Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và bài tập ứng dụng

Ngày đăng : 01/01/2021, 09 : 27

CHỦ ĐỀ 1 – NGUYÊN HÀM.A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM1. Nguyên hàm và tính chất.1.1 Nguyên hàm.1.2 Tính chất.2. Phương pháp tính nguyên hàm.2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số.2.2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần.2.3 Bảng nguyên hàm cơ bản.2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng.B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP+ Dạng toán 1.1. Tính nguyên hàm bằng bảng nguyên hàm.+ Dạng toán 1.2. Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số.+ Dạng toán 1.3. Nguyên hàm từng phần.C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM1. Mức độ nhận biết.Bảng đáp án.2. Mức độ thông hiểu.Bảng đáp án.3. Mức độ vận dụng thấp.Bảng đáp án.4. Mức độ vận dụng cao.Bảng đáp án.CHỦ ĐỀ 2 – TÍCH PHÂN.A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM1. Khái niệm tích phân.1.1 Định nghĩa tích phân.1.2 Tính chất của tích phân.2. Phương pháp tính tích phân.2.1 Phương pháp đổi biến số.2.2 Phương pháp tích phân từng phần.B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP+ Dạng toán 2.4. Tích phân cơ bản và tính chất tính phân.+ Dạng toán 2.5. Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ.+ Dạng toán 2.6. Tính chất của tích phân.+ Dạng toán 2.7. Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối.+ Dạng toán 2.8. Phương pháp đổi biến số.+ Dạng toán 2.9. Tích phân từng phần.C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM1. Mức độ nhận biết.Bảng đáp án.2. Mức độ thông hiểu.Bảng đáp án.3. Mức độ vận dụng thấp.Bảng đáp án.4. Mức độ vận dụng cao.Bảng đáp án.CHỦ ĐỀ 3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN.A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM1. Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành.2. Hình phẳng giới hạn bởi hai đường cong.3. Tính thể tích khối tròn xoay.B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP+ Dạng toán 3.10. Diện tích hình phẳng.+ Dạng toán 3.11. Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường trong vật lí.+ Dạng toán 3.12. Thể tích của vật thể.+ Dạng toán 3.13. Tính thể tích của vật thể tròn xoay.C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM1. Mức độ nhận biết.Bảng đáp án.2. Mức độ thông hiểu.Bảng đáp án.3. Mức độ vận dụng thấp.Bảng đáp án.4. Mức độ vận dụng cao.Bảng đáp án. MỤC LỤC I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH Chương §1 – NGUN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm tính chất 1.1 Nguyên hàm 1.2 Tính chất 2 Phương pháp tính nguyên hàm B 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần 2.3 Bảng nguyên hàm 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP Dạng 1.1: Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm Dạng 1.2: Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số 62 Dạng 1.3: Nguyên hàm phần 100 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 116 Mức độ nhận biết 116 Bảng đáp án 133 Mức độ thông hiểu 134 Bảng đáp án 151 Mức độ vận dụng thấp 151 Bảng đáp án 165 Mức độ vận dụng cao 165 Bảng đáp án 170 §2 – TÍCH PHÂN A 171 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 171 Khái niệm tích phân 1.1 171 Định nghĩa tích phân 171 ii | MỤC LỤC Page 1.2 Tính chất tích phân 171 Phương pháp tính tích phân B 171 2.1 Phương pháp đổi biến số 171 2.2 Phương pháp tích phân phần 172 CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP 172 Dạng 2.4: Tích phân tính chất tính phân 172 Dạng 2.5: Tích phân hàm số phân thức hữu tỉ 184 Dạng 2.6: Tính chất tích phân 190 b | f (x) | dx 220 Dạng 2.7: Tích phân hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối a Dạng 2.8: Phương