giải sự kiện này là việc mà những nhà sinh học đangmuón làm. Định nghĩa xác suất bằng tần suất chỉ vận dụng được cho cácphép thử ngẫu nhiên cò thể lặp lại nhiểu lẩn một cách độc lậptrong những điều kiện kèm theo giống hệt nhau. Ngoài ra để xác lập mộtcách tương đối đúng chuẩn giá trị của xác suất ta phải tiến hànhmột số đủ lớn những phép thử, mà việc này đôi khi không hề làmđược vì hạn chế về thời hạn và – kinh phí đầu tư. c ) P. h ư ơ n g p h á p tiê n đ ể tr o n g lí thuyết * x á c su ấtBản chất của phường pháp tiên để khi kiến thiết xây dựng một lí thuyếttoán học nào đđ là không chăm sóc tới việc định nghĩa những đốitượng của lí thuyết đ < 5, mà chỉ chăm sóc tới mối quan hệ giữacác đối tượng người dùng đổ. Các đổi tượng đố cố th ể có thực chất khácnhau, miễn là chúng cùng tuân theo một bộ những quy tắc xácđịnh, được gọi là hệ tiên đ'ê. Chảng hạn, trong bộ môn cờ tướng, những quân cờ và bàn cờ là cái gỉ cũng được, cái quan trọng làluật chơi. Luật chơi là " hệ tiên đề " của bộ môn cờ tướng. Trong14việc thiết kế xây dựng môn Hinh học theo giải pháp tiên đé cũngvậy, những khái niệm điểm, đường th ẳn g và m ật phảng khôngđược định nghĩa ( chúng có th ể là bất kể cái gì, là những bàn ghếhay cốc bia ! ). Một hệ tiên đề hỉnh học được nêu ra để địnhrõ mối quan hệ giữa chúng như : Qua hai điểm. xác địnhmột đường thẳng, qua ba điểm xác lập một m ặt phẳng, quamột điểm vẽ được một đường th ẳn g song song với một đườngth ẳn g đã cho ( tiên để Oclit ). Các tiên để có th ể được lựa chọnbằng những cách khác nhau và tương ứng với mỗi hệ tiên đểlà một thứ hình học : Hình học Oclit, H ình học Lôbasepski, Hỉnh học Riơman. Trong việc kiến thiết xây dựng lí thuyết Xác su ất bằng phương pháptiên đề, người ta cũng không chăm sóc tới việc định nghĩa th ếnào là xác suất của m ột biến cố, mà chỉ chăm sóc tới việc đưara một hệ tiên đề mà định nghĩa xác suất phải tuân theo. Sau đây là hệ tiên để của lí thuyết Xác suất do nhà toánhọc Nga lỗi lạc, Viện sỉ Kolmogorov, đưa ra năm 1933. Giả sử và là một phép thử ngẫukết quả của 6. Mỗi tập con của ( link với 6 ). Một họ ĩ nào đdlà một ỡ - đại số qác biến cố nếunhiên vồ Q. là tập hợp cácQ được gọi là một biến cốcác tập con của Q. được gọii ) Q. e ĩ, 0 e 7.ii ) Nếu A E 7 thì Q \ Aiii ) Nếu Aj, A -, , ... là mộtoou At / 1 = 1E ĩ. dãy những tập hợp của họ 7 thìhợpcũng thuộc 7. Xác định m ột quy luật xác suất trên ơ - đạisố 7 là gáncho mỗi biến cô A E 7 