Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

Ngày đăng : 18/07/2020, 07 : 08

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Như biết Luật giáo dục năm 2005 tiếp tục xác định “ Hoạt động giáo dục phải thức theo nguyên lý học đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lý thuyết phải gắn liền với thực tiễn ” Với mục đích giúp cho học sinh thấy tốn học gần gũi với sống xung quanh, hoàn toàn thực tế việc tiếp thu kiến thức tốn nhà trường khơng để thi cử mà cịn cơng cụ đắc lực để giúp em giải vấn đề, tình thực tế, việc tăng cường ứng dụng tốn học giảng dạy toán trường Trung học phổ thơng vấn đề có ý nghĩa lý luận thực tiễn sâu sắc Từ năm học 2016 – 2017, thay đổi hình thức thi THPTQG mơn Tốn từ tự luận sang trắc nghiệm bước ngoặt quan trọng cải cách giáo dục Việt Nam Nội dung ma trận đề thi minh họa xác định, kiến thức đề cập đến tất phần sách giáo khoa, địi hỏi học sinh phải nắm vững tất phần kiến thức chương trình, có tốn ứng dụng thực tế Đó lớp tốn mang tính thực tiễn gần gũi thiết thực sống hàng ngày Bộ SGK mơn Tốn THPT hành tăng cường thêm toán ứng dụng toán học số lượng chất lượng, song cịn Trong trình giảng dạy nhà trường nhận thấy học sinh cịn ngại tiếp cận thường gặp khơng khó khăn lĩnh hội tốn ứng dụng thực tế, đề loại toán thường dài nên học sinh thường cảm thấy trừu tượng Nhiều học sinh không hiểu đầy đủ ý nghĩa chất khái niệm Toán học yếu kiến thức liên mơn từ dẫn đến việc làm tập toán ứng dụng, cảm thấy lúng túng không định hướng phương pháp giải, hướng vận dụng Do cần phải có biện pháp thích hợp nhằm nâng cao hiệu dạy học toán ứng dụng thực tế, giúp học sinh thích nghi với thay đổi việc cải cách giáo dục, góp phần nâng cao chất lượng dạy học mơn Tốn nói riêng chất lượng giáo dục nói chung, đáp ứng yêu cầu ngày cao nghiệp Giáo dục tình hình Học sinh thấy việc học Tốn khơng kiến thức hàn lâm xa vời mà cịn có nhiều ứng dụng khác đời sống thực tế, từ em có thêm động lực, niềm đam mê môn học để chinh phục đỉnh cao kỳ thi ngược lại học Tốn khơng phải để thi mà học để biết áp dụng vào thực tiễn sống ngày Trên tinh thần đó, với số kinh nghiệm thân, đưa sáng kiến “Ứng dụng đạo hàm giải số toán thực tế nhằm nâng cao lực thực tiễn cho học sinh lớp 12” với mong muốn giúp học sinh nắm vững phương pháp, biết vận dụng tốt kiến thức học, tự tin với dạng tốn ứng dụng thực tế khơng cịn cảm thấy khó khăn giải lớp tốn hay này! 1.2 Mục đích nghiên cứu – Đề xuất ví dụ tốn ứng dụng thực tế để chuyển thành câu hỏi trắc nghiệm khách quan, nhằm cho học sinh tiếp cận với phương pháp đánh giá phát triển lực tư giải toán học cách suy nghĩ tìm lời giải tốn – Giúp giáo viên hệ thống kiến thức hướng dẫn học sinh cách tư giải toán ứng dụng thực tế chương trình tốn THPT – Tìm phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, tạo hứng thú học tập giúp em lĩnh hội tri thức cách đầy đủ, khoa học 1.3 Đối tượng nghiên cứu – Lớp tốn có liên quan đến mơn Tốn học Hình học, Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tin học …và toán xuất phát từ nhu cầu thực tiễn đời sống hàng ngày – Nội dung chương trình giảng dạy trường THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu – Phương pháp nghiên cứu lý luận – Phương pháp điều tra khảo sát – Phương pháp thực nghiệm sư phạm – Phương pháp tổng hợp, phân tích, đánh giá NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHỆM 2.1 Cơ sở lí luận – Hiện Bộ Giáo dục Đào tạo tiến hành lộ trình đổi đồng phương pháp dạy học kiểm tra, đánh giá trường phổ thông theo định hướng phát triển lực học sinh tinh thần Nghị 29NQ/TƯ ngày 04/11/2013 đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Xuất phát từ mục tiêu day học phát triển lực, đòi hỏi học sinh phải tăng cường vận dụng kiến thức vào giải vấn đề thực tiễn – Việc hình thành cho học sinh kỹ giải tốn vận dụng thực tế khơng mang lại cho học sinh có cách nhìn tổng qt mặt phương pháp dạng tốn mà cịn giáo dục cho học sinh biết phân tích xem xét tình cụ thể Đồng thời góp phần bồi dưỡng cho người học đức tính cần thiết người lao động sáng tạo tính chủ động, tính kiên trì vượt khó, tính