pháp đổi biến số 224 Dạng 2.9: Tích phân phần 303 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 340 Mức độ nhận biết 340 Bảng đáp án 352 Mức độ thông hiểu 353 Bảng đáp án 385 Mức độ vận dụng thấp 386 Bảng đáp án 423 Mức độ vận dụng cao 425 Bảng đáp án 444 §3 – ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN A B 445 KIẾN THỨC TRỌNG TÂM 445 Hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành 446 Hình phẳng giới hạn hai đường cong 448 Tính thể tích khối trịn xoay 450 CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP 452 Dạng 3.10: Diện tích hình phẳng 452 Dạng 3.11: Tìm vận tốc, gia tốc, quãng đường vật lí 462 Dạng 3.12: Thể tích vật thể 470 Dạng 3.13: Tính thể tích vật thể trịn xoay 474 C CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM 484 Mức độ nhận biết 484 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa ii iii | MỤC LỤC Page Bảng đáp án 504 Mức độ thông hiểu 505 Bảng đáp án 516 Mức độ vận dụng thấp 517 Bảng đáp án 528 Mức độ vận dụng cao 528 Bảng đáp án 535 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa iii PHẦN I ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 26 15 38 28 43 22 25 47 41 35 16 31 44 32 45 40 33 20 19 36 46 39 27 10 11 12 29 24 18 48 17 42 34 50 21 37 49 14 30 23 13 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ủđ Ch ề NGUYÊN HÀM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM Nguyên hàm tính chất 1.1 Nguyên hàm Ą Định nghĩa 1.1 Cho hàm số f (x) xác định K Hàm số F (x) gọi nguyên hàm hàm số f (x) K F (x) = f (x) với x ∈ K ǥ Định lí 1.1 Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K với số C, hàm số G(x) = F (x) + C nguyên hàm hàm số f (x) K ǥ Định lí 1.2 Nếu F (x) nguyên hàm hàm số f (x) K nguyên hàm hàm số f (x) K có dạng F (x) + C, với C số ǥ Định lí 1.3 Mọi hàm số f (x) liên tục K có ngun hàm K 1.2 Tính chất Ą Tính chât 1.1 f (x) dx = f (x) + C Ą Tính chât 1.2 kf (x) dx = k f (x) dx (k số khác 0) 3| Page NGUYÊN HÀM Ą Tính chât 1.3 f (x) ± g(x) dx = f (x) dx ± g(x) dx Phương pháp tính nguyên hàm 2.1 Phương pháp tính nguyên hàm đổi biến số ǥ Định lí 1.4 Nếu f (u) du = F (u) + C u = u(x) hàm số có đạo hàm liên tục f (u(x))u (x) dx = F (u(x)) + C 2.2 Phương pháp tính nguyên hàm phần ǥ Định lí 1.5 Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K u(x) · v (x) dx = u(x)v(x) − u (x)v(x) dx Nhận xét Vì v (x) dx = dv, u (x) dx = du nên đẳng thức cịn viết dạng Để tính ngun hàm u dv = uv − v du f (x) dx phần ta làm sau: Bước 1: Chọn u, v cho f (x) dx = u dv (chú ý dv = v (x) dx) Sau tính v = dv du = u · dx Bước 2: Thay vào cơng thức (∗) tính ta dễ dàng tìm v tích phân Dạng 2: I = v du dễ tính u dv Ta thường gặp dạng sau   u = P (x)      sin x  dx Với dạng này, ta đặt P (x)  sin x    dx  cos x dv =   cos x  Dạng 1: I = v du Chú ý Cần phải lựa chọn u dv hợp lí cho  P (x) eax+b dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt  u = P (x)  dv = eax+b dx  u = ln (mx + n) Dạng 3: I = P (x) ln (mx + n) dx, P (x) đa thức Với dạng này, ta đặt  dv = P (x) dx       sin x    u =  sin x x   cos x Dạng 4: I = e d x Với dạng ta đặt   cos x   d x = ex d x Nguyên hàm hàm sơ cấp Nguyên hàm hàm hợp u = u(x) Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 4| Page NGUYÊN HÀM dx = C du = C dx = x + C du = u + C xα dx = uα du = dx = ln |x| + C x du = ln |u| + C u ex dx = eex + C eu du = eu + C ax dx = au du = cos x dx = sin x + C cos u du = sin u + C sin x dx = − cos x + C sin u du = − cos u + C dx = tan x + C cos2 x du = tan u + C cos2 u xα+1 +C α+1 ax +C ln a uα+1 +C α+1 au +C ln a 10 dx = − cot x + C sin2 x 10 du = − cot u + C sin2 u 11 √ √ dx = x + C x 11 √ √ du = u + C u 2.3 Bảng nguyên hàm (ax + b)α+1 + C(α = −1) a α+1 10 1 d x = ln |ax + b| + C ax + b a eax+b d x = eax+b + C a 11 cos(ax + b)d x = sin(ax + b)d x = − cos(ax + b) + C a 12 1 d x = tan(ax + b) + C cos2 (ax + b) a 1 d x = − cot(ax + b) + C sin (ax + b) a 13 tan(ax + b)d x = − ln |cos(ax + b)| + C a cot(ax + b)d x = ln |sin(ax + b)| + C a 14 (ax + b)α d x = 2 a2 sin(ax + b) + C a dx x = arctan + C +x a a Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 5| Page NGUYÊN HÀM a+x dx +C ln = 2 a −x 2a a−x 15 dx x =C = arcsin 2 |a| a −x ã Å b ln(ax + b) − x + C ln(ax + b)d x = x + a √ eax cos bxd x = eax (a cos bx) + b sin bx +C a2 + b 16 17 18 √ ä Ä √ dx + a2 + C x = ln x + x2 + a2 x dx +C = arccos 2 a a x x − a √ √ x x a2 − x a2 + arcsin + C a2 − x2 d x = 2 a √ eax sin bxd x = eax (a sin bx) − b cos bx +C a2 + b 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng B CÁC DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP Dạng 1.1 Tính nguyên hàm bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP a) Tích đa thức lũy thừa −−−−−−−→ khai triển PP b) Tích hàm mũ −−−−−−−→ khai triển theo công thức mũ PP c) Chứa −−−−−−−→ chuyển lũy thừa PP d) Tích lượng giác bậc sin cosin −−−−−−−→ Sử dụng cơng thức tích thành tổng • sin a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] • cos a cos b = [cos(a + b) + cos(a − b)] 1 1 e) Bậc chẵn sin cosin ⇒ Hạ bậc: sin2 x = − cos 2a, cos2 x = + cos 2a 2 2 P (x) f) Nguyên hàm hàm số hữu tỷ I = dx, với P (x), Q(x) đa thức Q(x) PP • Nếu bậc tử số P (x) ≥ bậc mẫu số Q(x)−−−−−−−→ Chia đa thức PP • Nếu bậc tử số P (x) < bậc mẫu số Q(x)−−−−−−−→ Phân tích mẫu số Q(x) thành tích số, sử dụng đồng thức đưa dạng tổng phân số (PP che) A Bx + C Ȋ = +, với ∆ = b2 − 4ac (x − m)(ax + bx + c) x − m ax + bx + c A B C D Ȋ = + + + 2 (x − a) (x − b) x − a (x − a) x − b (x − b)2 Nhận xét Nếu mẫu không phân tích thành tích tìm hiểu phần đổi biến Ví dụ 1 ǥ Tính nguyên hàm hàm số f (x) = 3x2 + x = Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 6| Page NGUYÊN HÀM Lời giải Ta có F (x) = Å ã x2 3x + x dx = x3 + + C Bài Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) (giả sử điều kiện xác định), biết a) f (x) = 2x3 − 5x2 − 4x + = Lời giải b) f (x) = 6x5 − 12x3 + x2 − = Lời giải c) f (x) = (x2 − 3x)(x + 1) Lời giải d) f (x) = (x − 1)(x2 + 2) Lời giải e) f (x) = x(x2 + 1)2 Lời giải f) f (x) = (3 − x)3 Lời giải g) f (x) = (2x + 1)5 Lời giải h) f (x) = (2x − 10)2018 Lời giải i) f (x) = (3 − 4x)2019 Lời giải j) f (x) = (2x2 − 1)2 Lời giải Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 7| Page NGUYÊN HÀM k) f (x) = (x2 + 1)3 Lời giải Ví dụ ǥ Tìm ngun hàm F (x) hàm số f (x) = 4x3 − 4x + thỏa mãn F (1) = Lời giải Ta có F (x) = f (x)dx = 4x3 − 4x + dx = x4 − 2x2 + 5x + C Vì F (1) = ⇔ − + + C = ⇔ C = −1 Suy F (x) = x4 − 2x2 + 5x − Bài Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) thỏa mãn điều kiện F (x◦ ) = k a) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = −x3 + 3x2 − 2x thỏa mãn F (1) = Lời giải b) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f (x) = 3x3 − 2x2 + thỏa mãn F (−2) = Lời giải c) Gọi F (x) nguyên hàm hàm số f (x) = −5x4 + 4x2 − thỏa mãn F (3) = Tính F (−3) Lời giải d) Hàm số f (x) = x3 + 3x2 + có nguyên hàm F (x) thỏa F (2) = 14 Tính F (−2) Lời giải Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 520 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = −x2 +2x y = −3x 125 125 125 125 A B C D y Câu 20 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = x2 + với √ √ (0 ≤ x ≤ 2), nửa đường trịn y = − x2 trục hồnh, trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H) 2π + 3π + 14 B A 3π + C 3π + D √ 2 O x Câu 21 Tính diện tích phần hình phẳng giới hạn đường thẳng x = 4, x = đường cong có phương √ trình y = 8x 76 A 152 B √ 152 D √ C 76 Câu 22 Gọi (H) hình phẳng giới hạn đường y = (x − 3)2, trục tung trục hoành Gọi (k1 > k2 ) hệ số góc hai đường thẳng qua A(0; 9) chia (H) thành ba phần k1, k2 có diện tích Tính k1 − k2 13 A B C 25 D 27 Câu 23 y Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) R đồ thị hàm số f (x) cắt trục hồnh điểm a, b, c, d(như hình vẽ) Xác định số khẳng định khẳng định sau: a Hàm số y = f (x) nghịch biến khoảng (∞; a) b c d x O Hàm số y = g(x) = f (1 − 2x) đạt cực tiểu 1−b x= max f (x) = f (c); f (x) = f (d) x∈[a;d] x∈[a;d] A B C D Câu 24 Cho hàm số y = f (x) xác định, dương nghịch biến [0; 2] có f (1) = Gọi (H) hình phẳng giới hạn đồ thị y = f (x), y =, hai đường thẳng x = 0, x = Cơng thức tính f (x) diện tích hình (H) A C − f (x) dx f (x) B f (x) − dx f (x) D f (x) − dx + f (x) − f (x) dx f (x) f (x) − dx f (x) − f (x) dx + f (x) 2 Câu 25 Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x − 2x y = 2×2 − x − Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 520 521 | A Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN B C D Câu 26 Cho hình phẳng D giới hạn parabol y = − x2 + 2x, √ cung trịn có phương trình y = 16 − x2, với (0 ≤ x ≤ 4), y trục tung (phần tơ đậm hình vẽ) Tính diện tích hình D 16 A 8π − 16 C 4π + 16 16 D 4π − B 2π − x O Câu 27 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x2 − x, tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm x = hai đường thẳng x = 0, x = A B C D Câu 28 Một viên gạch hoa hình vng cạnh 40 cm Người ta dùng bốn đường parabol có chung đỉnh tâm viên gạch để tạo bốn cánh hoa (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích cánh hoa 800 A 200 cm2 B cm2 C 400 cm2 D 200 cm2 40 cm Câu 29 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = x2 đường tròn y y = x2 O x x2 + y = (Phần tơ đậm hình bên) Tính thể tích V khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh trục hoành A 22π 15 B π C 5π D 44π 15 √ x2 Câu 30 Cho hình phẳng D giới hạn hàm số y =, y = 2x Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bao nhiêu? 4π 28π 36π 12π A V = B V = C V = D V = 35 Câu 31 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 521 522 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN √ Cho nửa đường trịn đường kính AB = Trên cm người ta vẽ parabol có đỉnh trùng với tâm nửa hình trịn, trục đối xứng đường kính vng góc với AB cm Parabol cắt nửa đường tròn hai điểm cách cm khoảng cách từ hai điểm đến AB A B cm Sau người ta cắt bỏ phần hình phẳng giới hạn đường trịn parabol (phần gạch sọc hình vẽ) Đem phần cịn lại quay xung quanh trục AB Thể tích khối trịn xoay thu √ π B V = 800 − 464 cm3 A V = 15 √ π C V = D V = 800 − 928 cm3 √ π 800 − 928 cm3 √ π 800 − 928 cm3 15 Câu 32 Tính thể tích khối trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = x2 − 4, y = 2x − 4, x = 0, x = quanh trục Ox 32π 22π A B C 32π 15 D 32π Câu 33 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục đoạn [−5; 3] y = g(x) y Biết diện tích hình phẳng S1, S2, S3 giới hạn đồ thị hàm số y = f (x) parabol y = g(x) = ax2 + bx + c m, n, p Tích phân f (x) dx 208 A −m + n − p − 45 208 C m − n + p − 45 S1 −5 208 45 208 D −m + n − p + 45 S3 B m − n + p + −5 −2 S2 O x y = f (x) Câu 34 Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − g(x) = dx2 + ex + y (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) cắt ba điểm có hồnh độ −2; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 37 A B C D 2 12 x −2 −1 O Câu 35 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 58 quy luật v (t) = t + t (m/s), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu 120 45 chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có giá tốc a (m/s2 ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 (m/s) B 36 (m/s) C 30 (m/s) D 21 (m/s) Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 522 523 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 36 Một mặt phẳng chứa trục khối trịn xoay, cắt hình thành hình elip có trục lớn 12 (cm), trục bé (cm) trục lớn nằm trục khối trịn xoay Thể tích khối A 96π cm3 B 192π cm3 C 256π cm3 D 128π cm3 Câu 37 y Diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ bên tính theo y = −x2 + công thức ? 