một sô P. ( A ) gọi là xác suất của A.Pìhép gán đổ phải thỏa m ãn những điều kiện kèm theo sau1 ) V A e 7, 0 ^ P ( A ) ^ 12 ) P. ( Q. ) = 1, P. ( 0 ) = 0.3 ) Nếu Aj, xiungkhắc vớiA 2 • • • làmột dãy cácnhau ( Aị A ị = 0 nếubiến cốthuộc ĩ đôimộtj ) thì1500ŨCp ( ũ A. ) = 2 m. ) / 1 = 1 n = ìNói cách khác xác su ất p là m ột án h xạ từ f vào [ 0,1 ] thỏamán 3 điều kiện kèm theo nêu trên. Thí dụ : Giả sử phép thử và gổm n tác dụng có thểQ = { cư { 1 cư20Jn } Tá gán cho mỗi hiệu quả a > \ một sổ Pi ^ 0 sao chop \ + P2 + • • • + Pn = 1. Gọi 7 là họ tấ t cả những tậ p con của Q.Dễ thấy 7 là một ơ – đại số. Nếu A là một tập con thì tađịnh nghĩaP ( A ) = 2 Pii G / ở đó tổng chạy trên những chỉ số i mà 0 J \ E A. Dễ dàng kiểmtra được ánh xạ p : AP ( A ) thỏa m ãn hệ tiên đề Kolmogorov. ĐặcbiệtnếutachọnP \ = P2 – … = Pn = th ì \ A \ P ( A ) = — —, ở đó | A | là số phẩn tử của A. Đây chính là địnhTbnghĩà xác suất cổ xưa trong trư ờng hợp những tác dụng của và làđổng năng lực. Thí dụGiả sử phép thử và gổm một sổ vô hạn đếm được những kết quảQ = { cưp ( jl > 2 • • • } Ta gán cho mỗi tác dụng ơ ) i m ột sổ Pi ^ 0 sao cho00 / Pi = 1 ( chẳng han lấy Pi = — 7 ọ / ). Goi 7 là ho tấi_cả những tẵp / = 1 con của Q.Dễ thấy 7 lập thành một õ – đại số. Nếu A là một tập concủa Q. thì ta định nghĩaP ( A ) = 2 Pii G / ở đó I là tập hợp những chỉ số i m à U ) ị E A. Dễ thấy tương ứnigA — * P ( A ) như trên xác lập một xác suất. 16T hí dụGiả sử phép thử và là chọn ngẫu nhiên một điểm trong hìnhvuông I. Rõ ràn g tập hợp Q. những tác dụng cổ th ể là tập hợp cácđiểm của hình vuông vắn này. Q là một tập hợp không đếm được. Biến cố : ” Điểm ngẫu nhiên rơi vào tập hợp A trong hình vuôngI ” được đổng nh ất với tập con A của I. Gọi lr là họ những tậpcon của I có diện tích quy hoạnh ( quan tâm rằíig từ lí thuyết độ đo ta biếtrằng không th ể gán diện tích quy hoạnh cho mọi tập con của / ). Bây giờta định nghĩa P ( A ) là diện tích quy hoạnh của tập A. Do đặc thù củadiện tích, cách gán như trên thỏa m ãn hệ tiên để Kolmogorovvà như vậy cho ta một xác suất. N hững tập hợp không cò diệntích tương ứng với. những biến cố m à không xác lập được xácsuất. Các biến ‘ cố này rấ t ” ki quái ” và thực tiễn tất cả chúng ta cũngkhông khi nào xem xét những biến cố như vậy. Rõ ràn g cđ th ể cố nhiềù cách định nghĩa ánh xạ p thỏa mãnhệ tiên đề Kolmogorov. Thực tiễn khách quan là tiêu chuẩnquyết định xem cách gán nào là đúng đắn, tương thích. d ) N g u y ê n lí x á c x u ấ t nhỏMột biến cố không th ể có xác su ất bằng 0. Tuy nhi-ên mộtbiến cố cđ xác suất b ằn g 0 vẫn cổ th ể xảy ra trong một số ít rấtlớn phép thử. Qua thực nghiệm và quan sá t thực tiễn, người tathấy rằng những biến cố cđ xác suất bé sẽ không xảy r a khi tachỉ thực thi một phép thử hay một vài phép thử. Từ dó ngườit a thừ a nhận nguyền lí sau đây, gọi là ” Nguyên lí xác suấtnhỏ ” : ” Nếu m ột bĩến có cố xác su ất rấ t nhỏ thì thực tiễn cđ thểcho rằn g trong một phép thử biến cố đd sẽ không xảy ra ”. Chẳng hạn mỗi chiếc máy bay đều cổ một xác suất rấ t nhỏ ( đi máy bay vì tin tư ở n g rằng trong chuyên bay ta đi sự kiệnmáy bay rơi sẽ không xảy ra. Hiển nhiên việc lao lý một mức xác suất th ế nào đượcgọi là nhỏ sẽ tùy thuộc vào từng bài toán đơn cử. Chẳng hạnnếu xác suất để máy bay rơi là 0,01 thì xác su ất đổ chưa thểđược coi là nhỏ. Song nếu Kâc su ất 111 ôt – chuyền t àu – – khởi hànhchậm là 0,01 thì cđ thể, 2 – MĐẩu. No l / r. ( ijj. . é 4 S p. 617M ức xác suất nhỏ này được gọi là mức ý nghỉa. Nếu a làmức ý nghĩa thì số Ịì = 1 – a gọi là độ đáng tin cậy. Khi dựa trênnguyên lí xác suất nhỏ ta công bố rằ n g : ” Biến cổ A cd xácsuất nhỏ ( tức là P. ( A ) ^ a ) sẽ không xảy ra trê n trong thực tiễn ” thìđộ đáng tin cậy của Tóm lại trên là ( ỉ. Tính đúng đ án của kết luậnchỉ xảy ra trong 100. / ? % trư ờ n g hợp. Tương tự như vậy ta cđ th ể đưa r a nguyên lí xác suất lớn. Nếu biến cố A có xác suất gần b ằn g 1 thì trê n trong thực tiễn co ‘ th ểcho rằn g biến cố đó sẽ xảy ra tro n g một phép thử. Cũng nhưở trên, việc lao lý một mức xác s u ấ t th ế nào được gọi làlớn sẽ tùy thuộc vào từ ng bài toán đơn cử. § 4. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤTa ) Quy. tá c c ộ n g x á c s u ấ t : N ếu A và B là hai biếnxung khấc thìcóPCA u B ) P. ( A ) + p ( B ) Một cách tổng quát, cho những biến cố A 1, A 2, …, An sao chohai biến cố b ất kì là xung khắc ( nghĩa là chúng xung khắctừng đôi ). Khi đốp ( Aj u A 2 u … u An ) = P ( A ; ) + … + P. ( A „ ) b ) Quy tá c c ộ n g x á c s u ấ t t ổ n g q u á t : Nếu Ahai biến cồ bát kì ( không n h á t thiết x u n g khắc ) thivà B làP ( A u B ) = P ( A ) + PCB ) – PCAB ). l ầ có th ể lan rộng ra công thức này cho hợp của ba biến cố : P. ( A u B u C ) = P ( A ) + p ( B u C ) – p ( A ( B u C ) ) = = PCA ) + p ( B ) + P. ( C ) – Pt BC ) – p ( AB u AC ). Mặt khácp ( AB u AC ) = P. ( AB > + p { AC ) – p ( ABC ) 18T hay vào ta đượcp ( A u B. u C ) = P ( A ) + p ( B ) + P. ( C ) – p ( AB ) – p { AC ) – p { BC ) + PiABC ). c ) Quy tá c c h u y ể n s a n g b iến c ố dốiTrong nhiều bài toán việc tín h xác su ất của biến cố A khóLơn nhiễu so với việc tín h xác su ất của biến cổ đối A. Khi đốa sẽ tính P. ( A ) rồi từ đó tỉm P ( A ) nhờ quan hệ sau : P. ( A ) = 1 – P. ( à ). Các thí dụ sau đây sẽ m inh họa việc ứng dụng những quy tắc. ), b ) và c ). T hí dụ 9T rong một vùng dân cư tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9 %, m ắc bệnh huyết áp là 12 % và mắc cả hai bệnh là 7 % .. Chọn ngẫu nhiên một người trong vùng đó. Tính xác suất đểngười đổ không mắc cả bệnh tim và bệnh huyết áp. Giải : Kí hiệu A là biến cố : ‘ ” Người đd mắc bệnh tim “, Blà biến cố : ” Người đó m ắc bệnh huyết áp “. Theo giả thiết ta cổPCA ) = 0,09, p ( B ) = 0,12 và PCAB ) = 0,07. Gọi H là biến cố : ” Người đó không mắc cà bệnh tim vàb ệnh huyết áp “. Biến có đối H là : ” Người đó mắc bệnh tim hoặc bệnh huyếtáp “. Tà cổH = A u BTheo quy tắc b ) P. ( H ) =. P ( A u B ) = P ( A ) + p ( B ) – p ( AB ) = = 0,09 + 0,12 – 0,07 = 0,14. Theo quy tắc c ) P. ( H > = 1 – P. ( Ỡ ) = 1 – 0,14 = 0, 86. Thỉ dụ 10C ho A, B, c là ba biến cố sao cho19P ( A ) = 0,5, P. ( B ) = 0,7, p ( AB ) = 0,3, p ( BC ) = 0,4, và p ( ABC ) = P. ( C ) = 0,60,20,1. ba biến cố A, B, c đều khônga ) Tỉmxác suất để cảb ) Tìmxác suất để chỉ có đúng haic ) Tìmxảy ra. P ( AC ) – xảy ra.trong ba biến cố xảy ra. xác suất để chỉ có đúng một biến cố trong ba biến cốGiảia ) Gọi H là biến cố cần tìm. Dễ thấyH = A U B \ J C, HVậy = ÃBCp ( H ) = 1 P. ( A ) + p ( B ) + P. ( C ) – p ( AB ) – P. ( – BC ) – p ( CA ) + p ( A B q = 0,5 + 0,7 + 0,6 — ( 0,3 + 0,4 + 0,2 ) + 0,1 = Vậy p ( H ) = 1 – P. ( ĩĩ ) = 0 b ) Gọi Elà biến cố cầntìm. Ta cóE = ABC u ACBTheo quy tắc 1 ) Ta cóu ABC.P ( Ê ) = P. ( ABC ) + p ( Ngân Hàng Á Châu ) + p ( ÃBỢ ). Tk tính P. ( ABC ). Dễ thấyAB = ABC u ABCvậysuy raP ( AB ) = P. ( ABC ) + V ( ABC ) p ( ABC ) = P. ( AB ) – P. ( ABC ) = 0,2. Tương tựp ( Ngân Hàng Á Châu ) = P. ( AC ) – p ( ABC ) = 0,1. P ( ÃfiC ) = P. ( J3C ) – P. ( ABC ) = 0,3. Từ đó p ( E ) = 0,6. c ) Gọi F là biến cố cẩn tìm. Ta cóE u F u ABC = A u B u cCác biến cố E, F, A B C đôi một xung khắc. VậyP ( A u B u C ) = p ( E ) + p ( F ) + p ( ABC ) 1. « => 1 = 0,6 + P. ( F ) + 0,1 => p ( F ) = 0,3. Thí dụ 11T rên giá sách cđ n cuốn sách ( n ^ 4 ) trong đó có 3 cuốnsách của cùng một tác giả. Tìm xác suất để không có hai cuốnnào trong ba cuốn đứ ng cạnh nhau. Giải : Kí hiệu ba cuốn sách đố là a, b và c. Kí hiệu H là biến cố đang xétA là biếncố : ” Hai cuốn sách b, c đứng cạnh nhau ” B là biến cố : ” Hai cuốn sách a, c đứng cạnh nhau ” c là biến có : ” Hai cuốn sách a, Khi đób đứng cạnh n hau ”. POH ) = 1 – P. ( A u B u C ) = = 1 – P. ( A ) – P. ( B ) – P. ( C ) + P. ( AB ) + p ( AC ) + P. ( BC ) – p ( ABC ). 2 ( n – 2 ) ! ( n – 1 ) Dễ thấy p ( A ) = p ( £ ) = P. ( C ) = – ± —– ^ – 1 = ịTá tính P. ( A5 ). Dễ thấy … m2n ( n – 1 ) = 2 ( n – 3 ) ! (, – 2 ) nỉTương tự P. ( BC ) = PCAC ) = TÌ / \ JTLIJHiển nhiên p ( ABC ) = 0. VậyP ( H ) = 1 – – + v ynn ( n – 1 ) ( n – 4 ) ( n — 3 ) n ( n — 2 ) = 1-6 ( n — 2 ) TV = n ( n – 1 ) d ) Quy tắ c n h â nHai biến cố A ưà B được gọi là dộc lập vói nhau nếu việc xảyra hay không xảy ra biến cố này không lầm ảnh hưởng tác động tới việcxảy ra hay không xảy ra biến cókia. 21N ếu hai biến cổ A và B độc lập thìp ( AB ) = P ( A ). PCB ) Tổng q u á t những biến cố A [, A 2, … An được gọi là độc lập nếuviệc xảy r a hay không xảy ra của một nhổm bất kỳ k biến cốtrong đó ( 1 ^ k ^ lì ) không làm tác động ảnh hưởng tới việc xảy rahay không xảy ra của những biến cố còn lại. Nếu A 1, Ả 2 …, An là độc lập thìp ( AjA2A n ) = P ( A ; ). P ( A2 ) … P. ( A „ ) T hí dụ 12B a xạ thủ A, B và c độc lập với nhau cùng nổ súng vào mộtmục tiêu. Xác suất bắn trúng của xạ thủ A, B và c tương ứnglà 0,4, 0,5 và 0,7. a ) Tính xác suất để chỉ có duy nhất một xạ thủ bắn trúng. b ) Tính xác suất để ít n h ất cd một xạ thủ bắn trúng. Giải : Kí hiệu A, B và c là những biến có : ” Xạth ủ A bắn trúng “, P. ( A ) = 0,4 : ” Xạth ủ B bắn trúng “, P. ( B ) = 0,5 c : ” Xạ th ủ c bắn trúng “, P. ( C ) = 0,7. a ) Gọi H là biến cố ” Chỉ cđ duy nhất m ộtTá cdxạ thủ bắn trúng “. H = à B C u A B C u ÃBCSử d ụ n g quy tắc cộng và nhân xác su ất ( chú ý quan tâm rằng A, B, cđộc lập ) ta cóP ( fl ) = p ( A ) P. ( B ) P. ( ệ ) + P. ( à ) + P. ( A ) P. ( B ) P. ( C ) = ( 0,4 P ( B ) P. ( C ) + ( 0, 5 ) ( 0, 3 ) + + ( 0,6 ) ( 0,5 ) ( 0,7 ) + ( 0,6 ) ( 0,5 ) ( 0,3. ) = 0,36. b ) Gọi D là biến cố : ” Có ít n h ất một xạ thủ bắn trúng ‘ ‘. D = A u B u cp ( D ) 22 = P ( A ) + p ( B ) + P. ( C ) P. ( A ) P. ( B ) – P. ( S ) P. ( C ) – PCA ) P. ( C ) + P. ( A ) P. ( B ) P. ( C ) = 0,4 + 0,5 + 0,7 – 0,2 – 0,35 – 0,28 + 0,14 = 0,91. Ta