Minh họa định lý con bướm .

Định lý con bướm là tên gọi một định lý trong hình học Euclid, có thể được phát biểu như sau:

Cho dây cung PQ của một đường tròn và trung điểm M của nó. Vẽ hai dây cung AB và CD khác của đường tròn đi qua M. Gọi giao điểm của AD và BC với PQ tương ứng là X và Y. Khi đó M cũng là trung điểm của XY.

Gọi

X
′

{\displaystyle X’}

$X'$ và

X
″

{\displaystyle X”}

$X''$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi

Y
′

{\displaystyle Y’}

$Y'$ và

Y
″

{\displaystyle Y”}

$Y''$ lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

Bạn đang đọc: Định lý con bướm – Wikipedia tiếng Việt

Chứng minh của định lý con bướm .Do

\triangle MXX'\sim \triangle MYY'

{MX \over MY}={XX' \over YY'}

\triangle MXX''\sim \triangle MYY''

{MX \over MY}={XX'' \over YY''}

\triangle AXX'\sim \triangle CYY''

{XX' \over YY''}={AX \over CY}

\triangle DXX''\sim \triangle BYY'

{XX'' \over YY'}={DX \over BY}

Mở rộng của SharyginTừ những đẳng thức trên, ta có

\left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}.{XX'' \over YY''}={AX.DX \over CY.BY}

={PX.QX \over PY.QY}

Phương tích)

={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}

PM = MQ)

Theo đặc thù của dãy tỉ số bằng nhau :

{MX^{2} \over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} \over PM^{2}}=1

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Mở rộng định lý con bướm của Sharygin. Trên dây cung AB của đường tròn lấy điểm M, N sao cho AM = BN, đường thẳng qua M cắt đường tròn tại hai điểm P., Q., đường thẳng qua N cắt đường tròn tại hai điểm R, S. PR, SQ cắt AB tại hai điểm K, L khi đó MK = LN .