kế hoạch, kỹ phân tích, tổng hợp vật, tượng – Các vấn đề lý thuyết Toán học từ đại số, giải tích, hình học xuất phát từ nhu cầu tự nhiên thực tiễn môn học khác Người giáo viên chịu khó tìm tịi, sáng tạo ví dụ thực tế lồng ghép vào dạy tiết học tự chọn giúp học sinh hiểu tầm quan trọng học khái niệm Tốn học từ giúp em tích cực chủ động hứng thú việc học tập 2.2 Thực trạng trước áp dụng sáng kiến kinh nhiệm – Các toán vận dụng kiến thức SGK để giải vấn đề thực tế cịn ít, có mang tính tượng trưng – Các tài liệu mảng toán ứng dụng cịn hạn chế khơng có phân loại rõ ràng – Học sinh lúng túng giải loại toán Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Hệ thống, bổ sung kiến thức – Khái niệm đạo hàm, ý nghĩa đạo hàm – Các quy tắc tính đạo hàm, bảng đạo hàm hàm số – Cách khảo sát biến thiên hàm số, quy tắc tìm cực trị, tìm min, max hàm số tập xác định K 2.3.2 Đổi phương pháp dạy học – Sử dụng phương pháp dạy học phát huy tính tích cực học sinh, tạo hứng thú, đam mê, u thích mơn học cho học sinh – Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm cho giảng sinh động hơn, bớt khô khan học sinh không thấy nhàm chán 2.3.3 Rèn luyện cho học sinh mặt tư duy, kỹ năng, phương pháp thông qua ví dụ 2.3.4 Phân dạng tập phương pháp giải Việc phân loại dạng tập với phương pháp giải vô cần thiết, sau lời giải cần có nhận xét, củng cố phát triển tốn giúp học sinh nắm vững phương pháp giải tập bản, sở học sinh biết cách khai thác tập mức độ cao Như học sinh có tư linh hoạt sáng tạo Các toán thực tế liên quan đến đạo hàm chia thành hai phần: Một là, tốn thực tế mơ hình hóa hàm số toán học Hai là, tốn thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học để ứng dụng đạo hàm hàm số trước hết ta phải “ thiết lập hàm số” Ta cụ thể hóa bước q trình mơ hình hóa sau: Bước 1: Từ giả thiết yếu tố đề để diễn tả dạng ngơn ngữ Tốn học, biểu diễn dạng biến số, tìm điều kiện tồn tạị biến số Bước 2: Dựa vào kiến thức liên quan đến vấn đề thực tế kinh tế, đời sống, khoa học kỹ thuật Vật lý, Hóa học, Sinh học,…để thiết lập hoàn chỉnh hàm số phụ thuộc theo biến nhiều biến Bước 3: Sử dụng công cụ đạo hàm hàm số để khảo sát giải tốn hình thành bước 2, lưu ý điều kiện ràng buộc biến số kết thu có phù hợp với toán thực tế cho chưa Sau ví dụ minh họa: 2.3.4.1 Ứng dụng hình học Bài toán Một đường xây dựng hai thành phố A B Hai thành phố bị ngăn cách sơng có chiều rộng r ( km) Người ta cần xây cầu bắc qua sông, biết A cách sông khoảng a(km) B cách sông khoảng b(km) (0 a b) hình vẽ Hãy xác định vị trí xây cầu EF (theo hình vẽ) để tổng khoảng cách hai thành phố nhỏ nhất?(Trích tài liệu tác giả Hứa Lâm Phong) B Phân tích: b – Ta thấy vị D trí xây cầu để E tổng khoảng r Sơng C cách hai F thành phố nhỏ a p tương A I đương với độ dài đườn gấp khúc g AFEB nhỏ – Đề gợi ý số liệu a, b r nên ta giả thiết khoảng cách hình vẽ với AI vng góc với BD Khi ta CF x AI đặt (0 x p ) ED p x AI p – Tổng khoảng cách lúc là: S AF EF EB x2 a2 r Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số ( p x)2 S (x) với Hướng dẫn giải: Cách 1: Đặt AI p CF x ED p x(0 x p) Khoảng cách hai thành phố S AF EF EB x – Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ hàm số S (x) x x p Khi S ‘(x) x2 a b ( p x) x (1) x ap (0; p) a 2b a p apb a b ap a 2b a b x p a2 r x)2 (p với b2 x p S ‘(x) 0x b2 ( p x)2 ( p x) x a x2b2 ( p x)2 ( p x)2 (x a )a b2 x 2a px a p a p apb b2 (1) khác Mặt a S ” ( ( Do S (x) x) x a ) ap S(a b) Vậy để khoảng cách hai thành phố ngắn x ap a b Chú ý: Ta cho a, b, r giá trị cụ thể để toán tương tự Cách 2: b B B’ K C a A E I r D Sông F p F Ta thấy chiều dài r cầu đại lượng bất biến vấn đề chọn vị trí thuận lợi F hay vị trí thuận lợi E hình vẽ để tạo quãng đường ngắn Dĩ nhiên ta đặt câu hỏi liệu cịn có cách khác khơng? Gọi B’ ảnh B qua phép tịnh tiến EF Khi AB’ CF D Với vị trí đặt cầu EF ta ln có BE EF AF B’ F DK AF DK B’ A DK B’ D DA const 2 r p (b a) Dấu “=” xảy F D Khi S B’ A EF Bài toán tương tự: Hai thành phố A B nằm hai phía khác sơng thẳng, lịng sơng rộng 800m, thành phố A bên phía phải cách bờ 6km cách thành phố B theo đường chim