cd th ể tìm p ( D ) bằng quy tắc chuyển qua biến cố đối. Rõ ràngD = A B C. Vậyp ( 5 ) = P. ( à ) P. ( £ ) P. ( C ) = ( 0,6 ) ( 0,5 ) ( 0,3 ) = 0,09. Từ đố p ( D ) = 1 – P. ( D ) = 0,91. Thỉ dụ 13C ó hai túi đựng những quả cầu. Túi thứ n h ất chứa 3 quả trắng, 7 quả đỏ và 15 quả xanh. Túi thứ hai cđ chứa 10 q u ả trắng, 6 quả đỏ và 9 quả xanh. Từ mỗi túi ta chọn ngẫu nhiên mộtquả cầu. Tỉm xác suất để 2 quả cầu được chọn đều cđ cùng mầu. Giải : Gọi : ” Quả cầu rú t từ túi 1 là m ẩu trắng “. A ~, : ” Quả cấu rú t từ túi 2 m ầu trắng ” rIầ có p ( Aj ) = ^, P. ( A2 ) = 1025V ậy xác suất để 2 quả cầu rú t ra m ẩu trắ n g là ( vì A p A 2 độc lập ) P. 0 V 2 ) = PÍAP P ( A2 ) = ^ Tương tự xác su ất để hai quả cầu rú t ra đều m ầu x an h là —. — = — -, và xác su át đế rú t ra hai quả m au đỏ làzoZỉ ) bZỈ ) 4225 ■ 25 ~ 625 ■ 1 51 3 51. ‘ Sử dụng quy tắc cộng, xác suất. rút ra haĩ quả cùng m ẩu là3013542207___ + ~ = = r ~ ~ 0,331. 625625625625Q uy tác nhân trong trường hợp những biến cố b ấ t kì khôngTihẩt th iế t độc lập sẽ được xét trong § 6. 23 § 5. P. H É P T H Ử LẶP – CÔ N G TH Ứ C B E C N U L IXét một phép thử s và một biến cố A tương quan tới phépthử đó. Xác suất xu ất hiện A là p. Tầ thực thi phép thử £ n lẩn một cách độc lập. Bài toán đ ặ t ra là hãy tính xác suấtđể trong n phép thử lặp này biến cố A x u ất hiện đ ú n g k lấn, ở đổ k là 1 số ít tự nhiên cho trước, 0 ^ k ^ n. Kí hiệu Hk là biến có : ” A xảy ra đúng k lần trong n phépthử S “. Ta hãy xét 1 số ít trường hợp đặc biệt quan trọng. Với k = n : H n = A A … A do đón lẩnp ( Hn ) = P ( A … A ) = p ( Ạ f = p n. Với k = 0, Ho = à à … à do đóp ( Ha ) = P. ( à ) n = ( 1 – p ) n. Với k = 1 ta cdHì = AA. .. à u ÃA … à u … u Ãà … à A. Vậy p ( Hị ) = P ( A ) P. ( à ) n ~ 1 + … + P. ( à ) n_1P ( A ) = rip ( 1 – p ) n ~ lMột cách tổng qu át biến có H k là hợp của những biến cố códạng A A A A. .. A ( * ) trong đđ vần âm A x u ấ t hiện k lấn, cònchữ cái A x uất hiện n – k lần. Do tín h độc lập của những phépthử lặp, mỗi biến cố dạng như vậy cđ xác s u ấ t làP ( A ) P. ( A ) P. ( à ) … P. ( à ) … P. ( A ) = p \ 1 – p ) n ~ kDễ thấy H k là hợp củabiến cố dạng ( * ). Thành thửp ( Hk ) = c kn p k ( l – p ) n ~ k. Vậy ta có công thức Becnuli sau đây : Đ ịnh lí ( Công thức Becnuli ) 24K i hiệu Pk ( ft ; p ) là xác suất d ề trong m ột dãydộc lập biến có A xu át hiện đú n g k lầnn phép thửp k ( n j p ) = Ớn p k qn ~ kỏ dó p = P ( A ), q = P ( A ) = 1 – / 5. Thí dụ 14X ác su ất thành công xuất sắc của một thí nghiệm sinh hđa là 40 %. Một nhóm gốm 9 sinh viên thực thi cùng thí nghiệm trên độclập với nhau. Tìm xác su ất để : a ) Cđ đúng 6 thí nghiệm th àn h công. b ) Cđ tối thiểu một thí nghiệm thành công xuất sắc. c ) Có ít nh ất 8 thí nghiệm thành công xuất sắc. Giải : Phép thử £ là tiến ” Thí nghiệm thành công xuất sắc “. Ta = 1 – p = 0,6 và / 1 = 9. a ) P. 6 ( 9 ; 0, 4 ) hành thí nghiệm, A là biến_cố : có p — P ( A ) = 0,4, q = p ( Ay = = T ^ ( 0, 4 ) 6 ( 0, 6 ) 3 = 84 X ( 0,4 ) 6 ( 0,6 ) 3 = 0,0743. b ) P { có ít n h ất 1 th í nghiệm thành công xuất sắc } = 1 – P { không có thí nghiệm nào = 1 – Po ( 9 ; 0,4 ) thành công xuất sắc } = 1 – ( 0,6 ) 9 = 0,9899. c ) P { có tối thiểu 8 th í nghiệm th àn h công } = P8 ( 9 ; 0,4 ) + p ọ ( 9 ; 0,4 ) = Cụ ( 0,4 ) 8 ( 0,6 ) + ■ ( 0,4 ) 9 = 0,00354 + 0,0 ) 0026 = 0,0038. Thi dụ 15H ai đấum ột ván lànào thángs u ấ t để Bthủ A và B tranh tài cờ. Xác su ất th án g của A trong0, 6 ( không ; có hòa ). Trận đấu bao gổm 5 ván. Ngườimột. số ván lớn hơn là người tháng cuộc. Tính xáctháng cuộc. 25G iải : Xác suất để B th á n g 3 ván làP 3 ( 5 ; 0,4 ) = C ^ ( 0,4 ) 3 ( 0,6 ) 2 = Xác suấtđể Bth án g0, 2304 ván làP 4 ( 5 ; 0,4 ) = CịỊ ( 0,4 ) 4 ( 0,6 ) = 0,0768. Xác suất để B th ắn g cả 5 ván làP 5 ( 5 ; 0,4 ) = 0 ^ ( 0,4 ) 5 = ( 0,4 ) 5 = 0,0102. Vậy xác suất th ắng cuộc của B làP 3 ( 5 ; 0, 4 ) ’ + P. 4 ( 5 ; 0,4 ) + P. 5 ( õ ; 0,4 ) = 0,31744. § 6. XẤC SUẤT CÓ ĐIỀƯ K IỆ N QUY TẮC NHÂN T ổ N G QUÁTa ) Xác su ấ t có đ iều k iệnGiả sử A là một biến có, B là một biến cố khác. Xác suấtcủa B được tính trong điều kiện kèm theo biết rằn g A đã xảy ra đượcgọi là xác suất của B vói diêu kiện A và được kí hiệu là p ( BỊA ). Để minh họa cho khái niệm rấ t quan trọ n g này, ta hãy xétthí dụ sau : Giả sử trong một vùng dân cư gổm N người trongđổcónđàn ông và m phụ nữ ( N = n + m ). Trong n đàn ôngcó k người bị cận thị và trong m phụ nữ cđ l người bị cận thị. Chọn ngẫu nhiên một người. Tính xác su ất để người đđ bị cậnthị nếu biết rằng người đó là một phụ nữ. Gọi B là biến cố : ” Người đđ bị cận thị “, A là biến cố : ” Người đđ là phụ nữ ” ! Rõ ràn g p ( B / A ) chính là tỉ lệ nữ bị cậnthị do đó P. ( B / A ) = i r. l ầ hãy tìm mối quan hệ giữa xác suất không điểu kiện vàxác suất cd điều kiện kèm theo. Ta cổP ( BM ). 26 w. m / N

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay