Lý Thuyết Đàn Hồi – Chương 6.pdf (ý thuyết phân tích) | Tải miễn phí

Lý Thuyết Đàn Hồi – Chương 6

pdf

Số trang Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6
19
Cỡ tệp Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6
280 KB
Lượt tải Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6
0
Lượt đọc Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6
2
Đánh giá Lý Thuyết Đàn Hồi - Chương 6

4.6 (
8 lượt)

19280 KB

Nhấn vào bên dưới để tải tài liệu

Đang xem trước 10 trên tổng 19 trang, để tải xuống xem vừa đủ hãy nhấn vào bên trên

Chủ đề tương quan

Tài liệu tương tự

Nội dung

Lý Thuyết Đàn Hồi
Chương VI
BÀI TOÁN PHẲNG
Như đã được nhắc đến, cho tới nay vẫn chưa tìm được lời giải trực tiếp của bài toán đàn hồi cho trường
hợp tổng quát, vì thế cho nên, lời giải trong các trường hợp riêng có một giá trị hết sức to lớn. Các lời giải
trong các trường hợp này có được nhờ hạn chế bớt, bằng một cách nào đó, tính tổng quát của bài toán
được đặt ra. Việc biến đổi gần đúng bài toán ba chiều (3D) về bài toán hai chiều (2D), dẫn đến việc hình
thành các bài toán phẳng, là một ví dụ. Đây là một loại bài toán mà lời giải của nó có ứng dụng thực tế
rộng rãi.
§6.1 Thiết lập bài toán phẳng
Bài toán phẳng của Lý thuyết đàn hồi có thể phân thành hai nhóm: các bài toán về biến dạng
phẳng và các bài toán về ứng suất phẳng. Trước khi tiến hành giải bài toán, ta hãy xác định các phương
trình cơ bản cùng với các công thức thiết yếu của hai bài toán nói trên, cho vật thể trực hướng.
6.1.1 Trạng thái biến dạng phẳng.
Khái niệm biến dạng phẳng dùng để chỉ một trạng thái của vật thể, mà theo đó, một trong các
chuyển vị bằng 0 còn hai chuyển vị còn lại không phụ thuộc vào toạ độ tương ứng với chuyển vị bằng 0
nói trên. Trục tương ứng với thành phần cv bằng 0, giả sử, là z. Giả thiết thêm rằng, mặt phẳng x-y là mặt
phẳng đàn hồi đối xứng. Định nghĩa của trạng thái biến dạng phẳng có thể được biểu diễn như sau:
w = 0; u = u ( x, y ); v = v( x, y ) .
(6.1)

Trên cơ sở của quan hệ biến dạng – chuyển vị (5.2) và định luật Hooke tổng quát (4.31), từ (6.1) có thể
suy ra:
(6.2)
ε x = ε x ( x, y ); ε y = ε y ( x, y ); γ xy = γ xy ( x, y ); ε z = γ yz = γ zx = 0. .
Trạng thái biến dạng phẳng xảy ra trong vật thể hình lăng trụ dài, chịu tải trọng tác dụng vuông góc với
trục của lăng trụ và không đổi dọc theo trục này (H6.1). Có thể nhận thấy rằng các tiết điện ngang R của
82

Lý Thuyết Đàn Hồi
hình lăng trụ trên chuyển vị giống hệt nhau và như vậy, bài toán 3D có thể đưa về 2D, xác lập trong miền
R (mặt phẳng x-y).
Dựa trên các điều kiện (6.1) và (6.2), có thể thu được các phương trình cơ sở và các công thức chủ yếu
của bài toán đàn hồi như sau:
1. Phương trình cân bằng:
Phương trình cân bằng (5.1) trong trường hợp khảo sát có thể viết:
∂τ xy ∂σ y
∂σ x ∂τ xy
+
= 0;
+
= 0;
(6.3)
∂x
∂y
∂x
∂y
(Phương trình thứ 3 dẫn đến sự đồng nhất 0 = 0 giữa hai vế; Lực khối được bỏ qua: Fx = Fy = Fz = 0 )
2. Quan hệ biến dạng-cv (5.2) sẽ có dạng:
∂u
∂v
ε x = ; ε y = ; ε z = 0;
∂y
∂x
(6.4)
 ∂v ∂u 
γ xy =  + ; γ yz = γ zx = 0.
 ∂x ∂y 
3. Phương trình tương thích:
Từ (5.3) và (6.2), có:
2
2
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
=
.
(6.5)
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
4. Định luật Hooke:
a. Cho vật thể trực hướng:
Để có được công thức của định luật Hooke cho vật thể trực hướng trong trường hợp khảo sát, có thể xuất
phát từ công thức (4.31), được kết quả:
 ν zxν yZ 
σy
σ
;
ε x = x (1 − ν zxν xz ) − ν yx 1 −


Ex
Ey
ν
yx

εy =

σy

γ xy =

Ey

(1 −ν zyν yz ) − σE x ν xy 1 − ν νzyν xz ;

1
τ xy ;
G xy

x

xy

(6.6)

ε z = γ yz = γ zx = 0.

b. Cho vật thể đẳng hướng:
Trường hợp vặt thể đẳng hướng, cũng tiến hành như trên, nhưng từ công thức (4.40):
1 −ν 2 
ν

σ y ;
εx =
σ x −
E 
1 −ν

1 −ν 2 
ν

σ y ;
εx =
σ x −
E 
1 −ν

1
γ xy = τ xy ; ε z = γ yz = γ zx = 0.
G
Ngoài ra, từ công thức (4.41) ta có quan hệ đảo của (6.7):

83

(6.7)

Lý Thuyết Đàn Hồi

ν
 1 −ν

1

ε y ; τ xy = 2G γ xy ;
εx +
1 − 2ν
 1 − 2ν

2

1 −ν
 ν

ε y ;
τ yz = 0;
εx +
σ y = 2G
1 − 2ν
 1 − 2ν

σ x = 2G

σ z = 2G

ν
1 − 2ν

(6.8)

(ε x + ε y ) = λ (ε x + ε y ); τ zx = 0.

5. Qui luật biến đổi các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng khi xoay hệ toạ độ:
Trên cơ sở các công thức (2.21) và (3.22) (6.2) có các công thức biến đổi thành phần ứng suất và
thành phần biến dạng sẽ như sau (H6.2): (với l1 = cosθ, m1 = sin θ, l 2 = − sin θ, m2 = cosθ )
σ x ‘ = σ x cos 2 θ + σ y sin 2 θ + τ xy sin 2θ ;
(6.9)
σ y ‘ = σ x sin 2 θ + σ y cos 2 θ − τ xy sin 2θ ;
1
τ x ‘ y ‘ = (σ y − σ x )sin 2θ + τ xy cos 2θ ;
2
1
ε x ‘ = ε x cos 2 θ + ε y sin 2 θ + γ xy sin 2θ ;
2
1
ε y ‘ = ε x sin 2 θ + ε y cos 2 θ − γ xy sin 2θ ;
(6.10)
2
1
γ x ‘ y ‘ = (ε y − ε x )sin 2θ + γ xy cos 2θ .
2
6. Công thức thế năng đơn vị cho vật liệu đẳng hướng:
1 −ν 2  2
2

W=
σ x + σ y2 +
τ xy2 +νσ xσ y .
(6.11)

2E 
1 −ν

7. Các biến dạng chính :
ε +ε
1
(ε x − ε y )2 + γ xy2 ;
ε 1, 2 = x y ±
(6.12)
2
2


ε 3 = 0,

(trục Oz trùng với một trong các trục chính của biến dạng).

(

)

6.1.2 Trạng thái ứng suất phẳng.
Trường hợp thứ hai của bài toán đàn hồi được rút gọn về 2D là bài toán về trạng thái ứng suất phẳng.
Trạng thái ứng suất được gọi là phẳng khi ứng suất tác dụng trên mặt, vuông góc với một trong các trục
toạ độ, bằng 0, đồng thời, các thành phần ứng suất còn lại không phụ thuộc vào toạ độ ứng với trục này.
Cũng giả thiết rằng, mặt phẳng x-y là mặt phẳng đàn hồi đối xứng.Trên thực tế, trạng thái ứng suất phẳng
xảy ra trong các tấm mỏng (chiều dày 2h), chịu tác dụng của các lực đặt vào vành tấm, theo phương song
song với các mặt không chịu lực.
Ta chọn mặt phẳng không chịu lực (mặt đá y) làm mặt tọa độ x-y còn trục z tất nhiên là vuông góc với mặt
tọa độ này. Từ định nghĩa của bài toán, ta có:
σ x = σ x ( x, y ); σ y = σ y ( x, y ); τ xy = τ xy ( x, y ); σ z = τ yz = τ zx = 0. (6.13)
Ngoài ra cũng có thể kết luận rằng các thành phần chuyển vị khác 0 cũng không phụ thuộc vào toạ độ z.
Để thỏa mãn điều kiện cácthành phần ứng suất và thành phần chuyển vị không phụ thuộc vào tọa độ z cần
phải triệt tiêu các thành phần lực khối và lực mặt theo phương z. Cũng có thể cho phép các lực mặt và lực
khối này khác 0 khi chúng phân bố đối xứng qua mặt phẳng chia đôi chiều dày vật thể khảo sát. Trường

Xem thêm  TRÒ CHƠI ỨNG DỤNG TỪ KIDSMART NGÔI NHÀ TOÁN HỌC CỦA MILLIE

84

Lý Thuyết Đàn Hồi
hợp này, với giả thiết chiều dày, 2h, bé, có thể sử dụng giá trị trung bình (bằng 0) làm cơ sở xác định gần
đúng.

1. Phương trình cân bằng:
Sử dụng (6.14) và tính chất không phụ thuộc của các thành phần ứng suất còn lại vào toạ độ z, từ phương
trình cân bằng (5.1) ta có kết quả:
∂τ xy ∂σ y
∂σ x ∂τ xy
+
= 0;
+
= 0;
(6.3)
∂x
∂y
∂x
∂y
Đây cũng chính là phương trình cân bằng (6.3) của bài toán biến dạng phẳng (với X = Y = Z = 0).
2. Định luật Hooke:
a. Trên cơ sở của định luật Hooke cho vật liệu trực hướng (4.31) và các quan hệ (4.24), ta có:
1
(σ x − ν xyσ y );
εx =
Ex

εy =

1
(σ y − ν yxσ x );
Ey

ν

ν yz
ε z = − xz σ x +
σ y ;
Ey
 Ex

1
γ xy =
τ xy ; γ yz = γ zx = 0.
G xy

(6.14)

b. Trên cơ sở của định luật Hooke cho vật liệu đẳng hướng (4.40) và các quan hệ (4.27), ta có:
1
ε x = (σ x − νσ y );
E
1
ε y = (σ y − νσ x );
E
(6.15)
ν
ν
(σ x + σ y );
ε z = (σ x + σ y ) = −
E
1 −ν
1
γ xy = τ xy ; γ zx = γ yz = 0.
G

3. Quan hệ biến dạng – chuyển vị :
Cũng với cơ sở trên đây, có kết quả của quan hệ biến dạng – chuyển vị trong trường hợp khảo sát:
∂u
∂v
∂w
;
εx = ; εy = ; εz =
∂x
∂y
∂z

1  ∂u

∂v 

γ xy =  + ;
2  ∂y ∂x 
γ yz

1  ∂v ∂w 
 = 0;
=  +
2  ∂z ∂y 

(6.4)

1  ∂u ∂w 
+
 = 0.
2  ∂z ∂x 
Quan hệ (6.14) và (6.4) trên đây không hoàn toàn giống với các phương trình (6.6), (6.7) và (6.4) của
trường hợp trạng thái biến dạng phẳng. Khác biệt là ở sự có mặt (khác 0) của thành phần biến dạng ε z

γ zx = 

85

Lý Thuyết Đàn Hồi
trong bài toán trạng thái ứng suất phẳng và để cho bài toán là 2D, cần phải xử lý gần đúng như trình bày
trong phần dưới đây.
4. Phương trình tương thích:
Sự có mặt không mong muốn của biến dạng εz trong bài toán về trạng thái ứng suất phẳng làm cho các bề
mặt không chịu lực bị vênh chút ít. Tuy nhiên, với các tấm mỏmg, độ vênh nói trên là không đáng kể và có
thể bỏ qua. Vì thế cho nên khi lấy gần đúng εz = 0, trên cơ sở phương trình tương thích (5.3), ta có
phương trình tương thích trong trạng thái ứng suất phẳng trùng với kết quả như trong trường hợp trạng
thái biến dạng phẳng, đó là phương trình:
2
2
∂ 2 ε x ∂ ε y ∂ γ xy
+
=
.
(6.5)
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
5. Qui luật biến đổi các thành phần ứng suất và các thành phần biến dạng khi xoay hệ toạ độ:
Dựa trên các công thức (2.21) và (3.22) ta thu được các công thức biến đổi các thành phần ứng suất, biến
dạng cho trạng thí ứng suất phẳng. Các công thức này cũng có dạng giống hệt các công thức tương ưng
scủa trường hợp biến dạng phẳng.
6. Thế năng biến dạng đơn vị thể tích (cho vật liệu đẳng hướng):
1
W=
σ x2 + σ y2 + 2τ xy2 + 2ν (τ xy2 − σ xσ y ). (6.16)
2E
7. Các ứng suất chính trong trạng thái ứng suất phẳng có thể xác định theo các công thức
σ x +σ y 1
(σ x − σ y )2 + 4τ xy2 ; (6.17)
σ 1, 2 =
±
2
2
σ 3 = 0.
(trục Oz trùng với một trong các trục ứng suất chính)

[

]

6.1.3 Các điều kiện biên
Điều kiện biên của cả hai bài toán ứng suất phẳng và biến dạng phẳng là giống hệt nhau, đó là điều
kiện cho trước lực và/hoặc chuyển vị trên biên của hình phẳng (H6.2)
a. Trên phần mặt biên cv, Su: cho trước các cv:
u = u b ( x, y ); v = vb ( x, y ) .
(6.19)
b. Trên mặt biên chịu lực, ST (H6.3):
Txb = σ x l + τ xy m = σ x cosθ + τ xy sin θ ;
(6.20)
T yb = τ xy l + σ y m = τ xy cos θ + σ y sin θ .

86

Lý Thuyết Đàn Hồi

6.1.3. Giải bài toán phẳng. Hàm ứng suất. Phương trình điều hòa kép
Bây giờ, ta tiến hành biến đổi các phương trình cơ sở chung của trạng thái biến dạng phẳng và
trạng thái ứng suất phẳng, đó là các phương trình cân bằng (6.3) và phương trình tương thích (6.5) để có
được một phương trình duy nhất cho cả hai trường hợp. Các phương trình cơ sở (6.3) và (6.5) có thể biến
đổi về dạng một phương trình cấp 4, nếu như ta đưa vào một hàm mới, có tên là hàm ứng suất (hay hàm
Airy) được định nghĩa như sau:
Gỉa sử tồn tại hàm φ ( x, y ) của hai biến không gian, sao cho
∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
;
=
;
=

.
(6.21)
σ
τ
y
x
∂x∂y
∂y 2
∂x 2
Khi đó, các phương trình cân bằng (6.3) sẽ tự thoả mãn. Sử dụng định luật Hooke và sau khi thay biểu
thức (6.18) vào phương trình tương thích (6.5), ta thu được phương trình đối với hàm F(x,y)
∂ 4φ
∂ 4φ
∂ 4φ
δ 2 4 + 2δ 3 2 2 + δ 1 4 = 0. (6.22)
∂x
∂x ∂y
∂y
Do sự khác nhau của biểu thức quan hệ Hooke trong bài toán biến dạng phẳng và trong bài toán trạng thái
ứng suất phẳng nên các hệ số δ1, δ2 và δ3 trong phương trình (6.19) nhận các giá trị khác nhau cho hai
loại bài toán này, như sau :
• cho trạng thái biến dạng phẳng:
 ν xy ν zyν yz 
1 − ν zyν yz
1 − ν zxν xz
1
 ; (6.23)
−
+
;δ 2 =
; δ3 =
δ1 =
Ex
Ey
2G xy  E x
E y 
• cho trạng thái ứng suất phẳng:
ν xy
1
1
1
δ1 =
;δ 2 =
; δ3 =

. (6.24)
Ex
Ey
2G xy E x

Xem thêm  Top 7 phần mềm chèn chữ vào ảnh trên điện thoại đơn giản đẹp, dễ nhất

σx =

Đối với vật thể đẳng hướng, việc xác định hàm ứng suất, phương trình tương thích cho cả trạng thái biến
dạng phẳng lẫn trạng thái ứng suất phẳng, cùng có dạng điều hoà kép như sau
∂ 4φ
∂ 4φ
∂ 4φ
+
2
+
= 0 (6.25)
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4

6.1.4 Biến đổi các điều kiện biên
Các điều kiện biên, mà hàm φ(x,y) phải thoả mãn,
có thể tìm được nhờ biến đổi quan hệ (6.20) trên đây.
Nếu trên vành bao (đường bao) của tấm khảo sát có tác
dụng của tải trọng, mà hình chiếu của nó lên các trục toạ
độ là Txn và T yn thì trên cơ sở (6.20) và (6.21) ta thu được

Txn

∂ 2φ
∂ 2φ
sin α ;
= 2 cos α −
∂x∂y
∂y

∂ 2φ
∂ 2φ
T yn = −
cos α + 2 sin α .
∂x∂y
∂x
trong đó

cos α = cos( x, n );

sin α = sin ( y, n )

(6.26)

.

87

Lý Thuyết Đàn Hồi
Ta qui ước di chuyển trên đường bao theo cách sao cho phần diện tích được bao kế cận luôn nằm về bên
trái của hướng di chuyển, như minh họa trên hình vẽ (H6.4), và khi đó
∂y ∂x
cos α =
;
=
∂s ∂n
(6.27)
∂x ∂y
sin α = − =
∂s ∂n
trong đó, s và n – tương ứng, là các hướng tiếp tuyến và pháp tuyến của đường bao.
Sử dụng công thức (6.27), có thể viết lại công thức (6.26) dưới dạng
∂ 2φ ∂y ∂ 2φ ∂x ∂  ∂φ 
Txn = 2
+
=  ;.
∂y ∂s ∂x∂y ∂s ∂s  ∂y 
(6.28)
2
2

φ

y

φ

x


φ


T yn =

= −  .
∂x∂y ∂s ∂x 2 ∂s
∂s  ∂x 
Chọn một điểm A bất kỳ trên đường bao làm gốc toạ độ, và giả sử tại điểm này, giá trị các đạo hàm và giá
trị của chính hàm φ là:
∂φ
∂φ
|A;
|A; φ |A .
(6.29)
∂x
∂y
∂φ
∂φ
Khi đó, giá trị của các đạo hàm riêng
tại điểm B nào đó trên đường bao có thể tính được, trên

∂x
∂y
cơ sở tích phân công thức (6.28), như sau

∂φ ∂φ
=
| A − ∫ T yn ds;
∂x ∂x
AB

∂φ ∂φ
=
| A + ∫ Txn ds
(6.30)
∂y ∂y
AB
∂φ
∂φ
Công thức (6.30) cho thấy rằng, gia số của các đạo hàm riêng

khi di chuyển từ điểm A đến
∂x
∂y
điểm B, bằng hình chiếu lên các trục y và x, tương ứng, của cường độ lực (lực rải) tác dụng trên cung AB .
Từ đó suy ra, nếu như vectơ chính của các lực tác dụng lên đường bao bằng 0, thì tích phân đường trong
(6.30) khi di chuyển trọn vòng (kín) theo đường bao, sẽ bằng 0. Nói cách khác, trong trường hợp này,
∂φ
∂φ

là các hàm đơn trị trên đường bao. Điều phát biểu trên đây luôn đúng cho vật thể đơn liên.
∂x
∂y
Khi biết các đạo hàm riêng của hàm ứng suất theo các toạ độ x và y, có thể tính các đạo hàm riêng của
hàm này theo tiếp tuyến và pháp tuyến của đường bao nhờ các công thức:
∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y
=
+
;
∂s ∂x ∂s ∂y ∂s
(6.31)
∂φ ∂φ ∂x ∂φ ∂y
=
+
∂n ∂x ∂n ∂y ∂n
Từ đó có thể dễ dàng xác định giá trị của bản thân hàm F(x,y) trên đường bao
yB
xB
 ∂φ ∂x ∂φ ∂y 
 ∂φ 