bay 16km, thành phố B cách bờ trái 1500km Người ta muốn xây cầu CD vng góc với bờ sơng cho qng đường từ A đến B ngắn Tính độ dài qng đường đó? (Trích đề thi HSG giải tốn máy tính cầm tay, Quảng Ninh, 2012) Bài tốn 2: Giả sử bạn Giám đốc công ty sản D xuất bồn chứa nước, bạn vừa nhận đơn đặt r hàng thiết kế sản xuất bồn chứa nước hình trụ có nắp với dung tích 1000lit Để tốn ngun vật liệu nhất, bạn chọn giá trị cho độ cao bồn nước giá trị l đây? A 1,3m B 1, 08m C.1,5m D 1, 2m Phân tích: r Để tốn ngun vật liệu diện tích xung quanh phần vỏ bao bên bồn chứa nước với diện tích đáy nắp phải nhỏ nhất, ta phải tìm diện tích xung S S 2S rh r quanh nhỏ ứng với thể tích mà đề cho Ta có xq day (Với r; h bán kính đáy chiều cao bồn nước hình trụ) Đề lại cho sẵn dung tích bồn chứa, tức dạng cho mối liên hệ bán kính V đáy r chiều cao h hình trụ, V r 2h h r2 Như ta tìm S phụ thuộc theo biến r h Hướng dẫn giải: Cách 1: Gọi r; h(r; h V khối trụ Khi ta có V r 2h h 0) bán kính chiều cao Để tốn ngun vật liệu nhất, ta cần r tìm r cho diện tích tồn phần khối trụ nhỏ V 2 (r 2r2 2r Ta có: Stp Sxq 2Sday rh r V Xét hàm số f ( x ) r Ta có f ‘(r) Lập h 2r V bảng 4V r ( r 0) Bài toán trở thành tìm r ; f ‘(r) r r biến 4.1000 V h ta ) r f ( r ) ? 4V thiên, V f ( r ) f ( V ) r có Khi 10,83dm 1, 08m Chọn đáp án B Cách 2: Ngoài cách sử dụng đạo hàm, ta sử dụng BĐT Cauchy V V V ) 3.3 V h Stp (r V 4V ) (r r r 2r 2r Thay V 1000 vào ta h 10,83dm 1, 08m Chọn đáp án B h Tổng quát toán lên ta có: 4V r V h 2r Bài tốn 3: Một Cơng ty mỹ phẩm chuẩn bị cho sản phẩm dưỡng da mang tên Ngọc Trai với thiết kế khối cầu viên ngọc trai khổng lồ, bên khối trụ nằm nửa khối cầu để đựng kem dưỡng da Theo dự kiến, nhà sản xuất có dự định để khối cầu có bán kính R 3cm Tìm thể tích lớn khối trụ đựng kem để thể tích thực ghi bìa hộp lớn A 54 cm2 B 18 cm2 C 128 cm3 D 45 cm3 Phân tích: Ta tạo lát cắt dọc xuống nửa cầu hình vẽ bên Gọi h; r chiều cao bán kính hình trụ, thể tích khối trụ là: Vtru r h (phụ thuộc theo R hai biến r h ), mối liên hệ chúng 2 h r R2 số Để thuận tiện ta tính r r theo h V r h Lại h R x Hướng dẫn giải: Ta có có tru r2 R2 h2 Suy Vtrur h h(R2 h2 ) Xét f(h) h(R h ); h R Bài tốn trở thành max f (h) ? tìm Ta có h (0;R) f ‘(h) R 3h2 ; f ‘(h) h R R Lập bảng biến thiên ta có: max f (h) f ( R) h (0;R) Khi ta có: Vtru r h h(R R ) R3 3 h ) R (R2 Vtru 128 (cm3 ) Cách2: Ngồi cách giải ta làm sau Đặt r R sin (0x90 x ) Xét r V tru hR cos x f (x) sin x.cos x hr sin x.cos x Bài tốn trở thành tìm max f (x) ? x (0; Đặt t Khi g(t) (1 t )t t cos x; t (0;1) t g ‘ (t) t g'(t) 3t Lập 2 ) bảng biến thiên ta suy t max f (x) max g(t) g( ) t t (0;1) x (0; ) cos x 3 ) R3 Vtru 128 ( cm3 ) 3 3 Bài tốn 4: Cho hai vị trí A, B cách 615m, nằm Khi ta có V R ( phía bờ sơng (d) hình vẽ Khoảng cách từ A từ B đến bờ sông 118mvà 487m Một người từ A đến bờ sông để lấy nước sau vị trí B Đoạn đường ngắn mà người từ A đến B (Có ghé qua bờ sông) bao nhiêu? (đơn vị m) (Trích đề thi HSG giải tốn máy tính cầm tay, Tây Ninh) Hướng dẫn giải: Cách 1:Giả sử người từ A đến M để lấy nước từ M B dễ dàng tính BD 369; EF 492 Ta đặt EM = x, ta được: MF 492 x; AM x2 1182 ; BM (492 x)2 4872 Như ta có hàm số f ( x) xác định tổng quãng đường AM MB : f (x) x2 1182 (492 x)2 4872 với x 0;492 Ta cần tìm giá trị nhỏ f ( x) để có quãng đường ngắn từ xác định vị trí điểm M f ‘ ( x) = x 2 x f ‘(x) x x2 (492 x)2 4872 x (492 x ) 487 (492 x ) x (492 x ) x 605 0x492 x 492 1182 (492 x)2 4872 x2 1182 4872 (492 x ) 2 ( x 118 ) (487 x ) (58056 118 x ) x 492 hoac Hàm số f ( x) f (492) 492 – x + 4872 x x2 492 58056 x – +118 492 x 1182 492- x 58056 x 369 liên tục đoạn ta co gia tri nho nhât la f ( x 0;492 58056 605 So sanh cac gia tri cua f(0), f (58056605, 58056 ) 779,8m 605 Khi quãng đường ngắn xâp xi 779,8m Cách 2: Gọi A’,B’ điểm đối xứng A B qua ( d ) Gọi M điểm thuộc cạnh HK Khi ta có AM MB MA ‘ MB A ‘ B Do ( AM MB ) A ‘ B BB ‘2 A ‘ B ‘ (BK HA’)2 AB2 (BK AH )2 A’B (487 118)2 6152 (487 118)2 608089 779,800612m Bài toán 4: Một khối đá có hình khối cầu có bán kính R, người thợ thủ cơng mỹ nghệ cần cắt gọt viên đá thành viên đá cảnh có hình dạng khối trụ Tính thể tích lớn viên đá cảnh sau hoàn thiện Hướng dẫn giải: Giả sử 2x chiều cao hình trụ (0 x R) (xem hình vẽ) Bán kính khối trụ rR x2 Thể tích khối trụ là: V( R x )2x Xét )2 x, x R R 2 hàm số: V ( x ) ( R x ; V(x) 2( 3x) x 2 R Ta có bảng biến thiên: x R O x Dựa vào BBT, ta thấy thể tích khối trụ lớn chiều cao khối trụ R ; Vmax 4R33 2.3.4.2 Ứng dụng Vật lý Bài toán 5: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s (t ) 12t 4t 7t (s tính theo mét, t tính theo giây) Trong 10 giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn A t B t C t D t Phân tích: Với kiến thức Vật lý học, ta biết v (t ) s ‘(t ) Do để tìm giá trị lớn 10 giây t 0;10 ta cần vận dụng kiến thức đạo hàm học Hướng dẫn giải: Ta có v (t ) s ‘(t ) 24t 12t v ‘(t ) 24t 24; v ‘(t ) t Lập bảng biến thiên ta có max v ( t ) v(1) Chọn D t 0;10 Chú ý: Ứng dụng đạo hàm vật lý đa dạng đặc biệt thể rõ qua tốn chuyển động liên quan đến đại lượng quãng đường, vận tốc thời gian Và khơng ta cịn gặp ứng dụng đạo hàm Vật lý nhiều toán khác Bài toán tương tự 1: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s (t ) 15t 5t 4t (s tính theo mét, t tính theo giây) Trong 15 giây đầu tiên, thời điểm t mà vận tốc chuyển động đạt giá trị lớn A t B t 2,5 C t 1,5 D t Bài toán tương tự 2: Một tên lửa bay vào không trung với quãng đường s (t ) ( km) hàm phụ thuộc theo biến t (giây) tuân theo biểu thức sau: s (t ) e t 2te3 t (km) Hỏi vận tốc tên lửa sau giây bao nhiêu(biết hàm biểu thị vận tốc đạo hàm cấp hàm biểu thị quãng đường theo thời gian)? A.10e ( km / s ) B 8e ( km / s ) C 4e ( km / s ) D 6e ( km / s ) Bài toán 6: Hai tàu vĩ tuyến cách hải lý Đồng thời hai tàu khởi hành, Tàu A chạy hướng Nam với hải lý/giờ, cịn tàu B chạy vị trí tàu A với vận tốc hải lý/ Hãy xác định thời điểm mà khoảng cách hai tàu nhỏ ? A t 17 (giờ) B t 63 (giờ) C t 47 (giờ) D t 59 (giờ ) 145 145 145 145 Phân tích: Giáo viên cần cho học sinh nhớ lại khái niệm kinh tuyến vĩ tuyến( Các em học môn Địa lý) – Trên Trái đất hay hành tinh thiên thể hình cầu, Vĩ tuyến vịng trịn tưởng tượng nối tất điểm có vĩ độ Trên Trái đất, vịng trịn có hướng từ Đơng sang Tây Vị trí vĩ tuyến xác định kinh độ Một vĩ tuyến vng góc với kinh tuyến giao điểm chúng Các vĩ tuyến gần cực trái đất có đường kính nhỏ – Kinh tuyến nửa đường tròn bề mặt Trái Đất, nối liền hai địa cực, có độ dài khoảng 20.000km, hướng Bắc – Nam cắt thẳng góc đường xích đạo Mặt phẳng kinh tuyến (chạy qua đài quan sát thiên văn 180 Greenwich thuộc Luân Đôn) kinh tuyến, chia Trái Đất làm hai bán cầu – Bán cầu đông Bán cầu tây (Nguồn Internet) Như tàu, thuyền biển dùng đơn vị đo khoảng cách khác hải lý(1 hải lý = 1852m) Từ mơ hình mơ tả tốn ta gọi t thời gian mà sau xuất phát hai tàu cách khoảng d AA Khi d A1 B12 AB12 AA12 Trong quãng đường tàu A Dựa vào gợi ý tàu cách ban đầu hải lý theo đường Vĩ tuyến, AB (7 BB )2 nên ta tính Cuối cùng, ta vận dụng công thức liên hệ quãng đường, vận tốc thời gian AA1v A t Svt BB1v B t Hướng dẫn giải A Tại thời điểm t sau xuất phát, khoảng cách A tàu hai tàu d Khi tàu A vị trí B vị trí hình vẽ Ta có A1 d AB12 AA12 Với BB BB v t (7 BB1 ) AA12 (7 9t ) (8t )2 quãng đường tàu B 7t B d AA AA v quãng đường tàu A B 2 Suy d 145t 126t 49 Đặt f (t ) 145t 126t 49 voi t Bài tốn trở thành tìm f ( t ) ? B B1 t 7t t (0; ) Cách 1: Ta có f ‘(t ) 145t 63 145t 126t 49 f ‘(t ) t 63 ( h ) 145 10 f ( t ) f ( 63) 56 145 145 Lập bảng biến thiên ta có: t 0; t 63 (giờ), ta có d 4,65 (hải lý) 145 Cách 2: Học sinh làm cách khác để tìm 145t 126t 49 f (t ) 145(t 63 ) 3136 145 145 63 56 t f (t ) mìn(t) ? t (0; ) sau: 56 145 t 145 0; 4, 65 145 (Hoặc sử dụng cực trị Parabol) D Bài toán tương tự: Từ cảng A dọc theo đường sắt AB cần phải xác định trạm trung hB C chuyển hàng hóa C xây dựng A đường từ C đến D Biết vận tốc E đường sắt v1 đường v2 ( v1 v2 ) Hãy xác định phương án chọn địa điểm C để thời gian vận chuyển hàng từ cảng A đến cảng D ngắn nhất? A Bài tốn 7: Mơt ngon hai đăng đăt tai vi tri A cach bơ biên môt khoang AB 5km Trên bơ biên co môt cai kho vi 5k tri C cach