2 (2x − 2x − 4) dx A B −1 2 −1 (2x − 2) dx C (−2x + 2) dx O x D −1 −1 (−2x + 2x + 4) dx y = x2 − 2x − −1 Câu 38 Cho hai hàm số y = x3 + ax2 + bx + c, (a, b, c ∈ R) Có đồ thị (C) y y = mx2 + nx + p, (m, n, p ∈ R) có đồ thị (P ) hình vẽ Diện tích (C) hình phẳng giới hạn (C) (P ) có giá trị nằm khoảng O đây? A (0; 1) B (1; 2) C (3; 4) −1 D (2; 3) x (P ) Câu 39 Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = 4, biết cắt mặt phẳng tuỳ ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0 < x < 4) thiết diện √ nửa hình trịn có bán kính R = x − x 32 64π 32π 64 B V = C V = D V = A V = 3 3 Câu 40 Cho hình phẳng (H) giới hạn đường cong y = ex, trục hoành đường thẳng x = 0, x = Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay (H) quanh Ox π (e2 + 1) e2 − π (e2 − 1) πe2 A V = B V = C V = D V = 2 2 Câu 41 Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát viên gạch hình vng cạnh 40 cm hình bên Biết người thiết kế sử dụng đường cong có phương trình 4x2 = y 4y = x4 để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích phần tô đậm gần với giá trị đây? A 533 cm2 B 266 cm2 C 534 cm2 D 267 cm2 Câu 42 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 523 524 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Sàn viện bảo tàng mỹ thuật lát viên gạch hình vng cạnh 20 cm hình bên Biết người thiết kế sử dụng đường cong có phương trình x2 = y (2|x| − 1)3 = y để tạo hoa văn cho viên gạch Diện tích phần tơ đậm gần với giá trị đây? A 373 cm2 Câu 43 B 186 cm2 C 374 cm2 D 187 cm2 Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t v (h) có đồ thị vận tốc hình bên Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A s = 23, 25 km B s = 21, 58 km C s = 15, 50 km D s = 13, 83 km O t Câu 44 Kí hiệu (H) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 2(x − 1)ex, trục tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình (H) xung quanh trục Ox A V = − 2e B V = (4 − 2e)π C V = e2 − D V = (e2 − 5)π Câu 45 Cho hình thang cong (H) giới hạn đường y = ex, y = 0, x = 0, y x = ln Đường thẳng x = k (0 < k < ln 4) chia (H) thành hai phần có diện tích S1 S2 hình vẽ bên Tìm k để S1 = 2S2 A k = ln B k = ln C k = ln D k = ln 3 S2 S1 O x k ln Câu 46 √ Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x2, cung tròn có √ phương trình y = − x2 (với x ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) √ Diện tích (H) √ 4π + 4π − A B 12 √ √6 4π + − − 2π C 47 D Câu y O x Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 524 525 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − g(x) = dx2 + ex + y (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) cắt ba điểm có hồnh độ −2; −1; (tham khảo hình vẽ) x Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 37 13 37 A B C D 2 12 −2 −1 O Câu 48 Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 58 quy luật v (t) = t + t (m/s), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu 120 45 chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm giây so với A có giá tốc a (m/s2 ) ( a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 25 (m/s) B 36 (m/s) C 30 (m/s) D 21 (m/s) Câu 49 y Cho đường trịn (C) có tâm I(0; 1) bán kính R = 2, parabol (P ) : y = m · x2 cắt (C) hai điểm A, B có tung độ Diện tích A hình phẳng giới hạn (C) (P ) (phần gạch sọc hình vẽ) có kết B I gần số sau đây? A 7,0755 B 7,0756 C 5,4908 D 11,6943 O x c d x −1 Câu 50 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm f (x) R đồ thị hàm y số f (x) cắt trục hồnh điểm a, b, c, d (hình sau) Chọn khẳng định khẳng định sau: A f (c) > f (a) > f (b) > f (d) B f (c) > f (a) > f (d) > f (b) C f (a) > f (b) > f (c) > f (d) D f (a) > f (c) > f (d) > f (b) O a b Câu 51 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 525 526 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Cho hàm số f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) [−3; 2] hình vẽ (phần cong đồ thị phần parabol y = ax2 + bx + c) Biết f (−3) = 0, giá trị f (−1) + f (1) 23 31 A B 6 C 35 D y −3 −2 −1 O x Câu 52 Ba bác bảo vệ nhà trường (bác Giao, bác Hương, bác Giảng) có trồng đinh lăng vào phần đất tô chấm giới hạn cạnh AD, BC, đường trung bình EF mảnh vườn hình chữ nhật ABCD đường cong hình sin (hình vẽ) Biết AB = (m), AD = 2π (m) Tính diện tích đất cịn lại mảnh vườn (đơn vị tính m2 ) A 4π − B C E F B (π − 1) A D C 4π − D 4π − Câu 53 Hình phẳng (H ) giới hạn đồ thị hai hàm số đa thức bậc bốn y = f (x) y = g(x) Biết đồ thị hai hàm số cắt ba điểm phân biệt có hồnh độ −3; −1; Diện tích hình phẳng (H ) (phần gạch sọc hình vẽ bên) gần với kết đây? y −1 x O −3 − − A 3, 11 B 2, 45 C 3, 21 Câu 54 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số (H) : y = A ln − B ln + C ln − D 2, 95 x−1 trục tọa độ x+1 D ln + Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 526 527 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 55 Một tơ chạy với vận tốc 20 (m/s) hãm phanh Sau hãm phanh ô tô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 20 − 4t (m/s) t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc hãm phanh Quãng đường xe ô tô di chuyển giây cuối trước dừng lại A 0,5 (m) B (m) C (m) D 2,5 (m) Câu 56 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol (P ) : y = x2, tiếp tuyến với (P ) điểm M (2; 4) trục hoành Diện tích hình phẳng (H) B C A 3 D Câu 57 Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x3, y = 10 − x trục Ox là: A 32 B 26 C 36 D 40 Câu 58 Ơng An có khu đất hình elip với độ dài trục lớn 10m độ dài trục bé 8m Ông An muốn chia khu đất thành hai phần, phần thứ hình chữ nhật nội tiếp elip dùng để xây bể cá cảnh phần lại dùng để trồng hoa Biết chi phí xây bể cá 1000000 đồng 1m2 chi phí trồng hoa 1200000 đồng 1m2 Hỏi ơng An thiết kế xây dựng với tổng chi phí thấp gần với số sau đây? A 67398224 B 67593346 C 63389223 D 67398228 Câu 59 Cho hàm số y = f (x) xác định liên tục đoạn y [−5; 3] có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng (A), (B), (C), (D) giới hạn đồ thị hàm số f (x) trục hoành 6; 3; 12; Tích phân (2f (2x + 1) + 1) dx (D) (A) −3 (C) −5 A 27 B 25 C 17 D 21 x O (B) BẢNG ĐÁP ÁN A C B B B C A D A 10 D 11 C 12 B 13 D 14 B 15 B 16 A 17 B 18 C 19 C 20 D 21 D 22 D 23 A 24 B 25 A 26 D 27 A 28 C 29 D 30 D 31 D 32 D 33 B 34 A 35 C 36 D 37 D 38 B 39 D 40 C 41 A 42 D 43 B 44 D 45 D 46 B 47 A 48 C 49 A 50 A 51 B 52 B 53 A 54 C 55 C 56 A 57 C 58 A 59 D Mức độ vận dụng cao Câu Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 527 528 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình sau y Đặt g(x) = 2f (x) − (x + 1)2 Mệnh đề sau đúng? A g(−1) > g(−3) > g(3) B g(−3) > g(3) > g(1) C g(3) > g(−3) > g(1) D g(1) > g(3) > g(−3) x −3 O −2 Câu Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian 13 quy luật v(t) = t + t (m/s), t (giây) khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu 100 30 chuyển động Từ trạng thái nghỉ, chất điểm B xuất phát từ O, chuyển động thẳng hướng với A chậm 10 giây so với A có gia tốc a (m/s2 ) (a số) Sau B xuất phát 15 giây đuổi kịp A Vận tốc B thời điểm đuổi kịp A A 15 (m/s) B (m/s) C 42 (m/s) D 25 (m/s) Câu Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; (tham khảo hình y vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 125 253 125 A B C D 12 12 48 48 −3 −1 O x Câu Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/m2 phần lại B2 100.000 đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần với số tiền đây, biết A1 A2 = 8m, B1 B2 = 6m tứ giác M N P Q hình chữ nhật có M Q = m? M N A1 A2 Q P B1 A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng Câu Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 528 529 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − y cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D −3 −1 x O Câu 3 g (x) = dx2 + ex − 4 (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g (x) Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + y cắt ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích 253 125 A B 48 24 125 253 C D 48 24 Câu −2 B2 hình vẽ bên Biết chi phí để sơn phần tơ đậm 200.000 đồng/m2 với số tiền đây, biết A1 A2 = 8m, B1 B2 = 6m tứ giác x O Một biển quảng cáo có dạng hình elip với bốn đỉnh A1, A2, B1, B2 phần lại 100.000 đồng/m2 Hỏi số tiền để sơn theo cách gần M N A1 A2 Q P M N P Q hình chữ nhật có M Q = 3m ? B1 A 7.322.000 đồng B 7.213.000 đồng C 5.526.000 đồng D 5.782.000 đồng Câu Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) cắt điểm có hồnh độ −3, −1, (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho (miền gạch chéo) có diện tích y A B C D −3 −1 O x Câu Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 529 530 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên.Đặt h(x) = 2f (x) − x2 Mệnh đề đúng? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) −2 O D h(2) > h(−2) > h(4) x −2 Câu 10 Biết đường parabol (P ) : y = 2x chia đường tròn (C) : x2 +y = y thành hai phần có diện tích S1, S2 (hình vẽ bên) Khi b b S2 − S1 = aπ − với a, b, c nguyên dương phân số tối giản c c Tính S = a + b + c A S = 13 B S = 14 C S = 15 S1 S2 x O D S = 16 Câu 11 Trong mặt phẳng, cho đường elip (E) có độ dài trục lớn B AA = 10, độ dài trục nhỏ BB = 6, đường trịn tâm có đường kính BB (như hình vẽ bên dưới) Tính thể tích V khối trịn xoay có cách A A O cho miền hình hình phẳng giới hạn đường elip trịn (được tơ đậm hình vẽ) quay xung quanh B trục AA A V = 36π C V = 24π B V = 60π 20π D V = Câu 12 Một mảnh vườn hình trịn tâm O bán kính 6m Người ta cần trồng dải đất rộng 6m nhận O làm tâm đối xứng, biết kinh phí trồng 70000 đồng m2 Hỏi cần tiền để trồng dải đất (số tiền làm trịn đến hàng đơn vị) A 8142232 đồng B 4821232 đồng C 4821322 đồng D 8412322 đồng 6cm O Câu 13 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 530 531 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Cho hình (H) giới hạn trục hoành, đồ thị Parabol đường y thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A(2; 4), hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình (H) quay quanh trục Ox 32π 2π 22π 16π B C D A 15 5 O x Câu 14 Cho hai đường tròn (O1 ; 5) (O2 ; 3) cắt hai điểm A, B cho AB đường kính A đường trịn (O2 ; 3) Gọi (D) hình phẳng giới hạn hai đường trịn (ở ngồi đường trịn lớn, phần (D) gạch chéo hình vẽ) Quay (D) quanh trục O1 O2 ta O1 khối trịn xoay Tính thể tích V khối trịn C O2 xoay tạo thành 68π 40π D V = A V = 36π 14π C V = Câu 15 B V = B Cho (H) hình phẳng giới hạn Parabol y = 2×2 − nửa đường √ √ √ trịn có phương trình y = − x2 (với − x ) (phần tô đậm hình vẽ) Diện tích (H) 3π + 10 3π + 3π − B C A 6 D 3π + 10 y √ − √ O x −1 Câu 16 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 − x; y = 2x đường x = 1; x = −1 xác định công thức (x − 3x) dx + A S = −1 (3x − x ) dx −1 (3x − x3 ) dx −1 (x3 − 3x) dx (3x − x ) dx + B S = C S = (3x − x3 ) dx D S = −1 Câu 17 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 531 532 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá 1m2 rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt 2m (làm trịn đến hàng nghìn) 1,5m A 6.620.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.520.000 đồng D 6.417.000 đồng 5m Câu 18 y Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt g(x) = 2f (x) − (x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(−3) > g(3) > g(1) B g(1) > g(−3) > g(3) −3 C g(3) > g(−3) > g(1) O D g(1) > g(3) > g(−3) x −2 Câu 19 y Cho hàm số y = f (x) Đồ thị hàm số y = f (x) hình bên Đặt g(x) = 2f (x) + (x + 1)2 Mệnh đề đúng? A g(1) < g(3) < g(−3) −3 x O −2 B g(1) < g(−3) < g(3) C g(3) = g(−3) < g(1) −4 D g(3) = g(−3) > g(1) Câu 20 g(x) = dx2 + ex + (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g(x) Cho hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx − y cắt ba điểm có hồnh độ −3; −1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D −3 −1 O x Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 532 533 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Câu 21 3 g (x) = dx2 + ex − 4 (a, b, c, d, e ∈ R) Biết đồ thị hàm số y = f (x) y = g (x) Cho hai hàm số f (x) = ax3 + bx2 + cx + y cắt ba điểm có hồnh độ −2; 1; (tham khảo hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích x −2 O 125 253 B A 48 24 125 253 C D 48 24 Câu 22 Cho hai nửa đường trịn hình vẽ bên dưới, đường kính nửa đường trịn lớn gấp đơi đường kính đường trịn nhỏ Biết nửa hình trịn đường kính AB có diện tích ’ = 30◦ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình (H) 32π góc BAC (phần gạch sọc hình vẽ) xung quanh đường thẳng AB C D A A 279π B 620π (H) O C B 784π D 325π Câu 23 Ơng Nam có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16 m độ dài trục bé 10 m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng m nhận trục bé elip làm trục đối cm xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/ m2 Hỏi ông Nam cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng Câu 24 D 7.826.000 đồng Cho hàm số y = f (x) = mx4 + nx3 + px2 + qx + r, m, y y = f (x) n, p, q, r ∈ R Biết hàm số y = f (x) có đồ hình vẽ bên Tập nghiệm phương trình f (x) = 16m + 8n + 4p + 2q + r có tất phần tử? A B −1 O C x D Câu 25 Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 533 534 | Page ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN y Cho hàm số y = f (x) liên tục R có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình (A), (B) lần π cos x · f (5 sin x − lượt Tích tích phân 1) dx −1 A I = − C I = B I = (A) O x (B) D I = −2 BẢNG ĐÁP ÁN D D C A C 11 C 12 C 13 A 14 D 15 D 21 A 22 C 23 B 24 A 25 A A 16 A A 17 D B 18 D C 10 C 19 A 20 C Biên soạn: Những nẻo đường phù sa 534 … SỐ VÀ GIẢI TÍCH 26 15 38 28 43 22 25 47 41 35 16 31 44 32 45 40 33 20 19 36 46 39 27 10 11 12 29 24 18 48 17 42 34 50 21 37 49 14 30 23 13 CHƯƠNG NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG ủđ Ch ề NGUYÊN… pháp tích phân phần 172 CÁC DẠNG TOÁN BÀ BÀI TẬP 172 Dạng 2.4: Tích phân tính chất tính phân … +C a2 + b 2.4 Bảng nguyên hàm mở rộng B CÁC DẠNG TỐN VÀ BÀI TẬP Dạng 1.1 Tính ngun hàm bảng nguyên hàm Phương pháp giải PP a) Tích đa thức lũy thừa −−−−−−−→ khai triển PP b) Tích hàm mũ −−−−−−−→

Xem thêm  Một số ứng dụng nền web mạnh mẽ và hữu ích, chạy ngay không cần cài đặt | Tinh tế

Xem thêm: Top 7 phần mềm thiết kế đồ họa tốt nhất hiện nay

– Xem thêm –

Xem thêm: Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và bài tập ứng dụng, Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và bài tập ứng dụng

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay

Rate this post

Bài viết liên quan

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.