 ∂φ 
ds = φ | A + | A (xB − xA ) +  | A ( yB − yA ) − ∫  ∫ Tyndsdx+ ∫  ∫ Txndsdy
F = φ | A + ∫ 
+
 ∂x 
AB ∂x ∂s ∂y ∂s 
xA AB

yA AB

 ∂y 

(6.32),

trong đó: xA, yA, xB, yB – toạ độ các điểm A và B.
Lưu ý: các tích phân trong (6.32) chính là momen của các lực tác dụng lên cung AB, lấy đối với điểm B.
Tích phân đường trong (6.32) khi di chuyển trọn vòng (kín) theo đường bao, sẽ bằng 0 nếu như
momen chính các lực tác dụng trên toàn đường bao bằng 0. Trong trường hợp này, hàm φ(x,y) là đơn trị
88

Lý Thuyết Đàn Hồi
trên đường bao. Các công thức (6.30) và (6.32) cho ta khả năng xác định giá trị trên biên của bản thân
hàm ứng suất và đạo hàm của nó .
∂φ
∂φ
Cần nhớ rằng giá trị của các hằng số
|A;
| A ; φ | A không ảnh hưởng đến trạng thái ứng suất trong
∂x
∂y
trường hợp khảo sát vật thể đơn liên, và do đó, có thể gán cho chúng giá trị bất kỳ, bằng 0 chẳng hạn. Khi
vật thể khảo sát là đa liên, các hằng số này không thể lấy bất kỳ trên mỗi đường bao: Trên một đường bao
nào đó có thể lấy bằng 0 và trên các đường bao còn lại chúng phải được xác định theo điều kiện đơn trị
của của hàm.
Từ phương trình (6.25) và các điều kiện biên (6.30), (6.32) suy ra rằng, đối với vật thể đẳng
hướng, khi cho trứơc điều kiện biên, hàm ứng suất không phụ thuộc gì vào các hằng số đàn hồi, và như
vậy:
Nếu các vật thể có cùng hình dáng và chịu tác dụng của tải trọng ngoài như nhau thì hàm ứng
suất là giống hệt nhau, cho dù chúng được làm từ các vật liệu khác nhau (định lý M. Lewis)

Điều phát biểu trên đây chỉ đúng cho miền đơn liên. Đối với miền đa liên, hàm ứng suất chỉ không
phụ thuộc vào các hằng số đàn hồi khi mà vectơ chính và momen chính của các lực tác dụng trên mỗi
đường bao đều bằng 0. Các điều kiện biên (6.30) và (6.32) nêu ra trên đây xác định tính chất chung của
hàm ứng suất trên biên. Chúng thường được sử dụng để giải các bài toán trong trường hợp các đường biên
không phải là các đoạn thẳng song song với các trục toạ độ.
Các phương trình vi phân (6.22) và (6.25) thuận tiện cho việc xác định các ứng suất trên các tấm
có đường bao hình chữ nhật. Đối với các tấm chữ nhật này, phương trình điều kiện biên (6.26) sẽ rất đơn
giản.
§6.2 Thiết lập bài toán phẳng trong tọa độ cực
Hệ toạ độ cực đã được trình bày trong chương I như là một trường hợp riêng của hệ tọa độ cong
(§1.9, ví dụ 1.3) cùng với các quan hệ toán tử vi phân vector cơ bản. Giải bài toán đàn hồi phẳng trong hệ
tọa độ cực chính là xác định các thành phần chuyển vị, ứng suất, biến dạng
{u r, uθ ; er, eθ, erθ ; σ r, σ θ, τ rθ } trong miền R (H6.4).
Quan hệ biến dạng – chuyển vị trong tọa độ cực có thể xác định được trên cơ sở phát triển các
công thức trong mục §3.7: bỏ qua biến z trong công thức (3.43), thu được kết quả:
∂u
er = r ;
∂r
∂u 
1
eθ =  u r + θ ;
(6.33)
r
∂θ 

Xem thêm  ỨNG DỤNG CÔNG NGHỆ THÔNG TIN NÂNG CAO

1  1 ∂u r ∂uθ uθ 
+
− .