B môt khoang la 7km m Ngươi canh hai đăng co thê chèo đo tư B M C A đên điêm M bơ biên vơi vân tôc 4km/h rôi bô đên C vơi vân tôc 7k 6km/h (xem hinh ve dươi đây) Tinh m đô dai đoan BM đê đo đên kho nhanh nhât? Hướng dẫn giải: f x hàm số tính thời gian người canh hải Trước tiên, ta xây dựng hàm số đăng phải Đặt BM x ta được: MC x, AM x2 25 x2 Thời gian người canh hải đăng chèè̀o đò từ A đến M là: tAM Thời gian người canh hải đăng từ M đến C là: tMC Thời t gian x 25 người x Xét hàm số: f ( x ) canh hải đăng x 25 x 14 12 x x 25 x 25 x 14 từ x A 25 đến C là: với x 0;7 12 11 Bài tốn trở thành tìm f ( x ) voi x 0;7 Ta có: f ‘ x 12 f’x x x x số f x Hàm ff x 29, x2 25 3x 3x x x 25 x 25 3×5 x 100 x 25 liên tục đoạn 0;7 ta có: 1455, f 74 12 12 1455 Vậy giá trị nhỏ f x x 12 điểm M nằm cách B đoạn BM x (km) Khi thời gian Bài tốn tương tự: Bạn Mai từ nhà vị trí A đế trường học vị trí C phải qua cầu từ A đế B tới trường Trận lũ lụt vừa qua làm cầu bị ngập nước, bạn Mai phải thuyền từ nhà đến vị trí D đoạn BC với vận tốc km / h sau với vận tốc 5km / h đến C Biết độ dài AB 3km, BC 5km Hỏi muộn bạn Mai phải xuất phát từ nhà để có mặt trường lúc 7h30 phút để kịp vào học? A h 03 phút B 5h30 phút C h16 phút D h 05 phút Bài toán 8: Một nhà thám hiểm địa điểm A sa mạc, ông ta muốn đến địa điểm B cách A đoạn 90km Trong sa mạc xe ơng ta di chuyển với vận tốc 35km/h phải đến điểm B sau Vì vậy, ơng thẳng từ A đến B đến May mắn thay, có đường nhựa song song với đường nối A B cách AB đoạn 15km Trên đường nhựa xe nhà thám hiểm di chuyển với vận tốc 60km/h Làm để nhà thám hiểm đến sớm (đảm bảo khung cho phép) Phân tích: Ta mơ tả tốn hình vẽ Ta phải chia quãng đường thành giai đoạn Giai đoạn 1: Đi từ A đến C( Từ A đến đường nhựa song song) Giai đoạn 2: Đi từ C đến D( quãng đường đường nhựa) Giai đoạn 3: Đi từ D đến B( Từ D đến B) Hướng dẫn giải: 90km A B Gọi H; K; C; D điểm hình vẽ Khi gọi Sa mạc 15km HC x x 90 x y DK y (0 x 90) Ta có: H C D K 12 AC 15 x t1 Và CD 90 152 x2 DB 152y 35 AC v 90 ( x y ) t CD v60 hiểm từ A đến B là: T t t t y) (x t DB 152 y2 v35 Vậy tổng thời gian mà nhà thám 15 x 35 152 y2 35 90 ( x y) 60 Đây biểu thức có dạng đối xứng hai biến x; y ta cần tìm T ( x; y ) 225 x Ta có: T ( x; y ) f (t ) 225 t 35 Xét f ‘(t ) 35 Lập bảng T ( x; y ) 45 x 60 35 45 t (0 t 90) 60 t ; f ‘(t ) 225 t2 225 y2 45 y 35 60 225 t 60u 60 35 biến thiên ta có f (t ) f ( t (0;90) T ( x; y ) f ( x ) f ( y ) f ( 21 95) 21 95 19 21 95 14 Dấu “=” xảy x y f ( x ) f ( y ) Khi ta xét t 21 95 19 21 95 ) Do 19 ta có 2,196 19 Chú ý: Bài toán quãng đường, vận tốc, thời gian ta nhận thấy có mối quan tâm lớn thực tế để quãng đường ngắn thời gian Trong thực tế đời sống ngày, điều lúc lẽ phải chịu tác dộng nhiều yếu tố khác thời điểm, mật độ di chuyển, động nhiều thứ khác ta khơng lường trước Việc lý tưởng hóa toán mức sai số chấp nhận 2.3.4.3 Ứng dụng kinh tế Bài toán 9: Thầy Hiệu trưởng dự định xây bồn hoa có bề mặt hình trịn có đường kính AB 16m, ấn tượng thầy thiết kế có hai hình trịn nhỏ hình trịn lớn cách lấy điểm M A B dựng đường trịn đường kính MA MB hình vẽ Trong hai đường tròn nhỏ thầy định trồng loại hoa hồng đỏ, phần lại thầy trồng hoa hồng trắng Biết giá hoa hồng đỏ 10.000 đồng cây, hoa hồng trắng 7.000 đồng 0.5 m2 trồng hoa Hỏi chi phí thấp để trồng hoa thầy bao nhiêu? (Kết làm trịn đến nghìn đồng) Hướng dẫn giải: 13 Đặt AB a; AM 2x suy MB 2( a x) Muốn chi phí thấp diện tích trồng hoa hồng trắng phải lớn S ,S ,S Gọi diện tích đường trịn đường kính Ta có diện tích AB, MA, MB trồng hoa hồng trắng : S S1 ( S S ) a (x 2 x ( a x) ax) Xét hàm số f ( x ) x ax ta có S lớn f ( x ) x ax nhỏ nhất, lập bảng biến thiên ta có f ( x ) x ax nhỏ a2 Khi diện tích trồng hoa hồng trắng lớn a2 32 101m2 Do chi phí thấp mà thầy Hiệu trưởng phải mua hoa để trồng là: T 32 2.7000 32 2.10000 3434000 đồng Bài tốn 10: Cơng ty tư nhân Ngôi Sao chuyên kinh doanh xe gắn máy tay ga loại Hiện nay, công ty tập trung chiến lược kinh doanh xe tay ga Vespa LX với chi phí mua vào 55 triệu đồng bán với giá 70 triệu đồng Với giá bán số lượng xe mà khách hàng mua 1500 Nhằm mục tiêu đẩy mạnh lượng tiêu thụ dòng xe ăn khách này, Công ty dự định giảm giá bán ước tính giảm triệu đồng số lượng xe bán tăng thêm 500 Vậy công ty phải định giá bán để sau thực việc giảm giá, lợi nhuận thu cao nhất? Phân tích: Ta mơ tả tốn cách sau: Giá mua vào xe Giá bán xe Lợi Số Tổng lợi nhuận nhuận lượng Ban bán đầu xe 55 triệu 70 triệu 15 triệu 1500 22.500.000.000 đồng đồng đồng đ Như việc giảm giá bán xe làm giảm lợi nhuận thu bán đồng thời làm tăng lên nhu cầu mua xe khách hàng Theo giả thiết giảm giá triệu đồng số lượng xe bán tăng thêm 500 Từ ta gọi x giá bán Vespa LX Ta thấy giá bán dao động khoảng 55 triệu đồng đến 70 triệu đồng Ta xác định lại số lượng xe bán sau giảm giá ứng với gián bán x Khi lợi nhuận cơng ty tổng doanh thu – tổng chi phí hàm phụ thuộc theo biến x Ứng dụng đạo hàm ta tìm giá trị x thỏa mãn yêu cầu toán Hướng dẫn giải: 14 Gọi x giá bán Vespa LX mà công ty phải xác định để lợi nhuận thu sau giảm giá cao 55 x 70 Suy số tiền giảm 70 x Đồng thời số lượng xe tăng lên 500(70 x) Vậy tổng số sản phẩm bán 1500 500(70 x ) 36500 500x Doanh thu mà công ty đạt 36500 500x x Chi phí mà cơng ty phải bỏ 36500 500 x 55 Lợi nhuận mà công ty đạt = Tổng doanh thu – chi phí 36500 500 x x 36500 500 x 55 500 x 64000 x 2007500 500 x 6400 x 2007500 Bài tốn trở thành tìm max f x ? Đặt f x 55 x 70 ‘ Ta có: f x Lập bảng ‘ 1000 x 64000, f ( x ) x 64 biến thiên, ta có: max f x f 64 40500 55 x 70 triệu đồng hay 40.500.000.000 đồng Công ty phải định giá bán 64.000.000 đồng Bài tốn tương tự: Cơng ty du lịch A dự định tổ chức tua xuyên Việt Công ty dự định giá tua triệu đồng có khoảng 160 người tham gia Để kích thích người tham gia, cơng ty định giảm giá lần giảm giá tua 100 ngàn đồng có thêm 20 người tham gia Hỏi công ty phải bán giá tua để doanh thu từ tua xuyên Việt lớn nhất? 2.3.4.4 Ứng dụng đời sống lĩnh vực khác Bài toán 11 (Ứng dụng thể thao) Trong nội dung thi điền kinh bơi lội phối hợp diễn hồ bơi có chiều rộng 70m chiều dài 250m Một vận động viên cần chạy phối hợp với bơi(bắt buộc hai) phải thực lộ trình xuất phát từ A đến B hình vẽ Hỏi sau chạy bao xa( quãng đường x) vận động viên nên nhảy xuống tiếp tục bơi để đích nhanh nhất? Biết vận tốc vận động viên chạy bờ bơi 5m/s 1,5m/s Phân tích: A C 250 – x – Với lộ trình vạch sẵn hình vẽ, ta thấy tổng quãng đường vận x động viên phải 70 m AC CB Giả sử đặt AC x ( x 0) Khi ta nhận thấy để tính qng B đường bơi từ C đến B phải dựa 250 m vào chiều rộng hồ, quãng đường lại vận động viên dọc theo bờ hồ Do vận tốc nước khác nên thời gian di chuyển khác Việc xác định x thỏa mãn u cầu tốn, ta sử dụng ứng dụng đạo hàm Hướng dẫn giải: Gọi C vị trí mà vận động viên kết thúc phần chạy điền kinh AC x thời gian từ A đến C t AC x (0 x 250) Khi ta có v 4,5 chay Đồng thời quãng đường bơi BC 70 (250 x)2 15 Khi ta có 70 BC v t2 boi (250 x)2 1, gian vận động viên T t1 t thời gian từ C đến B Tổng thời x 70 f(x) x 70 (250 x) 1, Ta mìnf ( x ) ? (0 x 250) Bài tốn trở thành tìm x (0;250) f ‘( x ) x có: f ‘( x ) 10(250 x ) (250 x)2 1,5 x 250 70 (250 x) ; x (0; 250) ; 70 (250 x)2 91x 45500 x 5643400 x 22750 210 91 227,986 91 Lập bảng biến thiên ta có: mìnf ( x ) f ( 22750 210 91) 94,517s x (0;250) 91 Chú ý: Việc vận dụng đạo hàm giúp ta tối ưu hóa tốn thời gian cho vận động viên Trong thể thao có ba mơn phối hợp gồm chạy bộ, bơi đua xe đạp Ban đầu vận động viên đua bơi lội Tiếp đua xe đạp tới đường chạy, cuối vận động viên chạy marathon để đích Đây mơn thể thao chơi ngồi trời mơn thể thao chơi Thế Vận Hội năm 2000 Sydney Á vận hội chí SEA Games Ba mơn phối hợp địi hỏi vận động viên phải có sức bền thể lực lẫn tinh thần Đây môn thể thao thi đấu cá nhân đồng đội Mơn thể thao có nhiều người tham gia Bài tốn 12(Ứng dụng Hóa học) Đốt cháy hidrocacbon dãy đồng đẳng tỉ lệ mol H O ; mol CO2 giảm dần số cacbon tăng dần? Phân tích: Để làm này, học sinh cần có hiểu biết kiến thức chương Hidrocacbon học chương trình hóa lớp 11 Từ ta thiết lập cơng thức tổng quát hidrocacbon C n H2 n 2k sau thực phản ứng cháy C H n 2n 2k O nCO2 (n k)H2O Đến ta thấy đuộc tỉ lệ mol xt, t nước khí cacbonic sinh nH n O n k Xét hàm số n CO f ( n ) n k ; n N * Khảo sát tìm điều kiện k( số liên kết) n Hướng dẫn giải: Công thức tổng quát hidrocacbon C n H2 n 2k với k số liên kết phân tử Phương trình phản ứng cháy là: n C H O n k HO n 2n 2k nCO2 ( n k )H O Ta có: n xt, t n CO2 16 Xét hàm số f ( n ) n k ; n N * Ta có f ‘( n ) k n Theo giả f(n) thiết f ‘( n ) k n 2 ;n N* n hàm k N k k 1k nghịch công thức biến nên tổng quát C n H2 n : ankan Nhận xét: Việc vận dụng kiến thức liên môn kết hợp với nhau, góp phần giúp cho tốn Hóa trở nên dễ dàng có cơng cụ Tốn học hỗ trợ, ngược lại ta tìm thấy ứng dụng Tốn học q trình tìm hiểu mơn học khác, điều góp phần củng cố, khắc sâu tri thức mà ta lĩnh hội học Bài toán 13(Ứng dụng xây dựng) C Hãy xác định độ dài ngắn cánh tay nâng cần B cẩu bánh dùng để xây dựng tịa nhà H cao tầng mái có chiều a E cao H chiều rộng 2l ? A Biết cần cẩu thỏa mãn h yêu cầu sau: Có thể xê dịch 2l cẩu góc nghiêng cánh tay nâng để cho điểm cuối cánh tay nâng chiếu xuống theo phương thẳng đứng trùng với trung điểm bề rộng Ta giả sử nhà xây dựng miếng đất rộng, cần cẩu di chuyển thoải mái Hướng dẫn giải: Gọi h khoảng cách tính từ mặt đất đến đầu cánh tay cần cẩu (0 h H ) Đặt f ( ) H h sin l cos Ta có f ‘( ) ( H h ) Cho f ‘( x ) tan cos Bài toán trở thành tìm f ( ) ? l sin sin ( H h) cos3 l sin cos H h tan sin cos2 H h k l l f( ) = f( arctan k ) ( H h ) k l Lập bảng biến thiên ta có: k2 0; Một số tập áp dụng(Trích tài liệu tham khảo) Bài Biết km dây điện dặt nước 5000USD, đặt đất 3000USD Hỏi điểm S bờ cách A để mắc dây điện từ A qua S đến C tốn ? Bài (Ứng dụng thủy lợi) 17 Trong lĩnh vực thuỷ lợi, cần phải xây dựng nhiều mương dẫn nước dạng “Thuỷ động học”(Ký hiệu diện tích tiết diện ngang mương S ; l độ dài đường biên giới hạn tiết diện này, l đặc trưng cho khả thấm nước mương; mương đựơc gọi có dạng thuỷ động học với S xác định, l nhỏ nhất) Cần xác định kích thước mương dẫn nước để có dạng thuỷ động học? (nếu mương dẫn nước có tiết diện ngang hình chữ nhật) S S A x S, y S B x S, y S C x S, y D x2 S, y 4 2 m Nam muốn mắc Bài Nhà Nam có bàn trịn có bán kính bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết cường độ sáng C bóng điện biểu thị sin ( góc tạo tia sáng tới mép bàn mặt bàn, c công thức C c l nhà số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn là? A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m Bài Ông An cần sản xuất thang để C Trèè̀o qua tường nhà Ông muốn thang phải ln đặt qua vị trí C, biết điểm C 1m cao 2m so với nhà điểm C cách tường m 1.500.000 đồng nhà m Tường (như hình vẽ bên).Giả sử kinh phí để sản xuất thang mét dài Hỏi ông An cần tiền để sản xuất thang? (Kết làm trịn đến hàng nghìn đồng) Nền nhà Bài (Ứng dụng Sinh học) Trong mơi trường dinh dưỡng có 1000 vi khuẩn cấy vào Bằng thực nghiệm xác định số lượng vi khuẩn tăng theo thời gian quy luật 100t (con vi khuẩn), t thời gian(đơn vị giây) Hãy N (t ) 1000 100 t2 xác định thời điểm sau thực cấy vi khuẩn vào, số lượng vi khuẩn tăng lên lớn nhất? Bài (Ứng dụng Y Học) Độ giảm huyết áp bệnh nhân cho công thức G ( x ) 0, 25 x (30 x) với x liều lượng thuốc tiêm cho bệnh nhân (x: miligam) Tính liều lượng thuốc cần tiêm cho bệnh nhân để huyết áp giảm nhiều tính độ giảm? 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Sau triển khai đề tài thấy hiệu tốt, học sinh tự tin, biết vận dụng kiến thức thực tiễn vào việc giải tốn thực tế chương trình tốn THPT, có niềm đam mê, u thích mơn tốn, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt, sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho việc tự học, tự nghiên cứu biết áp dụng kiến thức chương trình vào thực tiễn đời sống thường ngày Để thấy kết sát thực SKKN chọn hai lớp 12A2 18 12A7 lớp 12A7 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên đề kiểm tra có vận dụng đạo hàm để giải toán thực tế, chấm điểm kết sau: Lớp Sĩ số 12A2 43 12A7 46 Giỏi 6,9% 21% Khá 18,6% 11 23% TB 22 20 51,2% 43% Yếu, 10 23,3% 13% Bài làm học sinh chủ yếu mức độ trung bình, yếu có em gần bế tắc, số đạt khá, giỏi cịn Trước tình trạng tơi tập trung bồi dưỡng cho em vào buổi học thêm buổi chiều tiết học tự chọn, truyền thụ nội dung chủ yếu SKKN, em tự tin tiếp thu làm loại tập này, kết thu kiểm tra lần hai là: Lớp 12A 12A Sĩ số Giỏi 43 14 Khá 32,6% 19 TB 44,2% Yếu 16,3% 6,9% 46 45,7% 17 36,9% 17,4% 0.0% 21 Với kết làm thực tế học sinh, nhận thấy việc cung cấp cho học sinh toán ứng dụng đạo phương pháp phân tích tìm tịi lời giải vào giải tốn thực tế có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu nâng cao lực giải toán tực tiễn Các em hiểu được: Một nhà kinh tế muốn biết tốc độ tăng trưởng kinh tế nhằm đưa định đầu tư đắn phải làm nào? Một nhà kinh doanh muốn có lợi nhuận cao phải tính tốn chi phí ngun liệu, giá thành sản phẩm nào? Một nhà khoa học muốn xác định tốc độ phản ứng hóa học hay nhà Vật lý cần làm để tính tốn vận tốc, gia tốc chuyển động ? Và thực tiễn đời sống ln có nhiều tốn liên quan đến tối ưu hóa nhằm đạt lợi ích cao phải tính tốn để làm cho chi phí sản xuất thấp mà lợi nhuận đạt cao nhất? Với cách xây dựng hệ thống kiến thức từ SGK đến tốn thực tế theo dạng, học sinh dễ dàng nhận dạng từ tìm lời giải nhanh chóng khả vận dụng kiến thức thực tiễn em nâng lên cách rõ rệt KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận Sáng kiến kinh nghiệm thu số kết sau: Đưa phương pháp cụ thể hệ thống ví dụ hợp lý, có định hướng phân tích, thiết kế cách thức dạy học ví dụ, hoạt động theo hướng dạy tích cực Và đặc biệt tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh họa tính khả thi 19 hiệu biện pháp đề xuất Học sinh hứng thú tiếp cận nhiều dạng tập phương pháp giải nó, vào vai nhà thiết kế, kinh doanh …để tìm giải pháp tối ưu cho công việc Qua thực tế giảng dạy thân trường THPT với nội dung phương pháp nêu giúp học sinh có nhìn tồn diện tốn ứng dụng thực tế nói riêng, Tốn học nói chung Tơi hi vọng có điều kiện để trình bày mở rộng vấn đề năm 3.2 Đề xuất Nhà trường cần quan tâm việc trang bị thêm sách tham khảo loại này, mở thư viện điện tử để học sinh cập nhật tiếp cận nhiều dạng toán phương pháp giải toán thực tế Đây đề tài cần mở rộng phát triển để giáo viên học sinh có thêm tư liệu giảng dạy học sinh tiếp cận nhiều 3.3 Lời kết Chuyên đề toán ứng dụng thực tế chuyên đề rộng, song khuôn khổ giới hạn sáng kiến kinh nghiệm nên người viết nêu số tốn điển hình, tơi mong nhận góp ý hội đồng chuyên môn đồng nghiệp để đề tài hoàn thiện đầy đủ nhằm nâng cao hiệu giảng dạy Tôi xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2017 Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGUT,THS LƯƠNG HƯU HỒNG Lê Thị Thanh TÀI LIỆU THAM KHẢO TT Tên tài liệu Ứng dụng toán để giải toán thực tế – Trần Văn Tài NXB ĐHQG Hà Nội năm 2017 Rèè̀n luyện kỹ giải toán trắc nghiệm thực tế – Hứa Lâm 20 Phong NXB Thanh Hóa năm 2017 Giải tích12, Bài tập Giải tích 12 – NXBGD 2008 Giải tích12 nâng cao, Bài tập Giải tích 12 nâng cao – NXBGD 2008 5Đề thi thử THPTQG trường THPT Sở GD nước 6Các fanpage http://violet.vn; https://lovebook.vn; … 7Luật giáo dục năm 2005, Nghị 29NQ/TƯ 21 … làm thực tế học sinh, nhận thấy việc cung cấp cho học sinh toán ứng dụng đạo phương pháp phân tích tìm tịi lời giải vào giải tốn thực tế có hiệu tốt, giúp học sinh tiếp thu nâng cao lực giải toán. .. Một là, tốn thực tế mơ hình hóa hàm số toán học Hai là, toán thực tế mà mơ hình thực tiễn chưa chuyển mơ hình tốn học để ứng dụng đạo hàm hàm số trước hết ta phải “ thiết lập hàm số? ?? Ta cụ thể… vào thực tiễn đời sống thường ngày Để thấy kết sát thực SKKN chọn hai lớp 12A2 18 12A7 lớp 12A7 để tiến hành làm đối chứng cụ thể sau: Đầu tiên tơi đề kiểm tra có vận dụng đạo hàm để giải toán thực

Xem thêm  Cách thống kê tin nhắn Facebook xem ai nhắn tin với bạn nhiều nhất

Xem thêm: Ứng dụng nghe nhạc YouTube tắt màn hình Android mới nhất

– Xem thêm –

Xem thêm: Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12, Ứng dụng đạo hàm giải một số bài toán thực tế nhằm nâng cao năng lực thực tiễn cho học sinh lớp 12

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay

Rate this post

Bài viết liên quan

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.