2  r ∂θ
∂r
r 
Kết quả trên cũng có thể thu được nhờ áp dụng qui luật biến đổi các thành phần biến dạng khi thay đổi tọa
độ. Dựa trên khái niệm vật thể đàn hồi đẳng hướng, có thể kết luận rằng, dạng của định luật Hooke cho
vật thể đàn hồi đẳng hướng không thay đổi khi chuyển sang hệ tọa độ cong trực giao bất kỳ. Do đó, dạng
của định luật Hooke trong trường hợp của bài toán ứng suất phẳng và biến dạn phẳng cũng không thay đổi
trong hệ tọa độ cực mà chỉ đơn giản đổi các chỉ số x – y sang r – θ, cụ thể như sau:
e rθ =

89

Lý Thuyết Đàn Hồi
Biến dạng phẳng

Ứng suất phẳng
1
er = (σ r − νσ θ );
E
1
er = (σ r − νσ θ );
E

σ r = λ (er + eθ ) + 2Ger ;
σ θ = λ (er + eθ ) + 2Geθ ;
(6.34)
σ z = λ (er + eθ ) = ν (σ r + σ θ );
τ rθ = 2Gerθ ; τ θz = τ rz = 0.

er = −

ν

(σ r + σ θ ) = − ν (er + eθ );

E
1 −ν
1 +ν
e rθ =
τ rθ ; eθz = erz = 0.
E
(6.35)
Một cách tương tự, từ (2.42) ta có thể viết dạng tương ứng của phương trình cân bằng
∂σ r 1 ∂τ rθ (σ r − σ θ )
+ Fr = 0;
+
+
∂r
r ∂θ
r
(6.36)
∂τ rθ 1 ∂σ θ 2τ rθ
+
+
+ Fθ = 0.
∂r
r ∂θ
r
Biểu diễn quan hệ trên đây theo các chuyển vị, ta có dạng tương ứng của phương trình Navier:
u
∂  ∂u
1 ∂uθ 
G∇ 2 u r + (λ + G )  r + r +
 + Fr = 0;
r r ∂θ 
∂r  ∂r
Biến dạng phẳng →
(6.37)
1 ∂  ∂u r u r 1 ∂uθ 
2
G∇ uθ + (λ + G )
+ +

 + Fθ = 0.
r ∂θ  ∂r
r r ∂θ 
E
∂  ∂u r u r 1 ∂uθ 
G∇ 2 u r +
+ +

 + Fr = 0;
r r ∂θ 
2(1 −ν ) ∂r  ∂r
Ứnsuất phẳng

(6.38)
E 1 ∂  ∂u r u r 1 ∂uθ 
2
G∇ uθ +
+ +

 + Fθ = 0,
2(1 −ν ) r ∂θ  ∂r
r r ∂θ 
trong đó, kết quả của ví dụ 1.3 mục §1.9 đã được vận dụng và Laplacian hai chiều được cho bởi:
∂2 1 ∂
1 ∂2
∇2 = 2 +
+ 2
(6.39).
r ∂r r ∂θ 2
∂r
Cũng trên cơ sở kết quả nhận được từ (§1.9, ví dụ 1.3), cộng với tính chất: σ x + σ y = σ r + σ θ, các
phương trình tương thích có thể biến đổi về dạng tương ứng:
1  ∂Fr Fr 1 ∂Fθ 
Biến dạng phẳng → ∇ 2 (σ r + σ θ ) = −
+
+
(6.40)

;
1 − ν  ∂r
r r ∂θ 
 ∂F F 1 ∂Fθ 
Ứng suất phẳng → ∇ 2 (σ r + σ θ ) = −(1 + ν ) r + r +
(6.41)

r r ∂θ 
 ∂r
Sử dụng đinh nghĩa của hàm Airy và qui tắc biến đổi cácthành phần ứng suất cho bài toán 2D, ta có quan
hệ sau giữa cácthành phần ứng suất trong tọa độc cực và hàm Airy:

90

Lý Thuyết Đàn Hồi

σr =
σθ =

1 ∂φ 1 ∂ φ
+
;
r ∂r r ∂θ 2
2

∂ 2φ

;
(6.42)
∂r 2
∂  1 ∂φ 
τ rθ = 
.
∂r  r ∂θ 
Có thể thấy rằng với cácthành phần ứng suất xác định theo (6.42), các phương trình cân bằng (6.36) trở
thành đồng nhất thức với mọi hàm φ liên tục đến đạo hàm cấp 2 của nó, trong điều kiện vắng mặt lực khối.
Khi đó, với (6.42), phương trình tương thích có thể biến đổi về dạng điều hòa kép như sau
 ∂2 1 ∂
1 ∂2 
φ = 0.
(6.43)
∇ 4φ =  2 +
+ 2
r ∂r r ∂θ 2 
 ∂r
Như vậy, bài toán đàn hồi 2D trong tọa độ cực đã được thiết lập chỉ với một phương trình dẫn dạng điều
hòa kép, theo một hàm ứng suất φ(r, θ), của hai biến số xác định trong miền hai chiều, R (H6.4). Để tìm
lời giải cho bài toán, còn cần có điều kiện biên thích hợp. Các điều kiện này sẽ được xác lập khi xét các
ứng dụng cụ thể.

§6.2 Giải các bài toán phẳng
Bài toán phẳng, bao gồm biến dạng phẳng và ứng suất phẳng, đã được thiết lập trong §6.1 và, như
đã thấy, việc giải các bài toán này sẽ rất tiện lợi nếu ứng dụng hàm ứng suất Airy. Nhờ ứng dụng hàm
Airy, hệ phương trình của bài toán đàn hồi 2D, trong trường hợp không có lực khối, đã đưa được về một
phương trình điều hòa kép, xác định trong miền khảo sát. Như vậy, bài toán đàn hồi 2D trong điều kiện
không có lực khối dẫn đến bài toán tìm nghiệm của phương trình điều hòa kép trong miền khảo sát.
Nghiệm này đương nhiên là phải thỏa mãn điều kiện biên tương ứng của bài toán đàn hồi cụ thể cần giải
quyết. Ta hạn chế trình bày cách lời giải cho trường hợp vật liệu đẳng hướng. Có nhiều giải pháp cụ thể
cho việc tìm nghiệm nói trên. Hai trong số các giải pháp này là việc ứng dụng chuỗi lũy thừa và chuỗi
Fourier sẽ được trình bày dưới đây.

6.2.1 Ứng dụng chuỗi lũy thừa tìm lời giải trong toạ độ Đề-Các
Xét bài toán được thiết lập theo tọa độ Đề-Các, khi không có lực khối, với vật liệu đẳng hướng.
Bài toán loại này thích hợp hơn cả cho trường hợp biên chữ nhật vì sự đơn giản trong việc mô tả và đáp
ứng điều kiện biên. Để giải bài toán, ta cần ấn định trước, căn cứ trên một lập luận nào đó, dạng nghiệm
của phương trình điều hòa kép
∂ 4φ
∂ 4φ
∂ 4φ
(6.25)
+
2
+
=0
∂x 4
∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
và tìm xem bài toán nào thỏa mãn dạng nghiệm tương ứng với hàm ứng suất trên. Đây là cách giải dựa
trên quan điểm về lời giải ngược. Hàm ứng suất Airy được cho dưới dạng chuỗi lũy thừa, được Neou giới
thiệu đầu tiên, vào năm 1957,

φ ( x, y ) = ∑ ∑ Amn x m y n ,
m =0 n =9

(6.44)

trong đó, các hệ số Anm là các hằng số cần xác định.
Trên cơ sở của biểu thức định nghĩa hàm ứng suất (6.21) và công thức (6.25) có thể thấy rằng:
3 số hạng cấp thấp nhất của chuỗi trên, thỏa mãn điều kiện m + n ≤ 1 không tham gia tạo nên sự khác biệt
về ứng suất nên được bỏ qua;
• Các số hạng cấp 2 tạo nên trường ứng suất không đổi;
• Các số hạng cấp 3 tạo nên trường ứng suất biến đổi tuyết tính và …;

91

Source: https://bem2.vn
Category: Ứng dụng hay

Rate this post

Bài viết liên quan

Để lại ý kiến của bạn:

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai.